EDO de Primer Orden (I PARTE)
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7/25/2019 EDO de Primer Orden (I PARTE)
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Ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden
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7/25/2019 EDO de Primer Orden (I PARTE)
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Noexiste un mtodo generalpara resolver una EDO,
es decir, dada una ecuacin diferencial no tenemos
un procedimiento para hallar su solucin analtica.
Sin embargo, en algunos casos particulares bien
conocidos, s se tienen procedimientos para calcular
dicha solucin.
El nico "mtodo" entonces consiste en saber
identificar el tipo de EDO que se quiere resolver. Si es
un caso conocido, le aplicaremos el procedimientocorrespondiente. Si no es un caso conocido, podemos
intentar algn cambio de variable que la transforme
en un caso conocido.
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Separacin de variables
Una EDO de primer orden:
= (, ) = ()().
se dice que es separable o de variables separables.
En este caso, la ED dy/dx = g(x)h(y) puede resolverse
mediante integracin directa. Integrando a ambos lados:
dxxgdyyh )()(1
Ejemplo 1
cexy
dxedy
dxedy
edy/dx
x
x
x
x
2
21
2
2
2
1
1
1
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Solucin por separacin
de variables:
3)4(, yy
x
dx
dy
2
11
22
1
22
25
2
25,
2
4
2
)3(
22,
xy
cc
cxy
xdxydy
Ejemplo 2
Tambin podemos dejar la solucin en forma implcita como:
x2 + y2 = c2, donde c2 = 2c1
Aplicando la condicin inicial, 16 + 9 = 25 = c2
; x2
+ y2
= 25.
una solucin en forma explcita con dominio de definicin
I : -5 < x < 5.
225 xy
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Solucin: Como dy/y = dx/(1 +x), tenemos
Sustituyendo por c, obtenemos
y = c(1 + x).
)1(
1
1lnln
1
1
111 1ln1ln
1
xey
exeeey
cxy
x
dx
y
dy
c
ccxcx
1ce
Ejemplo 3x
yy
1'
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Posible prdida de una solucin
Cuando r es un cero de h(y), si sustituimos
y(x) = r en dy/dx= g(x)h(y), tenemos 0 = 0.
Es decir, y(x) = r tambin es solucin de
dy/dx= g(x)h(y).
Sin embargo, esta solucin no se revelar trasla integracin, puesto que:
dy/h(y) = g(x) dx queda indefinido en el cociente.
y(x) = r es una solucin singular.
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Ejemplo 4 dy/dx = y2 4
dxdyyy
dxydy
21
41
21
41
42
21 42
2ln2ln4
12ln4
1cxy
ycxyy
Separando variables, escribimos esta ED como:
1,1
12
2
2 44
4444 22
xx
xxxccx ce
ce
ceyceeee
y
y
Nota: y = 2 son soluciones constantes. y = 2 corresponde a lasolucin que encontramos con c = 0. Pero y = -2 es una solucin
singular que no podemos obtener de la solucin anterior.
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Solucin:
Separamos variables:
Aplicamos la identidad sen (2x) = 2 sen x cos x:
(eyye-y) dy = 2 sin x dx
Integrando por partes:
ey+ ye-y+ e-y= -2 cosx + c
Puesto que y(0) = 0, c = 4 y la solucin implcita es:
ey+ ye-y+ e-y= 4 2 cosx,
,
.
0)0(,2sin))((cos 2 yxedx
dyyex yy
dxx
xdy
e
yey
y
cos
2sin2
Ejemplo 5
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Nuestra solucin G(x, y) = ey + ye-y + e-y + 2 cos x = c es implcita.
En este caso no es posible despejar y(x). Pero utilizando
ordenador podemos trazar las curvas de nivel o isoclinas deG(x, y) = c. Las grficas resultantes estn representadas en las
siguientes figuras:
Uso de software
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Una EDO de primer orden de la forma
1()
+ 0() = ()
es una ecuacin lineal en y.
Cuando g(x) = 0, se dice que la ecuacin eshomognea; en el caso contrario, es no
homognea.
Ecuaciones lineales
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Al dividir: 1()(/) + 0() = ()
entre 1
() obtenemos la forma estndar de la
ecuacin lineal:
/ + () = ()
Buscaremos una solucin en un intervalo Idonde
P(x)y f(x) sean continuas.
