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Tesis de Posgrado

Efectos de estructuras a gran escalaEfectos de estructuras a gran escalaen lentes gravitacionalesen lentes gravitacionales

Surpi, Gabriela Clara

1997

Tesis presentada para obtener el grado de Doctor en CienciasFísicas de la Universidad de Buenos Aires

Este documento forma parte de la colección de tesis doctorales y de maestría de la BibliotecaCentral Dr. Luis Federico Leloir, disponible en digital.bl.fcen.uba.ar. Su utilización debe seracompañada por la cita bibliográfica con reconocimiento de la fuente.

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Surpi, Gabriela Clara. (1997). Efectos de estructuras a gran escala en lentes gravitacionales.Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_2960_Surpi.pdf

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Surpi, Gabriela Clara. "Efectos de estructuras a gran escala en lentes gravitacionales". Tesis deDoctor. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Buenos Aires. 1997.http://digital.bl.fcen.uba.ar/Download/Tesis/Tesis_2960_Surpi.pdf

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Física

Tesis Doctoral

Efectos deEstructuras a Gran Escalaen Lentes Gravitacionales

Autor: Gabriela Clara Surpi

Director: Diego Darío Harari

Noviembre 1997

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Resumen

Estudiamos el efecto de fluctuaciones a gran escala en la distribución

de materia y ondas gravitacionales de origen cosmológico, sobre la propa­

gación de la luz en sistemas de lentes gravitacionales.Al actuar sobre imágenes múltiples de un mismo objeto encontramos

que las estructuras a gran escala producen un cambio importante enla ¡magnitud de los observables de la lente. Al orden más relevante,

el mismo es formalmente equivalente a un cambio en la geometría delsistema y no compromete la determinación de la constante de Ilubble

ni la reconstrucción del potencial del deflector. Al orden siguiente, el

efecto equivale a la presencia de un sliear externo a la lente, pero tieneconsecuencias observacionales pequeñas.

Las fluctuaciones a gran escala en el potencial gravitatorio tambiénoperan como lentes gravitacionales débiles deformando la imagen defuentes lejanas. Observando que el shear generado por inliomogeneidades

de materia a gran escala da lugar a una significativa rotación aparente

del ángulo de posición de fuentes elongadas, analizamos las implicancias

de este efecto sobre las propiedades de polarización de radio galaxias.Proponemos que la dispersión que se detecta en la dirección de polari­zación Iineal respecto de la perpendicular al eje mayor de la imagen enradio fuentes lejanas puede ser interpretada como una consecuencia delsliear cosmológico.

Palabras claves: lentes gravitacionales — estructuras a gran escala enel universo — ondas gravitacionales — polarización — cosmología —astrofísica

Abstract

We analyze the ellects of large-scale density Íluctuations and long­

wavelength gravitational waves upon light propagation in gravitationallens systems.

When the large-scale inhomogeneities act upon multiple images ofa source they bring about an important change of magnitud in the lensobservables. To the leading order, the ell'ect is equivalent to a change inthe geometry of the system which does not eompromise the program todetermine the llubble constant and reeonstruct the lens potential. Thenext to leading order correction results in the presence ol' shear externalto the lens, but it has small observational consequences.

Moreover, large-scale Íluctuations in the gravitational potential be­have like weak gravitational lenses (listorting the images of distantsources. Taking notice ol' the cosmological shear produced by densityfluctuations leads to a significant apparent rotation of the position angle

in elongated sources, we analyze the eonseeuences of this efl'ect upon the

polarization properties of radio galaxies. We put forward the hypotesisthat the dispersion observed in the direction of integrated linear polariza­tion of cosmologically distant radio sources away from the perpendicularto their mayor axis may be caused by cosmic shear.

Subject headings: gravitational lensing — large-scale structure ol' uni­

verse ——gravitational waves -—polarization ——cosmology — astrophysies

Dedico esta tesis a mi familia.

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Indice

1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

2. Conceptos básicos sobre lentes gravítacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92.] Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

2.2 Ecuación (le la lente y (leflexión (le rayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11

2.2.1 Ecuación (le la lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11

2.2.2 Angulo (le (leflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12

2.3 Modelos simples (le lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16

2.3.1 Lente (le Schwarzscliild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Modelo (le esfera isotérmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.3 Lente cuadrupolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4 Observables en lentes (le imágenes múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

2.4.1 Factor y tensor (le magnificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 Desfasaje (le tiempo (le arribo entre las imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21

2.5 Efecto lente en un contexto cosmológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1 Modelo (le FRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24

2.5.2 Distancia diámetro angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.3 Desfasaje (le tiempo entre imágenes y ecuación (le la lente . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Determinación (le Il0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

2.7 Efecto lente débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31

3. Propagación de la luz en un universo inhomogéneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 353.1 Geodésicas nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36

3.2 Desviación geodésica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42

3.3 Efecto (le un fondo estocástico (le perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Perturbaciones métricas escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2 Perturbaciones métricas tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. Efecto (le estructuras a gran escala en sistemas de imágenes múltiples 514.1 Ecuación cosmológica (le la lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Efectos (le primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3 Efectos (le segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

i

5. Efecto lente débil y rotación de la polarizaciónen radio fuentes 695.1 Distorsión de imágenes inducida por estructuras a gran escala . . . . . . . . . .. 72

5.1.1 Perturbaciones esclares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75

5.1.2 Perturbaciones tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76

5.2 Rotación de la polarización por perturbaciones métricas . . . . . . . . . . . . . . . .. 78

5.3 Rotación aparente del plano de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4 Correlación entre polarización y orientación de radio fuentes lejanas . . . . .. 86

5.5 Efectos del shear cósmico en la correlación entre polarización y orientación 90

6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95

Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

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Capítulo 1

Introducción

De acuerdo a la Teoría General de la Relatividad la luz es deflectada por el campo

gravitatorio lll. Así, la trayectoria (le la luz proveniente (le objetos celestes distantesse ve deflectada por las distribuciones de materia que yacen próximas a la línea demira y en consecuencia, la imagen de los mismos puede aparecer ante un observador

en la Tierra deformada o multiplicada. A dicho efecto, y al sistema astrofísico que lomanifiesta en sí, se los conoce con el nombre de “lente gravitacional”. Su teoría, ob­servaciones y aplicaciones constituyen una de las ramas más rápidamente crecientes

dentro de la astrofísica extragaláctica [2]. Desde un principio fue prediclio que las

lentes gravitacionales, además (le constituir un test a la Teoría General de la Relativi­dad, llegarían a proveernos (le información astrofísica y cosmológica muy importante[3'4' 5]. En efecto, la amplificación que producen nos permite observar fuentes débiles

o muy distantes. Suministran un medio para estimar la masa de galaxias, cúmulos degalaxias, y agregados masivos de materia oscura. Y, adicionalmente, sus propiedadessirven para testear diferentes escenarios cosmológicos.

La manifestación más extrema del efecto, 0 “efecto lente fuerte", es originada porconcentraciones de masa Io suficientemente compactas que, al producir importantesdeflexiones, dan lugar a la formación de imágenes múltiples de una misma fuente.Astrofísicamente, la situación tiene lugar cuando rayos de luz provenientes de un

quásar distante pasan a través del núcleo de una galaxia, que actúa como “deflector”.0 “lente”. En el caso ideal de que la lente fuera simétrica y la fuente estuvieraexactamente alineada con su centro, un observador en la Tierra recibiría una imagen enforma de anillo. En la práctica, para una fuente levemente desplazada (le la alineación

perfecta, el anillo (legenera en dos imágenes, y si la simetría de la lente está rota en

cuatro. Típicamente, una galaxia con M N 10‘2Mo a distancia cosmológica D N1Gpc produce imágenes múltiples de un quásar separadas angularmente por algunos

segundos de arco (el orden de la deflexión). Desde el descubrimiento de la primeralente gravitacional en 1979, el quásar doble 0957+561 [6],casi treinta sistemas con

imágenes múltiples han sido reportados [7].

Las observaciones de sistemas con imágenes múltiples derivan en dos importantes

aplicaciones: el estudio de la distribución espacial de masa en galaxias y el testeode los parámetros cosmológicos del universo. Es posible construir un modelo para el

potencial del dellector y ajustar sus parámetros a partir de algunas propiedades ob­servables de las imágenes múltiples. La determinación de la masa de la galaxia lenteen particular es sencillamente comprensible teniendo en cuenta que la separación an­

gular de las imágenes crece proporcional a la misma. Adicionalmente, la magnificaciónrelativa de las imágenes permite estimar otros parámetros como la elipticidad o radiodel núcleo ¡3'9]. Por este método también es posible detectar la presencia de materiaoscura en el deflector [lo].

Si la fuente es variable, el retraso de tiempo con que variaciones intrínsecas de la

misma se manifiestan en las distintas imágenes es en principio otra magnitud obser­vable, y juega un papel crucial, ya que es el único observable dimensional asociado

a estos sistemas. El retraso de tiempo entre pares de imágenes es proporcional a la

escala (le distancias cosmológicas, y siendo ésta inversamente proporcional a la cons­tante de Hubble, a partir de su detección es posible obtener una estimación de Il0 [4].Luego de varios años de controversia “1' '21,el retraso de tiempo entre las imágenes del

quásar 0957+561 ha sido medido con gran precisión “3], siendo de 417i3 dias. Dichovalor, en conjunto con un modelo detallado de la lente “4], han permitido estimar

llo = 64 :l: 13 km seg‘l Mpc“, en un universo con parámetro de densidad 9., = 1“al. Aquí, la incerteza en Ho proviene de incertezas remanentes en el modelado de la

lente. Recientemente, se ha detectado el retraso de tiempo entre imágenes del quásarcuádrupe 1115+080, dando lugar a las primeras estimaciones de Ho por medio de estesistema “5]. La consistencia entre los valores de l-Ioderivados de la observación de

éstos quásares y determinaciones más locales basadas en fuentes (le bajo corrimiento

al rojo constituye una evidencia adicional en favor del modelo cosmológico estándar.

Sin embargo, se ha cuestionado que las inhomogeneidades a gran escala en ladistribución de materia del universo podrían comprometer la determinación de laconstante de Hubble en base al retraso de tiempo entre imágenes múltiples de quásares.En principio, las fluctuaciones de densidad próximas a la línea de mira a la fuente

generan dellexiones en la trayectoria de sus imágenes, adicionales a las inducidas por

la galaxia lente, que pueden afectar el retraso de tiempo entre las mismas, y las demáspropiedades observables de la lente “9' 20'2‘]. Si las estructuras a gran escala no sontenidas en cuenta apropiadamente al modelar la lente, podrían conducir a conclusioneserróneas en la reconstrucción del potencial del deflector y la determinación de laconstante de I-Iubble mediante los observables del sistema.

La existencia (le un fondo cosmológico de radiación gravitatoria también puede

afectar el retraso (le tiempo entre imágenes múltiples de quásares. En este sentido,

había sido sugerido que el retraso de tiempo extrínseco al sistema inducido por lasondas gravitatorias, respecto al retraso intrínseco previsto por falta (le alineacióno simetría en la lente, podría ser usado para acotar, y potencialmente detectar, lapresencia de las ondas gravitatorias [16'17]. Requiriendo que el retraso de tiempoextrínseco en el quásar 0957+561 fuera menor al observado, este método fue utilizado

para poner una cota superior a la amplitud (le ondas gravitatorias de longitud deonda comparable al radio de I-Iubbleactual. La misma técnica podría extenderse en

principio al estudio de las fluctuaciones de densidad a gran escala “3].

Las propiedades estadísticas de sistemas con imágenes múltiples sirven para el

testeo de modelos cosmológicos. La presencia de una constante cosmológica Ao in­crementa fuertemente la probabilidad de formación de imágenes múltiples, y la bajafrecuencia con que se presentan dichos sistemas ha sido usada para acotar Ao[22'23'2".

Por otro lado, la baja separación angular de las imágenes observadas, que en ningúncaso supera los 8", también ha sido usada para testear modelos cosmológicos en basea sus predicciones de tal parámetro. El modelo estandard de materia oscura fría CDM

con parámetro de densidad 9,, =1 y Ao=0 sería excluido en principio con este método,

mientras que el CDM con Oo = 0.3 y A0= 0.7 y modelos abiertos como SL,= 0.2 yAo=0 pasarían el test [25'26]. El estudio de la distribución en redshift de las lentes

también ha sido considerado para este tipo de testeos [27].

Una consecuencia más de la formación (le imágenes múltiples es el “efecto mi­

crolente”, que se produce cuando un objeto compacto con masa M r5 106M9 actúacomo lente provocando imágenes múltiples con pequeña separación angular, que noson resueltas pero se manifiestan por una amplificación en el flujo aparente de la

fuente. Varios proyectos se llevan a cabo actualmente para detectar mediante esteefecto materia oscura dentro de nuestra galaxia compuesta por objetos masivos [23'29'.

El efecto lente fuerte también actúa sobre fuentes extensas, generalmente galaxiasmuy distantes o radio fuentes expandidas. En estos casos el dellector suele ser un

cúmulo de galaxias muy rico, cuyo potencial además de amplificar las fuentes distor­siona sus imágenes dándoles forma de arcos prominentes, con el centro de curvaturalocalizado en el centro aparente de gravedad del cúmulo. La amplificación originadapor uno de estos cúmulos ha permitido detectar el objeto cósmico más distante del

cual se conoce su corrimiento al rojo, una galaxia arco ubicada a z: 4.92 [3°].Al mejo­

rar la alineación, la imagen extendida tiende a completar la forma de anillo. Veintiséissistemas con grandes arcos y cinco radio fuentes en forma de anillo ya han sido ob­

servados [7].El análisis de la morfología de los arcos permite estudiar la distribución

de masa en la parte central de cúmulos ricos de galaxias [3"32].

Las lentes capaces de generar imágenes múltiples o arcos prominentes contienenuna fracción de la masa total del universo, el resto reside en estructuras de menor

densidad que sólo son capaces de actuar como lentes gravitacionales débiles generando

pequeñas deflexiones que distorsionan levemente la imagen de galaxias lejanas. Las

deflexiones ocasionadas por este “efecto lente débil” no son medibles en forma directa,

pero su gradiente, el tensor de “shear”, sí lo es, a través de la deformación coherente

que produce en poblaciones de cientos o miles de galaxias.

Una primera manifestación del efecto lente débil fue estudiada en galaxias dis­tantes cuyas imágenes atraviesan el potencial de cúmulos menos ricos en galaxias.Las pequeñas deflexiones que generan estos cúmulos producen una elongación tan­

gencial de las galaxias lejanas con respecto al centro de gravedad de los mismos.

Esta señal contiene enorme información sobre el potencial del cúmulo [33].Elegantes

técnicas de reconstrucción [3‘]han permitido determinar cuantitativamente con estetipo de estudio el shear, el cociente masa/luminosidad y la distribución total de masaen más de diez cúmulos [35'36].

El efecto lente débil tiene una aplicación de aún mayor alcance en el mapeo de

“estructuras a gran escala" en el universo. La distribución de materia luminosa agran escala puede estudiarse a través de los catálogos existentes de galaxias, quepermiten mapear la distribución espacial de las mismas. El principal problema de

esta metodología es que los catálogos de galaxias trazan luz, mientras que la mayorparte de la materia parece encontrarse bajo la forma de “materia oscura”. Traducir elespectro de potencias de la distribución de galaxias en el espectro de potencias de ladistribución de materia hace necesaria la introducción de un parámetro de bias que,hasta el momento, no puede ser estimado en forma confiable. Tres métodos han sido

propuestos para mapear en forma directa, sin el conocimiento del parámetro de blas,la estructura a gran escala en el universo: las anisotropías en la radiación cósmica de

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fondo [37],el flujo de velocidades peculiares [33]y el efecto lente.

Concerniente al efecto lente, si la materia oscura reside en densos objetos masivos,

la probabilidad de que genere imágenes múltiples o altamente amplificadas debería serapreciable [39].La falta de detección, dentro de los limites de resolución, de tales even­tos lia sido utilizada para acotar la densidad de objetos compactos cosmológicamentedistribuidos con ciertos rangos de masa [4°].Por otro lado, si la distribución de materia

oscura a gran escala es difusa y suavemente fluctuante, las pequeñas deflexiones queorigina no generan imágenes múltiples pero distorsionan la forma de fuentes lejanas através del efecto lente débil [4"42'43].Cuando rayos de luz provenientes de una galaxia

pasan cerca de una región con densidad superior a la promedio, la imagen se elonga

tangencialmente respecto al centro de la perturbación. Regiones con densidad menor

a la promedio producen una elongación radial, y perturbaciones independientes a lo

largo (le la linea de mira se adicionan estocásticamente. El “sliear cosmológico” asi

inducido es coherente sobre la escala de las fluctuaciones de materia que lo generan,y'puede detectarse en una población de galaxias por la correlación estadística de sus

elipticidades. La búsqueda de tal señal se lleva a cabo en poblaciones de galaxias queno yacen en direcciones asociadas con cúmulos. Se predice que fluctuaciones lineales

de densidad (óp/p<<1) a escalas de 1° pueden generar un shear cosmológico del orden

del 1%, mientras fluctuaciones no lineales (óp/p>> 1) a escalas menores, del orden

de 1’, inducen un sliear del 5% ¡“1. La primera evidencia de detección de éste tipo,

de señal fue recientemente reportada en la dirección de la radio fuente PK81508-05,donde un sliear cosmológico coherente de 0.03 fue encontrado en escalas de 1’ [45].

En esta tesis doctoral se analizan dos aspectos del efecto de inhomogeneidades agran escala en la densidad de materia y radiación gravitatoria de larga longitud deonda sobre la propagación de la luz en sistemas de lentes gravitacionales.

Primero, se estudia el efecto de las inliomogeneidades a gran escala en el potencialgravitatorio sobre las propiedades observables de un sistema de lente gravitacionalque presenta imágenes múltiples de un mismo objeto. Se aborda este analisis con

dos motivaciones: i) determinar si es posible detectar las fluctuaciones a gran escala

a través del retraso de tiempo adicional que generan entre imágenes múltiples ; ii)estudiar si el cambio de magnitud en las propiedades observables del sistema inducido

por las fluctuaciones compromete el método usual para determinar la constante deHubble en base al retraso de tiempo entre imágenes. Al orden de aproximación másrelevante para las observaciones, encontramos que si bien las fluctuaciones a granescala en el potencial gravitatorio afectan significativamente el tiempo de viaje entre

imágenes múltiples, modifican al mismo tiempo los otros observables, tal que el sistemase manifiesta ante un observador como una lente con distinta alineación entre fuente,

deflector y observador, en un espacio no perturbado. Dado que la alineación nointerviene en las relaciones funcionales que vinculan los observables del sistema con

la constante de Hubble y los parámetros de deflector, estas expresiones no se venmodificadas por la existencia de las perturbaciones. Como consecuencia de estaspropiedades, concluímos que: i) no será posible detectar las fluctuaciones a gran

escala a través de la medición de retrasos de tiempo entre imágenes múltiples de unalente; ii) el método usual para determinar la constante de I-Iubble usando mediciones

en lentes gravitacionales puede aplicarse en un espacio perturbado y, a primer orden,

conducirá al valor correcto de la constante ¡46''17]. Al siguiente orden, encontramos

que al actuar sobre los observables de una lente gravitacional, las fluctuaciones a granescala se manifiestan equivalentes a la presencia de shear y convergencia externos a lalente. Sin embargo, estimamos que este efecto tiene un impacto observacional poco

significativo “6' "l. En nuestro estudio conflrmamos que el efecto cuantitativo de las

ondas gravitatorias (fluctuaciones métricas tensoriales) es mucho más pequeño queel inducido por las inhomogeneidades de densidad (fluctuaciones métricas escalares)

pues no se acumula significativamente sobre distancias mayores que su longitud (leonda.

El segundo aspecto analizado en esta tesis son las consecuencias del efecto de lentegravitacional débil inducido por estructuras a gran escala sobre las propiedades (lepolarización observadas en radio galaxias y quásares lejanos. Es sabido que en radiofuentes distantes con alto grado de polarización existe una significativa correlaciónentre la dirección del plano de polarización lineal y la orientación del eje mayor de

las fuentes [48'‘19]. Ambas direcciones se manifiestan preferentemente ortogonales,

luego de descontar la rotación de Faraday, sugiriendo la existencia de líneas de campo

magnético en la fuente paralelas a su eje mayor. La dispersión que existe en los datosha sido recientemente interpretada como evidencia de la existencia de una anisotropíacosmológica en el universo [5°],aunque un análisis más convencional de los datos con­

cluye que no se detecta tal efecto [5‘].En esta tesis, analizamos cómo la deformación

en la imagen de fuentes lejanas inducida por el efecto lente débil de fluctuaciones de

densidad a gran escala da lugar a una significativa rotación aparente del eje mayorde las fuentes. Basándonos en este estudio proponemos que la dispersión observada

en galaxias cuyo plano de polarización no es ortogonal al ángulo de posición de laimagen puede ser interpretada como consecuencia del shear cosmológico escalar. (52).El efecto que describimos es potencialmente un método original para detectar el sliear

generado por las fluctuaciones de densidad a gran escala en el universo, si se obtieneun muestreo de datos lo suficientemente amplio como para rastrear la dependenciadel mismo con la distancia y la elipticidad de las fuentes.

El desarrollo de esta tesis es como sigue: en el capitulo 52 presentamos una revisión

de aspectos básicos sobre lentes gravitacionales enfocada principalmente hacia los

conceptos que utilizaremos en el desarrollo de nuestro trabajo. En el capítulo 53

derivamos de la óptica geométrica las herramientas básicas para tratar el efecto de

fluctuaciones a gran escala en el potencial gravitatorio sobre la propagación de laluz en sistemas de lentes gravitacionales. Se reveen las propiedades de las deflexiones

absolutas y relativas que experimentan los rayos al propagarse a través de fluctuacionesescalares y tensoriales. El material presentado dentro de este capítulo es novedoso

respecto de estudios previos por la inclusión del efecto de gradientes longitudinalesde las perturbaciones. En el capitulo 54 desarrollamos el formalismo apropiado paraestudiar el efecto de inhomogeneidades a gran escala en el universo sobre sistemas

lente con imagenes múltiples. El mismo se deriva de la ecuación cosmológica de la

lente, que describe la trayectoria de los rayos cuando el deflector primario pertenecea un espacio perturbado. Estudiamos el efecto en los observables del sistema de las

correcciones de primer orden a la ecuación de la lente, lineales en la amplitud de lasfluctuaciones métricas, y de segundo orden, lineales en la amplitud de las fluctuacionesy en la desviación de los rayos respecto del eje de la lente. Analizamos el impacto

de la presencia de las estructuras a gran escala en la magnitud de los observables, y

en la determinación de la constante de Hubble a través del retraso de tiempo entreimágenes múltiples. En el capítulo 55 estudiamos las consecuencias del efecto lente

débil inducido por fluctuaciones a gran escala en el potencial gravitatorio sobre laspropiedades de polarización de radio fuentes lejanas. Describimos el cambio de forma

que sufre la imagen de una fuente, y la rotación absoluta que experimenta su planode polarización, cuando la imagen se propaga a través de perturbaciones escalares ytensoriales. Analizamos el impacto de la rotación del plano de polarización, relativa aleje mayor de la fuente, inducida por sliear cosmológico escalar sobre las propiedades de

polarización de radio fuentes distantes. El capítulo 56 resume nuestras conclusiones.

Capítulo 2

Conceptos básicos sobre lentesgravitacionales

Este capítulo presenta una introducción a los aspectos básicos en el tema (le lentesgravitacionales, enfocada hacia aquellos conceptos que serán utilizados en capítulossubsiguientes. Una revisión más completa del tema puede consultarse en la monografía“Gravitational lenses” de Schneider, Ehlers y Falco [2], o en artículos de revisión

sobre lentes gravitacionales ¡53'54'55].También se encuentra disponible en internet

una página dedicada a las lentes gravitacionales que incluye bibliografía completasobre el tema, con una lista que abarca 1500 artículos publicados hasta el momento,

además (le imágenes e información sobre todos los sistemas lente observados [56].

2.1 Historia

Remontándose en el pasado a casi 80 años y siguiendo a la formulación completa de

Einstein (1915) de la Teoría General (le la Relatividad “l, que permite predecir elcomportamiento de los rayos de luz en un campo gravitatorio, aparecen en 1919-1920los primeros tratados acerca (le las lentes gravitacionales por Lodge y Eddington.[57,53]

En particular, parece ser Eddington el primero en señalar que podrían formarseimagenes múltiples (le un mismo objeto. De acuerdo a sus predicciones, si (los estrellasse encontraran lo suficientemente alineadas, la más distante debería mostrar a uuobservador en la Tierra dos imágenes, una a cada lado (le la estrella más cercana.

9

Pero, si la alineación fuese perfecta, se formaría una imagen en forma (le anillo '59].

Poco más tarde, en su visión pionera, Zwicky (1937) señala que el efecto lente gra­

vitacional tendría gran impacto en la cosmología [3].Cuando una lente gravitacionalprovoca amplificación de la fuente observada actúa como un “telescopio”, permitiendoa los astrónomos estudiar objetos a distancias mucho mayores que las ordinariamentealcanzadas con telescopios reales. En sus trabajos Zwicky predice muchos aspectosimportantes del efecto lente, puntualizando por ejemplo que la detección (le la de­llexión que sufre la luz originada por un objeto lente serviría para estimar la masa (lela lente, y que la probabilidad de detección del efecto lente seria alta.

El advenimiento de la radioastronomía condujo en 1963 al descubrimiento de los

quásares [6°], fuentes extragalácticas compactas ideales para el efecto lente por suapariencia puntual, alta luminosidad y alto corrimiento al rojo. Al mismo tiempo,

el tema de lentes gravitacionales que habia permanecido dormido durante casi tresdécadas volvió a reabrirse. Nuevas aplicaciones del efecto lente eran prediclias porRefsdal en el transcurso de la década del 60. Si el retraso de tiempo entre las imágenes

múltiples de un quásar variable fuera detectable, el mismo serviría para estimar laConstante de Hubble y conocer el tamaño y la edad del universo [4].Adicionalmente,

el efecto lente podría usarse para testear diferentes modelos cosmológicos ¡51.Paralela­

mente con estos nuevos avances, Sachs (1961) abrió el estudio de la propagación de la

luz en un universo inhomogéneo [6‘].La evolución en la forma de la sección transversal

de un haz que se propaga a través de inhomogeneidades, tendría como consecuenciala deformación de la imagen de fuentes distantes.

