En esta edición

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Pág Reflexiones 2

ABAQUIM ¡Tren al Agua! . . . . . . . . . . . . . 3

Criptografía . . . . . . . . . . 4

Martin Gardner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Anécdotas de la Ciencia . . 5

Tips Matemáticos

Construcción de un Polígono de 17

lados . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Érase una vez ...

6

. . . . . . . . . . . . . . . . 6

7

Concurso Desafío a tu Ingenio . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . . . . . . . 7

FISICOM Ondas en una Cuerda . . . . . . . . . . . . . 8

. . . . . . . . 9

. .9

Ciencia Entrete . .10 . . . . 10

. .12

Tim Berners–Lee: Nobel de Compu-

tación . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . 12

Viaje hasta el “Universo del Sonido” 12

Cuándo se pregunta por chilenos y chile-nas brillantes, generalmente se vienen a la mente a quiénes han destacado en el deporte, en alguna expresión artística o quizás en la política. Pero raramente alguien se acordará de algún científico o alguna científica que haya brillado, ya sea a nivel nacional o internacional. Ud. se preguntará… ¿y los hay? Por supuesto que los hay. Tanto en la actualidad como en tiempos pasados, ha habido quiénes han destacado en las Ciencias. Recientemente ha habido tres científicos, cuyos logros sobresalientes han dejado el nombre de nuestro país en lo más alto del concierto científico mundial.

La astrónoma chilena María Teresa Ruiz recibió el Women in Sciencie Award, que premia a cinco mujeres a nivel mun-dial, que hayan hecho aportes a la inves-tigación científica. Según se indicó en un comunicado de la Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO) “… sus observaciones podrían aportar respuestas a la cuestión de la vida en otros plane-tas”. El premio, consistente en 100.000 euros (un poco más de 70 millones de pesos), lo recibió en París en el pasado mes de marzo y durante esos día se pudo ver una gigantografía con su imagen en el aeropuerto Charles de Gaulle.

También a inicios de este año, en febre-ro, el físico chileno Miguel Arratia, se hizo acreedor del premio Atlas Thesis Award 2016, otorgado por la Organiza-ción Europea para la Investigación Nu-clear a las mejores tesis doctorales del

año. Arratia obtuvo este galardón por su tesis presentada en la Universidad de Cambridge (Reino Unido), cuando con-cluyó su programa de doctorado en Físi-ca de Altas Energías, trabajando en el Proyecto Atlas Cern del Gran Colisiona-dor de Hadrones, en Ginebra (Suiza) y consistió en mediciones para testear la resistencia de nuevos detectores de partí-culas, lo que permitirá aumentar la inten-sidad del colisionador en un 500%, den-tro de los próximos años.

El año pasado, el matemático chileno Claudio Muñoz, junto a un equipo integrado también por el polaco Michal Kowalczyk y el francés Yvan Martel, todos del Centro de Modelamiento Mate-mático (CMM), de la Universidad de Chile, resolvieron un problema que lle-vaba casi 40 años sin solución. Se trata de la resolución de una cierta ecuación en derivadas parciales no lineales, que representa un avance clave en el área de ecuaciones dispersivas. Estas ecuaciones explican fenómenos como las ondas en el mar, las ondas de la luz y la física de campos, entre otros. Este logro les per-mitió ser los primeros investigadores que, trabajando en Chile, publican en Journal of the American Mathematical Society, considerada una de las tres re-vistas científicas más importantes en el campo de las Matemáticas.

Como se ve, en Chile hay muchas men-tes brillantes que destacan en las Cien-cias y que deberían ser más reconocidos para que sean ejemplos a seguir por nuestros jóvenes.

Nº 61 Año 16

Mayo 2017

Editorial

María Teresa Ruiz Miguel Arratia Claudio Muñoz

M A Y O 2 0 1 7

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REFLEXIONES

Científico vs. Humanista

Antes, en mis tiempos, durante la enseñanza media nos ha-cían tomar nuestra primera gran decisión, ésta consistía en elegir si ser del área humanista o ser del área científica. En ese tiempo, en el que era más inmaduro que ahora, se razona-ba más o menos así:

Si elijo el área humanista es porque me gusta leer, porque me gusta la historia y porque aborrezco todo lo que tenga que ver con números y porque según he escuchado de los compañeros de cursos superiores, ser humanista es más fácil y se saca más la vuelta.

Si elijo el área científica es porque me gusta la ciencia (obviamente), se me hace fácil la matemática, me gusta la física y además odio leer, por lo que siempre leo los resú-menes de los libros que me hacen leer y no creo que la historia tenga algún sentido (¿Qué me iba a importar a mi lo que pasó antes de que yo naciera?).

Entiendo que las generaciones nuevas tienen que pasar por procesos similares, y sospecho que la decisión de cada estu-diante se basa más o menos en lo mismos términos descritos. O sea, no te puede gustar leer si eres científico y no te pue-den gustar las matemáticas si eres humanista, ¡que absurdo!

Por alguna razón a los profesores les gustaba crear y acrecen-tar esa diferencia. Desde ahí me di cuenta que existe esa ten-dencia a separar a las personas en grupos, o eres de aquí o eres de allá y no te puedes mezclar con los que no son de tu área de interés o los que no son similares a ti. ¡Qué lamenta-ble que a esa edad se inculque aquello!

El asunto es claro: Sí te puede gustar más de un área de inte-rés, sí te pueden gustar las matemáticas y la lectura, sí te puede gustar el arte, la música, la pintura y el deporte a la vez. No dejes que te digan lo contrario y no le digan lo con-trario a los estudiantes.

Laboratorios de Física

En los colegios no abundan los laboratorios de física, a veces porque se piensa que los elementos de laboratorio son muy caros, lo que es verdad en la mayoría de los casos. Además, los elementos de laboratorios comerciales vienen, según sea el caso, con un software que no es lo más amigable que pue-da ser.

Una de las cosas que nos ha enseñado internet (de las cosas útiles me refiero), es que se pueden crear actividades prácti-cas con materiales relativamente simples y fáciles de encon-trar. No se requiere una gran cantidad de recursos para in-cluir en las clases de Física actividades que encanten a los estudiantes con la disciplina y no se requiere mucho dinero para que los estudiantes experimenten por su cuenta. Además hay muchos recursos informáticos gratis y amigables que permiten reforzar algunos contenidos. Es cosa de buscar.

