ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN … · 3 Introducción Los problemas asociados a...

1

ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN

DERIVADAS PARCIALES

Armando Blanco A.

2

Capitulo VI

ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN DERIVADAS PARCIALES

•Introducción

•Diferencias finitas

•Nociones de estabilidad, convergencia y consistencia

•Métodos para problemas parabólicos bidimensionales

3

Introducción

Los problemas asociados a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas corresponden a procesos dependientes del tiempo.Para ilustrar los métodos asociados a este tipo de problemas consideremos la ecuación de conducción del calor:

De acuerdo a la clasificación dada en el capítulo anterior tendremos que

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

02

22

2

2

=++∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂

GFuy

uE

x

uD

y

uC

yx

uB

x

uA

y, en consecuencia, corresponde (1) a una EDP parabólica ya que

; 0; 0;A B Cα= = = 2 4 0B AC− =

(1)

(2)

(3)

4

Es de gran importancia entender bajo que circunstancias la solución numérica se aproxima a la solución real del problema. Para ello requerimos de tres conceptos.•Convergencia: Una solución de una EDP se dice que converge (o es convergente) cuando la solución aproximada se acerca a la solución exacta para cada valor de las variables independientes cuando el espaciamiento (tamaño de paso) tienden a cero.

En otras palabras, el error definido como

Consistencia, convergencia y estabilidad

( ) 0, , →∆∆→ txtxTT nj

n

j

( ) n

jnj

n

j TtxTe -,=

tiende a cero.La solución aproximada es la solución del sistema de ecuaciones algebraicas, lo cual incluye errores de redondeo.

5

Probar la convergencia es en general muy difícil, aún en casos relativamente simples.No obstante, a través del refinamiento de la malla se puede verificar si la solución esta convergiendo, al menos numéricamente.

•Consistencia: El sistema de ecuaciones algebraicas generado en el proceso de discretización se dice consistente si, en el limite hacia cero del espaciamiento de la malla, el sistema de ecuaciones algebraicas es equivalente a la ecuación diferencial parcial en cada punto de la malla.

•Estabilidad: Un esquema es estable si perturbaciones (tales como errores de redondeo) espontáneas decaen.


6

Capitulo VI


•Introducción




7

La ecuación del calor puede ser discretizada utilizando un

método explícito. En la EDP

2

2

x

T

t

T

∂∂=

∂∂ α

T es la temperatura y α es el coeficiente de difusividadtérmica.Las condiciones de frontera e iniciales son:

( ) btT =,0

( ) dtT =,1

( ) ( ) 10 0, 0 ≤≤= xxTxT

Las derivadas pueden expresarse en diferencias finitas, de orden ∆t y ∆x2 como

t

TT

t

Tn

j

n

j

∆−

≈∂∂ +1

( )211

2

2 2

x

TTT

x

Tn

j

n

j

n

j

∆+−

≈∂∂ +−

Diferencias Finitas

(4)

(5)

(1)

8

donde los tamaños de paso en cada variable son ∆t y ∆x

La solución aproximada se encontrará en cada nodo (j,n). Para ello, sustituimos (5) en (1) y obtenemos

( )211

1 2

x

TTT

t

TT n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

∆+−

≈∆− +−

+

α (6)

Diferencias Finitas

9

Con este esquema de discretización el problema se reduce a encontrar, en cada nivel (n+1) las temperaturas dadas por

Definiendo

( ) ( )n

j

n

j

n

j

n

j

n

j TTTx

tTT 112

1 2 +−+ +−

∆∆+= α

( )

∆∆= 2x

ts

α

obtenemos

( ) n

j

n

j

n

j

n

j sTTssTT 111 21 +−

+ +−+=

(7)

(8)

(9)

En este caso, no es necesario la utilización de un “solver” o algoritmo para encontrar la solución del sistema de ecuaciones algebraicas.

Diferencias Finitas

10

Ejemplo: encuentre los valores de la temperatura en una barra con las condiciones mostradas en la figura

El material tiene un coeficiente de difusión térmica α=1/2.