En 1979 Chang y Refsdal señalaban que estrellas individuales actuando de lentes

presentarían imágenes múltiples no resueltas pero evidenciables a través (le un cambioen la magnificación. Asi, las estrellas pertenecientes a una galaxia lente podrían causarvariaciones de flujo en las imágenes múltiples de un quásar a una escala temporal delorden de un año '62].

Estos son algunos de los tantos trabajos sucedidos durante una etapa de 60 años enque las lentes gravitacionales constituyeron un desarrollo puramente téorico, y un temamuchas veces considerado esotérico y poco respetado por otros colegas astrofísicos. Lasituación cambió repentinamente en 1979, luego de que Walsh, Carswell y Weymann(1979) anunciaran la detección del primer candidato a lente gravitacional, el quásarQ0957+561 con dos radio imágenes lo], originadas por la presencia de una galaxiaobservada a menor corrimiento al rojo en esa dirección. Inmediatamente se sucedió

el descubrimiento de un quásar con cuatro imágenes [63].El número de candidatos a

10

lentes a creció muy rápidamente a partir (le entonces. Años más tarde, la detección

de un segundo tipo de sistemas de lente gravitacional era reportado [54],galaxias muylejanas vistas a través de cúmulos más cercanos presentaban prominentes imágenesen forma de arcos extendidos, con su centro (le curvatura situado en el centro de

gravedad aparente del cúmulo. Posteriormente, el tercer tipo de imágenes, radiofuentes en forma de anillos casi completos, fue encontrado [65].

Así, la predicción de que galaxias distantes y cúmulos de galaxias podrían ac­tuar como lentes gravitacionales de fuentes más lejanas se ha convertido observa­cionalmente en una realidad. Su estudio provee un medio único para investigar tantofuentes distantes como distribuciones de materia intermedias. Actualmente se cono­

cen 19 sistemas confirmados de fuentes con imágenes múltiples (6 dobles, 3 triples y

10 cuádruples), 10 candidatos adicionales de imágenes múltiples, 5 radio-anillos, y 26casos de arcos superpuestos a cúmulos lente. Un resumen completo de estos sistemas,

con las correspondientes referencias bibliográficas, características observacionales eilustraciones color puede accederse via internet [7].

2.2 Ecuación de la lente y deflexión de rayos

2.2.1 Ecuación de la lente

Un sistema de lente gravitacional simple está básicamente constituido por fuente,deflector ó lente, y observador, como se muestra en la Figura 2.1. Aquí el deflector

está ubicado en D, el observador en O, y la fuente en S. Se define el eje óptico dela lente, como la línea recta (le referencia que pasa por la lente y el observador. En

todos los casos de interés astrofísico, los ángulos de deflexión son pequeños, y sólo es

necesario considerar un pequeño cono alrededor del eje óptico. Dentro de esta región

se definen el plano fuente P,ly plano lente Pd, como aquellos ortogonales al eje óptico y

conteniendo a la fuente y lente respectivamente. Junto a éstos, la esfera del observador,que es el “cielo aparente” visto por el observador se aproxima por su plano tangentePo o plano del observador. La fuente ubicada en S sería vista en posición angular,3 respecto de la lente si los rayos de luz provenientes de S no fueran influenciados

por el campo gravitatorio del deflector. Pero, debido a las defiexiones causadas por lalente, la línea recta SO no es más un camino físico de rayos. Asumiendo que la lentees delgada comparada con la distancias recorridas por los rayos, podemos simplificarsu influencia en las trayectorias a través de un ángulo de delexión a en el plano de la

11

lente. De esta forma, un rayo de luz proveniente de la fuente S que incide en el plano

de la lente con parámetro de impacto fi, luego de ser deflectado por a(€) alcanzaal observador en O, quién ve en el cielo la imagen de la fuente en posición angularaparente 0 respecto de la lente. Denominamos Dd y D,Ia las distancias que separan aldeflector y la fuente del observador, y Dds ala distancia entre el deflector y la fuente.

A partir de la Figura 2.1, se puede derivar la ecuación de la lente, que expresa la

relación geométrica que vincula la posición en que sería vista la fuente en ausencia deefecto lente ,6, con la posición en la cual el observador recibe la imagen (le la misma

0, luego de haber sido deflectada un ángulo a por la lente:

Dsfi = 0,0 —Ddsa(Dd0) (2.1)

Aquí fi, 0 y a denotan vectores angulares en 2-dimensiones. El parámetro (le impactodel rayo en el plano lente fi es también un vector bidimensional, y se ha escrito en

función de la posición angular de la imagen: fi = Ddü. En general los ángulos fi, 0 ya no serán coplanares.

Una lcntc gravitacional está contenida cn cl universo que, a grandes escalas, dcbc

ser descripto a través de un modelo cosmológico. Las distancias involucradas en la

ecuación de la lente (2.1) no son distancias euclídeas, sino que deben ser interpretadascomo distancias diámetro angulares (ver 52.42.). Estas, en analogía con las leyeseuclideas, están definidas por el cociente entre el tamaño propio del objeto y el ánguloque subtiende el mismo cuando es observado desde otro punto. En general será Dda 7€

Ds — Dd.

Para una ley de deflexión a(¿) no trivial, es posible encontrar más de una solución0 satisfaciendo (2.1) para un dado fi. En ese caso, se forman imágenes múltiples, esdecir, un observador recibe más de una imagen de la misma fuente.

2.2.2 Angulo de deflexión

Para que la ecuación de la lente quede completamente determinada, es necesariodeterminar la ley de deflexión a(€), a partir de la distribución de masa que conformaal deflector o lente. En las situaciones astrofísicas de nuestro interés los ángulos (ledeflexión son siempre pequeños, y la configuración de materia que compone la lentevaría muy lentamente. Es justificado entonces usar la aproximación de campo débilde la Relatividad General para calcular las deflexiones. Consideremos una métrica de

12

___------vvv-vvvvvvvvvvaUUIIIIIOOOOOOOOOO--O

Ps"ON

Pd

Figura 2.1: Geometría básica de una lente gravitacional. Un rayo de luz proveniente dela fuente S es (lefleetado por la leute D y arriba al observador en 0 en dirección angular0 respecto del eje de la lente que une D y O. Ps, Pd y P0 son los planos fuente, lente y

observador respectivamente. a es la deflexión provocada por D cuando el rayo al atraviesa elplano lente con parámetro de impacto fi. ,6 es la dirección verdadera en la cual se encuentrala fuente. La imagen Í es la posición aparente de la fuente en el plano P5. Dd, D3 y Ddsson las distancias que separan el defletor, la fuente y el observador.

fondo plana, y una lente con potencial Newtoniano U

ZU 2

(1.92= (1+ F)c2dt2 —(1 —7;]­ lala:2 (2.2)

Si k = dm/dl es el vector unitario tangente a un rayo, las ecuaciones geodésicas de(2.2) conducen a

dk 2_ = _V 2.dl cz ¿U l 3)

donde VLU es la proyección (lel gradiente de U en el plano perpendicular a k, VLU =VU —k(k - VU). La dellexión del rayo es la diferencia entre las direcciones inicial y

final del mismo, a = k,-—k¡, y se evalúa integrando (2.3). Supongamos una masa Mpuntual para la cual U(:v) = —GM/|:v|. En ese caso, la integración sobre el rayo noperturbado :v(l) = fi + tk, (con fi _Lk), conduce al “ángulo de Einstein" lll

—4G“ (2.4)a ‘ czlálz

Este ángulo duplica al “ángulo Newtoniano” que predice la mecanica clásica para ladellexión de una partícula moviéndose con velocidad c. La mitad de la deflexión en

(2.4) es directamente atribuible a la curvatura espacial y constituye una importantepredicción de la Relatividad General. Su validez ha sido corroborada con incerteza

. [se]l .menor al 0.1% en la deflexión sola

Al tratar la deflexión originada por una distribución de masa, podemos asumirque la extensión de la misma en la dirección del rayo incidente es tan pequeña que elvalor del VLU en el rayo real se desvía muy poco del valor en el rayo no perturbado.

Podemos entonces aproximar el ángulo de deflexión total por la suma de los ángulosdebidos a los distintos elementos de masa que conforman la lente, suponiendo a dichoselementos pertenecientes a un único plano ortogonal a k. Esta es la denominadaaproximación de lente delgada. Si EQ) es la densidad de masa superficial proyectadaen el plano de la lente, la dellexión se calcula entonces como

4G 2 l I á _ ¿I

aos) = CT n, das se) —-—¡(¿_ ¿,¡1 , (2.5)

donde la integral se realiza sobre el plano de la lente. Si definimos ‘II(€) como el dobledel potencial Newtoniano en 2D, obtenido de resolver la equation de Poisson en 2D

We) = 23(5), (2.6)

resulta

mg) = 1G- «Fg'zw) lnlááil (2.7)(:2 n!

y es fácil ver entonces que

a = V\I/(€) (2.8)

La fórmula (2.8), en Ia cual el efecto de la lente gravitatoria está expresado entera­mente en términos del gradiente de un potencial, sugiere que la ley de deflexión puede

ser derivada dei principio variacional aplicado a cierta acción, o principio de Fermat

generalizado al caso de lentes gravitacionales. Este es el caso, como fue demostrado

por Blandford 8LNarayan (1986) [67],y lo mostraremos más explícitamente al final dela sección 52.4.2.

Escaleo a cantidades adimensionales

Es útil reescribir las ecuaciones (2.1), (2.5) y (2.7) en términos de cantidades adi­

mensionales. Definimos entonces la densidad de masa superficial en unidades de ladensidad crítica Ec,“

X) D( 0 2D

rc(0) = con 26,.“ E Z7rG0D—d—3D' (2.9)crlt (s

y el potencial deflector adimensional \II

" _ l 2 I _ / __ Ddsme) _ Wfm d a ¡emma 0| _ —DdDB\1:(¿) (2.10)

que satisface

V2\ñ(9) = 2,;(0) (2.11)

Es conveniente definir además la (leÍlexiónescaleada á de acuerdo a

- Dds '01(0) = -D—a(¿) = V\I'(0) , (2.12)

S

en términos de cual la ecuación de la lente toma la forma

p = o —¿(0) (2.13)

2.3 Modelos simples de lentes

2.3.1 Lente de Schwarzschild

El modelo más sencillo de dellector que puede considerarse es el de una masa puntual

M, y se conoce como lente de Schwarzscliild. Considerando la ley (le deflexión (2.4)

se puede ver que en este caso, fi, 0 y a son coplanares. La ecuación de la lente (2.1)es entonces unidimensional y se reduce a.

ao 4GMDds-_-9__ 0=,/— , , 2.14fl 0 con a czDaDd ( )

que posee dos soluciones

0,1,3= á :l:V403+ [32)

de signo opuesto. Esto significa que la fuente presenta dos imágenes, una a cada ladode la lente, y alineadas con la misma. Las dos imágenes son de brillo comparable sólo

si fi, y entonces 0, son del orden de ao. En ese caso, la separacion angular típica entre

las imágenes es cercana a su minimo 2010.

Una situación especial se produce cuando lente, fuente y observador están alinea­dos, es decir si fl = O. En este caso no hay un plano preferencial en el cual se propaguen

los rayos, sino que toda la configuracion tiene simetría de rotación alrededor del eje

óptico. Las soluciones señaladas en (2.15) se reducen a 0,4,3 = :tao que, debido a lasimetría, indican que se formará una imagen en forma de anillo con radio 0 = a0.

Escalas angulares típicas

Estimemos la separación angular tipica entre imágenes, A0 N4(GMDds/02D3Dd)%,para las dos configuraciones de sistemas lente que son importantes en la práctica.Primero, si ambos, la lente y la fuente están a distancias cosmológicas, aproximandoel factor de distancias por DdDs/Dde z D5 podemos estimar

M lecA0z ”‘l—- .6 loleo‘l De (216)

Así, una galaxia lente con M N 10‘2Mo genera imágenes múltiples con separaciónangular de algunos segundos de arco, resolubles bajo observación telescópica. Todos

16

0.0.0.0...OOOOOIQQQQAAAAAAAA--------­

los sistemas de imagenes mútiples hasta el momento detectados presentan separacio­

nes angulares máximas entre sus imágenes que oscilan entre 1 y 8 segundos de arco

m. A este tipo de situación en la cual el sistema lente presenta imágenes múltiples

detectables, se lo refiere como efecto macrolente.

El segundo caso frecuentemente discutido es aquel en que Dd << DdSz D5, tal que

M lkpcR: . II l_‘l 2.17

A6 0 006 Mo Dd ( )

Asi por ejemplo, estrellas o enanas marrones pertenecientes al halo de nuestra galaxia,

con 10’7M95M51MO y Dd z 5kpc, generan imágenes múltiples de estrellas lejanascon separaciones angulares inferiores, o del orden, separación angular inferior o delorden de 10’3 arcsec, situación a la que se refiere como efecto microlente. Tales

imágenes no pueden ser resueltas, pero amplifican en el flujo aparente de la fuente.

2.3.2 Modelo de esfera isotérmica

En lo que al efecto lente se refiere, cualquier distribución de materia esféricamente

simétrica puede ser tratada como una masa puntual si su radio es menor que la sepa­

ración espacial de las imágenes en el plano lente (pues el exterior de una distribuciónde masa estática y esféricamente simétrica está siempre descripto por la métrica deScliwarzselrild). Sin embargo, al modelar la distribución de materia dentro de unagalaxia, la extensión y propiedades del halo de la misma hacen necesaria la intro­ducción de un modelo más apropiado. Varios modelos han sido desarrollados con este

fin [2],el más sencillo de los cuáles es el de esfera isotérmica, caracterizado por unadensidad de masa superficial

2 — 03(o —fi (2.18)

donde 0., es Ia dispersión de velocidades de estrellas en la linea de mira a la galaxia.Si bien diverge en fi = 0, su comportamiento para valores grandes de á es una buena

aproximación a la distribución de materia en galaxias ya que arroja curvas de rotaciónplanas, como las observadas en galaxias espirales.

Una posible generalización no singular es la siguiente distribución:

_ HIM/¡EJ22(€) — >3o[1+(¿/¿C)2]2_p , (2.19)

donde EOes la densidad de masa superficial central, ¿c es identificable con el radio del

núcleo de la galaxia y p determina la forma en que se suaviza la distribución. Parap=0 se denomina modelo de Plummer, mientras que para p: 1/2, a valores grandesde é, aproxima la esfera isotérmica.

2.3.3 Lente cuadrupolar

En muchos casos de interés astrol'ísico además del dellector primario existe otra com­

ponente, que podemos llamar perturbación, cuyo campo gravitatorio varía muy pocosobre la escala de distancias relevante para la lente primaria (la escala de la sepa­ración espacial de las imágenes). Por ejemplo, cuando una galaxia perteneciente a uncúmulo actúa como dellector primario, el campo gravitatorio del cúmulo perturba alde la galaxia. En estos casos es posible hacer un desarrollo multipolar del potencial

de la perturbación respecto del centro del deflector primario. El orden más bajo, no

trivial, de este desarrollo es el cuadrático, por lo cual denominamos al sistema lentetratado en esta aproximación lente cuadrupolar [63].Cabe señalar que la perturbaciónno es supuesta pequeña, y el tratamiento es válido para. perturbaciones generadas

por campos gravitatorios arbitrarios, sólo se supone que la misma varía sobre escalasgrandes y las deflexiones que origina en el sistema lente estudiado son pequeñas.

Trabajaremos por simplicidad usando las cantidades adimensionales definidas enla sección 52.2.2. La dellexión á” causada por una distribución de masa con potencial

\ÏI tratada como perturbación se puede aproximar por

¿"(0) = ¿”(0) + ( É“ É” ) 0 (2.20)

donde los subíndices en \ÍI denotan derivadas parciales. Hemos asumido el dellector

primario ubicado en 0 = 0, y las derivadas segundas del potencial se evaluan en ese

punto. La matriz \ÏI,-,-,que refleja los gradientes de la deflexión en el espacio, es cono­

cida como matriz de sliear. \ÏI,-jes simétrica y diagonalizable eligiendo apropiadamentelos ejes coordenados en el plano lente. Denominemos K,+ 'y y K,—'y a sus autovalores.

Así definido, resulta rc= (\Ïlu +\Ï122)/2 y, de acuerdo a (2.11), coincide con la densidadde masa superficial (adimensionalizada) de la perturbación. El parámetro K,es cono­cido como convergencia, mientras que a 'yse lo denomina shear. Denominando á" a la

deflexión causada por el deflector primario, en el sistema coordenado que diagonaliza

18

la matriz (le sliear, la ecuación (le la lente cuadrupolar toma la forma

B=9_¿0(9)_(n;7 ¿»o (2.21)

donde hemos trasladado el origen en el plano de la fuente por fi —),3 + á”(0). Cabenotar que, dado que la ley (le (leflexión de la perturbación se aproximó a orden lineal'

en 0, la misma no puede generar imágenes múltiples.

2.4 Observables en lentes de imágenes múltiples

Aplicando la ecuación de la lente (2.1) es sencillo determinar la posición de lasimagenes, y otras propiedades de las mismas, conocidos el potencial de lente y la

posición de la fuente. Sin embargo el proceso a llevar cabo en la realidad es el in­

verso. Puesto que el potencial (le la lente no es conocido, este se deducirá a partir de

propiedades observables (le las imágenes. El método consiste en proponer un modelopara el-potencial que contenga parámetros a ser ajustados para reproducir las obser­

vaciones. Los observables de un sistema lente con imágenes múltiples comprenden laposición, magnificación y desfasaje de tiempo relativos entre las imágenes.

2.4.1 Factor y tensor de magnificación

Supongamos que tenemos una fuente pequeña, pero finita. En ausencia del dellector,la fuente sería vista en una posición ,6 en el cielo. Sin embargo, luego de la (leflexión,ésta es vista en la posición 0. El mapeo de ,6 en 0 se realiza mediante el tensorsimétrico de 2 x 2

am ­Aij= = —q’ü,

donde hemos utilizado las ecuaciones (2.12) y (2.13), y los subíndices en \ÏI denotan

derivadas parciales respecto a 0. La inversa de la matriz Aij relaciona la imagen conla fuente y se define como tensor de magnificación:

3 .­¡iü = — = AÍ‘ (2.23)

La magnificación de una fuente es un escalar, que denotaremos con u, y está dadapor del cociente entre el flujo total de la fuente observado en presencia de la lente, yel flujo que hubiese sido medido de la misma su ausencia. Como el brillo superficial

no cambia debido a la presencia del deflector, este cociente es simplemente el cocienteentre los ángulos sólidos subtendidos por la fuente en presencia y ausencia (le la lente

respectivamente. La magnificación de la fuente está dada entonces por el jacobiano

u = det = detlpüI (2.24)_Ja s

Estas magnificaciones no son observables, pues no se conoce el flujo de la fuente en

ausencia del deflector. Lo que se mide es el cociente entre las magnificaciones deimágenes individuales de la misma fuente.

La observación de las posiciones y magnificaciones de imágenes múltiples de unamisma fuente sirven para construir un modelo del sistema, pues permiten deducir el

,6 de la fuente, y el potencial ‘ÏIdel deflector. Como ejemplo teórico sencillo de este

procedimiento, consideremos una lente de Schwarzschild. En este caso, las compo­

nentes vectoriales de la ecuación de la lente (2.14) son fi, = 0, —cr,,/((0¡)2 + (02)?) con

i = 1, 2. El determinante de la matriz de magnificación (2.23) evaluado en la posición

de cada imagen (de acuerdo a (2.15)) resulta en este caso

1 u u2+4 fi=- —+—-:k2 conu-E- 2.25¡1,4,3 4( r—u2+4 u ) o ( )

Notar que, para una lente muy fuera de alineación (fi>> ao), la magnificación de lasegunda imagen tiende a cero, esto es, se forma una única imagen en 0 = B.

La magnificación relativa resulta

&_ Vu2+4+u 2 (226)NB Vu2+4-u '

La medición de esta cantidad junto con la separación angular de las imágenes A0 =0A —03 = aux/u2 +4, nos permite determinar el parámetro ao y la posición de lafuente fi. De la expresión de ao, conociendo los corrimientos al rojo de fuente y lente,se puede deducir M.

20

Si las imagenes producidas por una lente (le Schwarzschild no son resueltas, la

magnitud relevante en esa situación es la magnificación total de la fuente,

2

u + 2 (2.27)L -=l +L =——¡total IA IB u "2+4

Este tipo (le magnificación debida a objetos compactos es relevante pues puede in­fluenciar el conteo de fuentes, ya que provoca una tendencia a seleccionar las fuentes

detectadas (llamada amplífication bias): si una fuente está intrínsecamente por debajodel límite de flujo detectable en un dado conjunto de fuentes, pero es suficientemente

magnificada por alguna lente, será incluída dentro del conjunto.

2.4.2 Desfasaje de tiempo de arribo entre las imágenes

Si una fuente variable presenta imágenes múltiples, las variaciones intrínsecas de la

misma serán observadas en cada una de las imágenes. Sin embargo, como cada imagen

recorre un camino geométrico distinto y atraviesa diferentes potenciales gravitatorios,una señal emitida en la fuente en un dado instante empleará distinto tiempo de viajehasta arribar al observador siguiendo cada uno (le los caminos. En consecuencia el ob­

servador no detectará la señal simultáneamente en las distintas imágenes. El desfasaje(le tiempo entre las variaciones (le dos (o más) imágenes es una magnitud observable,y su detección es de gran importancia ya que permite obtener una estimación de laconstante de Ilubble.

Supongamos una distribución de masa deflectora con potencial Newtoniano U,como la (lescripta por la métrica (2.2). Trabajando a orden lineal en U, el tiempo deviaje t de una señal emitida por la fuente es

2U dl l 2

t=/('I-—T2)É=z—g/Udl, (2.28)

donde l es la longitud Euclídea (le la trayectoria. Llamaremos tiempo geométricode viaje al que tardaría la luz en recorrer esa distancia en vacío, es decir l/c. Aéste, se suma un tiempo extra ——(2/c3)f Udl, que llamaremos tiempo potencial, y se

debe a que el rayo viajará más lentamente que en vacío al pasar por la cercanías delobjeto masivo. Dicho efecto es también conocido como “retraso de Shapiro” y ha sido

medido con precición relativa (le 0.2% en el sistema solar [69].La ecuación (2.28), nospermite interpretar que la presencia de una lente con potencial Newtoniano débil Ues equivalente a la existencia (le un índice de refracción efectivo n = 1 —2U/c2.

21

Observando la Figura 2.1, y aproximando a orden cuadrático en los ángulos, pode­mos obtener el tiempo geométrico de viaje

_ 0 2 2

%Dds + %Dd (2.29)Ctgeom= Dda + Ds +

donde las distancias Dd, De y Dda = Da—Ddse refieren ala métrica de fondo Euclidea.

Sustrayendo el tiempo de viaje geométrico de un rayo que una S y O sin ser deflectado

obtenemos el retraso de tiempo geométrico

DdDa

2 Dda (0 _ 16V (2.30)c Atgeom =

Para calcular el término potencial, análogamente al procedimiento seguido en lasección 52.2.2, consideremos primero una masa puntual M en el origen [2].En ese caso,

U(:c) = —GM/|a:|. La integral de este potencial entre la fuente y el plano lente esaproximadamente f Udl = GMln(|€|/2Dds). Realizando en forma análoga Ia integralentre el plano lente y el observador, en suma resulta

_ —2 0 _ GM |g|ctpot _ í [S Udl _ —4 cz ln ¿o +const. (2.31)

En una lente delgada con densidad de masa superficial 23(6),sumando la contribuciónde diferenciales de masa individuales, se obtiene

Ctpol.= -42G[dzá’ 23(6)ln +const. (2.32)C

que, mediante (2.7) conduce al retraso de tiempo potencial

cAtpo. = —\I'(E)+ const. (2.33)

Sumando las contribuciones geométrica y potencial la diferencia de tiempo de vi­aje entre una imagen de la fuente y un rayo ficticio no deflectado que una fuente yobservador es

Dd D.3A:ct 2Dds(0 —fi)2 —\I/(€) + const. (2.34)

22

-vvvvvvv""'."..............

El retraso de tiempo At,-,-= Ah —t,- entre dos imágenes 0,- y 0,- resulta, mediante

(2.34) y (2.1),

CAtij=Dd — + - - ,donde el primer término de la expresión es el retraso de tiempo geométrico y el segundoes el retraso de tiempo potencial.

Principio variacional en lentes gravitacionales

Veamos, como comentario adicional en esta sección, que la aplicación del principio

de Fermat [57]al tiempo de arribo de una imagen puede utilizarse para determinar

la ley de dellexión 01(0) en términos del potencial de la lente. La validez de dicho

principio se extiende incluso a espacio-tiempos no estacionarios [70'7‘]. Consideremos

la familia de trayectorias zig-zag cinemáticamente posibles que unen fuente y obser­

vador, parametrizadas de acuerdo al valor de 0. La ecuación (2.34) expresa, a menosde una'constante irrelevante en este planteo, el tiempo de viaje a lo largo de cada unade las mismas. De acuerdo al Principio de Fermat el tiempo de arribo del rayo de luzverdadero debe ser estacionario, de lo cual se deduce

A Da ‘zo => maz-five (2.36)Ñ D3

Comparando (2.36) con (2.1), llegamos nuevamente ala conclusión de que el ángulo dedeflexión será el gradiente del potencial deflector, a = VW, como se había demostradoen 52.2.2 a partir (le las ecuaciones geodésicas.

