DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ECUACIONES DIFERENCIALES

MIREYA GARCÍA – GUÍA Nº 5

Tema: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Orden superior

Contenido:

Ecuaciones diferenciales de segundo orden.

Ecuaciones lineales homogéneas.

Reducción de Orden.

Método de coeficientes constantes.

Dependencia e Independencia de funciones.

Wronskiano.

Objetivos:

Identifica y resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales.

Encuentra una segunda solución a partir de una conocida de ecuaciones de segundo orden.

Reconoce si un conjunto de funciones es linealmente dependiente o independiente.

Halla Wronskiano de un conjunto de funciones e interpreta su resultado.

Metodología:

Realizar una lectura de la guía con los temas dados.

Estudiar los temas presentados en la guía.

Investigar por cuenta propia en otros textos acerca de los temas dados, para que estos sean

ampliados.

Realizar los ejercicios propuestos al final de esta guía para así precisar el entendimiento de los temas

presentados.

Realizar un trabajo más detallado en la solución de ecuaciones diferenciales homogéneas mediante el

método de coeficientes constantes.

Asistir a tutorías tanto presenciales como virtuales para aclarar dudas cerca de los temas dados.

Introducción: En las guías anteriores se hizo un trabajo con las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden, ahora la atención se centra en las ecuaciones de orden dos y orden superior; recordemos que en las

de primer orden se resolvieron ecuaciones separables, exactas, homogéneas, lineales ó quizás de Bernoulli,

el gran objetivo de esta parte será encontrar soluciones generales de las ecuaciones diferenciales lineales de

orden dos y posteriormente de orden superior.

Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden superior es de la forma:

𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏+ 𝒂𝒏−𝟏(𝒙)

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+ 𝒂𝒏−𝟐(𝒙)

𝒅𝒏−𝟐𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟐+ … + 𝒂𝟏(𝒙)

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙)

Suponemos que 𝒂𝒏 𝒙 , 𝒂𝒏−𝟏 𝒙 , … , 𝒂𝟎 𝒙 , 𝒇(𝒙) son funciones continuas en la variable 𝑥 en algún intervalo 𝑰.

Un problema de valor inicial para una ecuación diferencial lineal de orden superior se define como:

𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏+ 𝒂𝒏−𝟏(𝒙)

𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏+ 𝒂𝒏−𝟐(𝒙)

𝒅𝒏−𝟐𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟐+ … + 𝒂𝟏(𝒙)

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙)

Sujeta a: 𝒚 𝒙𝟎 = 𝒚𝟎 , 𝒚′ 𝒙𝟎 = 𝒚𝟏 , . . . , 𝒚 𝒏−𝟏 𝒙𝟎 = 𝒚𝒏−𝟏

En particular una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma:

𝒂𝟐 𝒙 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝒇(𝒙)

Recordemos que para un problema como éste se busca una función definida en algún intervalo 𝑰, que

contiene a 𝑥0 que satisface la ecuación diferencial y las 𝒏 condiciones iniciales que se especificaron

anteriormente.

Ejemplo:

1. Comprobemos que la función 𝑦 = 3𝑒2𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 3𝑥 es una solución del problema de valor inicial de la

ecuación diferencial lineal de segundo orden:

𝑦′′ − 4𝑦 = 12𝑥 , 𝑦 0 = 4 , 𝑦′ 0 = 1

Como la ecuación diferencial es de segundo orden entonces derivamos dos veces la función y

reemplazamos en la ecuación diferencial para así encontrar la igualdad al término 12𝑥, verificando de

esta manera que la función dada es solución a la ecuación diferencial.