( ) 100,0 =tT ( ) 100,1 =tT

( ) 10 00, ≤≤= xxT

El esquema (9)

Diferencias Finitas

0x = 1x =

( ) n

j

n

j

n

j

n


+ +−+= (9)

será utilizado con una malla con ∆x=0.1 y ∆t= 0.001. Luego el valor de s es

( )( )

( )2 2

1/ 2 (0.001)0.05

0.1

ts

x

α ∆= = = ∆

11

Los resultados para los primeros pasos de tiempo son:

Diferencias Finitas

t\x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

0.001 100 5 0 0 0 0 0 0 0 5 1000.002 100 9.5 0.25 0 0 0 0 0 0.25 9.5 1000.003 100 13.5625 0.7 0.0125 0 0 0 0.0125 0.7 13.5625 1000.004 100 17.2412 1.3087 0.0462 0.0006 0 0.0006 0.0462 1.3087 17.2412 1000.005 100 20.5826 2.0422 0.1071 0.0029 0.0001 0.0029 0.1071 2.0422 20.5826 1000.006 100 23.6264 2.8725 0.1986 0.0079 0.0003 0.0079 0.1986 2.8725 23.6264 1000.007 100 26.4074 3.7765 0.3228 0.0171 0.0011 0.0171 0.3228 3.7765 26.4074 1000.008 100 28.9555 4.7354 0.4802 0.0316 0.0027 0.0316 0.4802 4.7354 28.9555 1000.009 100 31.2967 5.7336 0.6705 0.0526 0.0056 0.0526 0.6705 5.7336 31.2967 1000.01 100 33.4537 6.7586 0.8928 0.0811 0.0103 0.0811 0.8928 6.7586 33.4537 1000.011 100 35.4463 7.8001 1.1455 0.1182 0.0174 0.1182 1.1455 7.8001 35.4463 1000.012 100 37.2917 8.8497 1.4269 0.1645 0.0275 0.1645 1.4269 8.8497 37.2917 1000.013 100 39.005 9.9006 1.7349 0.2208 0.0412 0.2208 1.7349 9.9006 39.005 1000.014 100 40.5995 10.9476 2.0675 0.2875 0.0591 0.2875 2.0675 10.9476 40.5995 1000.015 100 42.0869 11.9861 2.4225 0.3651 0.082 0.3651 2.4225 11.9861 42.0869 1000.016 100 43.4775 13.013 2.7978 0.4538 0.1103 0.4538 2.7978 13.013 43.4775 1000.017 100 44.7804 14.0255 3.1913 0.5538 0.1446 0.5538 3.1913 14.0255 44.7804 1000.018 100 46.0037 15.0215 3.6012 0.6652 0.1855 0.6652 3.6012 15.0215 46.0037 1000.019 100 47.1544 15.9996 4.0254 0.788 0.2335 0.788 4.0254 15.9996 47.1544 1000.02 100 48.2389 16.9586 4.4622 0.9222 0.289 0.9222 4.4622 16.9586 48.2389 100

12

En t=0.02, la distribución de temperaturas luce como:

Diferencias Finitas

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100

120 t = 0.02

x

T

Las láminas siguientes presentan el programa en MATLAB, junto con la opción de creación de un video.

13

Programa MATLAB: método explícito % Programa EcuDif1DF_expl

% Resuelve la ecuación de difusión

% dT/dt = alfa * d2T/dx2

%

% utilizando un método explícito, en diferencias finitas,

% con condiciones de Dirichlet en una barra de longitud L,

% cuyas temperaturas en los extremos son Tb y Td

% Datos de entrada

% b : posición del extremo izquierdo de la barra

% Tb : temperatura en el punto b

% d: posición del extremo derecho de la barra

% Td: temperatura en el punto d

% alfa: coeficiente de difusión

clear all

close all

b=0;

d=1;

Tb=100;

Td=100;

alfa = 1/2;

% parámetros computacionales

% Nx: número de nodos

% delta_t : incremento en el tiempo

% Nmaxt = número de ciclos en la iteración en el tiempo

Nx = 11;

delta_t = 0.001;