2.5 Efecto lente en un contexto cosmológico

En las secciones precedentes se dedujo la ecuación de lente, la magnificación relativa ydesfasaje de tiempo entre imágenes, suponiendo un espacio estático y asintóticamenteplano. Veremos que éstas ecuaciones requieren muy poca modificación para ser exten­didas a un contexto cosmológico de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) [72'73'74].

23

2.5.1 Modelo de FRW

A grandes escalas, del orden de 500 Mpc digamos, el universo es en promedio isótropoy homogéneo. Asi lo sugieren por ejemplo la uniformidad de la temperatura de la

radiación cósmica de fondo y la distribución de galaxias. Tal universo admite serdescripto por la métrica de Robertson Walker

drz 2 2 2 - 2 2

T2+r df) +r srn add) . (2.37)ds2= czdt2—¡12(t)da2 con da2= fi

Aquí (t,r,0,<I>) son coordenadas comovientes. El parámetro k = +1,0 ó —1definela curvatura de la métrica 3-dimensional. La coordenada t es el tiempo cósmico, que

para observadores a (r,0,<I>) = const., coincide con el tiempo propio. R(t) es unfactor de escala cósmico, en principio arbitrario, que da cuenta de la expansión (o

compresión) global del universo.

Adoptando el modelo de Friedmann-Lemaitre según el cual el universo se comportacomo un fluido perfecto espacialmente isótropo, y aplicando las ecuaciones de campode Einstein obtenemos

iia) _ 41er(t) Am _ ——3— + — (2.38)

donde el punto denota derivada respecto a t, p(t) es la densidad de materia, A es laconstante cosmológica, y hemos asumido que la presión es despreciable. La expansiónadiabática implica

p(t)R3(t) = const (2.39)

Las tres ecuaciones de campo en (2.38) y (2.39) están relacionadas por las identidadesde Bianchi y sólo dos son independientes.

La dinámica del universo estará. determinada por tres parámetros cosmológicos:

H = parámetro de HubbleQ = ¿{FCE parámetro de densidad (2-40)/\ = constantecosmológicanormalizada

24

-vvwvvvvvvvvv"'.'...................

donde, H mide la velocidad de expansión del universo, Q es la densidad de materiarelativa a la densidad critica y /\ representa el término de energia de vacío en lasecuaciones de campo de Einstein, que pudo haber jugado un papel muy importante.en estadios tempranos del universo, potenciando por ejemplo un proceso de inflación.Denotaremos con un subindice “o” el valor actual de éstos parametros.

Combinando las ecuaciones (2.38), (2.39) y (2.40), la expansión del universo R(t)

se puede expresar en función de los parámetros cosmológicos actuales según

. . 9,12,, A0122

R2 = HjRfi (T + R2 - (0,, + Ao—1)) (2.41)0

2.5.2 Distancia diámetro angular

En un espacio Euclideo estático es posible definir una variedad de distancias deacuerdo a diferentes métodos de medición, que resultan todas equivalentes. Por ejem­plo: la distancia diametro angular, luminosa, por paralaje, propia, etc. En un contextocosmológico en general, donde el espacio-tiempo ya no será necesariamente plano y laparte espacial se escalea con RU), éstas definiciones de distancia son todavía aplica­bles, pero diferentes definiciones conducen a diferentes distancias.

Las distancias cosmológicas serán función del corrimiento al rojo cósmico z. Ra­

diación electromagnética con longitud de onda A1emitida por una fuente en il, serávista por un observador a tiempo t0 con una longitud de onda Au, mayor a la deemisión debido a la expansión del universo. El corrimiento al rojo z se define en

términos de estas longitudes de onda de la siguiente manera

A” RU”) (2.42)1+ZE —Al R(t¡)

En el contexto de lentes gravitacionales haremos uso de la distancia diámetro angular,

D(z,, 2,), que relaciona el diámetro propio dde un objeto situado a corrimiento al rojozj con el diámetro angular 6 con que éste es detectado por un observador ubicado aun corrimiento al rojo z,- < 21-:

(l

D(z,—,zj) = 3 R(z,-) 1'(z,,z,-) (2.43)

donde 1‘es la coordenada radial de la métrica de Robertson-Walker. En un universo

plano 1'(z,-,21-)es sencillamente 1']-—1',-.Estudiando la desviación geodésica de dos rayos

25

vecinos dentro de un haz se arriba a que la distancia diámetro angular D satisface lasiguiente ecuación diferencial [75]

2(1+ z)QD" + (4Q + (1 + z)Q’)D’ + 3(1 + z)2Í2°D = 0 (2.44)

donde

Q = 00(1+2)3 —(90H, —1)(1+z)2 +A, (2.45)

y la prima denota derivada respecto al corrimiento al rojo z. Sólo en contextoscosmológicos particulares existe una solución analítica a esta ecuación. Por ejemplo,en modelos con constante cosmológica Ao= 0 resulta

20 (1 - 90 - GiGj)(Gi - Gi) .= . l/2 2.H0 og<1+z,-)(1+z,)2 ’ G' (“W”) ( 46)

D(ZÍ) =

2.5.3 Desfasaje de tiempo entre imágenes y ecuación de lalente

Veamos cómo generalizar la expresión del desfasaje de tiempo entre imágenes (2.35) aun universo homogéneo de FRW. Asumimos que en la vecindad de los rayos de interés,

la métrica puede ser aproximada por

2_ 2 E 2_ _a 02ds 42(1) {(1+62)dT (1 62m} (2.47)

donde U es el potencial gravitatorio del dellector, independiente del tiempo, y T esel tiempo conforme, definido por dt/dT = R. La expresión (2.47) combina la métricade Robertson Walker (2.37) con la métrica local (2.2) extendida a una geometría noEuclidea. Supongamos que el observador se encuentra en el origen, tal que el eje de la

-lente está caracterizado por 0 y (I,constantes, y podemos parametrizar la trayectoriade los rayos con la coordenada radial r. En un espacio con curvatura k = 0, siguiendola geometría Euclidea, la contribución geométrica al retraso de tiempo conforme serála misma que la evaluada en (2.30) reemplazando las distancias en esa expresión pordistancias coordenadas. El retraso geométrico en tiempo conforme es entones

7'de

CATgeom= 2(Ts—_rd) - ,Ü)2

26

-vvvvv-v--""."...............

Como este retraso es muy pequeño comparado en el tiempo de Hubble, Ho’l, podemos

aproximar

c ALgeom= RoATgeom

Para conocer At en términos de observables, debemos relacionar las posiciones coor­

denadas rd y rs con los redsliifts de la lente y la fuente, zd y 2,,respectivamente. Dicha

conección es sencilla, si apelamos a la definición de distancia diámetro angular. De

acuerdo a (2.43), rd E 7'(0,zd) = D(0,zd)/Rd = Dd/Rd, análogamente ’I‘s= DS/Rs,

y 7,, —rd E 1‘(zd,z,,) = D(zd,zB)/R,, = Das/Rs. Reemplazando estas expresiones en

(2.49), y usando que (1 + zd) = ¡Io/Rd, se obtiene

DdD" (a —B)” (2.50)CAtgeom= (1+ 2d) 2Dd s

Excepto por el factor (1 + zd), esta expresión es análoga a (2.30) reemplazando las

distancias Euclideas por distancias diámetro angulares. La fórmula (2.50) tambiénvale para espacios con curvatura k = 1 ó k = —1. En el caso k = 1 se obtiene

repitiendo el mismo procedimiento en geometría esférica en vez de'plana, y en el casok = —1haciendo el cálculo análogo con funciones hiperbólicas.

Para obtener el retraso de tiempo potencial, podemos utilizar el resultado obtenido

en (2.33). Este retraso tiene un origen puramente local, puesto que se origina cuandolos rayos atraviesan las cercanías de la lente. Luego, el paso del retraso en tiempo

conforme al retraso en tiempo propio medido por el observador se realiza simplementeteniendo en cuenta la dilatación temporal causada por la expansión del universo mien­tras los fotones viajan desde las vecindades del deflector hasta el observador. La

corrección involucra un factor (1 + zd), y entonces resulta

cAtpm = —(l + 2d) \II(¿) + const. (2.51)

El retraso de tiempo total entre un rayo deflectado por la lente, y un rayo ficticio queuna fuente y observador sin ser deflectado, es entonces

D D

CA: = (1 + zd) { 2;) a (o —B)? —me} + const (2.52)ds

La ecuación de la lente deducida de esta expresión utilizando el principio de Fermatresulta

e = o —% a(Dd0) con a = vxI/(Dda) , (2.53)

27

donde todas las distancias involucradas en (2.52) y (2.53) son distancias diámetroangulares y deben evaluarse en el contexto cosmológico fijado (Dm/M”Ho), medianteresolución de (2.44). Por ejemplo, si k = 0 y A0= 0, el factor de distancias en (2.52)se reduce en términos de corrimientos al rojo a

(1+ Zd)DdDB= c “41,23) = 2€ (1- \/1+2d)(1— V1 + la) (2 54)Dde ¡"lo ¡{o V1+Zd-V1+Za .

El retraso de tiempo entre dos imágenes en el caso cosmológico se obtiene de (2.52)análogamente al deducido en 52.4.2. Expresando el mismo en función de la deflexión

reescaleada 61(9), de acuerdo a (2.10) y (2.12), resulta

DdD, 1 - - 9‘ ,- ,cAtü = (1+ zd) —(0.-—0,)[a(a,.) + a(0,-)] —/ da 040) . (2.55)Dds 2 0,"

El retraso de tiempo (2.55) es suma de dos contribuciones, una geométrica y otrapotencial. Ambas contribuciones son de magnitud comparable a At N D622. Para

fuentes cosmológicamente distantes, D N cHo’l, que experimentan dellexiones típicasde 1", podemos estimar At N 1 año.

'lïansformación de invariancia

Denominamos transformación de invariancia a una transformación en los paráme­

tros del modelo de una lente gravitacional tal que la magnitud de todos los observablesdel sistema no se ve alterada. Veamos que si se agrega una densidad de masa superficialconstante a la lente, ésta provoca una convergencia adicional de los rayos, que puedeser compensada por una cambio en la constante de I-Iubble, tal que la configuración

de las imágenes y la diferencia de tiempo de arribo permanecen sin cambio.

Supongamos que se ha encontrado un modelo para la lente que da cuenta de todos

los observables. El mismo está dado por un ángulo de deflexión escaleado 69(0), y conHo = 50 km seg’l Mpc‘l predice el retraso de tiempo observado. Para este modelo,la ecuación de la lente es

fi = a —5,9(0) (2-56)

Es conveniente expresar la constante de Hubble en, por ejemplo, unidades de 50 kmseg’l Mpc‘l, tal que Ho = hsox 50 km seg‘l Mpc“. Modifiquemos el modelo

28

de la lente en dos aspectos simultáneamente. Primero, permitiendo que hso tomevalores diferentes de 1, y segundo, adicionando una lámina de materia con densidad

de masa superficial rc uniforme. Estos cambios resultan en una deflexión a’(0) —

¡150¿19(0) + K,0, y la nueva ecuación de la lente es

fi= —K)0- h50

La posición relativa entre dos imágenes 2'y j es según (2.57)

0.-—01-= 1’15: [69(00 - ág(01-)l (2.58)

y la matriz que mapea ,3 en 0 es

hso 639.l-n 30]) am)

a partir de la cual se calcula la magnificación de una imagen según (2.23) y (2.24).La posición y magnificación relativa entre las imágenes permanece invariante si

hso

1 — K.:1 QM)

Finalmente consideremos el desfasaje de tiempo Atij. Primero, se puede notar que(2.55) es lineal en ¿(0) para una separación angular (0,-—01-)fija. Segundo, cualquier

contribución a ¿(0) que sea lineal en 0 no contribuye a Atü, como puede verificarsefácilmente, un término en á de la forma K0 se cancela en el retraso de tiempo. A

partir de (2.55), (2.57) y (2.60) podemos ver que

A%=Afi’, mm)

0 . . . .

donde Atsj) es el retraso de tiempo [)l'C(llCllOpor el modelo original (2.56).

Si la relación (2.60) se satisface, todos los observables del sistema permaneceninvariantes. La invariancia respecto a cambios simultáneos de H0 y la densidad demasa superficial n‘tiene como consecuencia que no será posible determinar Ho a menos

que se COHOZCB,K.

29

2.6 Determinación de H0

Como señalamos anteriormente en 52.4.1, la observación de las posiciones y magnifi­caciones de imágenes múltiples de una misma fuente puede usarse para deducir fi yconstruir un modelo del potencial del deflector Í, ó lo que es equivalente (le la ley

de deflexión á. La detección adicional del retraso de tiempo entre variaciones de dos' (o más) imágenes permite obtener una estimación de la constante de Hubble “l. En

efecto, habiendo ajustado un modelo para á, la medición de Atü (junto con la sepa­ración angular de las imágenes) permite determinar a partir (le (2.55) la magnitud delfactor de distancias diámetro angulares DdD,,/Dda que, evaluado en un dado contextocosmológico, es inversamente proporcional a la constante de Hubble Ho y depende de

los corrimientos al rojo de la lente y fuente, zd y za, y de los parámetros {lo y Aosegún

(1+ Allí = í ¡(zmlmflmAo) (2-62)3

Dst C0

Por ejemplo, para k = 0 y Ao = O (2.62) se reduce a (2.54). A partir del (2.62) se

puede estimar Ho, una vez medidos zd y 2:8y fijado el escenario cosmológico 0° y Ao.

En el quásar doble 0957+561 [6],el retraso de tiempo entre imágenes ha sido medido

con gran presisión. Dicha determinación no fue sencilla, en parte debido ala presenciade variaciones no correlacionadas en el flujo de las imágenes originadas por la incursión

de estrellas pertenecientes a la galaxia lente dentro de los haces. Luego de varios añosde debate acerca del valor del retraso de tiempo, con estimaciones que se expandíandesde N420 días ¡“l hasta N540 días “2], finalmente se pudo obtener una mediciónampliamente aceptada de At = 417d: 3 días “al reivindicando al primer grupo. Tradi­cionalmente, 0957+561 era considerado un sistema complicado para modelar pues la

galaxia lente primaria G1 forma parte de un cúmulo. El modelo fue evolucionandoprogresivamente (“l y se perfeccionó mediante mediciones VLBI de alta resolución enlas imágenes del sistema. Sólo una degeneración permanece en el mismo, que puederemoverse midiendo en forma directa la dispersión de velocidades a de G1, o la den­sidad de masa superficial ¡edel cúmulo. La medición de estos parámetros condujo ados determinaciones independientes y consistentes de Ho “3]

1 — K

Ho = 7+10( > —1 —16_ll 0.82 kms Mpc

H0 = +13( 0 ) -—1 —164_M 275kms_l kms Mpc (2.63)

30

Recientemente, también se lia determinado el retraso de tiempo entre imágenes del

quásar cuádruple 1115+080, y las primeras estimaciones de H0 han sido obtenidasmediante rnodclados básicos (le la lente “5].

Este método es el único conocido hasta el momento que permite estimar H0 a partirde fuentes de alto corrimiento al rojo z, y se espera pueda hacerlo con una incerteza

por debajo del 10%. Todos los otros métodos clásicos empleados utilizan fuentes a

bajo z, y hasta el momento no han logrado reducir el factor 2 de incerteza que poseen.

Es importante señalar que este método, aqui brevemente relatado, adolece de variasfuentes de error sistemático. La primera es la degeneración entre Ho y una densidad de

masa superficial constante rcen el plano lente como se discutió en 52.5.3. Sin embargo,

si K.2 0 siempre puede considerarse al valor de Ho obtenido por éste método como

una cota superior. La segunda incerteza está asociada con la elección del modelocosmológico empleado. En primera instancia, en un universo homogéneo de FRW, el

factor de distancias involucrado DdD,,/Dd,3y el valor de Ho deducido de él dependen de

los valores adoptados para Quy Ao. Si consideramos además la presencia de estructuras

a gran escala en el universo, las inlromogeneidades presentes en la línea de mira puedenafectar las propiedades observables del sistema lente y llevar a una estimación erróneade Ho 'si no son tenidas en cuenta apropiadamente. Este es uno de los temas queanalizaremos más adelante en esta tesis, en el capítulo 54.

2.7 Efecto lente débil

Cuando la luz proveniente de una fuente se propaga a través de una distribuciónde materia de menor densidad, las pequeñas deflexiones que ésta origina no generanimágenes múltiples pero distorsionan la imágen de la fuente mediante el llamado efectolente débil. Dicho efecto tiene lugar porque la deflexión gravitacional dentro del haz

de luz que conforma una imagen no es la misma en todos los puntos y en consecuencia

la forma (le la(s) iinágen(es) (le una fuente se ven modificadas. Este es el origen, porejemplo, de la elongación tangencial de galaxias lejanas que son vistas a través delpotencial gravitatorio de un cúmulo de galaxias más cercano [35'36].

Comencemos estudiando las distorsiones por efecto lente débil generadas por unadistribución de masa localizada, que suponemos proyectada en el plano lente, y cuya

ley de dellexión es 01(0) = V\ÏI. El mapeo B —)0 de los puntos de una fuente en

los puntos de su imágen está determinado por la matriz de distorsión A(0) = 8,6/30

31

definida en (2.22). Para la ley de dellexión tratada, puesto que a es un gradiente, Aes simétrica y podemos escribirla en la forma

1 _A = K + '71 72 , (2.64)

72 1 - K - 'Yl

donde hemos definido

(‘Ï’u + ‘Ï’22)

(oh-IMID-l

'71 = (‘Ï’n — ‘Ï’ul i '72 = —‘Ï’12= —‘Ï’2l (2-65)

y los subíndices de \ÏI denotan derivadas parciales respecto a las componentes del

vector angular 0 en el sistema de coordenadas (171,122)adoptado en el plano lente. Deacuerdo a (2.11), el parámetro K.es la densidad de masa superficial dentro del haz,usualmente denominada convergencia. Es posible demostrar que (71,72) en cambio,dependen de la materia externa al haz, siendo generados por fuerzas gravitatorias (lecorte debidas a la anisotropía en la distibución de la misma. Se denomina a estascomponentes shear.

Es conveniente escribir las componentes del shear de la siguiente forma

(71, '72) = 7(cos 2d),sin 24>) (2.66)

donde 'y expresa la intensidad del mismo y d)la dirección de uno de sus ejes principales.

En un sistema de coordenadas (z’hx’z) en el plano lente cuyos ejes estén definidosparalelos a los ejes principales de shear, d)= Oy la matriz de distorsión A’ es diagonal:

A': (1_”+7 0 ) (2.67)0 1-K-7

Para ver cómo se ve afectada la.forma.de una imagen debido a esta distorsión, conside­remos una pequeña fuente circular de radio angular p, ubicada en fi = 0, y delimitadapor la curva

c(t) = p(cos t,sin t) (2.68)

32

La correspondiente curva, delimitando la imagen es

d(t) = (.A‘l')’lp(cost,sin t) , (2.69)

y corresponde a una elipse canónica, con semiejes a’, b’, paralelos a los ejes principales

de shear, y de magnitud

I I pa¡b=mEl efecto lente débil originado por la matriz de distorsión A es entonces tal que la

imagen será elongada/comprimida en magnitudes dadas por los factores fi = ( —

K.:l: 7)" a lo largo de las direcciones de los ejes principales de shear que (liagonalizan

A, esto es (d),d>+7r/2). Los factores fi están aquí determinados por la inversa de losautovalores de A. El área de la imagen es un factor |f+f_| = |detAI‘l = |p| mayorque el área de la fuente, como había sido anticipado en (2.24).

En general fluctuación pequenñas en el potencial gravitatorio actuarán como lentesgravitacionales débiles. Esto incluye, además de las fluctuaciones escalares (de den­

sidad de materia) a las fluctuaciones métricas tensoriales y vectoriales. La ley dedeflexión en estos casos no estará dada por el gradiente de un potencial y en conse­cuencia la matriz de distorsión no será necesariamente simétrica y tendrá la forma

A= l-K-l'71 —w+72W + '72 l — 'í — '71

donde w representa una rotación rígida de la imágen. En la Figura 2.2 se esquematizanlas distorsiones inducidas en la imágen de una fuente intrínsecamente circular por

una convergencia K,shear de intensidad 7 actuando en dos direcciones independientes

d)= 0 y 7r/4, y rotación w.

Si la fluctuación del potencial gravitatorio no está localizada en un plano sinoque existe una distribución de lentes gravitacionales débiles a lo largo de la línea demira hacia la fuente, las deflexiones que éstas generan se acumulan en forma continuatal que los parámetros de distorsión n, 'y y w se transforman en integrales de lasfluctuaciones del potencial a lo largo de la trayectoria de la imágen de la fuente. En elcapitulo 55 trataremos más en detalle esta situación al considerar el efecto lente débilinducido por fluctuaciones de densidad a gran escala en el universo y por un fondocosmológico de radiación gravitatoria.

33

Figura. 2.2: Deformaciones por efecto lente dédil de una. fuente intrínsecamente circular deradio unitario. En línea punteada se muestra el contorno de la fuente y en línea llena la

imágen distorsionada por cuatro efectos diferentes: (a) convergencia K, (b) y (c) shear de

intensidad 'y en las direcciones d)= 0 y 4)= 1r/4 respectivamente, y (d) rotación w.

34

>IUUUUUUUIUCCOOOOOIOOOOOOOOOOOOOOQOOOOOOOOOOOO.oOO

Capítulo 3

Propagación de la luz en ununiverso inhomogéneo

En promedio sobre escalas muy grandes, 500 Mpc por ejemplo, el universo es isótropo

y homogéneo, y puede ser aproximado por un espacio-tiempo de Robertson-Walker.Asi lo sugieren la uniformidad de la temperatura de la radiación cósmica de fondo,la isotropía en la distribución de radio fuentes y galaxias, y las velocidades peculiares

de galaxias respecto de la velocidad de expansión. Sin embargo, a escalas menores eluniverso es inliomogéneo ¡"'76'771. La presencia de estructuras luminosas tales como

galaxias y cúmulos de galaxias así lo demuestra. Es sabido además que la materialuminosa sólo manifiesta una fracción de la materia total en el universo, la mayor

parte de la cual se encuentra bajo la forma de materia oscura. Existe relativo con­senso en que la formación de estructuras a gran escala se ha producido a partirdel crecimiento por inestabilidad gravitatoria de perturbaciones iniciales de densidad.Candidatos teóricos para generar tales fluctuaciones durante estadios tempranos deluniverso son el modelo inflacionario [73'79]y las cuerdas cósmicas [8°]. Como resul­

tado, las teorías de formación de estructuras predicen un espectro de fluctuaciones dedensidad cuya amplitud y forma pueden acotarse mediante estudios de la abundanciade clusters de galaxias [3'], velocidades peculiares de galaxias [38],y anisotropias en

la radiación de fondo [37].Por otro lado, estos modelos también preveen la existenciade un fondo cosmológico de radiación gravitatoria con longitudes de onda extremada­mente largas [32'83]. Su eventual presencia es otra fuente de inhomogeneidad a granescala, y puede acotarse por las predicciones de nucleosíntesis en el modelo estándar[34],las mediciones del COBE (35],y las anisotropías presentes a escalas menores [85].

35

La propagación de la luz a través de un universo inhomogéneo con fluctuaciones dedensidad y ondas gravitacionales difiere de la propagación en un universo homogéneodebido a que las trayectorias de los fotones son deflectadas por la presencia de las

perturbaciones métricas. Prácticamente en cualquier región del universo, exceptoen las vecindades de agujeros negros, la amplitud de las fluctuaciones métricas es

pequeña y las desviaciones de la homogeneidad pueden ser tratadas con una teoría deperturbaciones a primer orden.

Las herramientas básicas para tratar la propagación de la luz en un universo inho­mogéneo se desprenden de la óptica geométrica en espacios curvos. En este capítuloderivamos a partir de dicho formalismo algunas de las propiedades que describen lapropagación de la luz a través de un espacio-tiempo con perturbaciones métricas es­calares y tensoriales. Abordamos el tema con un enfoque que será particularmenteútil en el análisis del efecto de las perturbaciones sobre sistemas de lentes gravita­

cionales. Para una revisión general sobre propagación de la luz en espacios curvosreferimos al lector a la monografía de Misner, Thorne y Wheeler (1973) [73].La mayorparte del material en este capítulo fue estudiado en trabajos anteriores que versan

sobre el efecto de estructuras a gran escala en lentes gravitacionales, lo presentamos,

sin embargo, por completitud y porque nuestros resultados incluyen efectos debidos agradientes longitudinales en las perturbaciones que no habían sido tenidos en cuentaen estudios previos [2113133].En la sección 53.1 planteamos las ecuaciones geodésicas

de rayos de luz que se propagan a través de un universo con fluctuaciones métricasescalares y tensoriales. Trabajamos a orden lineal en las perturbaciones y estudiamosel comportamiento de una familia de rayos vecinos que convergen a un punto. Discu­timos la naturaleza de las deflexiones inducidas. En 53.2 reveemos las ecuaciones de

desviación geodésica de rayos que convergen a un punto. En 53.3 estimamos el orden

de magnitud de las deflexiones absolutas y relativas de rayos que se propagan a travésde un fondo estocástico de perturbaciones escalares y tensoriales.

3.1 Geodésicas nulas

Por simplicidad, discutiremos la propagación de la luz en una geometria de Minkowskiperturbada. Dado que métricas conformemente equivalentes, dá2 = desz, poseen lasmismas geodésicas nulas (sólo los parámetros afines correspondientes son diferentes),el formalismo es fácilmente extensible a modelos de Robertson-Walker planos. Lageneralización a modelos con curvatura requiere además de una adaptación en el

36

sistema de coordenadas conforme utilizado.

Consideremos una métrica de fondo de Minkowski: 1),“,= diag(—1,1,1,1), con

perturbaciones escalares y tensoriales hlw. El intervalo del espacio-tiempo es

([52 = (7),“,+ hn”) drc"dx” (3.1)

En lo que sigue denotaremos con indices griegos a,fl,... = 0,1,2,3 coordenadasespacio-temporales. Indices latinos 2',j, = 1,2, 3 expresarán coordenadas espaciales,con excepción de los indices a,b = 1,2 que reservamos para las dos componentestransversales a la dirección de propagación no perturbada de los fotones, la cual con­sideramos aproximadamente paralela al eje 13. En algunas oportunidades tambiénutilizaremos negrita k, :r, n, m... para designar trivectores.

