ESTABILIDAD IV 2014

Vigas

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( )u x

x

0P

L

( )p x

dx

xσ

N

A

Teoría de Vigas

1. Esfuerzo Axil

Variable:

Corrimientos: ( )u u x=

Deformación: x

du

dxε = (1.1)

Ley de Hooke: x x

duE E

dxσ ε= = (1.2)

Esfuerzo axil: x

A

N dA Aσ σ= ≅∫ (1.3)

Datos

Geometría: L , A

Material: E

Solicitaciones: - carga por unidad de longitud ( )p x

- carga puntual 0P

Vinculación

Equilibrio

( ): 0dN

F N N dx p x dxdx

− + − =

∑ (1.4)

Reemplazando (1.1-3) en (1.4):

Ecuación gobernante: ( ) ( ) 0d du

EA x p xdx dx

+ =

(1.5)

Si ( ) 0A x A cte= =

( )2

2

0

0p xd u

dx EA+ = (1.6)

Condiciones de Borde casos particulares

Geométrica: ( )0 0u x u= extremo fijo:

00u =

CONVENCIÓN DE SIGNOS

(+)N N

dx

dNN dx

dx+

N

( )p xdx x

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Estática: ( )( )0

0 0

du xN x P EA

dx= = extremo libre:

00P =

Condición de continuidad (si hay discontinuidad entre tramos de la viga):

Corrimiento: 1 2u u=

Equilibrio: - sin carga aplicada 1 2

N N=

- con carga aplicada P 1 2

N N P= +

2. Esfuerzo Torsor

Variables

Angulo de torsión ( )xα α=

Angulo de torsión por unidad de longitud

d

dx

αθ = (2.1)

Deformación angular

ds dx d rγ α= ⋅ = ⋅

.

dr r

dx

αγ θ= = (2.2)

Tensión de corte

d

G G rdx

ατ γ= = (2.3)

Momento torsor

( )dA dr r dα= ⋅ (2.4)

Mt r dAτ= ⋅∫ (2.5)

1N

2N

P

( )mt x

Mt,

i er r

x

L

r

dα

τ

dA

dr

0

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Reemplazando (2.1-4) en (2.5):

dMt GJ GJ

dx

αθ= = (2.6)

3

A

J r drdα= =∫ Módulo de torsión

Si la sección es circular hueca: ( )4 4

24

e ir r

J π

−

= (2.7)

Datos

Geometría: L , ir ,

er , J

Material: G

Solicitaciones: - torsor por unidad de longitud ( )mt x

- torsor puntual 0

Mt

Equilibrio

( ): 0dMt

M Mt Mt dx mt x dxdx

− + + + =

∑ (2.8)

Reemplazando (2.6) en (2.8):

Ecuación gobernante: ( ) ( ) 0d d

GJ x mt xdx dx

α + =

(2.9)

Si J cte= ( )2

20

dGJ mt x

dx

α

+ = (2.10)

Condiciones de Borde

Geométrica: ( )0 0xα α=

Estática: ( )( )0

0 0

d xmt x GJ Mt

dx

α

= =

Condición de continuidad

Giro: 1 2

α α=

Equilibrio: sin carga aplicada 1 2

Mt Mt=

( ) ( )1 0 2 0

1 2

d x d xGJ GJ

dx dx

α α

=

MtdMt

Mt dxdx

+( )mt x

dx

x

Caso particular

extremo fijo: 0

0α =

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Con momento torsor aplicado 0

Mt 1 2 0

Mt Mt Mt= +

( ) ( )1 0 2 0

1 2 0

d x d xGJ GJ Mt

dx dx

α α

= +

3. Esfuerzo Flector

Variable

Corrimiento vertical ( )v v x=

Elástica: dv

dxθ = (3.1)

Corrimiento longitudinal: dv

u ydx

= − (3.2)

Deformación

2

2x

du d vy

dx dxε = = − (3.3)

Tensión (Ley de Hooke)

2

2x x

d vE Ey

dxσ ε= = − (3.4)

Momento flector

2

2z z z

A

d vM y dA EI

dxσ= = −∫ (3.5)

Corte (flexión no uniforme) ( )3

3z

dM d vQ x EI

dx dx= − = (3.6)

1Mt

0Mt

2Mt

x

yL

( )q x

0P

0M

CONVENCIÓN DE SIGNOS

(+)Q M

x

M Q

y

x x dx+

( )v v x= ( )v v x dx= +

dv

dxθ =

u

x

y

u−

dv

dxθ =

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Tensión de corte (Colignon - Jouravski) xy

z

QS

bIτ = (3.7)

Datos

Geometría: L , zI

Material: E , G

Solicitaciones: - carga por unidad de longitud ( )q x

- carga puntual 0P

- momento puntual 0

M

Equilibrio

( ): Q 0V

dQF Q dx q x dx

dx

− + + + =

∑ (3.8)