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dxxP
cey
cdxxPydxxPydy
)(
1)(ln)(
Observemos que la ecuacin diferencial
homognea asociada / + () = 0
es separable, y eso nos permite encontrar
fcilmente su solucin general:
Seguiremos el siguiente procedimiento para resolver la
ecuacin diferencial no homognea:
/ + () = ()
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dxxPe)(
Llamamos a f ac t o r i n t e g r a n t e.
Multiplicamos la EDO
en forma estndar por el factor integrante :
)()( xfyxPdx
dy
)(
)()(
)()(
)()()(
xfeyedxd
xfeyxPedx
dye
dxxPdxxP
dxxPdxxPdxxP
Integrando a ambos lados obtenemos la solucin:
dxxfeey
dxxfeye
dxxPdxxP
dxxPdxxP
)(
)(
)()(
)()(
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EJEMPLO 6:Resolver la siguiente ED lineal de primer orden
xexy
dx
dyx 64
Dividimos entrepara obtener la forma estndar:
xexyxdx
dy 54
Reconocemos P(x) = -4/xy el factor integrante es:
0,4lnln44 4
xxeee xxxdx
445
4
cxexexy
cexedxxeyx
xx
xxx
Obtenemos la solucin en el intervalo (0, ):
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Como P(x) = 3, tenemos que
el factor integrante es
Entonces e-3x
y = -2e-3x
+ c y la solucin general esy = -2 + ce3x, -
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Solucin:
Tenemos P(x) = 1 y f(x) = xque son continuas en (-,).
El factor integrante es:
Entonces: = +
= 1 +
Como y(0) = 4, obtenemos c =5.
La solucin es = 1 + 5, < <
4)0(, yxydx
dy
xxdx
ee
/
Ejemplo 8
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Diferencial de una funcin de dos variables
Si z = f(x, y) tiene primeras derivadas parciales continuas,
sud i f e r en c i al es
Si z = f(x, y) = c,
De modo que si tenemos f(x, y) = c , podemos generar unaED de primer orden calculando la diferencial a ambos
lados.Por ejemplo, si 2 5 + 3 = , entonces
(2 5) + (5 + 32) = 0.
dyy
fdxx
fdz
0
dyy
f
dxx
f
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Ecuacin exacta
Una expresin M(x, y) dx + N(x, y) dyes unadiferencial
exacta en una regin R del planoxysi corresponde a la
diferencialde alguna funcinf(x, y) definida en R.
Una ED de primer orden en la forma diferencial
(, ) + (, ) = 0
es una ecuacin diferencial exacta, si la expresin del
lado izquierdo es una diferencial exacta.
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xN
yM
Criterio para una diferencial exacta
Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y con primerasderivadas continuas en una regin rectangular R
definida por a < x < b, c < y < d. Entonces una
condicin necesaria y suficiente para que:
(, ) + (, )
seauna diferencial exacta es:
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Como f/x = M(x, y), tenemos:
Derivando con respecto a y, como/ = (,), tenemos
y
dxyxMyyxNyg ),(),()('
),()('),( yxNygdxyxMyy
f
)()(),( ygdxyx,Myxf
Mtodo de solucin de una ecuacin exacta
Integrando con respecto a y, obtenemos g(y). La solucin
implcita es: f(x, y) = c.
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Ejemplo 9 2 + (2 1) = 0
Solucin:
Identificando (,) = 2, (,) = 2 1 , tenemos
que M/y= 2x=N/x. As que la ecuacin es exacta y portanto existe una funcin ftq:
/ = 2, / = 2 1
Integramos Mrespecto a x : (, ) = 2 + ().
Derivando con respecto ay: / = 2 + () = 2 1
() = 1 () = (, ) = 2 .
Y la solucin es: 2 = =
El intervalo de definicin es cualquier intervalo que no contenga a
x = 1 x = -1.
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7/25/2019 EDO de Primer Orden (I PARTE)
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Solucin: Esta ED es exacta porque
M/y = 2e2y+ xysenxycosxy = N/x
f/y = 2xe2yx cosxy + 2y
xyyexhxyyex
f
xhysenxyxe
ydyxydyxdyexyxf
yy
y
y
cos)('cos
)(
2cos2),(
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22
2
As que h(x) = 0, entonces h(x) = c. La solucin es
2 sin + 2 + = 0
Ejemplo 10 (e2y y cosxy)dx+(2xe2y x cosxy+ 2y)dy = 0