Denotamos el 4-momento de los fotones con p“ y a su valor no perturbado, es deciren ausencia de las fluctuaciones métricas, con n":

dx"7)"= =11"+donde 1‘es un parámetro afín.

Dado que el potencial gravitatorio de las fluctuaciones de densidad y ondas gra­vitacionales cosmológicas varia sobre escalas mucho mayores que la longitud de ondade los fotones, es posible describir la propagación de la luz a través de estas per­turbaciones métricas mediante las leyes de la óptica geométrica en espacios curvos

[73]. Expandiendo la solución a las ecuaciones de Maxwell en potencias de la longi­tud de onda electromagnética dividida por la escala de longitud en la cual varian lasfluctuaciones, al orden más bajo encontramos que las trayectorias de los fotones songeodésicas nulas:

t (12:15" ¡l u 7

P’ 7’14= 0 i (¿T2 = 4‘” p p (3.3)

donde

gunrl/‘v = Twin/r7 + 907.1!_ Ill/7.a) (3.4)

es la conexión afín y 9,“, = 1),“,+ h“, es la métrica del espacio-tiempo.

37

Suponemos que la amplitud de las fluctuaciones métricas h", es pequeña, y tra­bajamos a orden lineal en las mismas. Las geodésicas de la métrica (3.1), a primerorden en IL,,.,,se reducen a

anI" la 1 I/W = —17’(haya —511w") n, n" (3.5)

Se consideran fotones que se propagan aproximadamente antiparalelos al eje :12'1y arri­

ban a un observador ubicado en el origen. Su dirección de propagación no perturbada

subtiende un ángulo (50,60)) respecto al eje 11:3.Suponemos 6“<<1 y trabajamos aprimer orden en ó“.

Mantenemos a 6“ como grado de libertad, en lugar de considerar simplementefotones con ó“ = 0, porque en los capítulos siguientes emplearemos estas ecuaciones

para describir: la trayectoria de las imágenes múltiples de una lente, y (ii) elcomportamiento diferencial de los rayos pertenecientes a un haz sometido a efectolente débil. En ambos casos las trayectorias de los fotones no perturbados no pueden

ser estrictamente paralelas al eje 3:3pues no satisfarían por ejemplo la condición de

localización en el punto de observación.

Elegimos un parámetro afín

r = 1:3+ O(h, a?) (3-6)

Notar que así definido, el parámetro afín decrece con la propagación de los fotones yse anula en el punto de observación. El tiempo puede parametrizarse de acuerdo a

t = te + (re —r) + 001,62), donde e denota punto de emisión de los fotones. Con estasconvenciones, la dirección de propagación no perturbada de los fotones es

n": (-1,11): (-1,ó('),ó(2),1)+0(62) , (3.7)

tal que n -n = 1+ 0(62).

En lo que sigue, restringimos nuestro análisis a rayos que convergen a un puntosobre el eje 2:3en 7' = r0. Parametrizamos entonces el desplazamiento de los fotonesrespecto del eje 1:3en el plano perpendicular a dicho eje como

a:°(r) = ó“ (r —ro) + 001,62) (a = 1, 2) (3.8)

......................-A-----------­

Utilizamos para las perturbaciones un gauge en el cual hOJ'= 0. De acuerdo a (3.5),

la ecuación geodésica para el apartamiento transversal de los fotones respecto al eje3:3 resulta, a orden lineal en ó,

([2 tu“

¿7 = D“(t,x) + F“,,(t,x) ¿b+ 0012,¿2) (3.9)

DLl = ¿(hoc + ¡133),(1+ [103.0_ ¡103.3Fab = hub,0 - hab,3 - (¡tamb- h3b,a)

Consideremos una perturbación métrica plana con vector de onda k" = (k°, k):

hap(t,:1:) = hap(k) emi" (3.11)

Si la longitud de onda de las perturbaciones A= 277/}:es mucho mayor que la desviación

de los fotones respecto del eje 9:3, /\ >> r6, podemos desarrolar ei gradiente de lasperturbaciones a primer orden en kax“:

hanna, m) = hafluc) iia, (1 + ik(.z“)e‘(k"10+k”3)+ O(h(ró//\)2) (3.12)

Haciendo el mismo desarrollo en D“(t,a:), las ecuaciones geode’sicas (3.9) se puedenescribir

d2rr“

¿T2 = D“(1-)+ M“,,(1')6"+ 0[h?,ó2,h(ró/A)2] , (3.13)

con la matriz MM,dada por

Mab(r) = (1' —r0) Da_b(1')+ Fab(1') (3.14)

Notar que las cantidades D“(r) y M“b(1‘)en la ecuación (3.13) están evaluadas sobre

el eje 9:3:

Da(1') = Dn(t = te + Te —133:“ = 0,1‘)

Mub(7‘) = A/ab(t = tc + re —13x" = 0,1‘) (3.15)

39

En este punto, podemos señalar lo que creemos es la fuente de desacuerdo entrenuestros resultados y los de Seljak (1994), Bar-Kana (1996) y Kaiser & Jafl'e (1997)[21'87'88]. La ecuación geodésica planteada en estos trabajos coincide con ec. (3.13) si

Mal,= (r —r°)Da'b, en lugar de la expresión completa dada en (3.14). La diferencia.

es el término Fab, que surge como consecúencia de que, al orden de aproximación

considerado, las trayectorias no perturbadas de los fotones no pueden tratarse comoestrictamente paralelas al eje 2:3. Volveremos sobre la discusión de este punto másadelante.

Supongamos un rayo que en r = r0 se propaga en dirección

dar“

dr (To)= 5° + 0(h2, 62) (3.16)

de acuerdo a (3.13), seguirá la trayectoria

1:“(r)= ¿“(r —r0) + ['dr' [r dr” ww") + MW") ab] (3.17)

Realizando una de las integrales por partes, podemos compactar la expresión anteriora

:1:°(r) = [6“ + H°(r,r°) —1/)“b(r,r0) 6°] (r —ro) , (3.18)

donde el vector H“ y la matriz 1/)“b,ambos lineales en la perturbación h, están definidospor

H“(r,ro)=/'dr' D“(r') (3.19)

' 1'- r’Wwe) = —/ dr' —T_TMmr’) (3-20)

Notar que, al orden considerado, la integración en estas expresiones se lleva a cabosobre el eje 9:3 (según (3.15)).

En este análisis existen dos cantidades que suponemos pequeñas y en las cualestrabajamos a orden lineal: la desviación respecto del eje 2:3de la dirección (le propa­gación no perturbada 6, y la amplitud de las perturbaciones métricas h. Se ha supuestoademás que las perturbaciones son a gran escala, y su longitud de onda /\ mucho mayor

40

que la separación transversal de los rayos r6. Esta hipótesis fue utilizada cuando losgradientes de las perturbaciones en las expresiones (3.10) se desarrollaron a primer

orden en 1‘ó//\ según (3.12). Dicho de otra manera, se tiene en cuenta el efecto degradientes transversales en las fluctuaciones de potencial gravitatorio hasta segundoorden, y se despreciau los de orden superior.

En el espacio de Minkowski la trayectoria es una recta, como se expresa en (3.8),

pero, en un espacio con fluctuaciones métricas los rayos son deflectados y la dirección

de propagación oscila respecto (le la no perturbada, como se manifiesta en (3.18). Lafuente de estas deflexiones es la presencia de gradientes en el potencial gravitatorio,

como vemos en (3.9) y (3.10). La corrección de orden más bajo debida a las per­turbaciones proviene de H“, y se manifiesta como una oscilación en la dirección de

propagación de los rayos de orden h y frecuencia lc, que deflecta de la misma man­era a todas las trayectorias de fotones vecinas que se encuentren dentro de un cono

pequeño alrededor del eje 3:3(notar que ese término es independiente de 6). Bajo elsupuesto de que la desviación transversal de los rayos es mucho menor que la longitud

(le onda de las perturbaciones, el orden más bajo (le aproximación (el orden cero enel desarrollo en serie de ró/A) equivale a considerar que: el gradiente transversalde las fluctuaciones es uniforme (a r constante) en la región en la cual se propagan

los rayos, y (ii) las trayectorias no perturbadas de los fotones coinciden con el eje 23.

Al siguiente orden, la corrección involucra deflexiones diferenciales entre rayos ve­

cinos (dellexiones que dependen de ó), de orden wubóbwhó. Podemos interpretar quelas mismas tienen dos posibles orígenes. Por un lado, cuando tenemos en cuenta quelas trayectorias no perturbadas de los fotones no son estrictamente paralelas con eleje 3:3,tanto los gradientes longitudinales, como un gradiente transversal uniforme en

el campo gravitatorio de las perturbaciones, provocan (lefexiones que dependen de ladirección de propagación de los rayos. Este es el origen del término Fabe contenido

en la ecuación geodésica (3.13) mediante (3.14). Por otro lado, cada rayo atraviesa elgradiente transversal de las perturbaciones con distinto parámetro de impacto ar“,demodo que la presencia (le un gradiente transversal no uniforme es el otro origen de lasdellexiones diferenciales entre rayos. Esta corrección a las trayectorias no perturbadas

aparece en el término (r -—11,)Dalb de Mar. en (3.13), y corresponde al primer orden

de nuestro desarrollo en ró/A.

En la sección 33.3 estudiareruos cómo el efecto de fluctuaciones métricas planasindividuales se acumula a lo largo de la trayectoria de un rayo, y cual es el orden de

magnitud del efecto inducido por un fondo estocástico de perturbaciones.

41

3.2 Desviación Geodésica

Tratamos a continuación la desviación geodésica transversal entre dos trayectorias

vecinas de fotones z? y 3:35:

Arca-(T) = 1520*) — 12;?(1') (3.21)

Suponemos que las trayectorias no perturbadas de los rayos no son paralelas, y que

los rayos convergen a un punto en r = ro con separación angular 7“,

Ama-(To) = 0

dAzf­Tim) = 7“+0(h2,72) (3.22)

La ecuación de desviación geodésica se obtiene sencillamente a partir de (3.13),donde la fuente de deflexión común a ambos rayos, Da, se cancela

dZAI‘ilz' _ Ma b 2 2 2drz — b(r)7 +O[h ,6 ,h(ró//\) ] (3.23)

Aquí Mab(r) se calcula de acuerdo a (3.10), (3.14) y (3.15). Sin embargo notemos

que, al elvaluar (3.23) al orden de aproximación considerado, la condición (3.15) esirrelevante. El resultado es independiente de si evaluamos los campos sobre el eje x3

o sobre algún otro eje paralelo al mismo pero desplazado en cierto :c“(ro) v3r6. En

consecuencia, la expresión para la desviación geodésica que derivaremos es indepen­

diente de si el punto de convergencia de los rayos pertenece al eje x3 o está levementedesplazado del mismo.

La solución con las condiciones de contorno establecidas es

“13(7) = [5%- 1NANO] (r - ro) '7" (3.24)

La fluctuación en la desviación geodésica de rayos vecinos inducida por las inhomo­geneidades se debe a deflexiones diferenciales en los rayos de orden h'y,el electo de las

deflexiones absolutas de orden h se cancela por ser común a los rayos.

Como discutimos en la sección anterior, para que dos rayos vecinos que se propagana través de gradientes de potencial gravitatorio experimenten deflexiones distintas

42

e---vvvvvvvvvvvvv'v-v'v'.""""'........-­

basta que las direcciones de propagación no perturbadas de los rayos sean diferentes

(como es el caso (le rayos que convergen a un punto), o que los mismos atraviesenperturbaciones con un gradiente transversal no uniforme.

Gradientes longitudinales o gradientes transversales uniformes en el potencial gra­vitatorio generan deflexiones diferenciales de rayos cuyas trayectorias no perturbadasno son estrictamente paralelas. En la ecuación de la desviación geodésica este efecto

aparece a través del término Fflból’contenido en la expresión de Mat, (3.14). Por lo

que es de nuestro conocimiento, esta fuente de deflexiones diferenciales en los rayosno fue tenida en cuenta hasta ahora en la literatura previa que trata sobre el efectode estructuras a gran escala en lentes gravitacionales [2"37'33].

3.3 Efecto de un fondo estocástico de perturba­ciones

En esta sección estimaremos el orden de magnitud de las deflexiones originadas por un.fondo estocástico de perturbaciones métricas, señalando las diferencias cualitativas en

la acumulación del efecto debido a fluctuaciones escalares y tensoriales. Según vimos

en (3.18) y (3.24), las (leflexiones absolutas y relativas inducidas por las inhomogenei­dades en las trayectorias de los rayos quedan descriptas a través de las funciones H“

y 1/)“b.Nos concentraremos entonces en el estudio de algunas propiedades estadísticasde estas cantidades.

3.3.1 Perturbaciones métricas escalares

Consideremos un modo de Fourier de perturbaciones escalares estáticas, con vectorde onda k" = k(0, k), descripto en el gauge longitudinal

hap(:1:) = h(k) ¿up ¿“k-w (3.25)

El mismo es apropiado por ejemplo para tratar perturbaciones de densidad adiabáticasen un fondo espacialmente plano de Robertson-Walker, dominado por la materia.

Sea k=km con m -m=1, y definimos m=(\/1 —pz cos d),\/1 —¡L5sin d),—;¿),demodo que ¡Ldenota el coseno del ángulo entre el vector de onda de la perturbación y

43

la dirección de propagación de los fotones n:

u = m -n (3.26)

Las ecuaciones (3.10) y (3.14) se reducen en este caso a

Da = ha = h(k)e-"'°"'ikma (3.27)

Mab = (r —ro) h’ab—óabhls = h(k) 64"” [-k2(r —ro)mnmb + ikuóab] . (3.28)

Estas expresiones, reemplazadas en (3.19) y (3.20), conducen a

Hn = h(k) [-ma fi(k,r,'ro)] (3.29)

1/)“,= h(k) [mamba(k,r, r0) + ¿Gomafl(k,1‘,r0)] , (3.30)

donde hemos definido

a(k,r,ro) = k21,:dr' W715" e-iw'(3.31)

, _ l _- Ifi(k, r, ro) = —zkfr: dr’:_—;oe W"

De las expresiones de a(u) y fl(p) se ve que los modos transversales u = 0 son modosresonantes en los cuales los fotones están en fase con la perturbación. Físicamente esto

es fácil de comprender porque cuando los fotones viajan a través de modos escalaresestáticos prácticamente transversales a su dirección de propagación reciben un efectocoherente de la perturbación a lo largo (le distancias prolongadas. Las deflexionesmás significativas se deben al gradiente transversal de la perturbación en los modosresonantes. Notar que a(u) —)k2(r—ro)(r+ 2T0)/6 y fi(p) —)—ik(r —1‘0)/2en el límiteu—)0.

Nuestros cálculos para el caso escalar difieren de los citados en trabajos anteri­

ores (21'87'381por la contribución de los gradientes longitudinales de la perturbaciónhla a la dellexión de los rayos en (3.28). La misma contribución se ¡manifiesta en el

término proporcional a fl(k,r,1‘o) en 1/¡"bde (3.30). Concluímos que, no sólo los gradi­entes transversales de segundo orden en el potencial gravitatorio de las fluctuacionesescalares pueden inducir dellexiones relativas en rayos vecinos, sino que también lapresencia de gradientes de la perturbación en la dirección de propagación genera tales

44

deflexiones. Los gradientes longitudinales, sin embargo, no contribuyen en la situación

resonante (pues m3fl= ufi= 0), y su efecto será sub-dominante al superponer todoslos modos de Fourier del fondo estocástico. Las estimaciones que siguen no difieren

entonces de las previamente obtenidas [2"37'33].

Consideremos ahora un fondo estocástico de fluctuaciones escalares. Descom­

poniendo el mismo en ondas planas sinusoidales, y usando que h(k) = h‘(—k), pode­mos escribirlo como

h(a:) = / (3733 }1(k)eik'm (3.32)

Si el campo escalar h(a:) es estadísticamente homogéneo e isótropo, en el espacio demomentos está caracterizado por las correlaciones

< h(k)h'(k’) >= (27r)3¿(k —k’) P(lc) (3.33)

donde P(k) es el espectro de potencias.

Los _valores medios de expectación de Ha y 1/)“,son nulos porque < h(a:) >= 0.

Calculamos a continuación la dispersión cuadrática media en Ha y ipab.Comencemospor

. _ dk 2 _

< Hqu >_ A2”), lc P(l.)la¿, , (3.34)

donde hemos definido

21r l

¡ab= [o dd/ ldu [mumb fifl‘] (3.35)

Como se mencionó anteriormente, en el límite kr>>l la contribución más importanteproviene de los modos resonantes transversales (¡r z 0), resultando

27r

[ab=óub-3_ + Idonde hemos considerado 1'0= 0. En orden de magnitud, la deflexión Ha inducida

por perturbaciones escalares de amplitud h y longitud de onda /\ = 21r/k se acumulacuando un rayo recorre una distancia D mayor que /\ como h(D/¡\)'/2 [2']. Dichaacumulación es fácil de comprender. Fotones viajando a través de una región de

45

tamaño A, en la cual el efecto de las perturbaciones es coherente, son deflectados

típicamente en h. Cada región /\ contribuye en forma independiente a la deflexión.

Dado que existen D/A regiones en el camino total de los fotones, sus contribuciones

aleatorias producen una dellexión total h(D//\)‘/2. Esta es la magnitud típica enque la posición angular aparente de una fuente a distancia D difiere de la posiciónverdadera, al ser detectada por un observador en la tierra, debido a las dellexionesinducidas en la trayectoria de la imagen por las fluctuaciones (le densidad próximas ala línea de mira.

Análogamente podemos calcular las correlaciones de ww:

< wa w; >= / (¿11:33k2Pac) IM (3.37)

En el limite kr>>1 podemos aproximar

21r l

[abcdz/ dó/ du [mambmcmdaa'] (3.38)o -1

que, para ro = 0, conduce a

7‘? 3 2[abcd=[abcd66 + ldonde

3 si abcd son todos iguales.

f..de = 1 si abcd son iguales de a pares. (3.40)0 en otro caso.

Cualitativamente, la deflexión relativa 1pm,inducida por perturbaciones escalares deamplitud h y longitud de onda A se acumula con la distancia recorrida D comowabrvh(D//\)3/2 ¡2"53].Nuevamente, hay una simple interpretación física para este re­

sultado. Dos rayos separados por un ángulo 'y sufren una fluctuación angular relativaiban", coherente sobre distancias /\, que es del orden de la diferencia en el potencial

gravitatorio Ah que atraviesan los rayos. Podemos estimar Ah z h,aaz“z hkry. Alo largo de una distancia D los rayos reciben (D//\) de estas contribuciones indepen­dientes. La fluctuación angular total es la suma no coherente de las contribucionesindividuales y resulta wen" z h(D//\)3/2'y.

46

Como ejemplo, estimemos el orden de magnitud de las deflexiones inducidas por un

espectro de potencias invariante de escala, como el predicho por modelos inflacionariosen un escenario con abundante materia oscura fría

Ale-3 k < k= ° 3.41

Pac) { Ak‘7k: k > k0 ’ ( )

donde el corte ocurre en ko 2 0.1Mpc“Ho/100km sec-lMpc‘l, el tamaño del hori­zonte en el momento de equilibrio radiación-materia. La amplitud, normalizada parak pequeños de acuerdo a la anisotropía en la radiación cósmica de fondo medida porel COBE-DMR, es A z 6 x 10‘3. Usando este espectro de potencias en (3.36) y (3.39)

obtenemos < HZ >=A(kor)/187r y < 1/22,,>=A(kor)3/3607r (con aséb). Estimamosentonces < I-I2>V2N 4 - 10"1 N1’ y < 1/)?>1/2N 0.02 para una fuente a corrimiento

al rojo z = 1. De este modo, debido a las dellexiones originadas por fluctuaciones

lineales de densidad, la posición angular observada de fuentes distantes aparece des­plazada (en promedio) de la posición “verdadera” por algunos minutos de arco, unefecto importante pero que no es medible en forma directa. Por otro lado, debido a

dellexiones relativas, dos rayos inicialmente separados en 'y sufrirán una fluctuaciónangular relativa N 0.02 7.

3.3.2 Perturbaciones métricas tensoriales

Estudiemos ahora las deflexiones originadas por ondas gravitacionales. Trabajamos

las perturbaciones tensoriales en el gauge transverso sin traza, donde haka = 0,

hu“ = 0, y hi: = 0. Consideramos ondas gravitacionales con vector de onda k" =k(1,m). Nuevamentem=(mcos d),Msin (,23,—¡¿)y ,u=m-'n. es el cosenodel angulo entre las direcciones (le propagación de la onda gravitatoria y de los fotones.Denotamos los dos modos de polarización independientes de las ondas gravitatoriascon los símbolos +, x. Los modos normales de las perturbaciones son

Iz¡,-(t,1:)=h¡j(k)ei(k'm‘“) (3.42)

47

con

hu(k) = h+(k)(u2 cos2tp —sinzw) - hx(k)nsin Zcphzg(k) = h,+(k)(u2 sin2 (p —cos2 9p)+ hx(k)u sin 2gp

h33(k) = h+(k)(1 _ N2) (3 43)¡mm =h+(k)%(1+ y?) sin 2<p+ hx (km cos2,0 'Im(k) = mmm cosw- h'x(k)\/1_NES¡"90h23(k)= MMM/W sincp+¡Mid/mmm

En el caso tensorial las funciones Da y MM,definidas en (3.10) y (3.14) se reducen a

1

Da Ehsam + ha3,0 - hn3,3 (3-44)

1

Mab = (T - To) {5,133,111}+ ha3,0b - hash] + hab,0 - hab,3 - hn3.b + hb3.a , (3-45)

que, reempladas en (3.19) y (3.20), y mediante (3.43), conducen a

Ha = [-áhaama + ha3(1—u)l ¿(16mm (3.46)

war;= [%h33mamb- haamb(1- Mi MEM“) (347)— — + (llaamb" hbSma)]fl(k)T)T0)

donde á y B tienen exactamente la misma forma funcional que a y fl en (3.31) reem­

plazando en u el argumento de la exponencial por 1 —p. Hemos despreciado ademásuna fase constante irrelevante.

Las ondas gravitatorias inducen dellexiones con características diferentes a las in­ducidas por las fluctuaciones métricas escalares porque, a diferencia de éstas, las

ondas gravitatorias se propagan. Los modos resonantes, ésto es aquellos cuyo efectopuede eventualmente adicionarse sobre distancias mayores a la longitud de onda dela perturbación, son ahora los modos longitudinales u: 1, tal que los fotones viajancon la onda gravitatoria en la misma dirección y con igual velocidad. Sin embargo,en el caso tensorial los modos resonantes no producen deflexión pues el gradientetransversal de la perturbación visto por los fotones es nulo para estos modos. Enefecto, Ha(p, = 1) = 1/J,,¿,(p,= 1) = 0. La deflexión inducida por modos cercanos au=1 también será pequeña. Nuevamente, nuestros resultados difieren de los citados

en [88] por los términos proporcionales a [706,13ro) en la expresión (3.47) de 1/205.

48

vvwvvvvvvvvvvvvwv'v"v"""""'............O-­

Estos términos introducen correcciones que son del mismo orden que las cantidadescalculadas, de modo que en orden de magnitud de las estimaciones que realizamos a

continuación concuerdan con las de [88].

Consideremos ahora el efecto (le un fondo estocástico de radiación gravitatoria,

construído por la superposición de ondas planas sinusoidales

1 13k . .

hp“) ¡13)= 5 /((27r)3 hp(k)e‘(k'm_“) + c.c. (3.48)

donde en este caso no existe correlación entre h(k) y h’(—k), tampoco entre modos depolarización independientes, aquí denotados por los índicesp, q: +, x. Perturbacionesestadísticamente homogéneas e isotrópas satisfacen

< h,(k)h,’,(k’) >= (21031511C—k’)ó,,,,P(k) (3.49)

donde P(k) es el espectro de potencias, y < h;(k)h;(k') >=< hp(k)hq(k') >= 0

Análogamente al caso escalar, podemos escribir los valores de expectación cuadra­

ticos de H" y 1/)“ como integrales en el espectro (le potencias. Por ejemplo,

dk

(2”)3

1

< HHH; >,,= 5 / k2Hit-mb, (3.50)

En el límite k1‘>>1el comportamiento del integrando es

[051+ = ¿“52%+ O[(k1‘)_2]- 3.51la“ = óab‘ï”+ 0[(kr)’zl ( )

Consideremos la expresión correspondiente para < 112M112;,>,, en términos de Inacap.

El integrando lam“, también resulta independiente de kr al orden más bajo

¡“Mpwom (3.52)

y se anula para las mismas combinaciones de subíndices que en el caso escalar.

Las dellexiones absolutas y relativas inducidas por las fluctuaciones tensorialesserán del orden de su amplitud adimensional, pero no mayores. Dicho de otra manera,las (lellexiones inducidas por las ondas gravitatorias no se acumulan sobre distanciasmayores que su longitud de onda. Consideremos, por ejemplo, un fondo estocástico

49

como el predicho por los modelos cosmológicos inflacionarios, con la mayor amplitudposible compatible con las detecciones del COBE-DMR. La desviación estándar (le la

amplitud, en estos modelos proporcional a la longitud de onda de las ondas gravitato­rias, es del orden < h(k)2 > V2N lO‘GHO/ck. El efecto dominante proviene ahora de laslongitudes de onda comparables a la distancia a la fuente. Las dellexiones absolutasinducidas por las fluctuaciones tensoriales son del orden < ¡{2 >l/2 N 10’GNo.2", un

factor 10‘2 menores que las inducidas en el caso escalar, en tanto que las fluctuaciones

angulares relativas <1/22>1/2 www"3 'y resultan menores por un factor 10-4. El efectodebido a ondas gravitacionales difícilmente sea detectable.