Tomemos entonces la función

𝑦 0 = 3𝑒2𝑥 + 𝑒−2𝑥 − 3𝑥 = 3 + 3 = 6

𝑦′ 0 = 6𝑒2𝑥 − 2𝑒−2𝑥 − 3 = 4 − 3 = 1

𝑦′′ = 12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥

Reemplazando en la ecuación diferencial

12𝑒2𝑥 + 4𝑒−2𝑥 − 12𝑒2𝑥 − 4𝑒−2𝑥 + 12𝑥 = 12𝑥 ⟶ 12𝑥 = 12𝑥

Por tanto la función dada es solución de la ecuación diferencial, luego 𝑎2 𝑥 = 1 ≠ 0 en algún intervalo 𝑰 que

contiene a 𝑥 = 0, por tanto la función dada es la única solución al problema de valor inicial de la ecuación

diferencial dada.

Si la ecuación de la forma 𝒂𝒏(𝒙)𝒅𝒏𝒚

𝒅𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏(𝒙)𝒅𝒏−𝟏𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐(𝒙)𝒅𝒏−𝟐𝒚

𝒅𝒙𝒏−𝟐 + … + 𝒂𝟏(𝒙)𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙) la

función 𝑓 𝑥 = 0 diremos que la ecuación es lineal homogénea, en caso contrario, es decir, 𝑓(𝑥) ≠ 0 entonces

la ecuación diferencial es lineal no homogénea. Para determinar la solución a una ecuación diferencial no

homogénea debemos primero determinar la solución a la homogénea.

Solución de una ecuación diferencial lineal de segundo orden homogénea:

𝒂𝟐 𝒙 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐+ 𝒂𝟏 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒂𝟎 𝒙 𝒚 = 𝟎

Como 𝒂𝟐 𝒙 ≠ 0 dividámoslo entre todos los términos de la ecuación diferencial

𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐+ 𝑷 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝑸 𝒙 𝒚 = 𝟎

Luego la solución general es 𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑔 𝑥 + 𝑐2𝑟(𝑥) tal que 𝑔(𝑥) ≠ 𝑘𝑟(𝑥)

Reducción de Orden: Suponga que 𝑦1 denota la solución no trivial de la ecuación

𝑎2 𝑥 𝑑2𝑦

𝑑𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0 y que 𝑦1 se define en un intervalo 𝐼. Se busca una segunda solución 𝑦2, tal

que 𝑦1 , 𝑦2 sea un conjunto fundamental linealmente independiente en , entonces 𝑦2 = 𝑢 𝑥 𝑦1(𝑥), la función

𝑢(𝑥) se determina al sustituir 𝑦2 = 𝑢 𝑥 𝑦1(𝑥), resolviéndose una ecuación diferencial lineal de primer orden

para determine 𝑢.

En Caso general la ecuación diferencial de la forma

𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄 𝑥 𝑦 = 0

Se encuentra que 𝒖 = 𝒄𝟏 𝒆− 𝑷𝒅𝒙

𝒚𝟏𝟐 𝒅𝒙 + 𝒄𝟐 y 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏(𝒙)

𝒆− 𝑷𝒅𝒙

𝒚𝟏𝟐 𝒅𝒙

Ejemplo:

La función 𝑦1 = 𝑥2 es una solución de 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 4𝑦 = 0 Determine la solución general de la ecuación

diferencial en el intervalo (0, ∞).

Solución: Se dividen entre todos los términos de la ecuación diferencial dada 𝑥2

𝑦′′ −3

𝑥𝑦′ +

4

𝑥2𝑦 = 0

Se halla la solución 𝑦2, mediante las fórmulas dadas anteriormente, es decir,

𝑦2 = 𝑥2 𝑒3 𝑑𝑥/𝑥

𝑥4𝑑𝑥 = 𝑥2

𝑑𝑥

𝑥= 𝑥2 ln 𝑥

La solución general en el intervalo (0, ∞) se determina mediante 𝑦 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2, entonces

𝑦 = 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥

2 ln 𝑥

Método de coeficientes constantes:

Para determinar las funciones 𝑔 𝑥 , 𝑟(𝑥) en las ecuaciones de orden dos 𝒅𝟐𝒚

𝒅𝒙𝟐 + 𝒂𝒅𝒚

𝒅𝒙+ 𝒃𝒚 = 𝟎 suponemos

que existe una solución de la forma 𝑦 = 𝑒𝑚𝑥 tal que:

𝑦′ = 𝑚𝑒𝑚𝑥

𝑦′′ = 𝑚2𝑒𝑚𝑥

Reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene: 𝑒𝑚𝑥 𝑚2 + 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0 , 𝑒𝑚𝑥 ≠ 0 entonces

𝑚2 + 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0

Esta última ecuación recibe el nombre de Ecuación característica, luego determinar la solución de la ecuación

homogénea se reduce a resolver la ecuación cuadrática 𝑚2 + 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0 es decir encontrar las raíces del

polinomio de grado dos, haciendo uso de la ecuación cuadrática, existen tres casos y por consiguiente tres

formas de solución de la ecuación diferencial de segundo orden.

Ecuación Cuadrática a la ecuación 𝑚2 + 𝑎𝑚 + 𝑏 = 0 es 𝑥 =−𝑎± 𝑎2−4𝑏

2

Caso I si 𝒂𝟐 − 𝟒𝒃 > 0: Las soluciones son reales y distintas, en otras palabras 𝑚1 ≠ 𝑚2 entonces la solución

es de la forma

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒𝑚1𝑥 + 𝑐2𝑒

𝑚2𝑥

Caso II si 𝒂𝟐 − 𝟒𝒃 = 𝟎: Las soluciones de la ecuación característica son reales e iguales, tiene multiplicidad la

raíz de dos 𝑚1 = 𝑚2 = −𝑎

2

Es por eso que 𝑔 𝑥 = 𝑟 𝑥 = 𝑒−𝑎

2𝑥 , aplicando el método de reducción de orden la solución de 𝑟(𝑥) conocida

𝑔(𝑥) es 𝑟 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑎

2𝑥 , en otras palabras 𝑣 =

𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑔(𝑥) 2 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑎𝑥

𝑒−

𝑎2𝑥

2 𝑑𝑥 =

𝑒−𝑎𝑥

𝑒−𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑥

Solución general:

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−

𝑎2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒−

𝑎 2

𝑥

Caso III si 𝒂𝟐 − 𝟒𝒃 < 𝟎: Las soluciones son complejas y conjugadas 𝑚1 =∝ +𝑖𝛽 , 𝑚2 =∝ −𝑖𝛽 , donde ∝, 𝛽

son constantes reales. Por tanto la solución podrá escribirse teniendo en cuenta la forma de Euler

𝑒𝑖𝜃 = cos 𝜃 + 𝑖 sin(𝜃)

De esta manera la solución general correspondiente al caso III es :

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒∝𝑥 cos(𝛽𝑥) + 𝑐2𝑒

∝𝑥 sin(𝛽𝑥)

Ejemplo:

1. 𝑦′′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0

La ecuación característica es 𝑚2 − 𝑚 − 6 = 0 ⟶ 𝑚 − 3 𝑚 + 2 = 0

𝑚1 = 3 , 𝑚2 = −2

Por tanto la solución pertenece al caso I, ya que las raíces son distintas y reales 𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒3𝑥 + 𝑐2𝑒

−2𝑥

2. 4𝑦′′ + 4𝑦′ + 𝑦 = 0

La ecuación característica es de la forma 4

4𝑚2 +

4

4𝑚 +

1

4= 0 ⟶ 𝑚2 + 𝑚 +

1

4= 0 , solucionando

esta ecuación determinamos que 𝑚1 = 𝑚2 = −1

2 por tanto la solución general es:

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−

12𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒−

12𝑥

3. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 2𝑦 = 0 con la condición inicial 𝑦 0 = 2 , 𝑦′ 0 = 1