Nmaxt = 200;

% delta_x = discretización espacial L/(Nx-1)

delta_x = (d-b)/(Nx-1);

s = alfa*delta_t/(delta_x^2)

% x: ubicación de los nodos, para la graficación

x = b:delta_x:d;

% T: vector de temperaturas

T(1)= Tb;

T(Nx)= Td;

T(2:Nx-1)=0;

14

Programa MATLAB: método explícito% Graficación de las condiciones iniciales de Temperatura en la barra

mov = avifile('ecudif1.avi')

plot(x,T)

axis([b d 0 120]);

%title(' Ecuación de Difusion Explícita');

t=0;

title([' t = ',num2str(t)],'FontSize',18);

xlabel('x'); ylabel('T');

grid on

F = getframe(gcf);

mov = addframe(mov,F);

pause(1)

% Told : variable auxiliar (vector) para almacenar las temperaturas del

% paso de tiempo anterior

Told=T;

% Ciclo iterativo

for n=1:Nmaxt

T(1)=Tb;

for j=2:Nx-1

T(j)=s*Told(j-1) + (1-2*s)*Told(j) + s*Told(j+1);

end

T(Nx)=Td;

plot(x,T,'o-')

axis([b d 0 120]);

%title(' Ecuación de Difusion Explícita');

t=t+delta_t;


grid on

xlabel('x'); ylabel('T');

F = getframe(gcf);

mov = addframe(mov,F);

pause(0.01)

Told=T;

disp([n T])

end

mov = close(mov);

15

Diferencias Finitas

El esquema dado por (9)

( ) n

j

n

j

n

j

n


+ +−+= (9)

se denomina explícito ya que los valores de las variables en el instante de tiempo (n+1)∆t son calculados directamente a partir de los valores de las variables en t= n ∆t.Si, la discretización de la derivada espacial se hace en el instante (n+1)∆t

Obtenemos, en la ecuación de difusión

(10)

(11)

( )211

111

2

2 2

x

TTT

x

Tn

j

n

j

n

j

∆+−

≈∂∂ +

+++

−

( )211

111

1 2

x

TTT

t

TT n

j

n

j

n

j

n

j

n

j

∆+−

≈∆− +

+++

−+

α

16

Diferencias Finitas

que se reduce a

(12)

En este esquema no es posible despejar la variable en cada instante de tiempo, generándose un sistema de ecuaciones algebraicas que debe resolverse en cada instante de tiempo.Este tipo de esquemas es conocido como esquemas implícitos. En este caso particular, una solución eficiente del sistema de ecuaciones puede obtenerse utilizando un algoritmo para matrices tridiagonales.

( ) n

j

n

j

n

j

n

j TsTTssT =−++− ++

++−

11

111 21

Veamos la implementación en la práctica del esquema implícito. Para ello tendremos que (12) nos permite escribir una ecuación para cada nodo. Considerando, la imposición de las condiciones de borde de Dirichlet nos llevan a escribir el conjunto de sistema como:

17

Diferencias Finitas

( )( )

( )

11

1 1 11 2 3 2

1 12 3

0,

1 2

1 2

n

n n n n

n n

T T t b

sT s T sT T

sT s T

+

+ + +

+ +

= =

− + + − =

− + +

( )

14 3

1 1 11 1

.

1 2

n n

n n n n

j j j j

sT T

sT s T sT T

+

+ + +− +

− =

− + + − =

( )( )

1 1 13 2 1 2

1 1 12 1 1

.

1 2

1 2

n n n n

N N N N

n n n n

N N N N

sT s T sT T

sT s T sT T

+ + +− − − −

+ + +− − −

− + + − =

− + + − =

( )1 1,n

NT T t d+ = =

18

Diferencias Finitas

( )( )

11

1 1 12 3 2 1

2

0,

1 2

n

n n n n

T T t b

s T sT T sT

sT

+

+ + +

= =

+ − = +

− ( )

( )

1 1 13 4 3

1 1 11 1

1 2

.