50

wvvvv'-""'..............

C.--1

Capítulo 4

Efecto de estructuras a gran escalaen sistemas de imágenes múltiples

Los rayos de luz provenientes de fuentes distantes son deflectados mientras se propagana través de las inhomogeneidades de materia en el universo. Este efecto de lente

gravitacional provee uno de los métodos más promisorios para mapear la distribuciónde materia a distancias cosmológicas. En el caso del efecto lente fuerte, las deflexionesproducidas por una estructura de materia suficientemente compacta que actúa comolente primaria dan origen a imágenes múltiples de una misma fuente. La observación

de la posición y magnificación relativas de imágenes múltiples de quásares se utiliza

para reconstruir la distribución de masa en la galaxia lente de éstos sistemas [3'9]. Estambién sabido, que la medición adicional del retraso en el tiempo de arribo entre dos

imágenes de un mismo quásar permite obtener una determinación de la constante deHubble “l. En el quásar doble 0957+561 la detección con gran precisión del retrasode tiempo “al, junto a un modelo perfeccionado del deflector ¡“1, han dado lugar a laprimera estimación de Ho por este método “al.

Sin embargo, la mayor parte de la materia en el universo reside en estructuras(le menor densidad. Estas originan pequeñas deflexiones, que no generan imágenes

múltiples, pero amplifican y distorsionan la forma de la imagen de fuentes lejanasa través del efecto lente débil. Un fondo cosmológico de radiación gravitatoria con­

tribuye adicionalmente a este efecto.

El efecto lente débil también actúa sobre lentes (le imágenes múltiples. Los rayosde luz provenientes (le la fuente y la lente en estos sistemas recorren distancias cos­mológicas antes de arribar al observador y son deflectados por las estructuras a gran

51

escala en el universo. Las deflexiones sufridas durante la propagación pueden afectarsignificativamente las propiedades observables del sistema lente, entre éstas Ia dife­

rencia de tiempo de viaje entre imágenes. En este sentido, Allen (1989,1990) ['6'17]había sugerido que el retraso de tiempo observado entre imágenes múltiples ofrecíapotencialmente un método para detectar ondas gravitacionales de longitud de ondacosmológica. En particular, requiriendo que el retraso de tiempo inducido por lasondas gravitatorias en el quásar 0957+561 no superara al valor observado Allen había

arribado mediante esta técnica a una cota superior para la amplitud de las ondasgravitatorias. En principio, el mismo método podría extenderse al estudio de inho­mogeneidades a gran escala en la distribución de materia “8].

Simultáneamente, si la existencia de fluctuaciones de densidad a gran escala y

ondas gravitatorias cosmológicas afectara significativamente la magnitud del retrasode tiempo entre imágenes, y los demás observables del sistema lente, la determinaciónde la constante de Hubble y la reconstrucción de la distribución de materia en la

lente primaria sin la inclusión de las estructuras a gran escala en el modelado del

sistema podrían conducir a conclusiones erróneas “9' 20'21'46'47'87'89]. En este capítulo

desarrollamos el formalismo apropiado para estudiar el efecto de fluctuaciones en la

densidad de materia a gran escala y radiación gravitatoria de larga longitud de ondaen los observables de un sistema lente con imágenes múltiples, y determinar si talesestructuras pueden ser detectadas, y/o comprometen la estimación de Ho, mediantemediciones en el retraso de tiempo entre imágenes.

En la sección 54.1 obtenemos la ecuación cosmológica de la lente, esto es, la relación

funcional que vincula la posición angular de las imágenes con la posición absoluta dela fuente y la deflexión ejercida por la lente primaria, de un sistema perteneciente aun espacio perturbado por la presencia de inhomogeneidades a gran escala. Dichaecuación contiene toda la información necesaria para analizar el retraso de tiempoentre imágenes y los demás observables del sistema. Suponemos que el potencialNewtoniano U del deflector es débil, y la amplitud de las perturbaciones métricas hes pequeña, y trabajamos a orden lineal en ambas cantidades. Suponemos además

que la desviación de la dirección de propagación de los rayos respecto al eje de lalente 6 es pequeña y que las fluctuaciones son a gran escala, de modo que hacemos undesarrollo en la trayectoria de los rayos en serie de potencias de ó y de la separaciónespacial de rayos dividida por la longitud de onda de las perturbaciones ró/A. En54.2 estudiamos las consecuencias de las correcciones lineales a la ecuación de la lente

no perturbada, ésto es, los efectos de orden h. Nuestra principal conclusión es que

las fluctuaciones a gran escala en el potencial gravitatorio a este orden modifican

52

significativamente la magnitud (le los observables del sistema, de manera equivalentea un cambio en la geometría de la lente, pero las relaciones funcionales entre losobservables, los parámetros del deflector y la constante de Hubble no cambian, de

modo que el efecto no compromete la determinación estos parámetros (46'"l. En 54.3describimos las correcciones de segundo orden, proporcionales a hó. El efecto a este

orden se manifiesta equivalente a la presencia de shear y convergencia externos a la

lente, que intervienen en la reconstrucción del deflector y la obtención de H0, peroCOI]consecuencias menores.

4.1 Ecuación cosmológica de la lente

Consideremos en principio una lente gravitatoria delgada y estacionaria, inmersa en

un espacio de Minkowski con métrica 1),“,= (—1,1,1,1), que posee perturbacionesescalares, describiendo fluctuaciones a gran escala en la densidad de materia, y tenso­

riales representando un fondo cosmológico de radiación gravitatoria. En lo que siguenos referiremos a la lente primaria, cuyo potencial genera las imágenes múltiples,simplemente con los términos “lente” o “(leflector”.

El objetivo de esta sección es hallar la ecuación cosmológica de la lente, vinculandola posición angular de las imágenes, la posición angular de la fuente y la deflexiónoriginada por la lente, en un espacio perturbado.

Suponemos que el potencial gravitatorio de Ia lente U es débil y las fluctuaciones

métricas h”, son de pequeña amplitud, y trabajaremos a orden lineal en ambas can­tidades. Podemos expresar la métrica del espacio-tiempo que representa estas com­ponentes como

. 2U 2U .

ds2 = {-(1 + 'c—2)dt2+ (l - CTMmz + ¡l¡4u(115"(1ï”} 1 (4'1)

donde utilizamos el gauge longitudinal para describir el efecto de la lente.

Sin perder generalidad supongamos que el observador se encuentra en el origen delsistema de coordenadas O: (0,0,0), y el eje 503coincide con el eje (le la lente (que

une observador y dellector); el dellector está ubicado en D= (0,0, 2:3)y la fuente en

Suponemos que las dellexiones de los rayos son pequeñas y trabajamos a ordenlineal en las mismas. Siguiendo las convenciones introducidas en el capítulo anterior,

53

parametrizamos las trayectorias de fotones con un parámetro afín r elegido tal que r =1:3+O(h.), y describimos la desviación de los fotones en el plano (xl, 1:2)perpendicularal eje (le la lente mediante el vector de 2 componentes z°(r).

Siendo la lente primaria delgada, la dcflexión que produce en los rayos de luz es

local. Podemos restringir entonces su efecto a generar una deflexión a en la trayectoriade los fotones cuando éstos atraviesan el plano de la lente en r = rd. Como vimos

en la subsección 52.2.2, tal deflexión es igual al gradiente de dos veces el potencialNewtoniano en 2-dimensiones de la lente, y es función del parámetro de impacto 6del rayo respecto de la misma. En las regiones rs 2 1'> rd y rd > r 2 0, comprendidasentre la fuente y el plano lente, y entre el plano lente y el observador respectivamente,suponemos que los fotones son dellectados únicamente por las inhomogeneidades agran escala, siendo el efecto de la lente nulo. Las trayectorias de los rayos de luz en

dichas regiones se describen entonces por las ecuaciones geodésicas planteadas en 53.1y 53.2, que corresponden a las geodésicas de la métrica (4.1) con U=0.

Para escribir la ecuación cosmológica de la lente definamos primero cuatro rayosauxilares como se indica en la Figura 4.1. El rayo R1 corresponde a la trayectoria

que sigue la imagen de la fuente que es detectada por el observador. Por convenienciahemos prolongado este rayo en forma ficticia a la región r8_>_'r>rd. El rayo R2 es un

rayo hipotético, que une la fuente y el observador en ausencia del efecto dela lenteprimaria. Notar que ambos rayos, R1 y R2, son deflectados por las perturbaciones

(como todos los que aparecen en la figura). El rayo R3 en el tramo rd > r 20, y el rayoR4 definido en r,32 r > rd, son rayos físicos que en conjunto componen la trayectoria

de una imagen observada de la fuente. Por conveniencia prolongamos el rayo R3 enforma ficticia a la región 1's2T > rd, con la condición de que no es deflectado por U.

La separación angular entre los rayos R3 y R4 en r -) rj’ es la deflexión a ejercidapor la lente en el plano r=rd. Análogamente, la separación angular entre R3 y R1 enr —)0 corresponde la posición angular en la cual se observa la imagen respecto de la

lente, que denotamos con 0. Resumiendo, si denominamos con 2:1?(r)a la desviacióntransversal del rayo Ri respecto del eje za, y con

Artur) = 1:20")—x;(r) , (4.2)

la separación transversal entre los rayos Ri y Rj, las trayectorias arriba definidassatisfacen las siguientes condiciones de contorno

:r‘l‘(rd) = O (4.3)

54

x3AX 21 S AX 34 /

TS 7A X31

R3

R2 R4

R1(X

Drd

R3

Bet

O 9a a

Figura 4.1: Lente gravitacional en un espacio con inhomogeneidades a gran escala. Enlínea destacada aparece la trayectoria (le una imagen de la fuente S que es recidiba por elobservador 0 en posición angular 0 respecto de la lente D. La trayectoria está compuestapor los rayos R3 (0 5 r < rd) y R4, y es (leflectada por la lente un ángulo a en a:

y por las inhomogeneidades a lo largo de todo su camino. El rayo R1 corresponde a laimagen observada (le la fuente. R2 es un rayo ficticio no (leflectado por la lente y definido

como referencia. ,Bd es el ángulo de alineación efectiva del sistema. Axij es la separacióntransversal en el plano fuente de los rayos Ri y Rj.

55

7:7(0) = o (4.4)

95203)= fl“rs (4.5)

13(0) = 0 (4.6)

¿134021) = 0 (4.7)

A331(0) = 0 (4.8)

dí:—:g4(r —+r3“) = a“ (4.9)

%(r —>o) = a“ (4.10)

donde fl“ = arg/ra es la posición angular absoluta de la fuente (es decir, la posiciónangular en que sería observada la fuente respecto de la lente, en un espacio no per­turbado, y si la lente generase dellexiones nulas).

Observando la Figura 4.1, podemos escribir la condición geométrica (lc que un rayo

emitido por la fuente arribe al observador, luego de ser dellectado por la lente y las

inhomogeneidades, mediante una relación entre las desviaciones de los rayos en elplano fuente:

A17331013)= A1531(Ta) _ ¿173403) (4-11)

A orden cero en hw, todos las trayectorias definidas son rectas y la ecuación (4.11)se reduce a la ecuación de la lente usual

fin Ta = 0a Ta _ aa Tds (4'12)

Calculemos explícitamente los términos de la ecuación (4.11). Suponemos que las

dellexiones de los rayos (y la desviación de su dirección de propagación respecto deleje de la lente) son pequeñas, y la longitud de onda de las perturbaciones es muchomayor que la desviación transversal entre los rayos. Podemos utilizar entonces lasexpresiones obtenidas en 53.1 y 53.2 que describen, bajo las hipótesis mencionadas, la

trayectoria de rayos que son deflectados al propagarse a través de las perturbaciones

en un universo inhomogéneo. Las ecuación (3.18) señala, por ejemplo, las desvia­ciones transversales z“ de un rayo que se propaga aproximadamente paralelo al eje2:3sujeto a la condición de contorno (3.16). Las perturbaciones a la trayectoria rectaquedan expresadas en dicha ecuación a través de las funciones H“ y 1/1",”que son

56

integrales de las fluctuaciones métricas a lo largo del camino del rayo. Al consid­

erar un fondo estocástico de perturbaciones, el valor medio de H“ y 1/)“bes nulo ysu dispersión cuadrática media puede ser evaluada en términos del espectro de po­tencias de las fluctuaciones como se señaló en 53.3. Análogamente, (3.24) describe ladesviación transversal relativa entre dos rayos convergentes a un punto de acuerdo a

las condiciones de contorno (3.22).

Para calcular Azc‘2'¡(rs)sólo necesitamos determinar 12(7‘5),pues sabemos que el

rayo R2 parte de Ia fuente (4.5). Para R1, podemos evaluar (3.18) en r = rd yr0 = 0 según (4.3) y (4.4), y asi obtener la dirección de propagación en r —) 0:

ó‘l‘= —H"(rd, 0). Notar que el rayo R1 no perturbado coincide con el eje de la lente

2:3,por ello ¿f = 0 + O(h). Reemplazando 61‘en la misma expresión (3.18), esta vez

evaluada en r = 1'.sy To= 0, obtenemos

= [ÍI“(rs,0)—H“(Td,0)]rs (4.13)

Mediante (4.5) y (4.13) arribamos a

A153101,) =[3"1‘s —[H“(rs,0) —H“(rd,0)] 1',3 (4.14)

Para escribir map-3) y 1311:3103)será más sencillo aplicar directamente la ecuación

de desviación geodésica (3.24). Con las condiciones de contorno (4.7) y (4.9), mediante

la ecuación (3.24), obtenemos que la separación espacial transversal entre los rayos

R3 y R4 en el plano fuente es

A1534(Tu) = [un - 1/)“b(7's>7'd)ab] Tds (4.15)

Con las restricciones (4.8) y (4.10) similarmente obtenemos

Axglü‘s) = [0a —1/)ab(rs)mah] rs (4.16)

Notar que las cantidades H“ y wal,en (4.13-4.16) no llevan ningún subíndice deno­tando trayectoria pues, de acuerdo a lo discutido en 53.1 y 53.2, al orden de aproxi­mación considerado se evalúan directamente sobre el eje 1:3.

Reemplazando (4.14)-(4.16) en (4.11) arribamos a la siguiente expresión para laecuación de la lente

“una”, 0) —Ham, 0)] rs = [9" —1,1)“,,(Ts,0)0"]1'a—[11“—1/)“b(rs,rd)ab] ms (4.17)

57

donde la dellexión local a está evaluada en el parámetro de impacto fi del rayo R3 en

el plano lente

fi“ = acSW) = Axá'drd) = [9“ - w“b(rd,0)9°l rd (4-18)

Desarrollando a orden lineal en las perturbaciones ¡métricas podemos expresar a(¿)en términos de la deflexión en el parámetro de impacto aparente para el observador

a(rd0) según

(luli) = 0°(Td9) - aaa WW’mÜ)9h+ 0012)00° 2 (4.19)= ama) —WM) 0° + ow ) ,

y aproximar el último término en (4.17) de acuerdo a

w“b(rs, rd)a" rds = 1/;“b(rs,rd) (0° —fl”) ra + O(h2) (4.20)

Para hacer contacto con las observaciones debemos expresar nuestros resultados,que hasta aquí dependen del parámetro afín de los rayos T, en términos de los co­rrimientos al rojo de la fuente y la lente, za y zd. Suponemos que el efecto de las

estructuras a gran escala en la distancia puede despreciarse. Utilizamos entonces larelación entre el parámetro afín y el corrimiento al rojo correspondiente a un 'universo

plano no perturbado. En la métrica de Minkowski, el parámetro al'ín es igual a la

distancia comoviente a lo largo del eje de la lente 1-= x3. Al considerar un espacio deFRW en expansión dicha distancia coordenada se relaciona con el corrimiento al rojomediante la distancia diámetro angular. En un universo dominado por la materia,

según vimos en (2.43) y (2.46) de 52.5.2, resultan por ejemplo: rs: 2cH0’1[1—(1 +Z0-1/2], 08:1.8/(1 +38), Dds=rdB/(1+za), etc. Relacionando r con D mediante estasexpresiones, y reemplazando (4.19) y (4.20) en (4.17), arribamos a la fórmula finalpara la ecuación cosmológica de la lente

Ü; De= aaDs_ agrDda

donde hemos definido las cantidades efectivas

g, = fl“ + H“(Dd,0) ——H“(D,,,0) —w“b(D,, Dd) flb (4.22)

ag, = a“(Dd9) + 1,03?0,, 11))“ (4.23)

1/22?= 1/)°°(Ds,0) - W"(Dd,0) - 1P°°(D3,Dd) (4-24)

58

La ecuación (4.21) es equivalente a la ecuación que relaciona la posición angular de

las imágenes 0 con el ángulo de alineación de la fuente ,6 y la deflexión a de una lente

en ausencia de las estructuras a gran escala, pero ahora escrita en términos de una

posición angular de la fuente y (leflexión efectivas, ,66,y aer respectivamente. Dicho de

otra manera, una lente con imágenes múltiples en un espacio que posee fluctuaciones

a gran escala en el potencial gravitatorio, se manifiesta ante un observador en la

tierra como un sistema lente en un espacio no perturbado, pero con otra geometria,

puesto que la alineación de la fuente está dada por Her en lugar (le fi, y con un lente

de distinto potencial gravitatorio, cuya ley de deflexión esta determinada por aer.

En las secciones que siguen estudiaremos el alcance de estos efectos en la magnitud

de los observables del sistema, la determinación de la constante de Hubble a partir

del retraso de tiempo entre imagenes, y la detección de fluctuaciones a gran escala

mediante observaciones en lente con imágenes múltiples.

Si bien al hablar de perturbaciones, o estructuras a gran escala, nos referimos

globalmente a fluctuaciones de densidad y ondas gravitacionales de larga longitud de

onda, estimamos que el efecto dominante provendrá de las fluctuaciones de densidad

(53.3). Hemos supuesto que sólo existe una lente primaria (una galaxia o cúmulo)

capaz de generar imágenes múltiples, y el resto de las estructuras que intersectan las

trayectorias de los fotones (super-cúmulos, regiones vacías, inhomogeneidades de ma­

teria oscura a gran escala, galaxias o cúmulos suficientemente desplazados del eje de la

lente, etc.) provocan dellexiones menores. Desarrollamos las perturbaciones a ordenlineal en su amplitud. Supusimos que las fluctuaciones en el potencial gravitatorio

varían a escalas /\ mucho mayores que la separación transversal máxima de los rayos,

y la oscilación que producen en la dirección de propagación (le los rayos es pequeña.

Desarrollamos entonces las deflexiones a orden lineal en la dirección de propagación no

perturbada de los rayos 6 (ésta aproximación es la que diferencia el efecto de las per­turbaciones respecto del de la lente, pues inhibe la formación de imágenes múltiples).En las dos secciones que siguen en este capítulo estudiaremos las consecuencias de las

correcciones a la ecuación de la lente a orden cero y lineal en este desarrollo, esto es,

correcciones proporcionales a h y hó en dicha ecuación.

El efecto de fluctuaciones a gran escala en el potencial gravitatorio sobre los ob­

servables (le una lente con imagenes múltiples, además de modificar en forma directa

los parámetros ,3 y a de la ecuación (le la lente, podrian afectar la medición de lasdistancias Dd, Ds y DdSinvolucradas. Este punto ha sido largamente discutido en laliteratura. El centro de debate es que distancia D es apropiada: la distancia diámetroangular de Dyer-Roeder lso]para un liaz propagándose a través de densidad constante

59

igual a la promedio o a una fracción de la misma, u otro tipo de distancia que también

tenga en cuenta el efecto de sliear de las inhomogeneidades a gran escala. Mientras

varios autores, mediante el uso del primer tipo de distancias, en modelos donde una

fracción de la masa total está ligada, han señalado que el efecto de las estructuras a

gran escala en las distancias no puede despreciarse [19'20'391,otros, basándose en un

modelo con fluctuaciones de densidad aleatorias (positivas y negativas), sostienen locontrario [2‘]. Al orden de aproximación más relevante para las observaciones, que

discutiremos en la sección siguiente, la perturbación en la medición de distancias re­

sulta despreciable, y es justificado el uso de la distancia diámetro angular de FRW,

correspondiente a un espacio homogéneo con densidad igual a. la promedio, para rela­

cionar el parámetro afín r con el corrimiento al rojo. Al siguiente orden, el efecto enlas distancias podría introducir correcciones adicionales a las aquí consideradas, pero

que no alteran las conclusiones del análisis cualitativo que realizamos.

4.2 Efectos de primer orden

En un espacio isótropo y homogéneo la ecuación de la lente, linealizada en el ángulo

de deflexión de los rayos y su separación angular respecto del eje de la lente, gené­

ricamente ó, tiene la forma (4.12). En presencia de fluctuaciones a gran escala en elpotencial gravitatorio de amplitud h pequeña, generalizamos la ecuación de la lenteincluyendo el efecto de las perturbaciones a orden lineal en h. Suponiendo que la

longitud de onda de las fluctuaciones Aes mucho mayor que la separación transversal

de los rayos r6, las correcciones al orden más bajo corresponden al orden cero en el

desarrollo de la desviación de los rayos en el plano perpendicular al eje de la lente,

1:“, en serie de potencias de ró/A y ó. Este orden equivale a aproximar el efecto de

las perturbaciones por un gradiente transversal uniforme, que deflecta de la mismamanera a todos los rayos pertenecientes a un entorno pequeño alrededor del eje de lalente.

Esto podría llevar a la conjetura de que, en presencia de estructuras a gran escala,las trayectorias de las imágenes múltiples de la fuente y de la lente no experimentandeflexiones relativas a orden h, de modo que su separación transversal Arc“ y las

propiedades observables del sistema (la posición angular de las imágenes relativas ala lente y el retraso de tiempo entre imágenes), no se ven afectadas por la presenciade las perturbaciones a ese orden. En ese caso, podría especularse que el efecto delas perturbaciones en las propiedades de una lente con imágenes múltiples es pequeño

60

y se manifiesta recién al orden siguiente, hó, donde aparecen las deflexiones relativasentre rayos vecinos. Sin embargo, este no es el caso. En un espacio perturbado la

imagen de la fuente experimenta deflexiones absolutas de orden h diferentes a las de

Ia imagen de la lente. Esto es debido a que las trayectorias de estas dos imágenes

satisfacen diferentes condiciones de contorno. El distinto comportamiento de estos

rayos puede visualizarse en forma sencilla, por ejemplo, en el plano lente donde, debidoa las deflexiones de orden h ocasionadas por las perturbaciones, la imagen perturbada

procedente de la fuente incide con distinto parámetro de impacto mientras un rayoproveniente de la lente no cambia su condición.

Las dellexiones relativas inducidas por fluctuaciones de densidad a gran escala en

la trayectoria de los rayos provenientes de la fuente y la lente serán típicamente del

orden de < H2 >'/2N 1 minuto de arco, debido al efecto acumulativo de las fluc­

tuaciones escalares sobre distancias mayores que su longitud de onda (53.3). Talesdeflexiones podrian en principio tener un efecto drástico en los observables del sistema,y en la reconstrucción del potencial de la lente y determinación de Ho en base a los

mismos. Recordemos que, como estimamos en 52.3.1, en los sistemas lente que presen­

tan imágenes múltiples de quásares la deflexión generada por la lente y la separaciónangular típica de las imágenes son del orden de segundos de arco.

En esta sección mostraremos que, si bien el cambio en la magnitud de los observa­

bles debido a la presencia de las perturbaciones es muy importante, el mismo es formal­mente equivalente al inducido por un cambio en la alineación fuente-lente-observador

y no compromete la reconstrucción del potencial de la lente ni la determinación deHo a partir del retraso de tiempo entre imágenes.

Como podemos extraer de (4.21) y (4.22), la corrección a primer orden (despre­ciando efectos cuadráticos en h y 6) transforma la ecuación de la lente en [46'"l

grDs = 9“ Ds - a“(Dd0) Dds

donde g, E fl“ + fis”, = fi" + H“(Dd,0) —H“(D,,,0) (4.25)

La ecuación (4.25) es la misma que relaciona la posición angular de las imágenes 0

con la alineación de la fuente fi y la deflexión a para una lente idéntica (con la mismaley de dellexión a(€)) en ausencia de perturbaciones, pero ahora en términos de unaalineación efectiva fid. Notar que, de acuerdo a (4.18), g = 0Dd.

El significado geométrico de ,Üures evidente en (4.25): fiar es la posición angularde la fuente relativa a la lente que un observador mediría en el universo de FRW

61

perturbado, en el límite en que el efecto gravitatorio de la lente se anula (a ——)0).

En la Figura 4.1, fic, corresponde a la separación angular con que los rayos R1 y

R2 arriban al observador. Notemos que, la separación angular fic, entre R1 y R2 en

presencia de las perturbaciones difiere del valor no perturbado (fl) a orden h pues g,

es igual a x3(rd)/rd y 23(rd) se ve perturbado a ese orden.

De acuerdo a (3.19) y (3.27), en presencia de fluctuaciones de densidad, podemosestimar

,_ a ¿ rd 1 r­aw +Td [o dr(rd—r)h_..<r>—TB/o dr<r.,—r)h...<r) , (4.26)

donde h representa el potencial Newtoniano de las fluctuaciones. El efecto debido

a radiación gravitatoria será mucho más pequeño pues las deflexiones que producenlas ondas gravitacionales no se acumulan significativamente como en el caso escalar,según vimos en 53.3.