La ecuación característica es 𝑚2 + 2𝑚 + 2 = 0 entonces 𝑚1 = −1 + 𝑖 , 𝑚2 = −1 − 𝑖

Luego la solución corresponde a 𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−𝑥 cos(𝑥) + 𝑐2𝑒

−𝑥 sin(𝑥), como se tiene condición inicial

entonces se debe encontrar los valores de las constantes 𝑐1 , 𝑐2 , de tal manera que se deriva la

solución obtenida y se reemplaza los valores iniciales de igual manera que en la solución 𝑦(𝑥)

obteniendo un sistema de ecuaciones

2 = 𝑐1 , 1 = −2 + 𝑐2 ⟶ 𝑐2 = 3

Luego, la solución al problema de valor inicial es: 𝑦 𝑥 = 2𝑒−𝑥 cos(𝑥) + 3𝑒−𝑥 sin(𝑥)

Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden superior

Ejemplos:

1. Dada la ecuación diferencial de orden superior 𝑦′′′ − 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0 determine la solución general.

De igual manera que en las de segundo orden se determina la ecuación característica, pero para estás se

deberán recurrir a otros métodos como: la división sintética para hallar las raíces de la ecuación y así hallar la

solución general.

Para está ecuación la ecuación característica es: 𝑚3 − 𝑚2 − 5𝑚 + 6 = 0 por el método de la división sintética

las posibles raíces racionales son ±1, ±2, ±3, ±6

𝑚3 − 𝑚2 − 5𝑚 + 6 = 𝑚 − 1 𝑚 − 3 𝑚 + 2 = 0 ⟶ 𝑚1 = 1 , 𝑚2 = 3 , 𝑚3 = −2

Las raíces son distintas reales el cual pertenecen al caso I por tanto la solución general de la ecuación

diferencial es:

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

3𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥 .

2. Encuentre la solución de la ecuación diferencial 𝑦(4) − 𝑦(3) − 3𝑦(2) + 5𝑦′ − 2𝑦 = 0

𝑚4 − 𝑚3 − 3𝑚2 + 5𝑚 − 2 = 0 Las posibles raíces racionales son ±1, ±2 entonces,

𝑚4 − 𝑚3 − 3𝑚2 + 5𝑚 − 2 = 𝑚 + 2 𝑚 − 1 3 , 𝑚1 = −2 , 𝑚2 = 𝑚3 = 𝑚4 = 1

Se tiene una multiplicidad de tres caso II, y hay otra raíz que no se repite y es real caso I, por tanto la solución

general es:

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒−2𝑥 + 𝑐2𝑒

𝑥 + 𝑐3𝑥𝑒𝑥 + 𝑐4𝑥2𝑒𝑥

Independencia lineal de Funciones: Un conjunto de soluciones 𝑓1(𝑥), 𝑓2 𝑥 , . . , 𝑓𝑛(𝑥) son linealmente

independiente en el intervalo 𝐼 si y sólo si ninguna de ellas es múltiplo constante de la otra, es decir, si

existen constantes 𝑐1 , 𝑐2 , … , 𝑐𝑛 no todas cero, tales que

𝑐1𝑓1 𝑥 + 𝑐2𝑓2 𝑥 + . . . + 𝑐𝑛𝑓𝑛 𝑥 = 0

Para toda 𝑥 en el intervalo; en caso contrario se dice que es linealmente dependiente en 𝐼.

Ejemplo: El conjunto de funciones 𝑓1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑓2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 , 𝑓3 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥 , 𝑓4 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2𝑥 es

linealmente independiente en el intervalo (−𝜋/2, 𝜋/2)?