Uno de los muchos ejemplos es Bruce Yeany*, quien realiza diferentes tipos de experimentos con elementos simples, po-niendo énfasis siempre en lo conceptual por sobre otras co-sas. Es mucho más valioso comprender el fenómeno que se está observando que poder resolver muchos ejercicios que no aportan mucho al entendimiento de la Física que hay detrás. La idea de la Física no es sólo llegar y utilizar fórmulas, fór-mulas que muchas veces funcionan para casos muy específi-cos (como esa cosa del movimiento uniformemente acelera-do).

*https://www.youtube.com/user/YeanyScience

Horas Teóricas vs Horas Prácticas

Existe en los profesores otra tendencia, la tendencia de no cuestionar los aspectos que se refieren al ámbito de la educa-ción y aceptan todo eso como un dogma: si me lo dice un “experto en educación”, lo creo. No se puede ser profesor (de ciencia sobre todo) y no cuestionar este tipo de cosas. Por ejemplo en la universidad, a los profesores, nos obligan a rellenar los programas de los cursos de Física con la cantidad de horas teóricas y de horas prácticas (o de laboratorio). Así se hace desde hace mucho tiempo, y parece que muchos no se lo han cuestionado.

Hay que romper con éste paradigma, hay que dejar de pensar en esta separación entre teoría y práctica en los cursos de Física. Hay que entender que los laboratorios son parte esen-cial y forman parte de los cursos y que nunca deberían pen-sarse como una estrategia de aprendizaje separada.

Las actividades prácticas deben incluirse como parte del desarrollo de los cursos, ya que no tiene sentido “pasar la materia” y después, en otro horario, hacer un laboratorio para corroborar eso mismo que ya se vio. No debe existir eso de horas teóricas y horas prácticas para Física, deben existir horas de Física solamente y los profesores deben ser los en-cargados de planificar cómo incluir los laboratorios como parte del desarrollo lineal de sus cursos y no como una vía paralela.

Tres Reflexiones para una Historia Sebastián Acevedo Álvarez

3

ABACOM Boletín Matemático

A B Q U I M Patricio Ruiz Tagle Correa A

La soda cáustica es Hidróxido de Sodio (NaOH), esta

sustancia al entrar en contacto con el agua se disocia

de la siguiente manera: NaOH á Na+ + OH- ; es decir,

el Sodio (Na) se separa del grupo hidroxilo (OH-), al

separarse el OH se queda con el electrón de valencia

del Na formándose iones Na+ y OH-. Lo anterior tiene

como consecuencia que en el agua se eleve la con-

centración de grupos hidroxilos (OH-), estos grupos

pueden interactuar con organismos vivos que existen

en el agua o están en contacto con ella haciendo que

se alteren ciertas funciones, como las de las enzimas.

Las enzimas son proteínas que tienen a su cargo faci-

litar la ocurrencia de reacciones químicas necesarias

para la supervivencia del organismo que las produce.

Cuando agregamos soda cáustica disuelta en agua en

una cañería que está obstruida estamos incorporando

agua con carga negativa (OH-), la que es capaz de

disolver grasas.

El petróleo es una sustancia que está formada por

muchos enlaces entre átomos de Carbono y Carbono

e Hidrógeno. Estos enlaces son covalentes apolares,

esto quiere decir que comparten sus electrones de

valencia de manera equitativa y esto hace que la

molécula formada no presente polos. Cuando una

sustancia es apolar no puede ser disuelta por el agua,

porque esta última es polar e interactúa por atracción

de cargas opuestas con las sustancia que disuelve,

esto explica por qué el agua no disuelve al aceite. El

petróleo no disuelto flota sobre el agua, porque es

menos denso y puede, entre otras cosas, actuar co-

mo barrera a la circulación del agua dentro del eco-

sistema.

Por todo lo anterior siempre es necesario embalar

adecuadamente las sustancias químicas que se quie-

ren transportar y tomar las precauciones del caso

cuando un accidente de este tipo ocurre.

¡TREN AL AGUA!

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Centro de Docencia de CCBB para Ingeniería Facultad de Ciencias de la Ingeniería UACh. Casilla 567 Valdivia Fono 632221828 Fax 632293730 abacom@uach.cl www.centroccbb.cl/abacom

Director: Juan Leiva V.

Subdirector: Sebastián Acevedo A.

Redacción Periodística: Julio Morales M.

Web Master: Verónica Carrasco G.

Colaboraron en esta edición:

Esperanza Casanova L. y Patricio Ruiz Tagle C.

En Agosto de 2016 siete vagones de un tren de carga cayeron al río Toltén, en

la Región de la Araucanía, debido a que se desplomó el puente ferroviario por

el que se desplazaban. Los vagones llevaban, entre otros productos, petróleo y

soda cáustica hacia el sur. ¿Por qué puede ser peligroso que estas sustancias

se filtren de los vagones y tomen contacto con el agua del río?

M A Y O 2 0 1 7

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Esperanza Casanova Laudien

¿Qué es criptografía? “Criptografía es el arte de escribir con clave secreta o de un modo enigmático” (RAE).

La criptografía nace de la necesidad de realizar comunicaciones por escrito preservando la privacidad de ésta. La idea es que sólo el emi-sor de este mensaje y el receptor del mismo puedan leer el contenido. A este mensaje se le dice mensaje “cifrado”. Los tres principales sistemas criptográficos son:

Transposición: consiste en alterar el orden de las letras y de esta manera ocultar el mensaje.

Sustitución: consiste en reemplazar las letras del alfabeto por otros símbolos.

Ocultación: consiste en todos los métodos donde el emisor trans-mite de forma escondida o disfrazada el mensaje original.

Si preguntamos a un grupo de niños por su nombre al revés, de segu-ro, nos impresionaremos por cuántos de ellos pueden decirlo, sin ni siquiera pensarlo. La canción “Severlá” de 31 minutos es un ejemplo de este mismo código. https://www.youtube.com/watch?v=WDWHt4_5h_E Este código de “Al Revés”, como le llamaré, es un código de transposi-ción, pues alteramos el orden de las letras del mensaje.

Una actividad que he probado con niños de sexto básico es el de dele-trear palabras al revés y en grupo, donde si la palabra tiene tilde al alumno que le toque la letra con tilde debe comunicar que tiene tilde, y sin faltas de ortografía. Por ejemplo les dicté la palabra Pingüino a un grupo de tres niños, A, B y C, y lo deletrearon así: A: o, B: ene, C: i, A: u con cremillas, B: ge, C: ene, A: i, B: pe.