1 2

n n n n

n n n n

j j j j

s T sT T

sT s T sT T

+ + +

+ + +− +

+ + − =

− + + − =

( )( )

1 1 13 2 1 2

1 1 12 1 1

.

1 2

1 2

n n n n

N N N N

n n n n

N N N N

sT s T sT T

sT s T T sT

+ + +− − − −

+ + +− − −

− + + − =

− + + = +

( )1 1,n

NT T t d+ = =

Pasando las condiciones de borde al lado derecho

19

La solución de este sistema de ecuaciones llevará a la determinación de las variables Tj, en cada instante de tiempo.

En forma matricial este sistema se escribe como el producto, obteniendo una matriz (n-2)*(n-2)

+

+

=

+−−+−

−+−−+−

−+

+−

−

+

+−

+−

+

+

11

2

3

112

11

12

13

12

.

.

.

.

.

.

.

.

21

21

.0

.

.

021

21

21

n

N

n

N

n

N

n

nn

n

N

n

N

n

n

sTT

T

T

sTT

T

T

T

T

ss

sss

sss

sss

ss

Diferencias Finitas

20

Ejemplo: encuentre los valores de la temperatura en una barra con las condiciones mostradas en la figura, utilizando el método implícito.

El material tiene un coeficiente de difusión térmica α=1/2.El esquema (12)

( ) 100,0 =tT ( ) 100,1 =tT

( ) 10 00, ≤≤= xxT

Diferencias Finitas

0x = 1x =

será utilizado con una malla con ∆x=0.1 y ∆t= 0.001. Luego, el valor de s es

( )( )

( )2 2

1/ 2 (0.001)0.05

0.1

ts

x

α ∆= = = ∆

(12)( ) n

j

n

j

n

j

n

j TsTTssT =−++− ++

++−

11

111 21

21

Los valores de las Tn son reemplazados a la derecha en cada iteración para hallar los de las Tn+1.

El sistema de ecuaciones a resolver es:

Diferencias Finitas

12 2

13 3

19 9

110 10

1.1 0.05 5

0.05 1.1 0.05

0.05 1.1 0.05 0 . .

. . .

. . .

0 . . .

0.05 1.1 0.05

0.05 1.1 5

n n

n n

n n

n n

T T

T T

T T

T T

+

+

+

+

− + − − − − = − −

− +

22

Los resultados de esta primera iteración son mostrados en la lámina siguiente.

Para hallar la solución en el instante 1. ∆t= 0.001 tendremos que el sistema a resolver es:

Diferencias Finitas

12

13

19

110

1.1 0.05 0 5

0.05 1.1 0.05 0

0.05 1.1 0.05 0 ..

. ..

. ..

0 . ..

0.05 1.1 0.05 0

0.05 1.1 0 5

T

T

T

T

− + − − − − = − −

− +

23

Para hallar la solución en el instante 1. ∆t= 0.001 tendremos que el sistema a resolver es:

Diferencias Finitas

1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 T2 5-0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 T3 00.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 T4 00.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 T5 00.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 T6 00.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 T7 00.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 T8 00.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 T9 00.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 T10 5

=

obteniendo

=

T2 4.5549T3 0.2075T4 0.0095T5 0.0004T6 0T7 0.0004T8 0.0095T9 0.2075

T10 4.55490 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

T

24

Luego, para hallar la solución en el instante 2. ∆t= 0.002 tendremos que el sistema a resolver es:

Diferencias Finitas

=

obteniendo

=

1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 T2 9.5549-0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 T3 0.20750.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 T4 0.00950.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 T5 0.00040.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 T6 00.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 0.00 T7 0.00040.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 0.00 T8 0.00950.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 -0.05 T9 0.20750.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -0.05 1.10 T10 9.5549

T2 8.7129T3 0.5863T4 0.0353T5 0.002T6 0.0002T7 0.002T8 0.0353T9 0.5863

T10 8.71290 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

T

25

Para cada instante de tiempo entre 0 y 0.02, la solución es:

Diferencias Finitas

t \ T 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00 100 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 100

0.001 100 4.5549 0.2075 0.0095 0.0004 0 0.0004 0.0095 0.2075 4.5549 1000.002 100 8.7129 0.5863 0.0353 0.002 0.0002 0.002 0.0353 0.5863 8.7129 1000.003 100 12.5165 1.1056 0.0826 0.0056 0.0007 0.0056 0.0826 1.1056 12.5165 1000.004 100 16.0032 1.7396 0.1547 0.0122 0.0018 0.0122 0.1547 1.7396 16.0032 1000.005 100 19.2059 2.466 0.2538 0.0228 0.0037 0.0228 0.2538 2.466 19.2059 1000.006 100 22.1538 3.2661 0.3809 0.0384 0.0068 0.0384 0.3809 3.2661 22.1538 1000.007 100 24.8728 4.1242 0.5365 0.0598 0.0116 0.0598 0.5365 4.1242 24.8728 1000.008 100 27.3855 5.0268 0.7202 0.0879 0.0186 0.0879 0.7202 5.0268 27.3855 1000.009 100 29.7124 5.9627 0.9314 0.1236 0.0281 0.1236 0.9314 5.9627 29.7124 1000.01 100 31.8714 6.9225 1.169 0.1673 0.0408 0.1673 1.169 6.9225 31.8714 100

0.011 100 33.8785 7.8981 1.4317 0.2198 0.057 0.2198 1.4317 7.8981 33.8785 1000.012 100 35.7478 8.8831 1.7181 0.2814 0.0774 0.2814 1.7181 8.8831 35.7478 1000.013 100 37.4922 9.8719 2.0267 0.3526 0.1025 0.3526 2.0267 9.8719 37.4922 1000.014 100 39.1229 10.8598 2.3558 0.4337 0.1326 0.4337 2.3558 10.8598 39.1229 1000.015 100 40.6501 11.8432 2.7038 0.5248 0.1682 0.5248 2.7038 11.8432 40.6501 1000.016 100 42.0827 12.8189 3.0691 0.6261 0.2098 0.6261 3.0691 12.8189 42.0827 1000.017 100 43.4291 13.7844 3.4502 0.7377 0.2578 0.7377 3.4502 13.7844 43.4291 1000.018 100 44.6963 14.7378 3.8455 0.8597 0.3125 0.8597 3.8455 14.7378 44.6963 1000.019 100 45.8911 15.6773 4.2536 0.9919 0.3743 0.9919 4.2536 15.6773 45.8911 1000.02 100 47.0192 16.6017 4.6731 1.1343 0.4434 1.1343 4.6731 16.6017 47.0192 100

26

% EcuDif1dDF_imp Resuelve la ecuacion del calor en 1D con el esquema FTCS

%

% Synopsis: EcuDif1dDF_b(nt,nx,dt,alpha,L)

%

% Entrada: nt = numero de intervalos de tiempo.

% nx = número de nodos en direccion x.

% dt = incremento en el tiempo.

% alpha = difusividad.

% L = longitud del dominio.

% T0 = Temperatura en el nodo 1

% Tl = Temperatura en el nodo nx

%

% Salida: x= vector con la ubicación espacial de los nodos

% U= matriz con la solución en cada dt (U(:,k) contiene la

% solución para t=(k-1)dt

clear all

close all

Programa MATLAB: método implícito

% --- Calculo del espaciamiento.

nt=100;

nx=51;

dt=0.01;

alpha=0.5;

L=1;

T0=100;

Tl=100;

dx = L/(nx-1);

% --- Ubicación de los nodos en la barra

x = linspace(0,L,nx);

% --- Calculo del parámetro s

s = alpha*dt/(dx^2)

27

Programa MATLAB: método implícito% --- Imposición de condiciones iniciales

% y de frontera

T(1)=T0; % condiciones de frontera i=1

T(nx)=Tl; % condiciones de frontera i=nx

T(2:(nx-1))=0; % condiciones iniciales

T3D(:,1)=T;

