Ecuaciones diferenciales ordinarias Teorico
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Mtodos Numricos para su Resolucin
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Definicin: una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra a una funcin y sus derivadas
Si adems la funcin depende de una nica variable independiente: ecuacin diferencial ordinaria (EDO)
Ejemplos: y'=2x2+y o y'''-7y'=6y Donde las primas (') indican el orden de la
derivada, y la x es la variable independiente En ocasiones suele usarse tambin t para
representar la variable independiente
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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Encontrar una solucin a una EDO es encontrar una funcin y=g(x) que cumpla dicha ecuacin
Ejemplo: y'=2x2+y tiene solucin y(x)=ex-2x2-4x-4 y'''-7y'=6y tiene solucin y(x)=e-x
No siempre es posible conocer la solucin analtica de una EDO (ejemplo?)
En esos casos hay que recurrir a mtodos numricos para encontrar soluciones aproximadas a EDOs de primer orden: y'=f(x,y) dadas la condiciones iniciales x=x0 e y=y0
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Mtodo de EulerEste mtodo rara vez se emplea en la prctica. Pero es de simple deduccin y permite ilustrar las tcnicas que e aplican en mtodo mssofisticados.Pretendemos resolver numricamente:
dydt = f t , y atb con y a=
Lo que obtendremos ser una tabla de valores aproximados, para algunospuntos uniformemente ditribuido en el intervalo [a,b]
t i=aih i=0,1 ,2 , , N donde h=baN es el paso o tamaodel intervalo
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Mtodo de Euler
Desarrollamos y(t) en serie de Taylor alrededor del punto ti
y t i1= y t ih y ' ti 12 h
2 y ' ' t i
donde h=t i1t itruncamos a primer orden, y generamos sucesin wi (para diferenciarlodel resultado exacto yi)
w i1=wih f t i ,w i w0=
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Mtodo de Euler
w i1=wih f t i ,w i w0=
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Ejemplo: Mtodo de Euler
y '= yt1 0t1 y 0 =1
solucin exacta: y=tet
t w y error0,0 1,000000 1,000000 0,0000000,1 1,000000 1,004837 0,0048370,2 1,010000 1,018731 0,0087310,3 1,029000 1,040818 0,0118180,4 1,056100 1,070320 0,0142200,5 1,090490 1,106531 0,0160410,6 1,131441 1,148812 0,017371
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Error en el mtodo de Euler
y t i1= y t ih f t i , y i12 h
2 y ' ' i
Por el teorema de Taylor, podemos escribir el polinomio de Taylor
El error es O(h)!
i1=y i1 y i
h f t i , y i
i1=h2 y ' ' i para algni , t iit i1
sustituyendo y operando, llegamos a
El error cometido en cada paso es
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Mtodos de Runge-KuttaConsideremos nuevamente la EDO
y '= f t , y y t 0=
Para calcular el valor yi+1 en ti+1=ti+h, dado el valor yi integramos la ecuacin anterior en el intervalo [ti , ti+1]
y i1= y it i
t i1
f t , y dt
Ahora es cuestin de aproximar la integral por medio de algn mtodo numrico, en este caso por trapecios
ti
t i1
f t , y dt12h f t i , y i f ti1 , y i1
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Mtodo de Runge-Kutta de orden 2Las aproximaciones son: integral mediante el mtodo de los Trapecios aproximacin de Euler inicial para yi+1
y i1= y ih f t i , y i
y i1= y ih2 [ f t i , y i f t i1y i1 ]
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Mtodo de Runge-Kutta de orden 2Forma Cannica
k1=h f t i , y i
k 2=h f t i1 , y ik 1
y i1= y i12 k 1k 2
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Ejemplo: y'=t-y y(0)=1 en [0 , 0.6]
t w(i) k1 k2 w(i+1)0 1,000000 -0,100000 -0,080000 0,910000
0,1 0,910000 -0,081000 -0,062900 0,8380500,2 0,838050 -0,063805 -0,047425 0,7824350,3 0,782435 -0,048244 -0,033419 0,7416040,4 0,741604 -0,034160 -0,020744 0,7141520,5 0,714152 -0,021415 -0,009274 0,6988070,6 0,698807
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Mtodo de R-K de orden 3
Partimos de la misma aproximacin que RK2: slo que esta vez usamosel mtodo de simpson 1/3 para aproximar la integral
yn1= ynh6 [ f t n , y n4 f t n12 , yn12 f t n1 , yn1]
yn1/2= ynh2 f t n , yn
yn1= ynh [ f t n , yn1 f yn1 /2 ]donde q es un parmetro que debe optimizarse a los efectos de minimizar el error
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Mtodo de R-K de orden 3
En forma cannica, esto queda expresado as:
k1=h f tn , yn
k 2=h f tnh2, y n