Alternativamente, (4.25) nos permite interpretar a fiar como el ángulo de alineaciónfuente-deflector que un observador deduciría a partir de los observables de la lente,

suponiendo un espacio-tiempo de FRW homogéneo, es decir, si no supiera de la exis­

tencia de las perturbaciones a gran escala. En base a.nuestras estimaciones previas en

53.3, el desvío estándar del cambio aparente de alineación es <fi3er, >l/2N< H2 >1/2que, inducido por un fondo estocástico de fluctuaciones de densidad, puede llegar aser del orden de minutos de arco. Este valor relativamente alto no impide la formación

de imágenes múltiples, que en lentes típicas ocurre cuando la falta de alineación no

es mucho mayor que algunos segundos de arco, pues fl“ y Hgm pueden tener distintosigno y cancelarse parcialmente. Para que una galaxia lente forme imágenes múltiples,

es suficiente que bg,= fi“ + ¡63msea del orden de segundos de arco. En el caso límite

[33m >> fi“, en el cual el electo de las perturbaciones equivale a un sistema muyfuera de alineación la consecuencia es que la presencia de las perturbaciones inhibe

la formación de imágenes múltiples en la práctica (la magnificación de una de lasimágenes tiende a uno y las otras a cero, como se muestra en 52.4.1 para la lente de

Schwarzschild). El retraso de tiempo medido en un espacio perturbado no excederá

los retrasos de tiempo intrínsecos típicos en lentes (del orden de D02).

Aún cuando las perturbaciones inducen un cambio muy significativo en la magnitudde los observables del sistema como veremos a continuación, dado que ,69, no esdirectamente medible, un observador no podrá detectar la presencia de las estructurasa gran escala pues le será imposible distinguir en base a sus mediciones entre unsistema lente con alineación fier en un espacio no perturbado, y una lente idéntica con

62

alineación ,6 en presencia de perturbaciones.

Según vimos en 52.4 y 52.5.3, la separación angular, la magnificación relativa y el

retraso de tiempo entre pares (le imágenes se relacionan con la constante de Hubble

Ho y la ley de (leílexión reescaleada 61(0) = a(0)Dds/D,, mediante

01- 02 = ¿(01) —¿(02)

l‘_l_ (427)N2 (letII—- ¿gg-(0,”

C ZUZS _ __ 0' ,­Atlg=c—% — + —í/02Las ecuaciones (4.27) si bien no incluyen explícitamente el parámetro ,Bpemque ha sidoremovido por no pertenecer a los observables del sistema, son válidas para una lente

que pertenece a un espacio perturbado con fluctuaciones a gran escala en el potencial

gravitatorio. Las fluctuaciones están tenidas en cuenta en el hecho de que 01 y 02 sonlas posiciones angulares aparentes de las imágenes en presencia de las perturbaciones.Diclias'posiciones son diferentes a las que hubieran sido observadas en ausencia de las

perturbaciones (satisfacen (4.25) en lugar de (4.12)) de modo que todos los observablesdel sistema se verán modificados en magnitud debido a las perturbaciones.

Dado que Ber puede fácilmente ser del mismo orden o mayor que fi, el efecto de lasperturbaciones en el retraso (le tiempo entre imágenes puede del mismo orden que los­

retrasos medidos. Sin embargo, las perturbaciones influencian al mismo tiempo todos

los observables del sistema lente de tal manera que no dejan rastro de su presencia. Elretraso de tiempo medido es justamente el que un observador esperaría en un espaciohomogéneo e isótropo para una lente en la cual interpreta, basándose en las mediciones

de las posiciones y magnificaciones relativas de las imágenes, una geometría tal que

la fuente está ubicada en una dirección que subtiende un ángulo Be, respecto del ejede Ia lente. El observador puede ignorar la presencia de las estructuras a gran escalae interpretar consistentemente todas sus observaciones en un espacio no perturbado,atribuyéndolas a un sistema con idéntico (leílector y distinta geometría. Concluímosentonces que, a este orden, es observacionalmente imposible distinguir el retraso de

tiempo inducido por las perturbaciones del retraso intrínseco a la lente (debido, enausencia de las perturbaciones, a desalineación en el sistema o falta de simetría en elpotencial de la lente). La medición del retraso (le tiempo entre imágenes (le una mismafuente no podrá ser usada para detectar ondas gravitacionales cosmológicas o inho­

63

mogeneidades de densidad a gran escala a este orden una vez que Ho sea determinado

en forma confiable por otros medios [46'47],como había sido sugerido [16'17'ml.

Supongamos ahora que el observador intenta determinar el valor de la constantede Hubble o reconstruir la distribución de masa del deflector en base a sus mediciones

en esta lente. Dado que fie, no interviene en las expresiones que vinculan los observ­

ables del sistema lente con la constante de Hubble y los parámetros del potencial del

dellector (contenidos en 62(0)), estas expresiones tienen la misma forma funcional que

en ausencia de las perturbaciones. Un observador ignorante de la presencia de lasfluctuaciones a gran escala en el potencial gravitatorio, podrá utilizar las relaciones(4.27) para determinar Ho y los parámetros de la lente, y arribar mediante ellas a losvalores correctos de éstos parámetros. Concluimos de esta manera que, aún cuando

la existencia de estructuras a gran escala en el universo modifica significativamente

la magnitud de los observables de un sistema lente, la invariancia de las ecuaciones(4.27) al orden considerado garantiza que los métodos para determinar la constantede Hubble y los parámetros del potencial deflector en base a las mediciones llevadas

a cabo en imágenes múltiples de quásares no se ven comprometidos “6' "l.

Estas conclusiones se desprenden de la ecuación de la lente trabajada a orden

lineal en la desviación angular típica de los fotones respecto del eje de la lente ó yen la amplitud de las perturbaciones h. Estas son aproximaciones razonables pues

las dellexiones típicas en lentes gravitacionales son de algunos segundos de arco (6 z

10‘5), y en modelos cosmológicos realistas, normalizados de acuerdo a la anisotropía

cuadrupolar en Ia radiación cósmica de fondo, a grandes escalas h es a lo sumo delorden de 10-5. Las conclusiones son válidas para fluctuaciones con longitud de onda /\

mucho mayor que la separación espacial típica entre las trayectorias de las imágenes á.

Este es el rango de interés en lentes gravitacionales, donde típicamente E N D6 N 10 ——

20 kpc es mucho menor que las longitudes de onda /\ zi 10 Mpc de las perturbaciones

a gran escala en las que estamos interesados. Los efectos a primer orden que hemos

estudiado son los más relevantes desde el punto de vista observacional. El cambio que

inducen en observables del sistema es del mismo orden que las magnitudes medidas.

Concluímos sin embargo, que el efecto es equivalente a un cambio en la geometría delsistema que no compromete los métodos usuales para la reconstrucción del potencialde la lente y la estimación de Ho.

Las correcciones a segundo orden (proporcionales a hó) que hemos despreciadoincluyen el shear y la convergencia inducidos por derivadas segundas en el potencialgravitatorio de las estructuras a gran escala. Las mismas afectan la reconstrucción

64

vvvvvv""""'...............

del potencial de la lente y la determinación de la constante de Hubble a través de. . . , < _

mediciones de retrasos de tiempo, pero solo por efectos €//\ N 10 3 veces menores quelos considerados a este orden [47].La descripción cualitativa de los mismos es el tema

a tratar en la sección siguiente.

4.3 Efectos de segundo orden

A segundo orden, hó, las estructuras a gran escala en el universo provocan deflexionesrelativas entre las trayectorias de las imágenes de un sistema lente.

La ecuación de la lente incluyendo estos efectos, según (4.21) y (4.23), puede es­cribirse como

gr=0a_ ágf

donde la alineación efectiva flgrestá definida por (4.22), y la dellexión efectiva reesca­

leada ágr = angds/Ds tiene la forma

áfir = ¿“(0) + 1/22?Bb (4.29)

De acuerdo a la ecuación de la lente (4.28), el efecto de las estructuras a gran escala

a segundo orden se manifiesta como un cambio en la ley de dellexión de la lente.

Una lente que produce dellexiones á(0) en un espacio perturbado se manifiesta anteun observador como una lente de diferente potencial, que genera deflexiones efectivas

¿«(0), en un espacio no perturbado. Adicionalmente, las estructuras a gran escalainducen a segundo orden una corrección en el angulo de alineación Ber, que compartelas mismas propiedades que describimos en la sección anterior.

La ecuación de la lente (4.28) y la ley de deflexión (4.29) han sido obtenidas bajo lasmismas suposiciones y equivalen formalmente a la ecuación de la lente cuadrupolar quedescribimos en 52.3.3. Se considera que la escala sobre la cual varían las perturbaciones

es mucho mayor que la separación de las imágenes, y que las deflexiones que originan­

son pequeñas, dc modo que las trayectorias se aproximan a orden lineal en ¿/,\ N rü/Ay 0. El cambio inducido en la ley de deflexión es lineal en 0 y equivale a la. presencia

de slrear y convergencia externos a la lente primaria. En este caso, sin embargo, adiferencia del comportamiento descripto en 52.3.3, los parámetros de la matriz WEPno

son generados localmente por una distribución de materia secundaria en el plano lente,

65

sino por la acumulación de las continuas (leflexiones que sufren los rayos a lo largo (le

su trayectoria cuando se propagan a través (le un potencial gravitatorio inhomogéneoa gran escala.

Los elementos de la matriz 1123?,definidos de acuerdo a (4.24) y (3.20), son inte­

grales (le la función M4,, que involucra gradientes de primer y segundo orden en las

perturbaciones métricas. En el caso de fluctuaciones escalares, la matriz MM,expre­

sada en (3.28) es simétrica. Las fluctuaciones de densidad a gran escala inducen shear

-y convergencia. En el caso de fluctuaciones tensoriales, la matriz MM,en (3.45) posee

además una componente antisimétrica que genera rotación. De acuerdo a las esti­maciones realizadas en 53.3, los parámetros de shear y convergencia cosmológicos de

112:?inducidos por fluctuaciones de densidad en el régimen lineal serán del orden del

2%, en tanto que los parámetros de distorsión inducidos por un fondo de radiación

gravitatoria son un factor 10‘4 menores.

Los efectos de segundo orden han sido explícitamente derivados, siguiendo el for­

malismo que introducimos para el análisis a primer orden, por Bar-Kana (1996) [87].

Sus estudios muestran cómo los valores de expectación del shear y la convergencia

efectivos 112:?en la ecuación de la lente (4.28) no están dados simplemente por la inte­

gral de estos parámetros entre la fuente y el observador, sino que se ven reducidos en

un 40%, o más, respecto de los valores de 1,0“°(D.,,0)debido a las correlaciones entre

este tensor y los tensores w“(Dd,0) y 1/)“"(D,,,Dd). Para un espectro de potenciasrealista, incluyendo el modelado de fluctuaciones de densidad no-lineales, Bar-Kana

estima que el shear efectivo es del orden del 6% para una fuente a corrimiento al rojo

3, y propone que un shear cosmológico de esa magnitud podría explicar el origen delalto valor de shear encontrado en ciertos modelos de lentes, en contradicción con los

valores que se deducen en base a la elongación de la distribución de masa luminosaen las galaxias deflectoras. Aunque, tales discrepancias observadas también podríandeberse a la presencia de otras galaxias o cúmulos cercanos a la linea de mira. Supropuesta final es que observaciones futuras de alta resolución y modelos más pre­

cisos de éstos sistemas lente con imágenes múltiples podrían en principio usarse paradetectar el shear inducido por las estructuras a gran escala y estimar la amplitud delespectro de potencias de las fluctuaciones de masa.

El cambio de magnitud que los efectos de segundo orden producen en los obser­vables son un factor ¿//\ r5 10’3 veces menor que los estudiados a primer orden. Adiferencia de los efectos a primer orden, que no modifican las relaciones funcionales

entre los observables del sistema, Ho, y los parámetros de la lente; los de segundo orden

66

se manifiestan explícitamente a través de la matriz de 2 x 2 de shear efectivo 1/)“ endichas expresiones, y comprometen directamente la obtención (le estos parámetros.

A partir de la ecuación de la lente (4.28) y de (4.29), vemos que las expresiones de

los observables de un sistema lente con imágenes múltiples inmerso en un espacio

perturbado se extienden a segundo orden según

9| - 02 = ¿(191)- ó¿(02) —¡pef(01_ 02)

¿l dqu — 02)—¡ber#2 det

(4.30)

donde recordemos que 13(0) es la ley de deflexión determinada por el potencial de la

lente primaria. Los efectos a segundo orden en la magnitud de los tres observables en

(4.30) se manifiestan por el cambio de las posiciones aparentes de las imágenes 01 y02, y por la matriz 1/)“ explícita en las dos primeras expresiones.

El efecto de las perturbaciones a segundo orden modifica la separación angular

de las imágenes por correcciones A0 N 1p.,¡(01—02). Para fluctuaciones (le masa

en el régimen lineal estimamos un valor de expectación 11MN 0.02, que modifica

la separación angular típica entre imágenes en centenas de segundos de arco, A0 N

2- 10'7 N 0.04”, un efecto 10’3 veces menor que el inducido a primer orden por

las deflexiones absolutas A0 N H N 4- 10’4 N 1’. El retraso de tiempo T entredos imágenes con separación angular 0, de una fuente ubicada a distancia D, esaproximadamente T N D02. Los efectos a segundo orden modifican la separaciónangular de las imágenes en A0 y el retraso (le tiempo en AT N DOA0. El cambio

relativo en el retraso de tiempo entre imágenes es entonces del orden AT/T N A0/0 N«per,que inducido por fluctuaciones de densidad en el regimen lineal alcanzaría un 2%.Efectos a segundo orden inducidos por fluctuaciones de masa no lineales crearían una

incerteza levemente mayor [87].Los efectos de las ondas gravitatorias son aún mucho

más pequeños (A0 N 10‘“, AT/T N 0.0001%) ya que las deflexiones que inducenno se acumulan como en el caso escalar.

Resumiendo, los efectos de segundo orden inducidos por estructuras a gran escala

son equivalentes a la presencia (le convergencia y shear externos a la lente, las con­secuencias observacionales de este efecto son poco significativas dadas las incertezas'existentes en los modelos de las lentes y el escenario cosmológico adoptado. Las fluc­tuaciones inducidas en las propiedades observables del sistema representan a lo sumo

67

algunos porcientos de las magnitudes medidas. Tal efecto compromete la, reconstruc­ción del potencial (le la lente y la,determinación de la constante de Hubble en base a

retrasos de tiempo entre imágenes al mismo nivel.

68

vvvvvvvv"-'."'..............

Capítulo 5

Efecto lente débil y rotación de lapolarización en radio fuentes

Pequeñas inhomogeneidades en la distribución de materia pueden actuar como lentesgravitacionales débiles distorsionando la forma de fuentes lejanas debido a las deflexio­

nes diferenciales que producen dentro del haz que conforma su imagen. Tal efecto noda lugar a la formación de imágenes múltiples, pero ha probado ser una herramientapoderosa para mapear la distribución de masa en cúmulos [33]y halos galácticos [9‘]a

través (le la deformación (le galaxias lejanas cuya imagen es vista a través del potencialde estos objetos.

El efecto lente débil también ofrece un método para estudiar fluctuaciones en ladensidad de materia a gran escala [41'41"]. El gradiente en las deflexiones o shearcosmológicoque producen las inliomogeucidades es potencialmente detectable a travésde la correlación que induce en las elipticidades de galaxias lejanas. Fluctuaciones

de densidad a gran escala (perturbaciones métricas escalares) en el régimen linealson capaces de producir un shear cosmológico (le alrededor del 1%, coherente sobre

escalas del orden de 1°, dependiendo del modelo cosmológico, la normalización del

espectro de potencias, y la distribución en corrimiento al rojo (le las fuentes [4"42'“l.A escalas menores, las fluctuaciones de materia en el régimen no lineal inducen unshear cósmico mayor, que estimativamente a escalas (le 1 minutos de arco puede ser del5% (44].La primera evidencia (le la detección (le un shear cosmológico fue reportadarecientemente a partir del análisis (le las elipticidades en objetos pertenecientes a unaregión en torno a la radio fuente PKSI508-05, y se trata de un shear del 3% coherentesobre la escala (le 1’ [45].

69

Las ondas gravitatorias (perturbaciones ¡métricastensoriales) de larga longitud deonda también pueden actuar como lentes gravitacionales débiles. Si bien en mag­nitud su efecto es pequeño, comparado con el inducido por fluctuaciones escalares,las fluctuaciones métricas tensoriales producen distorsiones con características par­ticulares en las imágenes, que incluyen por ejemplo rotación de las mismas ¡”81,cuya

caracterización es de interés general.

En este capítulo estudiaremos el efecto lente débil inducido por fluctuaciones esca­

lares y tensoriales en conección con las propiedades observadas en la polarización de laradiación electromagnética proveniente de radio fuentes distantes. Tales propiedadespueden, en principio, proveernos información sobre la magnitud del efecto lente débilinducido por estructuras a gran escala, como veremos más adelante.

Las propiedades de la polarización de la radiación electromagnética de radio fuentesdistantes constituyen una fuente de información acerca de los campos magnéticos en la

fuente, en el medio intergaláctico, y en la Vía Láctea [92'93].La dirección del plano de

polarización del campo eléctrico se deriva a partir de la medición de Ia polarizacióna distintas frecuencias, descontando la rotación de Faraday producida por camposmagnéticos intervinientes. En radio fuentes con alto grado de polarización lineal elplano de polarización puede usarse como un indicador para trazar la orientación de

las líneas de campo magnético en la fuente, que deben ser ortogonales al mismo si la

radiación es de origen sincrotrónico. Por otro lado, en apariencia, las radio fuentes son

usualmente elongadas en una dirección. En un gran número de fuentes ha sido posiblemedir tanto la dirección del plano de polarización lineal x como la orientación del eje

mayor de la imagen 1/),adicionalmente a la determinación del corrimiento al rojo delos objetos. Como resultado, es sabido desde las primeras investigaciones [43'49],que

existe una significativa correlación entre la dirección de la polarización lineal integradasobre las fuentes y la orientación de su eje mayor. Para galaxias de alto corrimientoal rojo, existe un pico muy prominente alrededor de x-d)=90°, sugiriendo un campomagnético paralelo al eje de la fuente. En fuentes de bajo corrimiento al rojo hay una

débil correlación, con un pico estrecho en x—1p=0° sugiriendo un campo magnéticoperpendicular al eje de la fuente, y un pico ensanchado en x—1/¡=90°. Se cree que elpico a x—w=90° corresponde a fuentes de alta luminosidad, mientras que el pico ax-1,Í¡=0° ocurre en objetos de baja luminosidad (por ello detectables preferentementea bajo corrimiento al rojo), debiéndose la diferencia en comportamiento a la divisiónde clases estructurales en función de la luminosidad.

El ángulo entre el plano de polarización lineal integrada y la orientación del eje

70

mayor de radio fuentes distantes es una herramienta potencialmente importante parala búsqueda (le efectos inusuales en la propagación de la luz a lo largo de distancias cos­

mológicas (adicionales a la rotación de Faraday). Varias búsquedas se han realizado,por ejemplo, de correlaciones entre las propiedades de polarización de radio fuentes

extragalácticas y su ubicación, que representarian una evidencia de la existencia deanisotropia cosmológica en eI universo [50'51].

Las propiedades de polarización en radiojets de fuentes distantes también han sidoutilizadas para estudiar galaxias lente que yacen alineadas con las mismas. En estoscasos el campo gravitatorio de la lente genera una rotación del plano de polarizacióndel jet, relativa a su orientación, cuya medición ha sido utilizada para estimar la masa

de las galaxias ¡94'95].

En este capítulo estudiaremos cómo la presencia de estructuras a gran escala en eluniverso puede inducir un cambio en las propiedades de polarización de radio fuentes

lejanas. Veremos que fluctuaciones en la densidad de materia a gran escala son capaces

de inducir una significativa rotación aparente del eje mayor de fuentes distantes, cuya

desviación respecto de la perpendicular a la dirección de polarización podria servircomo indicador para la detección del shear de las inhomogeneidades. El métodoplanteado seria sensible a un shear cosmológico coherente sobre el tamaño angularde las fuentes observadas, ésto es a escalas muy pequeñas, del orden de segundos dearco, donde se espera que la magnitud del shear cósmico sea mayor debido al efecto deestructuras no lineales. En comparación, la técnica conocida de detección mediante

la correlación inducida en las elipticidades de poblaciones de galaxias es sensible avalores de sliear coherente sobre escalas de minutos (le arco.

En la sección 55.1 se revee el formalismo apropiado para describir el cambio deforma en la imagen de fuentes lejanas que son vistas a través de fluctuaciones es­calares y tensoriales que actúan como lentes gravitacionales débiles. El tratamientoes derivado del estudio de la desviación geodésica introducido en el capítulo 53. En

55.2 aplicamos nuevamente las leyes de la óptica geométrica en espacio-tiempos cur­

vos para analizar la rotación absoluta del plano de polarización de un rayo de luz que

se propaga a través de un espacio con perturbaciones métricas. En 55.3 estudiamosel efecto de estructuras a gran escala en el ángulo relativo x-«l; entre el plano de

polarización y la orientación (le la fuente, y mostramos cómo un shear del 1% puedeinducir un cambio de 5° en x-ij). En la sección 55.4 hacemos una reseña del resultadode las observaciones que indican la presencia de una correlación entre la polarizacióny orientación (le radio fuentes lejanas. En 55.5 proponemos que la presencia (le un

7l

shear cosmológico escalar de alrededor del 5%, puede ser el origen de las dispersionesobservadas en x—1/1respecto de 90° en fuentes cuya polarización lineal integrada noes perpendicular al eje mayor.

5.1 Distorsión de imágenes inducida por estruc­turas a gran escala

En esta sección revemos el cambio inducido por efecto lente débil en la sección de

un haz de luz que se propaga a través de inhomogeneidades (le densidad a granescala y ondas gravitacionales cosmológicas. El formalismo utilizado se deriva (le ladesviación geodésica que sufren dos rayos al propagarse en un espacio perturbado, quefue introducida en el capítulo 53 con el cual se comparten las convenciones establecidas

y algunas expresiones.

Restringimos nuestra atención a efectos lineales en las perturbaciones métricas.Por simplicidad, consideramos fluctuaciones métricas escalares y tensoriales alrededorde una espacio de Minkowski

ds2 = (77m,+ h,,,.,)d:r"da:" (5.1)

La generalización a un espacio de fondo de Robertson-Walker es sencilla [951. La

restricción a un fondo de Minkowski simplifica la dependencia de los efectos considerados con la distancia, pero preserva sus características cualitativas y los órdenes de

magnitud que estimamos. También podría ser incluído fácilmente en este formalismoel efecto de perturbaciones vectoriales [97].

Consideramos un haz de luz infinitesimal que se propaga aproximadamente an­tiparalelo al eje 2:3y converge a un punto de observación, ubicado en el origen decoordenadas. Estudiaremos el efecto lente débil a través de la deformación que las

perturbaciones métricas producen en secciones del haz definidas perpendicularmenteal eje 2:3. Si bien al propagarse a través de las fluctuaciones métricas las trayectoriasde los fotones que consideramos se desvían del eje polar con deflexiones típicas de

orden h, la proyección en el plano perpendicular al eje 1:3difiere de Ia proyección en el

plano perpendicular a la trayectoria verdadera por correcciones de orden h2 tal que,al orden de aproximación considerado, ambas proyecciones son indistinguibles.

Para estudiar la deformación del haz, consideremos las trayectorias de dos rayos

72

vecinos que convergen al punto de observación con separación angular 0“ (a = 1,2).En lo que sigue trabajamos a orden lineal en 0“ y parametrizamos la trayectoria de

los fotones con un parámetro afín r=a;3 + 001,02). Denotamos la desviación espacial

de la trayectoria de los rayos en el plano perpendicular a x3 con Az“(r). Como vimos

en el capítulo 53, Az“(r) evoluciona de acuerdo a la ecuación de desviación geodésica

(3.23) que, con las condiciones de contorno establecidas, conduce a

Arc“(1') = 0“ 7' — 1%,,(1‘) 0h 7' , (5.2)

donde la matriz de 2x2 wal,describe los efectos lineales en las perturbaciones métricas

bw, y se evalúa, siguiendo las ecuaciones (3.20), (3.10), (3.14) y (3.15), de acuerdo a

T_ww) = —Árdr' "I Mahou (5.3)T

Mab(T) = T l ¿(hoc + h33),ab+ humo - ha3,b3l (5 4)+¡lab,o - hnb,3- (h3a,b - h3b,a) '

Supongamos que la imagen observada del objeto fue emitida por el mismo en r = ra,y los dos rayos considerados provienen de (los puntos de la fuente que estan separadospor una distancia coordenada

Ax“(1'3) = Ü"rs (5.5)

En ausencia de las perturbaciones, estos rayos arribarian al observador con separación

angular 0“ = 0-“. En un espacio perturbado sin embargo, a partir de (5.2) y (5.5), 6“se relaciona a orden lineal en h con 0-“según

9“ = (5% + 1l)":,(1‘s))f7" (5.6)

La matriz 1,00,,es llamada matriz de distorsión. La misma describe los efectos lineales

de las perturbaciones métricas en la forma de la imagen observada. Dos rayos prove­nientes de dos puntos de la fuente separados por una distancia coordenada Ax“(r,,) =0-"r5 son vistos por un observador en el origen, ignorante de las perturbaciones, comosi fueran la imagen de dos puntos separados por Ax“'(r,,) = 0“1‘,,en el plano fuente.La matriz (le distorsión 1/20,,es la que realiza el mapeo Ax“('r,,) —>Az“'(r,,).

73

Como introducimos en la sección 52.7, la matriz de distorsión más general wal,

inducida por efecto lente débil puede descomponerse en términos de una matriz dia­gonal, que representa la convergencia, una matriz simétrica de traza nula 7a,, quedescribe el shear, y una matriz antisimétrica, que corresponde a una rotación rígidade la imagen:

¡[Jab= (1 — K)6ab + 'Yab- wea, (0.7)

Aquí ¿abes el tensor de Levi-Civita en 2-dimensiones,

e“, = ( _°1 (1,) (5.8)

El shear puede ser descripto en términos de su intensidad 'y y de la dirección de

uno de sus ejes principales d) (que sólo está definido módulo 1r) como

_ cos 2d> sin 2d)

70° _ 7 ( sin 245 —cos 2d) ) (5.9)

Notar que una rotación de 7r/2 en la dirección del shear es equivalente a un cambio enel signo de 7. Un 'shear arbitrario se descompone en dos direcciones independientesque forman un ángulo de 7r/4. En la Figura 2.2 de la página 34 se esquematizanlas distorsiones lineales inducidas por efecto lente débil en la imagen de una fuenteintrínsecamente circular.