% --- Ciclo temporal

A(1:nx-2,1:nx-2)=0;

t=0;

for j=1:nx-2

A(j,j)=1+2*s;

if j<nx-2

A(j,j+1)=-s;

end

if j>1

A(j,j-1)=-s;

end

end

disp([A])

for n=1:nt

for j=1:nx-2

b(j)=T(j+1);

end

b(1)=b(1)+s*T(1);

b(nx-2)=b(nx-2)+s*T(nx);

b=b';

% disp(b)

x1=A\b;

clear('b');

T_nuevo(1)=T0;

for j=2:nx-1

T_nuevo(j)=x1(j-1);

end

T_nuevo(nx)=Tl;

% Actualizando las variables

% para repetir el ciclo

T=T_nuevo;

T3D(:,n+1)=T;

plot(x,T,'o-');

xlabel('x');

ylabel('T');

axis([0 L 0 T0]);

t=t+dt;


grid on

pause(0.1)

end

figure

surf(T3D)

28

Este sistema se puede resolver de manera eficiente para cada instante dt, utilizando un algoritmo para matrices tridiagonales. En particular, el de uso mas común es conocido como Algoritmo de Thomas:

Versiones en Fortran y otros lenguajes están disponibles.

Diferencias Finitas

29

Capitulo VI


•Introducción




•Referencias

30

Veamos la estabilidad y convergencia de los esquemas estudiados.Recordemos la expresión en diferencias finitas obtenida para la ecuación del calor unidimensional (9)

( )

∆∆= 2x

ts

α

con s dado por

( ) n

j

n

j

n

j

n


+ +−+= (9)

y las condiciones (7) escritas como

( ) 100,0 =tT

( ) 100,1 =tT

( ) 10 00, ≤≤= xxT

2/1=α


31

Utilicemos como tamaño de malla

( )( )

( ) 5.01.0

)01.0(2/122 =

=

∆∆=x

ts

α

y

Luego tendremos que s es

1.0=∆x

01.0=∆t

Los resultados para los primeros pasos de tiempo se muestran en la lamina siguiente


32

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 100

0,01 100 50 0 0 0 0 0 0 0 50 1000,02 100 50 25 0 0 0 0 0 25 50 1000,03 100 62,5 25 12,5 0 0 0 12,5 25 62,5 1000,04 100 62,5 37,5 12,5 6,25 0 6,25 12,5 37,5 62,5 1000,05 100 68,75 37,5 21,88 6,25 6,25 6,25 21,88 37,5 68,75 1000,06 100 68,75 45,31 21,88 14,06 6,25 14,06 21,88 45,31 68,75 1000,07 100 72,66 45,31 29,69 14,06 14,06 14,06 29,69 45,31 72,66 1000,08 100 72,66 51,17 29,69 21,88 14,06 21,88 29,69 51,17 72,66 1000,09 100 75,59 51,17 36,52 21,88 21,88 21,88 36,52 51,17 75,59 100

0,1 100 75,59 56,05 36,52 29,2 21,88 29,2 36,52 56,05 75,59 1000,11 100 78,03 56,05 42,63 29,2 29,2 29,2 42,63 56,05 78,03 1000,12 100 78,03 60,33 42,63 35,91 29,2 35,91 42,63 60,33 78,03 1000,13 100 80,16 60,33 48,12 35,91 35,91 35,91 48,12 60,33 80,16 1000,14 100 80,16 64,14 48,12 42,02 35,91 42,02 48,12 64,14 80,16 1000,15 100 82,07 64,14 53,08 42,02 42,02 42,02 53,08 64,14 82,07 1000,16 100 82,07 67,58 53,08 47,55 42,02 47,55 53,08 67,58 82,07 1000,17 100 83,79 67,58 57,56 47,55 47,55 47,55 57,56 67,58 83,79 1000,18 100 83,79 70,67 57,56 52,55 47,55 52,55 57,56 70,67 83,79 1000,19 100 85,34 70,67 61,61 52,55 52,55 52,55 61,61 70,67 85,34 100