El primer código que veremos, Código del zigzag, aparece en el libro “El Idioma de los Es-pías” de Martin Gardner, en el cual, además de éste, podemos encontrar muchos otros códi-gos.

Código del zigzag: Lo explicamos con un ejemplo. Si el mensaje a codificar es: VAMOS A DAR UNA VUELTA debemos operar de la siguien-te forma para cifrar este mensaje:

1. Contamos el número de letras. Si el número es múltiplo de 4 no se agrega nada más, ahora si no lo es, se agregan letras mudas X y Z al final de la frase hasta completar un múltiplo de 4. Si falta una letra se agrega al final una X, si faltan 2 una X y una Z y si faltan tres X,Z, y X.

2. En nuestro caso tenemos 18 letras, agregamos dos letras mudas X y Z, para completar 20. A estas letras mudas se les llaman “nulas”. Escribimos el mensaje colocando alternativamente una letra más alta y otra más baja en la página. El mensaje se verá como en zig-zag, de la siguiente forma:

3. Copiamos la fila superior, y luego continuamos copiando la hilera inferior, agrupando las letras de 4 en 4, nos quedan 4 palabras de 4 letras.

Nuestro mensaje queda: VMSD RNVE TXAO AAUA ULAZ Para descifrar este mensaje, lo más simple es dividirlo en dos y unir la primera letra con la primera del segundo grupo de letras, la segunda con la segunda y así sucesivamente. Luego agrupamos las palabras.

Otras variantes de zigzag: Podríamos escribir un zigzag de más de dos renglones. Por ejemplo, un zigzag de tres líneas sería así:

Codificada y siguiendo el mismo procedimiento anterior queda:

VSRV TAOA AUAU LAZM DNEX

Si conozco cómo fue cifrada o codificada, podría descifrarla pero debo analizar un método para hacerlo, no lo incluyo pues tú puedes buscar una forma para descifrar un código cifrado en zigzag de tres renglo-nes.

Problema (del libro “El Idioma de los Espías” de Martin Gardner): ¿Qué hace ”¡OH, JA, JA, JA, JO, JO, JO, PLOP!”?

UHMR QEIH SAEE TRNO BEUR EATR VNAZ (Se trata de un código en zigzag de dos hileras.)

Bibliografía: Gardner M. (1960) El Idioma de los Espías. 114

V M S D R N V E T X

A O A A U A U L A Z

V S R V T

A O A A U A U L A Z

M D N E X

Martin Gardner nació en Tulsa, Oklahoma (USA), el 21 de octubre de 1914. Estudió Filosofía en la Universidad de Chicago y después de graduarse se dedicó al Periodis-mo. Es el más famosos divulgador de la cien-cia, conocido a través de libros y artículos en revistas. Famosa fue la columna que durante 25 años (entre 1956 y 1981) publi-có en la revista de divulgación científica Scientific American, con lo que se ganó un

lugar en el mundo de las Matemáticas, por la calidad divulgativa de sus escritos. Gardner es autor de más de 70 libros, prin-cipalmente dedicados a matemáticas re-creativas, pero también escribió acerca de Filosofía, sobre fenómenos paranormales (con el fin de desenmascarar fraudes cien-tíficos) y una versión comentada de Alicia en el País de las Maravillas. Falleció en Oklahoma el 22 de mayo de 2010.

MARTIN GARDNER

EL CÓDIGO DEL ZIGZAG

5

ABACOM Boletín Matemático

OPPENHEIMER Y LA POESÍA

Robert Oppenheimer (1904 –1967) fue un físico estadouni-dense, de origen judío, que se hizo conocido por su trabajo en el Proyecto Manhattan, que permitió la construcción de las primeras bombas atómicas. A pesar de trabajar en física teóri-ca, era aficionado a la poesía. Cuando se encontraba trabajando en Göttingen, fue a ver-lo Paul Dirac (1902 – 1984), británico, también físico teóri-co, quien se refirió a la afición por la poesía de Oppenheimer, diciéndole:

“Me han contado que te dedicas a la poesía. No puedo en-tender cómo alguien que trabaja en los límites de la Física puede simultáneamente interesarse por la poesía, que repre-senta una actividad en el polo opuesto. Cuando trabajas en ciencia tienes que escribir sobre cosas que nadie sabe, con palabras que todo el mundo sea capaz de entender. Al escri-bir poesía, contrariamente, debes decir algo que todo el mundo sabe … con palabras que nadie entiende ...”.

Marie Curie (1867 – 1934) fue una química polaca, famosa por sus investigaciones sobre radioactividad, junto a su esposo Pierre Curie. Re-cibió dos premios Nobel, en 1903 de Física y en 1911 de Química. Para ella la fama era un as-pecto secundario. Siem-pre que podía intentaba evitar la carga de ser

popular. Tanto es así que durante mucho tiempo cuando un desconocido se acercaba a ella y le preguntaba “¿Usted es Madame Curie?”, ella le respondía en tono natural: “No, lo siento, se equivoca”. Y no importaba la categoría del admirador. En una ocasión el matrimonio Curie se encontraba cenando en el Palacio del Elíseo. En el transcurso de la cena una mujer se acercó a Ma-rie Curie y le dijo: – “¿Le gustaría que le presentara al rey de Grecia?” y Curie le

respondió, educada y sinceramente: – “No veo la utilidad de ello”. Al ver la cara de estupefacción de la señora, se dio cuenta que ni siquiera había reconocido que era Madame Loubet, la es-posa del presidente de Francia. Entonces recapacitó y añadió: “… Bueno pero, naturalmente, si a usted le place...”

Paul Dirac y Robert Oppenheimer, con Robert Millikan (al cen- tro) – físico experimental estadounidense –, en una foto de 1935.

