CV00-842 – CV2009 Mecánica de Sólidos II Carlos Enrique Nungaray Pérez

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ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN PARA DEFORMACIÓN PLANA

Introducción En estas notas se presenta el desarrollo de las ecuaciones de transformación de deformaciones para el estado de deformación plana, por medio de la energía de deformación por unidad de volumen. Para ello, se consideran dos estados de esfuerzo equivalentes, los cuales corresponden al estado de esfuerzos de un mismo punto para dos orientaciones diferentes de los ejes. Como los dos estados de esfuerzo corresponden en realidad a uno solo, la energía de deformación por unidad de volumen para cada caso es la misma. A partir de esta condición se obtienen las ecuaciones de transformación requeridas.

Ecuaciones de transformación Consideremos un estado de deformación plana, esto es

0=== yzxzz γγε

( )yxz Eσσνσ +=

Para este estado de deformación plana, consideremos ahora dos estados equivalentes de esfuerzo:

a) { } { }aaxyyxxyzyx εσγεετσσσ ,,,,,,, ⇒

b) { } { }bbyxyxyxzyx εσγεετσσσ ,,,,,,,111111111

⇒

El estado (b) corresponde al (a) referido a los ejes girados un ángulo θ en contra de las manecillas del reloj. Así, con base en las ecuaciones de transformación para esfuerzos, los esfuerzos del estado (b) se pueden escribir en términos de los del estado (a) de la manera siguiente:

θτθσσσσ

σ 2sin2cos221 xy

yxyxx +

−+

+= (1a)

θτθσσσσ

σ 2sin2cos221 xy

yxyxy −

−−

+= (1b)

θτθσσ

τ 2cos2sin211 xy

yxyx +

−−= (1c)

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial de la manera siguiente:

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2

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

yx

y

x

τσσ

θθθθθθθθθ

τσσ

2cos2sin212sin

21

2sincossin2sinsincos

22

22

11

1

1

(2)

Como los estados de esfuerzo (a) y (b) son equivalentes, tienen la misma energía de deformación por unidad de volumen, w . Esto es,

ba ww = (3)

Si usamos la notación matricial, las energías de deformación se pueden escribir de la manera siguiente:

{ }aaaw εσ21

= (4a)

{ }bbbw εσ21

= (4b)

En las ecuaciones (4), usamos la notación

{ }T=

Así,

xyyxaτσσσ = (5a)

1111 yxyxb

τσσσ = (5b)

No se incluye el esfuerzo zσ en las ecuaciones anteriores porque no contribuye a la energía de deformación, pues la deformación zε es igual a cero.

Al substituir las ecuaciones (5) en la ecuación (2) obtenemos la siguiente expresión:

{ } { }ab σθθθθθθθθθ

σ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

2cos2sin212sin

21

2sincossin2sinsincos

22

22

que se puede escribir en forma abreviada como

{ } [ ]{ }ab T σσ = (6)

en donde

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3

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

θθθθθθθθθ

2cos2sin212sin

21

2sincossin2sinsincos

22

22

T (7)

De la ecuación (6), obtenemos

[ ]Tab

Tσσ = (8)

La matriz [ ]T definida en la ecuación (7) sirve como matriz de transformación entre los dos estados de esfuerzo.

Al substituir la ecuación (8) en la ecuación (4) e igualar las energías de deformación por unidad de volumen para los estados (a) y (b), obtenemos

{ } { } [ ] { }bT

abbaaT εσεσεσ

21

21

21

==

de donde

{ } [ ] { }bT

a T εε = (9)

Las deformaciones correspondientes a la configuración girada, { }bε , se obtienen

despejándolas de la ecuación (9). De esta forma,

{ } [ ] { }aT

b T εε1−

= (10)

Con base en la ecuación (7), obtenemos

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−

θθθ

θθθ

θθθ

2cos2sin2sin

2sin21cossin

2sin21sincos

22

22

1TT (11)

Al substituir la ecuación (11) en la (10), obtenemos la ecuación matricial de transformación para deformación plana:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

xy

y

x

yx

y

x

γεε

θθθ

θθθ

θθθ

γεε

2cos2sin2sin

2sin21cossin

2sin21sincos

22

22

11

1

1

(12)

El desarrollo de la ecuación (12) resulta en las siguientes ecuaciones:

θγ

θεθεε 2sin2

sincos 221

xyyxx ++= (13a)

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4

θγ

θεθεε 2sin2

cossin 221

xyyxy −+= (13b)

θγθεθεγ 2cos2cos2sin11 xyyxyx ++−= (13c)

Las ecuaciones (13) se pueden escribir, después de hacer uso de las identidades trigonométricas para 2sin θ y 2cos θ en términos de senos y cosenos del doble del ángulo, de la forma siguiente:

θγ

θεεεε

ε 2sin2

2cos221

xyyxyxx +

−+

+= (14a)

θγ

θεεεε

ε 2sin2

2cos221

xyyxyxy −

−−

+= (14b)

θγ

θεεγ

2cos2

2sin22

11 xyyxyx +−

−= (14c)

Al comparar las ecuaciones (14) con las ecuaciones (1), observamos que existen las siguientes correspondencias entre los esfuerzos del estado de esfuerzo plano y las deformaciones del estado de deformación plana:

Esfuerzo Deformación

xσ xε

yσ yε

xyτ 2xyγ

1xσ

1xε

1yσ 1y

ε

11yxτ 2

11yxγ

Con base en la tabla anterior, podemos usar el Círculo de Mohr para deformaciones de la misma forma que lo hicimos para esfuerzos. De esta forma, tenemos:

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5

σ

τ

ε

γ/2

(a) Círculo de Mohr paraesfuerzos

(b) Círculo de Mohr paradeformaciones

Figura 1. Círculos de Mohr para esfuerzos y deformaciones.