Determinamos la combinación lineal 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐3𝑠𝑒𝑐

2𝑥 + 𝑐4𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 0 donde se hace cero

cuando 𝑐1 = 𝑐2 = 1 , 𝑐3 = −1 , 𝑐4 = 1 , ya que se uso las identidades trigonométricas

𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = , 1 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2𝑥

Wronskiano: Suponga que cada una de las funciones 𝑓1(𝑥), 𝑓2 𝑥 , . . , 𝑓𝑛(𝑥) poses 𝑛 − 1 derivadas. Entonces

el determinante

𝑊 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , . . , 𝑓𝑛 𝑥 =

𝑓1 … 𝑓𝑛𝑓1

′ … 𝑓𝑛′

⋮

𝑓1(𝑛−1)

……

⋮

𝑓𝑛(𝑛−1)

se llama Wronskiano de las funciones.

Sean 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 𝑛 soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 orden en el intervalo

𝐼. El conjunto de soluciones es linealmente independiente en el intervalo si y sólo si 𝑊(𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛) ≠ 0 para

toda 𝑥 en el intervalo.

Definición: Cualquier conjunto 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 de 𝑛 soluciones linealmente independientes de la ecuación

diferencial lineal homogénea de 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 orden en un intervalo es un conjunto fundamental de soluciones

en el intervalo 𝐼.

Sea 𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden

𝑛 en el intervalo 𝐼. Entonces la solución general de la ecuación es

𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑦1 + 𝑐2𝑦2 + … + 𝑐𝑛𝑦𝑛

Ejemplo: Las funciones 𝑦1 = 𝑒𝑥 , 𝑦2 = 𝑒2𝑥 , 𝑦3 = 𝑒3𝑥 satisfacen la ecuación diferencial de tercer orden

𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 11𝑦′ − 6𝑦 = 0 ya que

𝑊 𝑒𝑥 , 𝑒2𝑥 , 𝑒3𝑥 = 𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑒3𝑥

𝑒𝑥 2𝑒2𝑥 3𝑒3𝑥

𝑒𝑥 4𝑒2𝑥 9𝑒3𝑥

= 2𝑒6𝑥 ≠ 0

Para todo valor real 𝑥, las funciones 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 forman un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo

(−∞, ∞). Se concluye entonces que 𝑦 𝑥 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑒3𝑥 es la solución general de la ecuación

diferencial lineal homogénea 𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 11𝑦′ − 6𝑦 = 0.

Ejercicios:

1. Halle la solución general de la ecuación diferencial dad y resuelva el problema de valor inicial si se

tienen valores iniciales

a. 𝑦′′ + 8𝑦′ + 16𝑦 = 0 k. 𝑤 ′′′ + 𝑤 ′′ − 4𝑤 ′ + 2𝑤 = 0

b. 𝑦′′ + 8𝑦′ + 16𝑦 = 0 l. 𝑦′′′ + 𝑦′′ − 6𝑦′ + 4𝑦 = 0

c. 𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦 = 0 m. 𝑦′′′ − 𝑦′ = 0 ; 𝑦 0 = 2, 𝑦′ 0 = 3 , 𝑦′′ 0 − 1

d. 2𝑧′′ + 7𝑧′ − 4𝑧 = 0 n. 𝑦(4) − 5𝑦′′ + 5𝑦 = 0

e. 6𝑦′′ + 𝑦′ − 2𝑦 = 0 o. 𝑦(5) − 3𝑦(4) − 5𝑦(3) + 15𝑦′′ + 4𝑦′ − 12𝑦 = 0

f. 4𝑝′′ − 4𝑝′ + 𝑝 = 0 p. 3𝑦′′′ + 18𝑦′′ + 13𝑦′ − 19𝑦 = 0

g. 𝑦′′ + 2𝑦′ − 8𝑦 = 0 ; 𝑦 0 = 3 , 𝑦′ 0 = 12 q. 𝑦(4) + 𝑦′′ = 0

h. 𝑧′′ − 2𝑧′ − 2𝑧 = 0 ; 𝑧 0 = 0, 𝑧′ 0 = 3 r. 𝑦′′′ − 𝑦 = 0

i. 𝑦′′′ − 6𝑦′′ − 𝑦′ + 6𝑦 = 0 s. 𝑦′′′ + 5𝑦′′ + 3𝑦′ − 9𝑦 = 0

j. 𝑦′′′ − 7𝑦′′ + 7𝑦′ + 15𝑦 = 0 t. 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 5𝑦′ − 6𝑦 = 0 𝑦 0 = 𝑦′ 0 = 0 ,