Reemplazando (3.5) en (3.8)

Ecuación gobernante: ( )2

2z

d d vEI q x

dx dx

=

(3.9)

Si zI cte= ( )

4

4z

d vEI q x

dx= (3.10)

Condiciones de Borde (2 por borde)

Empotramiento

( )0 0v x = ( )( )0

00 0

dv xu x

dx= → =

Apoyo simple

( )0 0v x = ( )( )2

0

0 20 0

d v xM x

dx= → =

Apoyos elásticos

Resorte traslacional

Apoyo izquierdo

( ) ( ) ( )3

0 0 03R z t

d vF x Q EI x k v x

dx= = − = ⋅

( )( )2

0

0 20 0

d v xM x

dx= → =

Q QdQ

dxdx

+

dMM dx

dx+M

dx

( )q x

v v

RF

tk

tk

RF

R tF k v= ⋅

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Apoyo derecho

( ) ( ) ( )3

0 0 03R z t

d vF x Q EI x k v x

dx= − = = ⋅

( )( )2

0

0 20 0

d v xM x

dx= → =

Resorte rotacional

Apoyo izquierdo

( ) ( ) ( )2

0 0 02R z

d v dvM x M EI x k x

dx dxθ

= − = = ⋅

( )0 0v x =

Apoyo derecho

( ) ( ) ( )2

0 0 02R z

d v dvM x M EI x k x

dx dxθ

= − = = − ⋅

( )0 0v x =

Extremo libre

( )( )2

0

0 20 0

d v xM x

dx= → = ( )

( )3

0

0 30 0

d v xQ x

dx= → =

Con momento aplicado ( )( )2

0

0 02z

d v xM x EI M

dx= − =

Con carga aplicada ( )( )3

0

0 03z

d v xQ x EI Q

dx= − =

Condición de continuidad (4 en total)

Cambio de geometría, carga

Geometría: 1 2v v=

1 2θ θ=

Equilibrio: Sin carga aplicada

1 2M M=

( ) ( )2 2

1 0 2 0

1 22 2z z

d v x d v xEI EI

dx dx=

1 2Q Q=

( ) ( )2 2

1 0 2 0

1 22 2z z

d v x d v xEI EI

dx dx=

O con carga aplicada

Momento torsor aplicado

RM

RM

dv

dx

dv

dx

kθ

kθ

R

dvM k

dxθ

= ⋅

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1 2 0M M M= +

( ) ( )2 2

1 0 2 0

1 2 02 2z z

d v x d v xEI EI M

dx dx= +

Carga puntual

1 2 0Q Q P= +

( ) ( )2 2

1 0 2 0

1 2 02 2z z

d v x d v xEI EI P

dx dx= +

Apoyo intermedio:

1

0v = 2

0v = 1 2θ θ=

1 2M M=

Deducción de Fórmula de Tensión de corte (Colignon - Jouravski)

x

My

Iσ = (I)

( ) ( )max max

0 : 0y y

x xy y

F x dx dA x dA Fσ σ= + − − =∑ ∫ ∫

( ) ( )max maxy y

x xy y

F x dx dA x dAσ σ= + −∫ ∫ (II)

( )dA b y dy= ⋅

( )( )max maxy y

x xy y

dA b s dsσ σ=∫ ∫

( ) ( ) ( )max maxy y

y y

M M Ms b s ds s b s ds S y

I I I⋅ = ⋅ =∫ ∫ (III)

Donde:

( )S y : Momento estático respecto al eje baricentro del

área bajo0y

0P

1Q 2

Q

0M

1M 2

M

y

z

dy( )0b y

0

dA

( )S y

F

x

y ( )xx dxσ +dx( )

xxσ

M dM+

Q dQ+

x

y

Q

M

dx

0y

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( )( )

( )( )

M x dx M xF S y S y

I I

+

= −

( )F b y dxτ= ⋅

( ) ( )M x dx M x S dM S SQ

dx I b dx I b I bτ

+ − = = =⋅ ⋅ ⋅

Q S

I bτ

⋅

=

⋅

yx xyτ τ=

Tubo de pared delgada con presión interna y/o externa

( ) ( )int0 : p 2 2 2 0y i e ext TF R dx p R dx F= − − =∑

TF e dxσ= ⋅ ⋅

inti e extp R p R

eσ

−

=

( )i e mediop p R

eσ

−

=

xyτxy

τ

yxτ

yxτ

x

y

dx

dy

intR

e

ip

ep

e

dx

intR

y

TF

TF

ip

ep

x

x

intextR R e= +

inte R<<

intext medioR R R≅ ≅

dx

( )0b y

( )0,x yτ

x

y