12k 1
k3=h f t nh , y n k 11k 2
yn1=yn16k 14 k 2k 3
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Mtodo de R-K de orden 3Para encontrar el q ptimo, desarrollaremos k1, k2 y k3 en una serie deTaylor alrededor del punto (tn,yn)
k1=hf
k 2=hf 12 h
2 f t f y f 18 h
3 f t t2 f ty f yy f2
k3=hf h2 f t f y f
12 h
3 f t t2 f ty f f yy f 21 f t f y f f y
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Mtodo de R-K de orden 3Consideremos el desarrollo en serie de Taylor para yn+1
yn1= ynhf h2
2 f t f y f
h3
6 f t t2 f ty f f yy f
2 f t f y f y2 f
Comparando trmino a trmino con el desarrollo anterior, llegamosa que ambos desarrollos coinciden hasta el orden 3 si tomamos q=-1
k 1=h f t n , y n
k2=h f t nh2, yn
12k1
k 3=h f t nh , y nk 12 k 2
yn1= yn16 k14 k 2k 3
RK3
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Mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden
ste mtodo es uno de lo ms empleado en la prctica. Surge de aproximarla integral mediante la regla 1/3 de Simpson.La solucin aproximada coincide con un desarrollo en serie de Tayor hasta el cuarto orden
k1=h f t i , y i
k 2=h f t ih2, y i
k 12
k3=h f tih2, y i
k 22
k 4=h f t ih , y ik 3
y i1= y i16 [ k 12k 22 k 3k 4 ]
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Ejemplo: R-K cuarto ordeny'=t-y y(0)=1 en [0,1] con h=0.1
t w(i) k1 k2 k3 k4 w(i+1)0 1,000000 -0,100000 -0,090000 -0,090500 -0,080950 0,909675
0,1 0,909675 -0,080968 -0,071919 -0,072372 -0,063730 0,8374620,2 0,837462 -0,063746 -0,055559 -0,055968 -0,048149 0,7816370,3 0,781637 -0,048164 -0,040756 -0,041126 -0,034051 0,7406410,4 0,740641 -0,034064 -0,027361 -0,027696 -0,021294 0,7130620,5 0,713062 -0,021306 -0,015241 -0,015544 -0,009752 0,6976240,6 0,697624
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Errores cometidos en mtodos numricos para resolver EDOs
error de truncacin (local) error de propagacin error de redondeo (nmeros en punto flotante)
ti ti+1 ti+2
yi+2
wi+2
propagacin
truncacin
yi+1
wi+1
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Ejemplo: Reactor QumicoConversin de Almidn en Glucosa
q,[Af]
q,[A]Reactor bien agitado
Se asume que la reaccin es de segundo orden respecto a concentracin de Almidn
d [A]dt
= qV[ A f ]k [ A]
2 qV[ A]
Vflujo: q=100 gal/minvol. reactor: V=10000 galconc. entrada: [Af]=5 lb/galcte. reaccin: k=0.004 gal/min-lb
Cond. iniciales: t=0 [A]=[Af]
Reactor en rgimen: [A]=0.5[Af]
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Ej: Conversin de Almidn en Glucosa
Para simplificar, usaremos variables adimensionales
=tqV
dt=Vq
d
y=[ A][ A f ]
d [A]=[A f ]dy
d [A]dt
= qV[ A f ]k [ A]
2 qV[ A]
d [A]dt
= qV[ A f ]
dyd
= qV[A f ]k [A f ] y
2 qV[ A f ] y
dyd
=12 y 2 y , 0=0 , y 0=1
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Ej: Reacciones secundarias en el reactor
A k 1 B
AB k 2 C
CC k3 D
V d [A]dt
=q [A f ]q[ A]k 1[A]k 2 [A][B ]
V d [B]dt
=q [B ]k 1[A]k 2 [A][B ]
V d [C ]dt
=q [C ]k 2[ A] [B]k 3[C ]2
Las EDOs asociadas a estas reacciones son:
Sea el mismo reactor donde ocurren una serie de reacciones secundarias
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Sistemas de EDOs
y '= f t , y , u , v y t 0= y0u '=g t , y , u , v ut 0=u0
v '=p t , y , u , v v t 0=v0
Sistema de EDOs con condiciones iniciales
Cmo resolvemos este tipo de problemas?
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Sistema de EDOsSean los vectores:
X=[ yuv ] X '=[y 'u 'v ' ] F t , X =[
f t , y , u , v g t , y , u , v
p t , y , u , v ]
Podemos aplicar simultaneamente a todas las ecuacionesalguno de los mtodos ya vistos, por ej.: RK4
K 1=F t , X
K 2=F th2
, X h2
K1
K 3=F th2
, Xh2
K 2
K 4=F th , Xh K 3
X th=X t h6 K 12 K 22 K 3K 4
De la misma manera que aplicamos RK4 podramos haberaplicado cualquiera de los otros mtodos vistos
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EDOs de orden superior
Para resolver EDOs de segundo orden o superior, el truco consiste en transformar la ecuacin deorden m en un sistema de m ecuaciones de orden 1,mediante simples cambios de variables
ym= f t , y , y ' , y ' ' , , ym1 y t 0=0 , y ' t 0=1 , , y
m1t 0=m1
du1dt
=dydt
=u2du2dt
=dy 'dt
=u3dumdt
=dym1
dt= ym = f t , u1,u2 , ;um
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Ejemplo: EDO de orden 3
y ' ' '= y 't y2
Lo transformamos en un sistema de 3 EDOs de primer orden, mediante los cambios de variable
y '=uu '=vv '=uty2