0,2 100 85,34 73,48 61,61 57,08 52,55 57,08 61,61 73,48 85,34 100

0 ------------------------ x ----------------------- 1< -----------t ----------------------

0


33

Ecuación de Difusións=0.5

0

2040

60

80100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

j

T

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1


34

Como es de esperar, la temperatura se hace igual sobre toda la longitud después de cierto tiempo. La solución ha convergido(en sentido físico) a la solución estacionaria.Disminuyamos el paso de tiempo a la mitad. Ahora tendremos

( ) ( ) 25.01.0

)005.0(

2

122 =

=

∆∆=x

ts

α

1.0=∆x 005.0=∆t

y el resultado se muestra en la pagina siguiente


35


0

2040

60

80100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

j

T

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7


36

Comparemos las soluciones a t=0.4 utilizando ambos valores de s (0.5 y 0.25)

Comparación de Temperaturas t=0.4

80

85

90

95

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

j

T

s=0.25

s=0.5

La solución ha convergido, en el sentido numérico a la solución real.


37

Nuevamente cambiemos el espaciamiento. Para ello utilicemos como tamaño de malla

( ) ( ) 52.01.0

)0104.0(

2

122 =

=

∆∆=x

ts

α

y

Luego tendremos que s es

1.0=∆x

0104.0=∆t

Los resultados se muestran en la lámina siguiente


38


0

50

100

150

0 5 10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0


39


50

70

90

110

130

150

0 5 10

0,4

1

Las oscilaciones de temperatura muestran que el esquema es inestable. No hay convergencia física ni numérica. Esto muestra que el esquema utilizado es condicionalmente estable. La condición de estabilidad es dada por:


0.5s <

40

Utilicemos el método implícito en nuestro problema de conducción de calor, con las condiciones que hicieron fallar el método explícito:

( ) ( ) 52.01.0

)0104.0(

2

122 =

=

∆∆=x

ts

α

Puesto que x=0.1 entonces tenemos 11 nodos (0-10), con las condiciones de borde aplicadas en los nodos 0 y 10.Tendremos entonces un sistema de ecuaciones con 9 incógnitas (las temperaturas en los nodos 1-9).El sistema se expresa, con las condiciones de borde

1.0=∆x 0104.0=∆t

( ) 100,00 == tTT n

( ) 100,110 == tTT n

( ) 91 00,0 ≤≤== jxTT j


41

Luego, partiendo de las condiciones iniciales (n=0) el sistema puede ser resuelto de manera recurrente para hallar la temperatura en función del tiempo.Los resultados se muestran en la lámina siguiente.

Obteniendo una matriz (n-2)*(n-2)

( )

( )

+

+

=

+−−+−

−+−−+−

−+

−

−+−

+−

+

+

10052.0

.

.

.

.

10052.0

.

.

.

.

)52.0(2152.0

52.0)52.0(2152.0

.0

.

.

052.0)52.0(2152.0

)52.0(2152.0

52.0)52.0(21

1

2

3

2

11

12

13

12

n

N

n

N

n

n

n

N

n

N

n

n

T

T

T

T

T

T

T

T

s


42

Ecuación del Calor (Implícito) s=0.52

0102030405060708090

100

0 5 10

j

T0,104

0,208

0,312

0,416

0,52

0,624

0,728

0,832

0,936

Nótese que ahora no se presentan oscilaciones en la solución numérica.


43

Comparación entre métodoss=0,52

70

75

80

85

90

95

100

0 5 10

j

T

explícito

implícito

Al comparar para un instante de tiempo en particular ambos métodos notamos la gran diferencia entre las soluciones predichas por ambos métodos.


44

Método Implícito s=1

0

20

40

60

80

100

0 5 10

j

T

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Incluso para valores de s mucho mayores a los limites establecidos por los criterios de estabilidad para los métodos explícitos, los esquemas implícitos convergen a la solución sin problemas de estabilidad.