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) (ver ABACOM N°14, pág. 3) fue un notable matemático alemán, que destacó en varias disciplinas. El día 30 de marzo de 1796, cuando le faltaba un mes para cumplir los diecinueve años, hizo un brillante descubrimiento. Desde hacía más de 2000 años, se sabía cómo construir con regla y compás el triángulo equilátero, el cuadrado y el pen-tágono regular (así como algunos otros polígonos regulares cuyo número de lados es múltiplo de dos, de tres o de cinco), pero ningún otro polígono regular con un número primo de lados. Ese día en cuestión Gauss halló un método para cons-truir un polígono regular de 17 lados con ayuda de regla y compás. Su método, que fue simplificado posteriormente por H. W. Richmond (1893), es el siguiente:

1. Se construye la circunferencia con centro en O. Se dibujan los diámetros perpendiculares AB y CD.

2. Se obtiene un punto P, sobre el radio OC, tal que el seg-mento OP es la cuarta parte de OC.

3. Se obtiene el punto E, sobre OA, tal que el ángulo OPE es la cuarta parte del ángulo OPA (hay que bisectar dos ve-ces un ángulo).

4. Se obtiene un punto G, sobre AB, tal que el ángulo EPG sea de 45º (se puede hacer bisectando un ángulo recto).

5. Se obtiene F, punto medio del segmento GA, se dibuja la circunferencia con centro F y radio FA. Esta circunferen-cia corta al radio OC en el punto H.

6. Se dibuja la circunferencia con centro E y radio EH, dicha circunferencia corta a AB en dos puntos: M y F.

7. Se levantan perpendiculares a AB, pasando por M y F, que cortan a la circunferencia en R y S.

8. La mitad del arco RS, nos da un punto T. El segmento RT es el lado del polígono regular de 17 lados.

CONSTRUCCIÓN DE UN

POLÍGONO DE 17 LADOS

Juan Leiva Vivar

Juan Leiva Vivar

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M A Y O 2 0 1 7

Beremiz, se había adentrado en la comarca de un sultán que era conocido porque siempre proponía acertijos a los que pasaban por sus territorios. Si los resolvían podían seguir su camino llevándose una suculenta recompensa, en caso contrario los decapitaba. Él sabía que era muy creativo y perspicaz, así que no temía el desafío. Así fue que al llegar cerca del palacio del sultán, éste envió una tropa para que lo llevasen a su presencia. – Acércate peregrino – le dijo. Si quieres continuar tu caminar debes resolver un acertijo que te propondré. Tengo 1000 mone-das de oro, las que pretendo sean guardadas en 10 cajas de fino cedro, todas del mismo tamaño, numeradas del 1 al 10 y debi-damente selladas. Ahora, la numeración de las cajas debe ser estrictamente creciente en relación a la cantidad de monedas que contenga, y de modo que cualquier cantidad entera, desde 1 a 1000 monedas de oro, que deba pagar con ellas, pueda hacer-se entregando un cierto número de cajas, sin necesidad de que éstas sean abiertas. Después de escuchar atentamente el enunciado del problema

que se le proponía, Beremiz se retiró de la presencia del sultán, se fue a servir una cena a una posada cercana al palacio y luego se fue a dormir para descansar del viaje y reponer fuerzas. Cla-ro que le costó un tanto conciliar el sueño, pensando en la solu-ción que expondría al sultán al día siguiente. Por la mañana desayunó rápidamente y se dirigió al palacio, presentándose delante del sultán. – ¿Tienes la respuesta? – le preguntó. – Creo que sí – respondió, para luego exponer la solución al acertijo. – En la primera caja se debe poner una moneda de oro, de lo contrario no sería posible efectuar el pago de esa cuantía. En la segunda caja deben ir 2 monedas, pues si no, no se podría pa-gar una deuda de un par de monedas, además con estas dos ca-jas se puede efectuar el pago de 3 monedas. En la tercera caja deben colocarse 4 monedas. Así con estas tres cajas se pueden efectuar pagos de las siguientes cantidades de monedas: 1 (solo la caja 1), 2 (solo la caja 2), 3 (caja 1 y caja 2), 4 (solo la caja 3), 5 (caja 1 y caja 3), 6 (caja 2 y caja 3) y 7 (cajas 1, 2 y 3). Así continuó indicando cuantas monedas debían ir en cada caja, desde la 1 a la 10, según la distribución siguiente:

El sultán llamó a sus asesores y les pidió que comprobasen que la respuesta estaba correcta, lo que ellos confirmaron positiva-mente. Luego felicitó a Beremiz por su ingenio y precisión, y se despidió de él regalándole joyas, una fina túnica y alimentos para que continuase su viaje.

* Este cuento está inspirado en una historia contenida en

“Nuevas Leyendas Orientales” de Malba Tahan.

El Sistema Binario

En el sistema decimal – o de base 10 – se usan diez dígitos (0, 1, 2,

… , 8, 9) y potencias de 10, para expresar un número entero positivo.

Por ejemplo el número 352 se expresa así, en este sistema, pues:

352 = 3∙102 + 5∙101 + 2∙100,

y para el número 5408 tenemos que:

5407 = 5∙103 + 4∙102 + 0∙101 + 7∙100.

Cualquier número entero positivo mayor que 1, se puede usar como

base de un sistema de numeración. En la antigüedad, en Mesopotamia

se usaba sistema de base 60, la que actualmente es útil para medir el

tiempo (en horas, minutos y segundos) y también para medir ángulos.

Los Mayas usaron sistema de numeración de base 20.

Actualmente, en computación, se usa el Sistema Binario, que utiliza

sólo los dígitos 0 y 1 y potencias de 2.

Así, un número entero positivo x se expresa, en el Sistema Binario, en

la forma siguiente:

x = dn dn-1 … d1 d0 = dn∙2n + dn-1∙ 2

n-1 + … + d1∙ 21 + d0∙2

0 ,

los números d0, d1, … , dn son 0 ó 1 (dígitos o cifras del número x).

Existe un algoritmo para expresar en binario un número que está en

sistema decimal y es el siguiente:

Se divide el número por 2, y se anota el resto; el cuociente se divide

nuevamente por 2 y se vuelve a anotar el resto. Se sigue así hasta que

el cuociente sea 0 (cero). Las cifras del número, en base 2, son los

restos desde el último al primero.

Así, por ejemplo, para el número 352, tenemos que su expresión en

binario es: 101100000, pues al efectuar las sucesivas divisiones por 2,

resultan los cuocientes: 176, 88, 44, 22, 11, 5, 2, 1, 0; y los restos son:

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1. Y el número 5407 en binario resulta ser:

1010100001111.

*

Caja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N° de Monedas 1 2 4 8 16 32 64 128 256 489

Érase una vez ...