De acuerdo a su definición en (5.2), ó (5.6), la matriz de distorsión 1/)“,relacionaformas coordenadas, en lugar de formas propias. Es conveniente separar de 1/)“ los

efectos locales de distorsión, debidos a que un mismo segmento coordenado en las

ubicaciones del observador y de la fuente tiene distintas longitudes propias. Definimosentonces la matriz 113M,tal que

- 1

1/1ab= ¡bno- EAhab (5.10)

Aquí

Ahab= hab(t=te,123=T5)- hab(t=to,.’lï3=0)

es la diferencia dc la perturbación métrica entre los eventos de emisión dc los rayosde luz al tiempo t.3en la fuente, y su observación en el origen al tiempo to. 1/:vaes la

74

_-_-_-vvvvvvwvvvw'v"v'v.""'.'..........--­

matriz apropiada para describir la distorsión de la imagen en términos del mapeo delongitudes propias:

gaon) 0) 0GB],T: = [gabUe’ Ta) + 1Lab]fina-b7': (5'12)

con gnb= nat,+ hab. Denotamos a los parámetros (le distorsión asociados con la matriz

[pubcon Epígó y

En lo que sigue especializaremos las expresiones aquí desarrolladas al caso de per­turbaciones métricas escalares y tensoriales respectivamente. Comenzamos estudiandolas distorsiones inducidas por una fluctuación métrica plana, para luego discutir,apoyándonos en las estimaciones previas realizadas en 53.3, el orden de magnituddel efecto de un fondo estocástico de fluctuaciones.

5.1.1 Perturbaciones escalares

Consideremos una perturbación escalar estática plana, en el gauge longitudinal, convector de onda k = k(0, m):

_ ¡lc-a:¡Lap— (Sape

donde, siguiendo las líneas introducidas en la sección 53.3.1, definimos

m = (‘Íl —¡r2 cos<p, ‘ll —¡t2 sin (p, —p) (5.14)

con p el coseno del ángulo entre el vector de onda de la perturbación y la direcciónde propagación de los fotones.

La matriz de distorsión correspondiente a las fluctuaciones escalares está expre­sada en la ecuación (3.30). De allí podemos extraer los parámetros de convergencia,intensidad y dirección del shear, y rotación inducidos por el modo escalar considerado:

—%h(k)l(1- It2)a(k,r,, 0) + 2/tfi(k, 1-3,0)]ll - L2 1'.

= 2’06) (1 l )a(k, r,,0) (5‘15)

lI

€9.43

(p:0

75

Las funciones a y B están definidas en (3.31). De acuerdo a (5.15), las perturbacionesescalares no inducen rotación, y producen shear en la dirección de la proyección del

vector de onda en el plano perpendicular a la dirección de propagación de los fotones.

Como discutimos en la sección anterior, podemos extraer los efectos locales de la

matriz de distorsión y describir la distorsión propia mediante wm,= 1/)“ —¿Ahhh Eneste caso

AIM = [naaa rs) —¡mamon = h(k) 60,,(e-“W- —1) (5.16)

Usando la relación Zufi —pza = (e’ikm' —1) podemos identificar los parámetros dela matriz de distorsión propia:

k = —‘%h(k)a(k) T610)

:Z = 7 5.17d) = d) ( )

(D = w

Sobre distancias del tamaño dc su longitud de onda A, las fluctuaciones métricas

escalares producen convergencia y shear cosmológicos del orden de su amplitud, h.

Según discutimos en la subsección 53.3.1, debido a Ia naturaleza estocástica de lasfluctuaciones y al efecto acumulativo de los modos resonantes transversales (uz 0)sobre distancias D mayores que A, las distorsiones se acumulan como (D/A)3/2. La

convergencia y el shear cosmológicos generados por inhomogeneidades de masa a granescala con potencial Newtoniano h serán típicamente del orden ¡cfy N h(D//\)3/2.De acuerdo a las estimaciones que realizamos al final de 53.3.1, para un espectro de

fluctuaciones escalares en el régimen lineal como el predicho por modelos inflacionarios

y citado en (3.41), en un universo dominado por materia oscura fría, se esperanFc,"y N 2%.

5.1.2 Perturbaciones tensoriales

Estudiaremos ahora la distorsión inducida por ondas gravitacionales. Trabajamos lasperturbaciones tensoriales en el gauge transverso sin traza, y denotamos los dos modosde polarización independientes de las ondas con los símbolos +, x. Un modo normal

de fluctuaciones métricas con vector de onda k = k(1,m) tiene la forma

hij(1=,t)= hij(k)e‘<’°'m-“> , (5.18)

76

_-a__------v-vv-vvvvvvvvvv¡UCUUUUCUOOOOOOOOOO--­

donde las amplitudes ¡tú-(k) están definidas en (3.43). Consideramos un modo tenso­rial propagándose en dirección m dada por (5.14). La matriz de distorsión ¡Duben este

caso tiene la forma (3.47). De esta expresión podemos extraer la convergencia, la in­tensidad y dirección del sliear, y la rotación inducidos por cada modo de polarización

independiente de la onda gravitatoria:

n = ¿(1 —wwe) [(1—u)2á(k,rs,0) + 2<1—Mars, 0)]7+ = %h+(k)[(1 _ ¡12)(1_ u)2á(k)T8)0) “ 2(1+lt2)(1- #)B(k,rs,0)]

m = (p - (5.19)7x = ¿me [(1—mu —¡oc-«kms,o) + 2pm - mmm, 0)]45x = ‘P‘Ï

w = —¿(1—p2)hx(k) [(1 —¡¿)á(k,r,,0)+2B(k,r,,,0)]

Las funciones á y É tienen la misma forma que a y fl en (3.31), reemplazando en el

argumento de la exponencial y por ¡1-1.

La polarización + de las ondas produce convergencia y shear con un eje principal enla dirección del vector de onda proyectado en el plano ortogonal al haz. La polarización

+ no produce rotación. En tanto, la polarización x no produce convergencia, perosí rotación. Además induce un shear comparable en magnitud al de la polarización

+, pero en dirección independiente al mismo (con el eje principal a 45° respecto del

caso +). En otras palabras, la polarización + induce efectos similares al shear escalar,

mientras que la polarización x induce un shear pseudo-escalar (el cambio de una terna

derecha de coordenas a una izquierda cambia el signo de hx pero no el de h+).

Podemos usar la relación 2(1—/¿)fi_+ (1-;¿)2á = 1- eikr'u‘") para expresar larotación w como

1

w = EU + [L)Ahx(k) (5.20)

donde

Athc) = sz(t¿,rs) —mama) = hx(k)(e‘k"("") —1) (5.21)

es la variación de la amplitud de la componente hx de la onda entre los eventos deemisión del rayo de luz en la fuente y de arribo al observador en el origen. Claramenteno hay posibilidad de que el efecto (5.20) se acumule, la rotación nunca excederá laamplitud adimensional de la onda.

77

Para separar los efectos de distorsión locales de los producidos durante la propa­

gación, evaluamos 1/)“= 1bi —¿[Shah donde en este caso podemos escribir el cambioen la perturbación métrica entre los eventos de emisión y observación como

1 1

Altas = —5(1 —“2)Ah+óab + ¿(1+ u2)AIL+Fab((p)—uAhxrab(tp —g) .(5.22)

Aquí Pump) es una matriz de shear unitario en dirección (p. Es decir,

cos 230 sin 2cpFa = .23

WP) ( sin 2gp —cos 21,0) (5 )

Con la distorsión local extraída, los parámetros de la matriz de distorsión propiaresultan

¡e = 0

in“, = ¿(1- u)2a(k,ra,0)h(+.x) (5.24)Ó(+,x) = rÍ)(+.><)

á) = w

Espresada en términos de áreas propias la convergencia es nula a orden lineal en la

amplitud de las ondas gravitatorias [93].

Las características del efecto lente débil inducido por las perturbaciones tensorialcs

son muy diferentes a las del inducido por fluctuaciones escalares. En primer lugar, las

ondas gravitatorias no producen convergencia al orden lineal pero sí rotación. Luego,como discutimos en la subsección 53.3.2, dado que las ondas gravitatorias se propagan,los modos en que los fotones están en fase con la perturbación son ahora los modos

longitudinales (¡r = 1). Pero, como estos modos no producen deflexiones, el efectolente débil por ondas gravitacionales no se acumula con la distancia como el inducidopor fluctuaciones escalares. Los parámetros de distorsión serán típicamente del ordende la amplitud adimensional de las ondas, resultando un factor 10‘4 menores que losinducidos por fluctuaciones escalares.

5.2 Rotación de la polarización por perturbacionesmétricas

Un rasgo característico del electo lente débil ejercido por ondas gravitacionales esla rotación de las imágenes que, por el contrario, no es generada por perturbaciones

78

escalares. La rotación de una imagen puede ser difícil de averiguar, sin el conocimientode la orientación intrínseca de la fuente. Dicha orientación puede, en ciertos casos,

estar correlacionada con las propiedades de la polarización de la radiación emitida,

de modo que el ángulo entre una dirección estructural en la fuente y la dirección del

plano de polarización provee una herramienta potencialmente útil para la búsqueda(le eventuales rotaciones de la imagen por efecto lente débil. Dado que el plano de

polarización también puede rotar cuando la radiación electromagnética se propagaa través de inhomogeneidades en el potencial gravitatorio, es necesario estimar esteefecto. Para hacerlo, en esta sección trabajamos dentro de la aproximación de óptica

geométrica a las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en espacio-tiempos curvos

[73],según la cual la dirección del plano (le polarización se transporta paralelamente

a lo largo de la trayectoria (lel rayo. Siendo que la rotación de la imagen es unaconsecuencia de la desviación geodésica (le rayos vecinos, mientras la rotación de lapolarización surge del transporte paralelo, podemos esperar que, en principio, ambassean diferentes y puedan proveer un medio para detectar rotaciones absolutas.

Dado que las longitudes (le onda típicas (le la radiación electromagnética son ex­tremadamente cortas en comparación con el radio de curvatura del espacio- tiempoy la longitud típica sobre la cual pueden variar la amplitud, polarización y longitudde onda (le las ondas electromagnéticas, es posible tratar localmente a la radiación

electromagnética como ondas planas que se propagan a través de un espacio-tiempocon curvatura despreciable. En el gauge (le Lorentz, escribimos el vector potencial delcampo electromagnético como

A" = ElÏ{(L"ci0} (5.25)

donde a" es el vector amplitud y 0 es una fase real, rapidamente variable con la

frecuencia típica de la radiación electromagnética, 0 = wz)“ch + const., con w lafrecuencia y p“ el vector de onda adimensional. Desarrollando la solución a las ecua­

ciones de Maxwell en potencias de la longitud de onda electromagnética dividida porla escala de longitud sobre la cual el potencial gravitatorio varía significativamente(la longitud (le onda (le las perturbaciones métricas en nuestro caso) se encuentra alorden más bajo que las trayectorias seguidas por los fotones son geodésicas nulas, y al

orden siguiente que el vector amplitud a" puede escribirse como a“=af", donde a esla amplitud escalar y f" es el vector de polarización (normalizado tal que fl‘ffl :1),que satisface a lo largo de la trayectoria la ecuación de transporte paralelo:

d " ‘ y({7 = 41A pa; (5.26)

79

El campo eléctrico medido por un observador comoviente se deriva del tensor de

campo electromagnético FW = A”"‘ —AW según

Ej = F°j = 3?{[(aj‘°—a”) + ww“ —awnew} (5-27)

Siendo que el vector amplitud a" varía sobre escalas del orden de la longitud de onda delas perturbaciones l/k que es mucho mayor que la longitud de onda electromagnética,el primer término en el miembro derecho de (5.27) es despreciable comparado con elsegundo.

En nuestro análisis, los fotones se propagan en direccion p" = n" + O(h) con

n"=(—1,0,0, 1). Trabajaremos con la proyección del campo eléctrico en el plano per­

pendicular al eje x3, E" (b: 1, 2). La diferencia entre dicha proyección y la proyecciónen el plano ortogonal a la trayectoria verdadera (perturbada) de los fotones es de or­den ¡12. Con las consideraciones arriba mencionadas, la dirección del campo eléctrico

transversal está determinada por la.dirección de a" ó, más precisamente, de f"

Eb = lll{—iwaf°e‘“} + O(hk, h?) (5.28)

Las componentes transversales del vector de polarización satisfacen la ecuación detransporte paralelo (5.26) que, en la métrica (5.1), se reduce a

df “ 1 ab c— = ‘5 (hbcp - hbc,3+ hau; —hab.c)f (5-29)dr 2

En el caso de perturbaciones escalares estáticas hau =h'36(,b es el único término queno se anula en el miembro derecho de esta ecuación. La solución de (5.29) es tal que

¡“(r = o) = [ón + ¿Mamma , (5.30)

donde, al igual que en la sección anterior, Ah“ = ¡Lab(te,r,) —hab(to,0) denota ladiferencia en la amplitud de la fluctuación entre los eventos de emisión y observación.

Dado que Ahab es diagonal en el caso escalar, f1 y f2 se ¡modificanen igual proporción,

y entonces no hay rotación del plano de polarización respecto de la grilla fija decoordenadas. En otras palabras, si

x(r)=arctan (5.31)

80

__---'v--vvvvvwvwv-vvvvv".'."'............--­

y Ax = x(0) —x('r3), entonces

Ax = O (escalar) (5.32)

En el caso de una onda gravitatoria plana y monocromática con vector de onda

k" = k(1,m) como la descripta en (5.18), la ecuación (5.29) conduce a

‘gr = ¿“U-"l [hannmb —Intern“ + (1 —u)h“b(k)lf" (5.33)

que esta vez presenta términos no-diagonales. Integrando la ecuación (5.33) entre lafuente y el observador se obtiene

1

fa(T = 0) = [Jah - (426%+ 5Ah“¡,]fb(r3) (5.34)

donde w es el valor de la rotación de la imagen inducido por la onda gravitacional

que fue deducido en la sección previa: w = ¿(1 + p)Ahx. De acuerdo a (5.34), sila dirección de la polarización inicial en la fuente subtiende un ángulo x(rs) E xrespecto del eje z' en la grilla coordenada fija, la polarización observada en el origen

aparecerá rotada por Ax = w + Ah” cos2x/2 + (Ahgg—Ah“)sin 2x/4. Mediante(3.43) obtenemos que la rotación de la dirección de polarización entre los eventos deemisión y observación es

1 2 , 1 .

Ax = w + Z(1 + p )Ah+ sm 2(Lp—x) + EpAhx cos 2(<p—x) (tensorlal) .(5.35)

El primer término en el miembro derecho, independiente de la dirección inicial de lapolarización, coincide con la rotación de la imagen w. Los otros dos términos, quesurgen de la presencia de Ahab en (5.34), son consecuencia de la variación local de los

potenciales gravitatorios entre los puntos de emisión y observación.

Claramente, la rotación del plano de polarización no se acumula sobre distancias

mayores que la longitud de onda cuando la luz se propaga a través de un fondoestocástico de ondas gravitatorias, puesto que el efecto es proporcional al cambio en

la amplitud de la onda entre los eventos de emisión y observación. La rotación delplano de polarización producida por un fondo estocástico de radiación gravitatoriade origen cosmológico y amplitud del orden de h N 10‘6 es Ax N 0.1”, totalmentedespreciable.

81

Resumiendo, las perturbaciones escalares estáticas no rotan el vector de polariza­ción con respecto a la grilla coordenada fija y tampoco producen rotación rígida delas imagenes.

Las perturbaciones tensoriales en cambio, rotan el plano de polarización con res­

pecto a la grilla coordenada fija. La rotación es, sin embargo, idéntica a la rotaciónrígida de la imagen, más una rotación aparente que, como veremos cn la sección

siguiente, coincide con la rotación dc la dirección coordenada fija paralela a la polari­

zación inicial que es ejercida por los cambios locales en el potencial gravitatorio entrelos eventos de emisión y observación.

5.3 Rotación aparente del plano de polarización

La rotación del plano de polarización derivada en la sección previa cuando la luz se

propaga a través de ondas gravitacionales, o la ausencia de la misma en el caso deperturbaciones escalares, está medida respecto de la grilla coordenada fija (121,219,333).

Notemos, sin embargo, que debido al sliear y la rotación inducidos por el electo lentedébil, ya sea escalar o tensorial, luz originada en un punto situado en liar,3respectodel centro de la fuente, en una dirección que forma un ángulo 1p= arctan(Ü2/Ül) con

respecto al eje 3:1en el sistema de coordenadas fijo, es vista por un observador en

el origen como proviniendo de una dirección 1,0+ A1,!)= arctan(02/91) en la misma

grilla coordenada. Usando (5.6) y a orden lineal en las perturbaciones obtenemos

A11) = 1/)21cos2 11)— 1/112sin2 1/)+ («#22 — 1,0”) sin 2112/2 que, mediante (5.7) conduce a

Aw = w + 'ysin 2(d>—11)) (5.36)

Recordemos que 'y es la intensidad del shear, y d) su dirección. Cuando una dadadirección en la fuente es vista por el observador no sólo aparece rotada por w, sino

también afectada por el shear en la grilla Euclidea. En el caso de fluctuaciones es­calares, la rotación aparente de una dada dirección 1/)inducida por un modo de laperturbación es

Ad) = 7ysin 2(gp —1/2) (escalar). (5.37)

En el caso de ondas gravitatorias, la misma cantidad está dada por

A10 = w + ¿(1 + uz)Ah+ sin 2(gp —1/1)+ áuAhx cos 2(go —11))

+54Si"2(V’_ _ :YxCOS — (tensoriah'

82

e__e-------v-v-vvvw-vvvvvaUUUUUIOIOOOOOOO--­

El primer término en el miembro derecho de esta ecuación es la rotación rígida w

que afecta a todas las direcciones 1pen la fuente de igual manera. Los dos términos

que siguen son el efecto sobre una dirección coordenada fija del cambio en el potencial

gravitatorio entre los eventos de emisión y observación. El resto es la rotación aparente

adicional debida al shear propio 5', dado en (5.24).

En esta sección estudiaremos cuáles son las consecuencias potencialmente obser­

vables de la rotación aparente de las direcciones definidas en la fuente, relativas a su

plano de polarización. La pregunta central a responder es qué sucede con el ángulo

aparente entre el plano de polarización y una dirección estructural en la fuente, cuandola luz se propaga a través de perturbaciones métricas.

Restrinjamos nuestra atención a fuentes con un grado de polarización lineal sig­nificativo, forma elongada, y curvas de isodensidad aproximadamente elípticas. Paraestos objetos denotamos con 1/)el ángulo de posición en el cielo de la fuente, dado por

la orientación del eje mayor de la imagen, y con x la dirección del plano de polari­zación lineal integrada, luego de que la rotación de Faraday por campos magnéticosintervinientes ha sido descontada haciendo uso de su dependencia con la longitud deonda.

El efecto lente débil inducido por perturbaciones métricas produce convergencia,shear y rotación. La convergencia amplifica las fuentes sin cambiar su forma, (le

modo que no afecta el ángulo (le posición 1/). La rotación, descripta por w en (5.7),da cuenta de una rotación rígida de la imagen que conserva la distancia entre (lospuntos cualesquiera constante. Sólo las perturbaciones tensoriales producen rotaciónrígida de la imagen w960, y consecuentemente del ángulo de posición 1/)por la misma

cantidad. Sin embargo, aún cuando no se produce rotación rígida, como sucede con las

fluctuaciones escalares, el shear distorsiona la forma de la imagen de tal manera queuna fuente intrínsecamente elíptica se mapea en una imagen también elíptica pero condistinta elipticidad y orientación, dando lugar a una rotación aparente del eje mayor(le la fuente.

Veamos con más detalle esta última afirmación. Supongamos una fuente elípticacuyo eje principal forma un ángulo 1/)respecto al eje xl en el plano fuente, y conside­

remos la distorsión debida a convergencia K, rotación w, y shear 7 con un eje principal

en la dirección db. El efecto será equivalente al ejercido por convergencia IC,rotación

w, y sliear 'y con un eje principal en la dirección (fi—1/)sobre una elipse canónica (tal

que la dirección del eje mayor es 1/)= 0). Por simplicidad adoptaremos esta segundainterpretación. Supongamos que la elipse está parametrizada por Arc“ = 6-?“rs, donde

83

Ax“ describe la posición coordenada de los puntos del contorno de la fuente respectodel punto central en la misma. Si la longitud de los ejes mayor y menor de la mismason a y b respectivamente, entonces

(A19)2 (Mz?T + bz = 1 (5.39)

Definimos la elipticidad de la fuente como

M (5,40)= (a2 + b?)

La parametrización de la imagen de este objeto en la esfera del observador estará dada

por Aza' =0“ra= (6“, + 111%)0-“rs. Explícitamente esto es

1' _ _ 1Arc, = 1 K+7l w+'yg Aa: , (5.41)A12 w+72 l-K-71 A532

donde hemos definido (71,72) = 'y(c052(4)—1/)),si112(gb-1p)).Invirtiendo (5.41) pode­

mos despejar (Az‘,A:i:2) en función de (Az‘l,Aa:2') y los parámetros de distorsión.Luego, reemplazando (Ax‘, A22) en (5.39), y trabajando a orden lineal en las pertur­baciones, arribamos a la siguiente relación para los puntos pertenecientes al contornode la imagen

212_M)=1 . (5.42)1 + 271 1' 2'T)+2AI A1:( a2 b2

I 1 — 2 ,

(Ax‘WT“) + (Ax?>2<

Los puntos (x',y’) de una elipse cuyo eje mayor está orientado en dirección v respectodel eje coordenado xl, y cuyos ejes mayor y menor son a’ y b’ respectivamente, satis­facen

coszv sinzv ,2 sinzv coszv , ,_ 1 1w l (Tla- T)+”’ys"‘2v(a_ú_fi)=1 (5'43)x'2(

Comparando las ecuaciones (5.42) y (5.43) vemos que cuando una fuente elíptica es

distorsionada por efecto lente débil, la imagen de la misma sigue siendo una elipsepero con el eje mayor rotado por un ángulo A1,!)y con una elipticidad diferente e’dados por

2[w + (7/e) sin 2M) —112)] (5.44)tan(2A’/Í)= 1+ 2(7/5)c052(d)"

84

e, = \/[c + 27 cos 2MB—112)]2+ 4[cw + 'y sin 2(d) —1p)]2 (5.45)1 + 267 cos 2(q5 — 11))

Si la elipticidad es mucho mayor que el sliear, c>>7, podemos aproximar

A'l/J z w + gsin 2(45 —11;) (5.46)

que, por supuesto, coincide con (5.36) en el límite e = 1. En tanto que, la nueva

elipticidad es aproximadamente

c’ z e + 27(1 — e) cos 2((/>—-1/2) (5.47)

En el límite opuesto, en que la elipticidad intrínseca de la fuente fuera despreciable,

obtenemos A1];z 45y c’ z 27. Estos parámetros expresan simplemente que fuentes

prácticamente circulares manifiestan imágenes elongadas en la dirección del shear,

como se ve en Figura 2.2 (b,c) de la página 34.

Concluímos que el ángulo entre el plano de polarización lineal integrada y el eje de

la fuente, x —1/),se modifica cuando la luz se propaga a través de inhomogeneidades

de densidad y ondas gravitatorias. El cambio A(x —1p)está dado por las ecuaciones

(5.32), (5.35) y (5.44).

La deformación que el shear inducido por inhomogeneidades en la densidad de

materia produce en la imagen de fuentes lejanas conduce a una rotación aparente

entre el plano de polarización y ángulo de posición de las mismas A(x —’dJ)= —A1/),

pues las perturbaciones escalares no rotan la polarización (Ax=0). La magnitud deeste efecto depende fuertemente de la elipticidad intrínseca de la fuente, creciendomonótonamente hacia valores decrecientes de e (a shear fijo). En fuentes con altaelipticidad (e z 1), la rotación aparente es pequeña, del mismo orden que el shear

A(x—1p)N 'y. Un sliear del 2%, cómo el estimado en 55.1.1 para fluctuaciones linealesde densidad, inducirá rotaciones de a lo sumo un par de grados, que probablementeno tendrán consecuencias observacionales significativas. En el límite opuesto, fuentes

casi circulares aparecen elongadas en la dirección del shear, mientras su plano de po­larización no se ve rotado. En consecuencia, el sliear escalar es capaz de encubrir

cualquier correlación existente entre la orientación y la polarización de fuentes queintrínsecamente son casi circulares. Sin embargo, nuevamente, no es probable que

este efecto tenga consecuencias observacionales importantes ya que fuentes aproxi­madamente circulares difícilmente presenten un grado de polarización lineal integrada.

85

Seguramente, el efecto del shear en fuentes practicamente circulares será. más fácil de

detectar a través de la correlación en las elipticidades de galaxias vecinas, que por susefectos en las propiedades de la polarización aparente.

El régimen más interesante observacionalmente es el caso de fuentes con elipticidad6220.1. Estas son las elipticidades más pequeñas entre las observadas en fuentes que

todavía presentan un grado de polarización lineal significativo, mayor que un 5% (ver

Tabla I del Apéndice). Tales fuentes pueden manifestar una rotación aparente delplano de polarización relativa al eje mayor del orden

A _ N 1 5 48(x w) N e ( . >

- Observamos que, un shear escalar del 1% puede inducir un cambio de 5° en el ángulo

entre la dirección de polarización y la orientación de fuentes con elipticidad e z 0.1.

Los efectos de las ondas gravitatorias en las propiedades de polarización de radiofuentes son en cambio mucho más pequeños, pues la rotación y el sliear que inducen sona lo sumo del orden 10-6. Tales distorsiones conducen a una rotación aparente entre

el plano de polarización y el ángulo de posición despreciable, del orden de segundosde arco, en fuentes con elipticidad e z 0.1.