45

AL ser independiente de s la convergencia, se dice que el mismo es incondicionalmente estable. A pesar de estas ventajas, los métodos implícitos tiene limitaciones y desventajas. Entre estas se encuentran:•Necesidad de resolver un sistema de ecuaciones algebraicas para cada paso de tiempo ( o aún mas)•Convergencia incondicional podría implicar conseguir una solución sin sentido físico

Método implíto s=25

60

70

80

90

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

j

T

0,5

1

En este ejemplo, para t=1, la solución no presenta oscilaciones pero no corresponde a los valores casi constantes obtenidos en todos los ejemplos anteriores.Esto ocurre por el error temporal del esquema el cual es de orden ∆t.


46

Capitulo VI


•Introducción




47

Problemas bidimensionales

La ecuación del calor en dos dimensiones espaciales se escribe como

la cual será resuelta, por ejemplo en el dominio y con las condiciones de frontera mostradas a continuación

2

2

2

2

y

T

x

T

t

Tyx ∂

∂+∂∂=

∂∂ αα

x∆y∆

1−i i 1+i1−jj

1+j

0=x 1=x0=y

1=y

( ) ),(,,0 tyatyT = ( ) ),(,,1 tybtyT =

( ) ),(,0, txctxT =

( ) ),(,0, txdtxT =

n

jiT ,

(13)

48


y con las condiciones iniciales

La ecuación (13) puede ser discretizada de manera similar a como se hizo con su contraparte unidimensional. En ese caso, utilizando un método implícito llegaremos a

( ) ),(0,, 0 yxTyxT =

( ) ( )211,

1,

11,

2

1,1

1,

1,1,

1, 22

y

TTT

x

TTT

t

TT n

ji

n

ji

n

ji

y

n

ji

n

ji

n

ji

x

n

ji

n

ji

∆+−

+∆

+−=

∆− +

+++

−+

+++

−+

αα

Reorganizando obtenemos

( ) n

ji

n

jiy

n

jiy

n

jix

n

jiyx

n

jix TTsTsTsTssTs ,11,

11,

1,1

1,

1,1 221 =−−−+++− +

++−

++

++−

con sx y sy definidos como en (11). Este esquema es de orden (∆t, ∆x2, ∆y2).

49


El número de incógnitas es (Nx-2)*(Ny-2) dado que estamos suponiendo condiciones de Dirichlet. Nuevamente podemos representar la variable en cada nodo, con un índice único, numerando los nodos de manera que

Luego, la matriz de coeficientes tendrá la forma

1)2()2)(2( +−+−−= ijNk x

++−−++−

−−++−−

−−−++−

−−++

yxx

xyxx

y

xyxxy

x

yxyxx

yxyx

sss

ssss

s

sssss

s

sssss

ssss

221

221

.0

221

.

..

221

..221

50


Esta matriz es pentadiagonal y la solución al sistema de ecuaciones puede ser hallada por cualquier método como Eliminación Gaussiana, Gauss-Jordan, etc.

Si se desea continuar utilizando las ventajas del algoritmo de Thomas, se puede hacer uso del método de las direcciones alternantes implícitos (ADI) de Peaceman y Rachford.

Con este método, el paso de tiempo se descompone en dos mitades. En cada semi-intervalo de tiempo, solo los términos asociados con una dirección son tratados de manera implícita, de manera que solo tres términos implícitos aparecen en la ecuación de diferencias. Estos pueden ser agrupados en torno a la diagonal de manera que la matriz resultante sea tridiagonal.

51

Capitulo VI


•Introducción




•Referencias

52

Referencias1. Análisis Numérico, Burden R., Faires J. D., 6ta

Edición, International Thomson Editores, 1998

2. Applied Numerical Methods, Carnahan B., Luther H. A., Wilkes J. O., John Wiley and Sons, Inc, 1969

3. Nakamura, S.:”Métodos Numéricos Aplicados

con Software”, Prentice Hall, (1992).

53

ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN

DERIVADAS PARCIALES

Armando Blanco A.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARABÓLICAS EN … · 3 Introducción Los problemas asociados a...

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