7

ABACOM Boletín Matemático

oncursoConcursoConcursoConcursoConcursoConcursoCon

Problema 1:

Las Circunferencias Tangentes.

El triángulo de la figura es equilátero de lado 10 cm.

Las tres circunferencias, de igual radio, son tangentes

entre sí y dos de ellas son tangentes a los lados correspon-

dientes del triángulo.

¿Cuál es la longitud de los radios?

Problema 2:

El Cuentakilómetros.

Un motorista observa, al iniciar su viaje, que el

cuentakilómetros indica 13931. Marcha a veloci-

dad constante y después de una hora y cuarto,

cuando se detiene para hacer un descanso, ve que

el cuentakilómetros ahora marca el número capi-

cúa siguiente.

¿A qué velocidad venía?

Las Cajas con Monedas

y el Sistema Binario

La solución entregada por Beremiz al acertijo de las monedas en las cajas, está basado en el Sistema Binario.

Todo número entero positivo x se puede expresar en el sistema binario en la forma: x = dn dn-1 … d1 d0 = dn∙2n + dn-1∙ 2n-1 + … + d1∙ 21 + d0∙20 , donde los números d0, d1 , … , dn son números 0 ó 1 y como Beremiz hizo colocar en las cajas desde la 1 a la 9, una cantidad de monedas que coinciden con las potencias de 2, desde 20 = 1 hasta 28 = 256. Y como además tenemos que: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 511, entonces para pagar una deuda desde una moneda hasta 511 monedas se usan las cajas desde la 9 hasta la 1, de acuerdo a las cifras del número de monedas en binario. Así por ejemplo si se debe 352 monedas de oro, basta que entregue las cajas con los números 9, 7 y 6 pues este número en binario es 101100000. Ahora tenemos que el número 511 en binario es: 111111111, es decir que para pagar esta cantidad, se deben usar todas las cajas desde la 9 hasta la 1, y como 1000 – 511 = 489, es que en la caja 10 deben ir 489 monedas.

De esta forma, para pagos hasta 511, se ocupan algunas o todas las cajas desde la 9 hasta la 1. Ahora, si el pago es superior a 511, digamos que se debe pagar x monedas, entonces se debe ocupar la caja 10, que contiene 489 monedas y las restantes monedas (x – 489) se pagan, usando las cajas desde la 9 a la 1, de acuerdo a la expresión binaria de este número.

Observar, como una curiosidad que para montos desde 490 hasta 510 monedas, el pago se puede efectuar de dos formas, usando la caja 10 o no. Por ejemplo si se debe pagar 500 monedas de oro, las formas de efectuar el pago es:

1) Usar la caja 10 – que contiene 489 – y para las restante 11 monedas, las cajas 4, 2 y 1, puesto que, en binario el 11 es 1011 (ya que 11 = 1∙23 + 0∙22 + 1∙21 + 1∙20).

2) Como 500 en binario es 111110100, también se puede pagar con las cajas 9, 8, 7, 6, 5 y 3.

El loop no debe intersectarse a sí mismo.

En un bloque con un punto negro debe haber un

ángulo recto.

En un bloque justo antes o justo después de un

bloque con un punto negro, no debe haber una esquina.

En un bloque donde hay un punto blanco debe

haber una línea recta horizontal o vertical.

En un bloque justo antes o justo después de un

bloque con un punto blanco debe haber, al menos, una esquina.

En los bloques donde no haya puntos, puede

haber una esquina o una línea recta, pero siempre cumpliendo con las reglas anteriores.

No es necesario que el loop pase por todos los

bloques donde no haya puntos.

Sebastián Acevedo Álvarez

EL JUEGO DE 2017

Masyu es un juego en el que debe crearse una trayectoria cerrada (un loop) lle-nando los cuadrados (o bloques) con líneas horizontales (o verticales) y ángulos rectos (esquinas) con las siguientes restricciones:

EJEMPLO

Pre

se

nta

ció

n

S

olu

ció

n

30 de Junio de 2017

M A Y O 2 0 1 7

8

Sebastián Acevedo Álvarez

ONDAS EN UNA CUERDA

Considere una cuerda por la que viaja una onda. Una

onda simple, cosenoidal, como la de la figura abajo.

Piense en un punto de la cuerda y observe (o imagine)

cómo se mueve ese punto. Notará que ese punto (punto

1) se mueve hacia arriba y hacia abajo en un movimiento

oscilatorio (movimiento armónico simple) con respecto a

un punto central, que sería la ubicación del punto cuan-

do la cuerda está en reposo. Cuando tal punto se mueve

hacia arriba y hacia abajo, la onda viajará de izquierda a

derecha (o de derecha a izquierda). Esto es lo que se lla-

ma una onda transversal (y onda mecánica, porque viaja

a través de un medio material, que es la cuerda).

De acuerdo al sistema de referencia mostrado, uno po-dría decir que la posición “x” del punto 1 elegido es fijo, no cambia mientras viaja la onda, y lo que cambia sería la posición “y” de ese punto. Es importante notar, entonces, que la velocidad con la que se mueve ese punto hacia arriba y hacia abajo es diferente a la velocidad de la onda hacia la derecha (o hacia la izquierda). La primera es una velocidad variable (o sea, el punto acelera), la segunda velocidad, la de la onda, en general es constante.

Ahora piense en otro punto de la cuerda (no se olvide del primero), pero no cualquier punto, piense en un pun-to (punto 2 por ejemplo) que cuando el primer punto va subiendo (o bajando), éste segundo punto elegido va bajando (o subiendo). Si un punto va subiendo y el otro va bajando, entonces esos dos puntos tienen, obviamen-te, distinta posición “x” y también distinta velocidad ver-tical en el mismo instante (podrían tener, eventualmente, misma posición “y”).

Habrá otro par de puntos (o más de dos puntos) que tienen la misma posición “y” y misma velocidad vertical en cada instante, se dice que esos puntos están en fase.