𝑦′′ 0 = 1

2. Encuentre una segunda solución 𝑦2(𝑥) de la ecuación diferencial dada conociendo una solución 𝑦1(𝑥)

a. 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑒2𝑥

b. 𝑦′′ + 2𝑦′ + 𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑥𝑒−𝑥

c. 𝑥2𝑦′′ − 7𝑥𝑦′ + 16𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑥4

d. 𝑥𝑦′′ + 𝑦′ = 0 ; 𝑦1 𝑥 = ln 𝑥

e. 4𝑥2𝑦′′ + 𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑥1/2 ln 𝑥

f. 𝑥2𝑦′′ − 3𝑥𝑦′ + 5𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 𝑥2 cos ln 𝑥

g. (1 − 2𝑥 − 𝑥2)𝑦′′ + 2 1 + 𝑥 𝑦′ − 2𝑦 = 0 ; 𝑦1 𝑥 = 1 + 𝑥

3. Determine si el conjunto de funciones es linealmente independiente en el intervalo (−∞, ∞)

a. 𝑓1 𝑥 = 𝑥, 𝑓2 𝑥 = 𝑥2 , 𝑓3 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥2

b. 𝑓1 𝑥 0, 𝑓2 𝑥 = 𝑥 , 𝑓3 𝑥 = 𝑒𝑥

c. 𝑓1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑓2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 , 𝑓3 𝑥 = 5

d. 𝑓1 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑓2 𝑥 = 1 , 𝑓3 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥

e. 𝑓1 𝑥 = 𝑒𝑥 , 𝑓2 𝑥 = 𝑒−𝑥 , 𝑓3 𝑥 = sinh 𝑥

4. Compruebe que las funciones que se proporcionan forman un conjunto fundamental de soluciones de

la ecuación diferencial en el intervalo que se indica. Forme la solución general.

a. 𝑦′′ − 𝑦′ − 12𝑦 = 0 ; 𝑒−3𝑥 , 𝑒4𝑥 , (−∞, ∞)

b. 𝑦′′ − 2𝑦′ + 5𝑦 = 0 ; 𝑒𝑥 cos 2𝑥 , 𝑒𝑥 sin 2𝑥 , (−∞, ∞)

c. 𝑥2𝑦′′ − 6𝑥𝑦′ + 12𝑦 = 0 ; 𝑥3 , 𝑥4 , (0, ∞)

d. 𝑥3𝑦′′′ + 6𝑥2𝑦′′ + 4𝑥𝑦′ − 4𝑦 = 0 ; 𝑥, 𝑥−2 , 𝑥−2 ln 𝑥 , (0, ∞)

e. 𝑦(4) + 𝑦′′ = 0 ; 1, 𝑥, cos 𝑥, sin 𝑥 (−∞, ∞)

BIBLIOGRAFÍA

1. Texto Guía: Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores En la Frontera, Nagle,Saff, Zinder, cuarta edición, Pearson Addison Wesley.

2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería, Kreyzig, volumen II, Tercera edición, Limusa Wiey.

3. Ecuaciones Diferenciales, Braun Martin, Segunda edición, Grupo editorial Iberoamerica.

4. Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelo, Dennis Zill, séptima edición, MATH LEARNING, Thomas.

5. Ecuaciones Diferenciales, Takeuchi, Ramiro – Ruiz, Segunda edición, Limusa. Coordinadora : Mireya García , garmireya@gmail.com , garmireya.googlepages.com