5.4 Correlación entre polarización y orientaciónobservada en radio fuentes lejanas

Frecuentemente la imagen de radio galaxias y quásares lejanos es elongada en unadirección, tal que en estas fuentes es posible medir un ángulo de posición 1/)queindica la orientación de su eje mayor. Si la radiación de sincrotrón origina un alto

grado de polarización lineal en la fuente, el ángulo del vector de polarización lineal

integrada x también puede ser medible. Es posible estudiar entonces el ángulo relativox-rb entre ambas direcciones, manteniendo presente que dicho valor está definidomódulo 180°. Discrepancias entre los valores observados y los esperados en basea modelos del campo magnético en las fuentes podrían manifestar la presencia deefectos inusuales en las propiedades de polarización de luz propagándose a través del

universo (50'51'99'“0'10”, adicionales a la rotación de Faraday (que es identificada yremovida por su dependencia proporcional al cuadrado de la longitud de onda).

Consideremos el conjunto de datos usados en Carroll et al. (1990) “00', con las

86

v-_--------v-v-vwwwwvvvaUUUIIOIOOOOOOOCOO-O­

correcciones señaladas en [5']. El conjunto incluye 160 radio fuentes, con corrimientos

al rojo de hasta 2.012. El primer paso para establecer la existencia de una correlación

fidedigna entre x y 11),es evaluar su comportamiento para fuentes distantes. Dividimoslos datos entre objetos distantes y cercanos, con la división establecida en el corri­

miento al rojo z = 0.3; hay 89 fuentes con z<0.3, y 71 con 220.3. En las Figuras 5.1

y 5.2, hemos confeccionado los histogramas de x-w para estos dos conjuntos. Con elpropósito de realizar estas figuras definimos x-d; entre 0° y 180° medido en sentido

horario respecto de 1p,y agrupamos los datos en columnas de 15° de ancho.

En la Figura 5.1, donde se representan las galaxias distantes, hay un pico muyevidente en x-üzgm indicando alta correlación entre x y 1/2.Para las galaxias máscercanas, que mostramos en la Figura 5.2, parece haber evidencia de un pico estrecho

en X—1p20°, y un pico más ensancliado en x—1/)"N‘90°.Sin embargo, la correlación

es evidentemente débil en la Figura 5.2. La explicación más probable para este hecho

es que muchas de estas galaxias son miembros (le una población diferente a la delas galaxias de alto corrimiento al rojo. Las galaxias distantes son miembros de unapoblación de alta luminosidad (que permite que sean observadas), y manifiestan altacorrelación entre la dirección de polarización y su orientación con un pico a x—1p290°

indicando la presencia de campos magnéticos paralelos al eje de la fuente. En tanto,entre las galaxias cercanas aparecen galaxias de baja luminosidad que presentan unacorrelación débil entre polarización y ángulo de posición.

Es razonable suponer que las galaxias con alto grado de polarización máxima de­berían mostrar cualquier efecto en forma más evidente que las débilmente polarizadas.Consideremos entonces las 116 fuentes cuyo grado de polarización máxima en función

de la longitud de onda es mayor o igual que 5%. Hay 51 de estas fuentes que son

distantes, con corrimiento al rojo mayor que 0.3. Las mismas aparecen incluidas en

la Tabla I del Apéndice, donde se detalla el corrimiento al rojo, grado de polariza­ción, ángulo de polarización, ángulo de posición y elipticidad de las mismas. Todos

los datos, excepto las elipticidades fueron extraídos de Carroll et al (1990) [10°].Las

elipticidades sc calcularon a partir del catálogo de Gregory et al. (1996) [‘02].En lasFiguras 5.3 y 5.4 mostramos los mismos liistogramas que en las Figuras 5.1 y 5.2,pero limitados a las fuentes cuyo grado de polarización máxima sea mayor o igual que5%. Los picos encontrados en las figuras previas, a 90° en el conjunto de alto corrim­

iento al rojo, y a 00 y 90° en el de bajo corrimiento al rojo, también son evidentes

en las Figuras 5.3 y 5.4 tal vez cn forma mas convincente. Sin embargo, cualquierincremento en la correlación es compensada en cierto grado por la disminución en elnúmero de datos.

87

P¿0%15 _ 220.3 _

N=7l

10 r

Numerodefuentes

15 30 45 60 75 90 105120135150165180x—w(grados)

Figura 5.1: Histograma del número (le fuentes vs. x —1/¡(polarización - ángulo (le posición)

para las 71 fuentes con corrimicnto al rojo z Z 0.3 y polarización integrada máxima. P 2 0%.

P>_0%Z<0.3

15 N=89

m _mEcoao 10 ­'D20 l_—.EZ

5 - .

15 30 45 60 75 90 105120135150165180x-w (grados)

Figura 5.2: Histograma del número de fuentes vs. x —w(polarización - ángulo de posición)para las 89 fuentes con corrimiento al rojo z < 0.3 y polarización integrada. máxima. P 2 0%.

88

P2590220.3

15 N=5|r._u)a)Ea)2a.) 10 ‘'o2oE3Z

5 .

ri WH­15 30 45 60 75 90 105120135150165180

x—w(grados)

Figura. 5.3: Histograma del número de fuentes vs. x —1,b(polarización - ángulo de posición)

para las 51 fuentes con corrimiento al rojo z 2 0.3 y polarización integrada máxima P 2 5%.

P25%Z<0.315'

a)d)Ed)3a) 10 ''D9CD

EDZ

5 - ­

15 30 45 60 75 90 105120135150165180x-Wgrados)

Figura. 5.4: Histograma del número de fuentes vs. x -1,b (polarización - ángulo (le posición)para las 65 fuentes con corrimiento al rojo z < 0.3 y polarización integrada máxima P 2 5%.

89

Las dispersiones del ángulo del plano de polarización lineal integrada respecto dela perpendicular al eje mayor en radio fuentes distantes han sido utilizadas para bus­

car evidencias de la existencia de anisotropía cosmológica en el universo. Mientras losprimeros análisis indicaban que el residuo en la rotación de la polarización se ajustabaa un comportamiento dipolar ¡99'103'"Ml, un análisis posterior de un mayor númerode fuentes negaba tal evidencia [‘05].Recientemente, volvieron a presentarse nuevas

pruebas de la existencia de una anisotropía dipolar en la rotación del plano de polar­

ización, que depende del corrimiento al rojo (5°),pero un análisis estadístico con unainterpretación más convencional [51'1061descarta la misma. Dicha evidencia, además

hubiera entrado en conflicto con otros testeos más precisos de la rotación cosmológicade la polarización a través de observaciones de alta resolución de la polarización eintensidad locales “07' los].

5.5 Efectos del shear cósmico en la correlación

entre polarización y orientación

Propondremos ahora el siguiente panorama, que resulta consistente con la correlaciónque existe entre la dirección de polarización y la orientación en las observaciones ac­tuales. Supongamos que la mayoría de las radio fuentes lejanas que tienen un gradosignificativo de polarización lineal integrada están polarizadas en una dirección casi

perpendicular a su eje mayor (digamos a menos de 5° de él), mientras una pequeñafracción no posee una correlación significativa. El shear escalar actúa estocásticamentesobre estas fuentes provocando una rotación aparente del plano de polarización re­specto del eje mayor de las mismas. El resultado debería ser un incremento en ladispersión observada en x-rl) respecto de 90°, proporcional a la dispersión cuadráticamedia del shear. El efecto señalado en realidad depende además del corrimiento alrojo y de la elipticidad intrínseca de las fuentes. Si la cantidad de fuentes en las

cuales se ha determinado x-d; fuera Io suficientemente grande, sería posible buscaruna correlación entre los desvíos de x-vj) respecto de 90° y el corrimiento al rojo y la

elipticidad de las fuentes para testear este escenario. Las observaciones actuales no

son suficientes para intentar un testeo en esa dirección, pero sí podemos argumentarque son consistentes con el escenario aquí descripto, en presencia de un shear escalarde alrededor del 5%. Noternos que este sliear sólo necesita ser coherente sobre escalaspequeñas, del orden del tamaño angular de las fuentes.

Dado que la muestra de fuentes observadas no es lo suficientemente grande para

90

buscar correlaciones de los efectos del shear con el corrimiento al rojo y la elipticidad

de las fuentes, estimaremos el efecto esperado en una población de radio fuentes con

elipticidad igual a la media del conjunto, y a un corrimiento al rojo equivalente alpromedio. Como los efectos del shear no se acumulan significativamente en el casode fuentes cercanas, consideraremos en este análisis sólo fuentes las con corrimiento

al rojo z 2 0.3, y entre ellas a las que poseen grado de polarización lineal integradamáximo P 2 5%. Los resultados de las mediciones correspondientes a las 51 fuentes de

esta muestra se resumen en la Tabla I del Apéndice, y el correspondiente histograma

aparece en la Figura 5.3. Las fuentes tienen un valor medio de x -—1p igual a 90°,con una desviación estándar a = 33°, y un corrimiento al rojo promedio Z = 0.85.De estas 51 fuentes, 41 presentan su ángulo de polarización a menos de 45° de la

dirección perpendicular al eje mayor de la fuente, mientras que las 10 restantes parecenestar uniformemente distribuidas a ángulos mayores que 45°, aunque el número esdemasiado pequeño para extraer conclusiones contundentes. Si excluímos del conjuntoa estas 10 fuentes, bajo el supuesto de que en su mayoría las mismas pueden ser

miembros de una población con baja correlación intrínseca entre polarización y ángulode posición, las 41 fuentes restantes tienen un valor medio de x-d; igual a 91° con

una dispersión cuadrática media a = 19°. Hemos calculado la elipticidad de todas lasfuentes excepto 4, en base a las magnitudes de los ejes menor y mayor que aparecen

citadas en Gregory et al. (1996) [‘02]. Las elipticidades se detallan en la Tabla I,

siendo el valor promedio del conjunto e"z 0.15.

Proponemos la hipótesis de que la dispersión intrínseca de x—1,/)alrededor de 90°

en las fuentes es mucho menor que la detectada, siendo la dispersión observada unaconsecuencia de los efectos del shear estocástico cosmológico.

Estimemos ahora el shear cosmológiconecesario para producir una dispersión a z20° sobre una población de fuentes con e = 0.15, ubicadas a igual corrimiento al

rojo. En el límite '7/6 << 1, donde Fyes la dispersión cuadrática media del shear, que

suponemos actúa en todas las direcciones en el plano perpendicular a la trayectoria

de los fotones con igual probabilidad, los resultados de la sección previa (ecuación

(5.46)) conducen a que el desvío estándar en la rotación aparente es

2 "/2 - 2 V2 1 —

Ow._=_<(At/02>l/223 ([43 sin2 =

El valor au, = 0.35 (20°) corresponde a '7/6 z 0.5, que implica "y = 7.5% si laelipticidad de las fuentes es e = 0.15. La ecuación (5.46), sin embargo, subestima

9]

la rotación aparente cuando '7/6 no es significativamente menor que uno, como fre­cuentemente sucede en el caso de que el desvío estándar respecto de cero es ’y/e = 0.5.

Para estimar mejor la dispersión en las rotaciones aparentes deberíamos usar (5.44).Supongamos que 7 tiene una distribución gausiana con valor medio cero, desviaciónestándar '7, y una probabilidad de distribución uniforme en la dirección del shear qS.

La dispersión en las rotaciones aparentes es entonces

c_72/2fi1— 3 "/2 +°° 1 . 2 2(7/6)sin24> "2aw - [Tr/0 dÓ/_°° d')’4 alctan (1+2(7/E)c0824)) firy ] . (5.50)

En el límite ’y/e << 1, esta expresión coincide con el valor aproximado de (5.49). En el

límite opuesto, "y/e>> 1, tiende a 1r/(2\/3) (z 52°), que corresponde a una distribuciónde probablidad de las rotaciones uniforme entre 0 y 7r/2, como es de esperarse, pues

en este límite la rotación aparente está determinada por A11)= d).

El resultado de evaluar numéricamente la ecuación (5.50) se muestra en la Figura

5.5. El mismo indica que 0.1,= 0.35 (20°) cuando ’y/e z 0.3. Si e z 0.15 este valorimplica

r7z 0.05 (5.51)

Dadas las limitaciones de la muestra de fuentes considerada, y la simplificación

adoptada en la dependencia del efecto con el corrimiento al rojo y la elipticidad, esteresultado sólo puede ser considerado como una estimación aproximada. El mismoindica fehacientemente, sin embargo, que la dispersión en la dirección intrínseca (lepolarización respecto de la perpendicular al eje mayor en radio fuentes lejanas esconsistente con la hipótesis de que su origen es debido al efecto de un shear cosmológicocon dispersión cuadrática media del orden, o inferior a, 5%. Valores mucho mayores

de '7 entrarían en conflicto con las correlaciones observadas entre la polarización y laorientación de las fuentes.

Mediciones de alta resolución en fuentes distantes permiten también determinarla polarización local en regiones de las mismas, y estudiar su correlación con ciertadirección estructural en la fuente (como ser la dirección de gradientes locales de inten­sidad) de acuerdo con las predicciones teóricas “07' 108].El shear cósmico inducido por

efecto lente débil afectaría en promedio las rotaciones observadas en estos casos entre

la polarización y cierta dirección localmente definidas en las fuentes por un ángulo

Aw z ¡fix/Í (que corresponde a la situación e =

92

50­

4o­

30'­

2oL

0.01 0.10 1.00 10.00

y/e

Figura. 5.5: Desvío estandar de la rotación aparente Ud,(en grados) inducida por un shearcon dispersión cuadrática media 7 sobre fuentes con elipticidad e, graficada en función de

'y/e.

93

-_e-------vvvv-vwvwvvvCUUUUUIIOCIOOOOOOOOOO-­

Capítulo 6

Conclusiones

En la primera parte de esta tesis estudiamos cómo se ven afectadas las propiedadesobservables de lentes gravitacionales con imágenes múltiples cuando el espacio al cualpertenece la lente primaria está perturbado por la existencia de fluctuaciones de ma­teria a gran escala y radiación gravitatoria de longitud de onda cosmológica. En­

contramos que la ecuación cosmológica de la lente, que describe la posición de lasimágenes (le la fuente en presencia de las inhomogeneidades a gran escala, es equiva­

lente a primer orden (correcciones lineales en la amplitud de las perturbaciones, h) ala ecuación que describe a una lente con idéntico deflector en un espacio sin perturba­

ciones, pero tal que la geometría del sistema es diferente. Si su ángulo de alineación

intrínseco es fi, el sistema se manifiesta con alineación efectiva ,3“ = ,6 +fipem donde5pm engloba el efecto de las perturbaciones. Dado que ,Bper,puede ser fácilmente dealgunos minutos de arco debido al efecto acumulativo de las fluctuaciones métricasescalares, el cambio aparente de alineación tendrá como consecuencia un cambio en la

magnitud de las propiedades observables del sistema que puede ser del mismo orden

que las magnitudes medidas.

Sin embargo, las perturbaciones modifican al mismo tiempo todos los observablesdel sistema lente tal que no dejan rastro de su presencia. En base a sus mediciones del

retraso de tiempo entre imágenes, posición de las imágenes y magnificación relativade las mismas, un observador no podrá diferenciar entre el sistema original y unalente con idéntico deflector y diferente alineación en un espacio no perturbado. Enconsecuencia, no será posible distinguir el retraso de tiempo inducido por las pertur­baciones del retraso intrínseco al sistema. Concluímos entonces que la medición del

retraso de tiempo entre imágenes múltiples de quásares no podrá usarse para detectar

95

la presencia de las inhomogeneidades.

El cambio aparente de geometria en la lente inducido por la presencia de las fluctua­ciones a gran escala, no altera las relaciones funcionales que vinculan los observablesdel sistema con el potencial del deflector y la constante de Hubble. Un observador

podrá ignorar la existencia de las perturbaciones y asumiendo un espacio isótropo yhomogéneo, determinar los parámetros del deflector y la constante de Hubble correc­

tos en base a las propiedades observables de las imágenes múltiples. En consecuencia,el método usual para determinar la constante de Hubble a partir de mediciones de

diferencia de tiempo de viaje entre imágenes múltiples de quásares no se ve compro­

metido a este orden por la presencia de fluctuaciones a gran escala en el potencialgravitatorio.

Estas conclusiones son válidas para fluctuaciones métricas de amplitud pequeñah << 1 y que varían sobre una escala A mucho mayor que la separación típica cn­

tre imágenes {, que en todo caso es el rango interesante para tratar el efecto defluctuaciones lineales de densidad y radiación gravitatoria cosmológica en lentes gra­

vitacionales. Al orden siguiente el efecto da cuenta de las (leflexiones relativas de losrayos e involucra términos proporcionales a hó en la ecuación de la lente, siendo ó la

desviación de la dirección de propagación de los rayos respecto del eje de la lente. Estacorrección sólo afecta las propiedades observables de la lente a un nivel {/A' '5110’3

veces menor al antes considerado, pero se manifiesta con propiedades cualitativasmuy diferentes. Los efectos de segundo orden inducidos por fluctuaciones lineales de

densidad equivalen a la existencia de sliear y convergencia externos a la lente conuna magnitud de aproximadamente 2%. Los mismos intervienen en la estimación de

Ho en base al retraso de tiempo entre imágenes múltiples, pero sólo comprometen

su determinación al z 2%, un error poco significativo teniendo cuenta las incertezasexistentes en los modelados de las lentes y el escenario cosmológico adoptado.

En la segunda parte de este trabajo estudiamos el impacto del efecto lente débilinducido por fluctuaciones de densidad a gran escala y ondas gravitacionales cos­mológicas en las propiedades de polarización de radio galaxias.

La distorsión que el shear cosmológico induce en la forma de galaxias lejanas noes fácil de averiguar, pues la forma intrínseca de las fuentes no se conoce. Un posi­ble camino para detectar el shear cosmológico es la búsqueda de correlaciones en laselipticidades de galaxias. El estudio que realizamos presenta un método potencial­mente alternativo para evidenciar los efectos del shear cósmico. En el caso de fuentes

para las cuales existen modelos confiables de la configuración de campo magnético y

96

propiedades de polarización en las mismas, la presencia del shear podría manifestarsepor la desviación del ángulo entre la orientación de la fuente y la dirección de polari­zación observado respecto del previsto por el modelo. Tal proceso seria sensible a un

shear que sólo necesita ser coherente sobre escalas angulares pequeñas, del orden deldiámetro angular de las fuentes.

Encontramos que las fluctuaciones (le densidad a gran escala no rotan la dirección

del plano de polarización lineal de las fuentes, pero distorsionan la forma de la imagende las mismas dando lugar a una significativa rotación aparente de su eje mayor, tal

que el ángulo entre la dirección de polarización y la orientación detectado por unobservador en la tierra difiere del ángulo intrínseco en la fuente (luego de sustraerla rotación de Faraday). En el límite 'y << e, donde 'y es el shear inducido por las

perturbaciones entre la fuente y el observador, y e es la elipticidad de la fuente, la

rotación aparente es A10 z 7/6. Esta magnitud se hace interesante en el caso defuentes con elipticidad del orden e z 0.1, pues implica, en presencia de un shear del

1%, una rotación de alrededor (le 5°, que ya es comparable o mayor que los errores

típicos en la sustracción de la rotación de Faraday.

Proponemos que la correlación observada entre las propiedades de polarizacióny el ángulo de posición en radio galaxias y quásares puede ser usada para acotar oeventualmente detectar el shear cosmológico inducido por las fluctuaciones de materia

a gran escala en el universo. La observaciones actualmente existentes muestran queuna gran fracción de las radio fuentes distantes tiene polarización lineal integrada enuna dirección casi perpendicular al eje de la fuente, con una dispersión respecto delvalor medio de alrededor de 20°. Sin embargo, el número de fuentes en el muestreono parece ser suficiente para testear estadísticamente si la desviación observada es

atribuible a los efectos del shear cosmológicoescalar. Sostenemos que las observacionesactuales son consistentes con la hipótesis de que la dispersión observada en fuentescuyo ángulo de polarización lineal no es perpendicular al eje mayor de las mismases consecuencia de un shear con dispersión cuadrática media de alrededor del 5%,

actuando sobre una población de radio fuentes que tiene una dispersión intrínsecamucho menor. Un shear mayor que el 5% induciría rotaciones con una desviación

estándar mucho mayor que 20°, y sería ineonsistente con las correlaciones observadas

entre la polarización y la orientación. La hipótesis del shear cósmico propuesta podríaser testeada, cuando se disponga de un mayor número de observaciones, a través dedependencia de las correlaciones estadisticas entre la polarización y la orientación conla distancia y la elipticidad de las fuentes.

97

Finalmente, dentro de nuestros estudios, conflrmamos que los efectos de un fondocosmológico de radiación gravitatoria en la propagación de la luz en sistemas de lentesgravitacionales son mucho más pequeños que los debidos a las fluctuaciones de den­sidad, debido a que no se acumulan significativamente sobre distancias mayores quesu longitud de onda. Desde un punto de vista académico, sin embargo, es interesanteenfatizar las diferencias cualitativas entre las distorsiones inducidas por fluctuaciones

escalares y tensoriales. Las ondas gravitacionales, a diferencia de las fluctuaciones de

densidad, no generan convergencia a orden lineal en las perturbaciones métricas, perosí producen rotación rígida de las imágenes y rotación del plano de polarización de laradiación electromagnética. Ambas fluctuaciones inducen shear.

98

Apéndice

Tabla I. Polarización y orientación obeservadas en radio fuentes. La columna l numera lasfuentes. La columna. 2 designa las fuentes de acuerdo al sistema posicional adoptado por lalAU. La columna 3 señala el corrimiento al rojo z. La columna 4 contiene el máximo gradode polarización integrada en 'función de la longitud de onda P. La incerteza típica es del1%. Sólo se incluyen fuentes con z Z 0.3 y P 2 5%. Las columnas 5 y 6 indican el angulo de

dirección de la polarización lineal integrada x, y el ángulo (le posición en el cual la fuente esmás elongada 1/),respectivamente “00]. La columna 7 es el ángulo relativo entre Ia direcciónde polarización y la orientación x —1/).Su incerteza es de alrededor de z 5°. La columna 8indica la elipticidad de las fuentes e “02].

Nro. Fuente z P(%) x(gra(l) 11)(grad) x—1/)(grad) e

01 0017 +15 2.012 18.0 34 143 71 0.118

O2 00 33 +18 1.469 06.5 80 171 89 0.111

03 00 38 +32 0.4820 06.0 118 30 88 0.612

04 00 48 +50 0.937 06.0 25 104 101 0.041

05 01 07 +31 0.689 08.0 4 78 106 0.076

06 01 23 +32 0.794 07.5 33 139 74 0.102

07 01 28 +06 0.66 12.0 95 4 91 0.203

08 01 32 +37 0.4373 17.0 160 67 93 0.299

09 01 33 +20 0.425 05.5 38 32 6 0.328

10 01 52 +43 0.8274 05.0 67 24 43 0.094

11 02 20 +39 1.176 14.0 168 99 69 0.066

12 02 29 +34 1.238 06.5 85 173 92 0.110

13 04 04 +42 0.330 12.0 74 160 94 0.120

14 04 10 +11 0.3056 06.0 60 143 97 0.195

15 06 10 +26 0.5804 07.0 13 99 94 0.101

16 06 59 +25 0.5191 07.5 95 16 79 0.238

17 0710 +11 0.768 10.5 16 59 137 0.205

18 0711 +14 0.920 15.0 136 68 68 0.251

19 07 33 +70 0.994 05.5 176 112 64 0.150

20 07 42 +02 0.350 09.0 56 160 76 0.429

21 08 24 +29 0.458 06.0 34 157 57 0.137

99

Tabla l. Continuación.

Nro. Fuente z P(%) x(gra(l) 1/)(grad) x—1/)(grad) e

22 08 35 +58 1.534 13.0 74 15 59 0.104

23 09 05 +38 0.8975 08.5 15 104 91 0.115

24 09 27 +36 1.157 07.5 18 43 155 0.020

25 09 41 +10 0.823 09.0 67 144 103 ..... ..

26 09 47 +14 0.5524 08.0 108 9 99 0.135

27 10 30 +58 0.428 06.0 118 167 131 0.151

28 10 40 +12 1.029 11.0 22 100 102 0.153

29 10 56 +43 0.7489 06.0 12 69 123 0.186

30 11 08 +35 1.10 14.0 99 104 175 0.104

31 11 42 +31 0.811 06.5 41 105 116 0.132

32 12 06 +43 1.400 11.0 41 39 4 0.141

33 12 18 +33 1.519 11.0 91 160 111 0.097

34 12 32 +21 0.422 19.0 165 66 99 0.300

35 12 54 +47 0.996 12.0 34 92 122 0.129

36 12 58 +40 1.659 07.5 38 124 94 0.051

37 13 43 +50 0.9674 05.5 6 108 78 0.076

38 14 25 -01 0.308 07.0 120 83 37 ..... ..

39 15 47 +21 1.2063 06.0 153 73 80 0.131

40 15 49 +62 0.860 08.0 79 123 136 0.082

41 16 18 +17 0.555 06.3 44 125 99 0.135

42 16 22 +23 0.927 06.5 132 32 100 0.199

43 16 26 +27 0.448 24.0 143 49 94 0.098

44 16 27 +23 0.7754 12.5 177 90 87 0.070

45 17 09 +46 0.8057 08.0 64 167 77 0.145

46 17 23 +51 1.079 08.8 131 161 150 0.106

47 20 19 +09 0.469 08.5 172 112 60 0.191

48 21 04 +76 0.572 10.0 51 140 91 ..... ..

49 22 03 +29 0.707 14.0 0 148 32 0.124

50 23 45 +18 0.632 07.0 114 159 135 0.111

51 23 53 +79 1.336 11.0 85 172 93 ..... ..

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Agradecimientos

Deseo expresar mi gratitud al Dr. Diego Harari por introducirme al interesante es­tudio de las Lentes Gravitacionales, por guiar y motivar constantemente mi desarrollo

como investigadora, y por dirigir esta tesis con enorme capacidad y gran dedicación.

A la UBA por la beca de investigación que me otorgó para realizar el doctorado.