Las preguntas que podrían surgir, son: ¿cómo se puede

representar matemáticamente la posición “y” de cada

punto de la cuerda en cada instante?, ¿cómo está inclui-

da la velocidad de la onda en la cuerda en esa represen-

tación matemática? y finalmente, ¿cómo se puede repre-

sentar la velocidad vertical de cada punto de la cuerda

en cada instante?, veamos:

- La posición “y” de cada punto de la cuerda en cada ins-

tante se representa por: para una onda que viaja hacia la derecha. Donde:

es la función de onda, representa la posición “y” de un punto de la cuerda ubicado en la posición “x” y en el instante “t”, se mide en metros (o unidades de longitud).

es la amplitud de la onda o máximo desplaza-miento en el eje “y” desde la posición de equi-librio de la cuerda, se mide en metros (o uni-dades de longitud).

es la función coseno, el argumento estará en radianes (no en grados).

es el número de onda, se mide en [rad/m] y es la longitud de onda ( es lo que mide, en metros, un ciclo completo de la onda).

es la frecuencia angular, se mide en [rad/s] y T es el período de oscilación (T es lo que dura, en segundos, una oscilación completa de un punto de la cuerda).

- Como k y , incluyen unidades de longitud y tiempo, respectivamente, existe entre ambas una expresión que las relaciona con la rapidez c de la onda, ésta es: que se mide en [m/s]. - La velocidad “vertical” de cada punto de la cuerda en cada instante se representa matemáticamente por: , que se mide en [m/s], don-de sen( ) es la función seno, el argumento estará en ra-dianes (no en grados). Más información sobre ondas y sonido en: www.universodelsonido.cl

y x,t = Acos kx -ωt( ) ( )

y x,t( ) :

cos( ) :

k = λ 2 π / :

ω= / T 2 π :

λ

:A

ω

c =ω k/ ,

yv x t( , )

yv x,t =ωA kx -ωt( ) sen( )

λ

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ABACOM Boletín Matemático

Intentar condensar la historia del cine, y más que la historia, los modos de ver que tiene el cine en cuatro capítulos es un poco aventurero. Por lo que será mejor, hacer un paneo, entendido este, como el movimiento horizontal de derecha a izquierda, o al revés, para puntualizar algunos hitos que nos permitan compren-den al séptimo arte y su desarrollo en el sur del país.

En este sentido, la obra elemental y si no la única que existe espe-cíficamente sobre cine en el sur, es “El Audiovisual en el Sur de Chile” publicada en el año 2009 por Rubén González. Ésta revisa un sin número de acontecimientos desde el principio del siglo XX hasta la formación del Centro de Promoción Cinematográfica de Valdivia e incluso toma acontecimientos de otras ciudades, como Osorno, Puerto Montt, Chiloé, Coyhaique. No está actualizada hasta el presente año pero permite aproximarnos.

Sin embargo, antes de interiorizar estos hitos, es importante si-tuarnos en el contexto del cine, en cuanto a la pregunta de si efec-tivamente el dispositivo ¿es arte y tecnología? Ésta consulta me hacen pensar en dos cosas: La primera es el nombre de la presen-te sección “El Cine Galope a Galope”; Y la segunda es el hecho de acceso al cinematógrafo. Para ir en orden, el nombre de la sección tiene que ver con que un grupo de fanáticos a la hípica, tenían una discusión sobre si un caballo podía estar suspendido en el aire. Eadweard Muybridge en 1878, colaboró en la respuesta, ponien-do cámaras de fotografía que sorprendieron hasta al caballo1.

Continuando con el orden, el acceso al cinematógrafo, posterior al experimento de Muybridge, es un proceso largo. Históricamente se comprende, el cine primero como ciencia, como experimento para estudiar la imagen en movimiento; y luego, de ahí mismo, nace una fascinación por el acto como entretención2 que perdura hasta nuestros días. No obstante, son los hermanos Lumiere, Tho-mas Edison y Louis Le Prince quienes registran su intimidad inme-diata evidenciando lo cotidiano y en lógica experimental, esto hace más de 120 años aproximadamente3. Todo eso tiene que ver

con el acceso, porque como veremos en la masificación del cine, los aparatos son más portátiles y baratos y comienza un movi-miento fuerte del cine doméstico o autobiográfico (ya profundiza-remos en ello).

Volviendo a lo que nos convoca, el cine llega al sur a principios del s. XX. “El primer cine fue el Biógrafo Selecta, empresa santiaguina que estrenó en el teatro del Club de la Unión el primero de agosto de 1908” cita González a Eduardo Santa Cruz en el libro “El Audio-visual en el Sur de Chile” (2009). Por otra parte, el mismo libro habla de que en 1919 se graba en Valdivia la película Una Víctima, la cual recibió dura crítica según la revista La Película. A pesar de ello, los hermanos Valk, fundan Valk Film y registran en el sur los siguientes títulos, entre otros: El sur de Chile, Las fiestas de la Primavera, La semana Valdiviana, La caza de la Ballena. Las cuales eran en cine mudo y más que nada intentaban representar lo que era vivir en el sur del país como lo hicieron los hermanos Lumiere.

Como podemos apreciar, por ahora es difícil afirmar si el cine es arte. Lo que si queda algo claro es que puede ser ciencia o investi-gación, también puede ser entretención e intimidad (recordemos que siempre hay un punto de vista o un modo de ver, eso ya es íntimo), por lo que falta profundizar. Sólo me queda adelantarles que también es tecnología y eso ya lo saben pues pueden compar-tir un video inmediatamente por redes sociales, antes las cámaras se movían entre dos personas. Los saltos temporales los iremos dando galope a galope y no desesperen, ya nos encontramos en un próximo artículo.

1 http://www.editando.cl/2012/04/el-primer-caballo-animado-la-historia-

eadweard-muybridge-y-su-experimento-en-1878.html/ 2 http://asecic.org/2015/07/todavia-en-torno-a-los-origenes-del-cine-cientifico

-o-el-nacimiento-de-las-imagenes-en-movimiento/ 3 https://www.fayerwayer.com/2014/10/hoy-se-cumplen-126-anos-de-la-

grabacion-de-la-primera-pelicula-de-la-historia/

Julio Morales Muñoz

Michio Kaku (1947 –) es un físico teórico estadounidense, especialista en Teoría de Cuerdas. Es conocido como un divulgador de la ciencia en programas de televisión y es autor de varios best sellers.

“Tenemos que darnos cuenta de que la ciencia es en realidad un arma de doble filo. Una parte de la espada podría cortar la pobre-

za, la maldad, la enfermedad y traernos más democracias y de-mocracias nunca entran en guerra con otras democracias, pero

el otro lado de la espada podría darnos la proliferación nuclear, biogérmenes e incluso las fuerzas de la oscuridad.”

Bill Nye (1955 –) ingeniero mecánico, popularmente conocido como presenta-dor del programa infantil de ciencia Bill Nye the Science Guy, y como educador de la ciencia en diversos medios de co-municación.

“La ciencia es la clave de nuestro futu-ro, y si tu no crees en la ciencia, enton-ces nos estás reteniendo a todos hacia atrás.”

Frases Célebres sobre Ciencias

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Las abejas, al construir sus panales, resuelven un problema matemático bien intere-sante. Este consiste en determinar la forma que deben tener las celdas del panal para que sea la más económica posible, esto es, que presente el mayor volumen para la menor cantidad de material utilizado. Además las paredes deben encajar en forma exacta, unas con otras. Por esto no puede tener forma cilíndrica, debe ser un prisma. Ahora los únicos prismas regulares que pueden ser superpuestos sin dejar espacios entre ellos son: el triangular, el cuadrangular y el hexagonal. Las abejas eligieron este último pues con él se forman prismas de mayor volumen.

Ahora queda el problema de cómo se cierran estos prismas hexagonales. La abejas lo hacen con tres rombos iguales. Un astrónomo francés, Maraldi, determinó experi-mentalmente que los ángulos de este rombo medían: 70° 32’, el agudo, y 109° 28’, el obtuso. El físico francés Réaumur, suponiendo que las abejas se regían por el prin-cipio de la economía, le propuso al geómetra alemán Koening, en 1739, el siguiente problema: “De todos los prismas hexagonales, cuyo fondo está formado por tres rombos, determinar aquél que cuya área sea la menor”. Koening, que desconocía la medición realizada por Maral-di, determinó que los ángulos debían medir: 70° 34’ y 109° 26’. Al observar este resultado, que coincidía casi en forma exacta con las medidas usadas por las abejas, se llegó a la conclusión que ellas cometían un error de sólo 2’ en el ángulo, lo que representa un 0,003%.

Años más tarde el matemático escocés Mac Laurin reto-mó el problema y demostró que Koening había cometido un error en su cálculo y que las medidas que minimizan el área es exactamente las que usan las abejas. Es decir … ¡las abejas tenían razón, el geómetra se había equivoca-do! …

SONRISAS

EN EL AULA

En clase de Matemáticas. – Dime Juanito, ¿cómo se puede repartir 14 papas entre 4 personas? Juanito responde: – Haciendo puré, señorita…

En clase de Ciencias. – ¿Cuántos corazones tenemos nosotros? – pregunta la profesora a un alumno. – Dos, señorita profesora. – ¿Dos? – le dice extrañada la profesora. – Sí, … el mío y el suyo. – Pedrito, diga 5 cosas que contengan leche. – El queso, la mantequilla y … 3 vacas. En clase de Lenguaje. – A ver Susanita, diga el presente del indica-tivo del verbo caminar. – Yo camino … tú caminas … él camina … – responde Susanita, dudando. – ¡Más deprisa! – le exige el profesor. – Nosotros corremos, vosotros corréis, ellos corren …

– “Llovía” – ¿qué tiempo es? – Es un tiempo muy malo, señor profesor.

– Pero Arturito, tu composición “Mi Perro” es exactamente igual a la de tu hermano ¿La has copiado? – No, profesor … ¡es que el perro es el mis-mo! El profesor pregunta, en un examen oral, a un alumno de Derecho: – ¿Qué es un fraude? El alumno responde: – Un fraude es lo que está haciendo usted. El profesor indignado: – ¿Cómo es eso? – Según el Código Penal: “Comete fraude todo aquél que se aprovecha de la ignorancia de otro para perjudicarlo”. La Profesora pregunta a Rosita: – Rosita, dime con sinceridad, ¿rezas antes de las comidas? Rosita responde extrañada: – No, señorita profesora, no lo necesito … mi madre es buena cocinera …

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ABACOM Boletín Matemático

Una Iguana en Dinamarca

Este es un truco de adivinación de pen-samiento que sorprende bastante. Le pides a un amigo que piense un nú-mero del 1 al 9, le reste 5, multiplique por 3 la resta, eleve al cuadrado el resul-tado. Luego que sume las cifras del nú-mero obtenido hasta llegar a un número de un dígito. Si este número es menor que 5, que le sume 5 y si es mayor o igual a 5, entonces que le reste 4, que multiplique por 2 el resultado y que fi-nalmente le reste 6.

Por ejemplo si se piensa en el número 7, las operaciones que se hacen son:

se resta 5, quedando 2

se multiplica por 3, resulta 6

se eleva al cuadrado, dando 36

al sumar las cifras se obtiene 9

como es mayor que 5 se resta 4, que-dando 5

al multiplicar por 2 resulta 10

finalmente se resta 6, obteniendo co-mo resultado: 4.

Después de esto, le pides que le asigna una letra al número obtenido, según el orden del alfabeto (1 = A, 2 = B, 3 = C, 4 = D, etc. ...). Que piense en un país que empiece por la letra que resultó. Que tome la segunda letra de ese país y que piense en un animal que empiece por esa letra. Después de esto le dices: ¿Pero qué hace una iguana en Dinamarca?

Tu amigo quedará completamente sor-prendido, de ver cómo has adivinado su pensamiento.

La explicación de este truco consiste en que, cualquiera sea el número que se

piense originalmente, se llegará siempre al número 4. Así la letra asignada es la D, y el país más conocido que comien-za con esta letra es Dinamarca. Luego la segunda letra de este país es la I, y el animal más conocido con inicial esta letra es la iguana.

UNA PARADOJA GEOMÉTRICA

Vamos a “demostrar” que en el triángulo ABC de la figura se cumple que , donde PQ es paralelo al lado AB.

Claramente esto es falso, pero veamos el siguiente desarrollo:

Dado que PQ es paralelo a AB, los trián- gulos siguientes son semejantes: por consiguiente sus lados homólogos son proporcionales, en particular tenemos que:

y de aquí se deduce que:

Multiplicando ambos miembros de esta igualdad por AB – PQ resulta:

Trasponiendo términos resulta:

Ahora factorizando queda:

Dividiendo ambos miembros por

resulta: que es lo que se quería demostrar.

¿Dónde está la trampita? Ocurre que hemos dividido por cero, lo que está estrictamente prohibido. ¿Dónde? Aunque está un poco disimulado, se puede observar que la primera conclusión que sacamos, por el hecho que los triángulos en la figura son semejantes, fue que , y por tanto:

ABC PQC

AB AC

PQ PC

AB PC AC PQ

2 2.AB PC AB PC PQ AB AC PQ AC PQ

2 2.AB PC AB AC PQ AB PC PQ AC PQ

( ) ( ).AB AB PC AC PQ PQ AB PC AC PQ

AB PC AC PQ

AB PQ

AB PQ

AB PC AC PQ

0.AB PC AC PQ

A B

C

P Q

Operatoria Sorprendente

Operación Capicúa

Las palabras o frases palíndromas son aquéllas que se leen igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda, como por ejemplo: “reconocer” o “Allí ves Sevilla”. También existen los números palíndromos o capi-cúas, lo que es mucho más fácil, por ejemplo:

7853587. Ahora, que una operación sea capicúa ya es más sorprendente, pero las hay, como por ejemplo: La operación

221x312 = 68952 es capicúa pues: si la escribimos “al revés” sigue siendo verdadera:

25986 = 213x122. ¡Compruébalo!

Números Pitagóricos Generalizados

Todos conocemos el famoso trío pitagórico 3, 4 y 5, que son números que cumplen el Teorema de Pitágoras, es decir cumplen que:

32 + 42 = 52. Existen otros tríos pitagóricos, es decir tríos de números que cumplen el Teorema de Pitágoras, pero no son números consecutivos (por ejemplo 5, 12 y 13). Ahora, existirán otras secuencias de números consecutivos con propiedades análogas al famo-so trío pitagórico. Claro que sí, aquí van dos ejemplos:

102 + 112 +122 = 132 +142 = 365

212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 +272 = 2030

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oticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNoticiasNotici

Julio Morales Muñoz, Periodista y Comunicador Social

Soluciones a la Vuelta de los Dientes Thomas Royen, jubilado alemán de 67 años, logró, en el año 2014, resolver un complejo problema matemático que ningún experto había podido solucionar. Lo más pintoresco es que la solución a la Conjetura de Correlación Gaussiana, vino a Royen al cepillar sus dientes.

Esta conjetura establece que si dos formas se superponen, la probabilidad de que un dardo caiga dentro de las figuras unidas siempre es tan alta o mayor que la probabili-dad de atinar en la región del rectángulo no solapado multi-plicada por la de atinar en la

región no superpuesta. En otras palabras, dar en la zona gris oscura (A) es más o igual de probable que dar en la zona gris (B) multiplicada por acertar en la zona gris clara (C) del círculo. Royen, mientras estaba dando vueltas a sus dientes y con cepi-llo en la mano, comprendió que no era necesario usar métodos sofisticados, ni teorías modernas en Geometría Convexa o en Probabilidades, vías por las que se había estado optando, para resolver la conjetura. Royen publicó esta demostración en una revista poco conoci-da, por lo que pasó inadvertida hasta diciembre de 2015, cuan-do dos matemáticos polacos repararon en ella, siendo sólo ahora reconocida masivamente. Después de esto, Royen co-mentó a los medios: “No siempre se requiere de un nivel teóri-co muy alto. Es como una especie de gracia. Podemos trabajar durante mucho tiempo en un problema y de repente un ángel –que está aquí poéticamente en pos de los misterios de nues-tras neuronas– trae una buena idea”.

Véase: http://www.playgroundmag.net/noticias/actualidad/jubilado-aleman-prueba-conjetura_de_correlacion_gaussiana_0_1949805018.html?utm_source=facebook.com&utm_medium=post&utm_campaign=original

A sus 61 años, británico y creador del primer sitio web en 1991, Tim Berners-Lee es el nuevo ganador del premio A.M. Turing o Nobel de Computación. Gracias a él hoy podemos buscar en Google, interactuar en Facebook y hasta comprar en Yapo. Berners-Lee inventó la World Wide Web, la cual en vez de pa-tentarla, decidió ofrecerla como un programa libre de regalías. Esto permitió que otros programadores construyeran sobre esas bases las que dieron lugar a 1.000 millones de sitios web que existen actualmente. “Creo que el premio es para la Web como proyecto y el enor-me espíritu de colaboración internacional de todos los que se han unido para ayudarme” comentó el británico a los medios.

Cabe señalar, que el premio inclu-ye un millón de dólares entregado por Google, ya que la contribución que realizó Berners-Lee fue volver el internet accesible a la gente, permitiendo la publicación de documentos, imágenes y video de manera sencilla. Likes para Tim.

Véase: Emol.com http://www.emol.com/noticias/Tecnologia/2017/04/04/852615/Creador-de-la-web-es-el-nuevo-ganador-del-Nobel-de-la-computacion.html

Siempre para viajar es necesario algún aparato que nos lleve más rápido que nuestra propio andar como autos, aviones, trenes, entre otros. En esta ocasión el viaje comienza con tu notebook o celular, porque la www.universodelsonido.cl tiene una aventura preparada para ti. ¿Cómo? ¿Olvidaste empacar tu libro? ¡No importa! Material didáctico y de apoyo para estudiantes y docentes de enseñan-za media se encuentra a disposición de la comunidad educati-va. Además se incluye fotografías y registro audiovisual con la finalidad de comprender mejor el sonido. Lo interesante tam-bién, es que el acceso es libre para toda persona que guste aprender. El proyecto, financiado por la Dirección de Vinculación con el Medio de la Universidad Austral de Chile, es ejecutado por el Instituto de Acústica de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la misma casa de estudios. Para el Dr. Enrique Suárez, director del proyecto, “el desarrollo de las habilidades y capacidad de los estudiantes requiere el uso de nuevas técnicas pedagógicas, de metodologías activas y el uso de recursos tecnológicos para lograr un aprendizaje sig-nificativo” expresó. Y es que lógicamente hay áreas más complejas que otras en cuanto al conocimiento científico, por lo tanto, es necesario mezclar diversas áreas, como en este caso la Pedagogía, la Acústica, la Comunicación. Cabe señalar, que la invitación, entonces, es a revisar “El Uni-verso del Sonido”, para que, quizás en el futuro, podamos ha-cer un aparato de realidad virtual que nos permita estar dentro de él. Por ahora a disfrutar el viaje.

Véase: http://noticias.uach.cl/principal.php?pag=noticia-externo&cod=103039

A

C

B