Ejercicios deEjercicios deestadísticaestadística

En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución deedades: Edad Frecuencia E1 N1

E2 N2

E3 N3

E4 N4

¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra?

A)

B)

C)

D)

E)

1 2 3 4E + E + E + E

4

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4

N ×E + N ×E + N ×E + N ×E

N + N + N + N

1 2 3 4N + N + N + N

4

1 1 2 2 3 3 4 4N ×E + N ×E + N ×E + N ×E

4

1 2 3 4

1 2 3 4

E + E + E + E

N + N + N + N

El personal de una pequeña empresa consiste de 4 administrativos con un sueldoDe $ 260.000 cada uno y de un jefe con un sueldo de $ 480.000 , el sueldoPromedio y la moda de los sueldos son respectivamente: promedio modaA ) 564.000 80.000B ) 260.000 340.000C ) 304.000 260.000D ) 480.000 260.000E ) 304.000 480.000

DESARROLLO

La media

4 260.000 1 480.000

5x

1.520.000

5 304.000

La moda es 260.000 es el sueldo que mas se repite

DESARROLLO

Carlos olvido una de sus ocho notas del primer semestre .Sin embargo, recuerdalas otras siete notas , que son : 7, 6.2 , 5.8 , 6.5 , 6.3 , 6.1 , 5.6 . Sabe por otraparte, que su promedio semestral es 6.1. Entonces , si en el promedio semestralse aproxima la centésima , la calificación que olvido Carlos es :

I ) 5.5 II ) cualquiera nota dentro del intervalo ( 4.9 ; 5.6 ) III ) 5.7

A ) Solo I B ) Solo IIC ) I y IID ) I y IIIE ) I , II , III

Sea N la nota que olvido Carlos

7 +6.2 + 5.8 + 6.5 + 6.3 + 6.1 + 5.6 + N6.1 =

8

43.5 + N6.1 =

8

6.1 8 = 43.5 + N

48,8 = 43.5 + N

5.3 = N

43.5 + 4.9 48.4

6.1 = = 6.05 = 6.18 8

43.5 + 5.6 49.1

6.1 = = 6.1375 = 6.18 8

VV F

DESARROLLO

Cuando Marcela postulo a la universidad obtuvo los siguientes puntajes en las pruebas y en sus notas de enseñanza media,

prueba puntaje ponderaciónLenguaje 682 10 %Matemática 751 20 %Ciencias sociales 643 10 %Ciencias 718 40 %Notas enseñanza media 600 20%El puntaje de presentación de Marcela es :

10 682 20 751 10 643 40 718 20 600

100x

6820 15020 6430 28720 12000

100

68990

100 689,9

A ) 689,9B ) 690C ) 678,8D ) 679E ) N .,A,

DESARROLLO

Los datos siguientes corresponden al tiempo en minutos que un trabajadordebe esperar su medio de movilización para ir al trabajo durante 15 dias laborales : 20 , 5 , 12 , 8 , 5 , 8 , 4 , 10 , 3 , 8 , 6 , 18 , 2 , 10 , 14 , Entonces :La media , la moda y la mediana para este conjunto de datos respectivamente son : Media Mediana ModaA ) 8,8333 8 8B ) 8 8,8666 8C ) 8,8666 5 10D ) 8,8666 8 8E ) 8,5 8 10

ordenamos los datos de menor a mayor

2 3 4 5 5 6 8 8 8 2 10 10 12 14 18 20

2 3 4 5 5 6 8 8 8 10 10 12 14 20

15x

133

15

8,86x MEDIANA 8MODA 8

DESARROLLO

Se han obtenido los siguientes datos al realizar un estudio sobre el consumo diario de leche por familia en un tercer año básico

Consumo de leche lt Nº de familias 0 2 1 12 2 14 3 10 4 2

De acuerdo a la tabla el consumo promedio de leche en las familias del curso es:

A ) 0,35 lt B ) 4 lt C ) 12 lt D ) 1,95 lt E ) N,A.

2 0 12 1 14 2 10 3 2 4

40lt

40

0 12 28 30 8

40

78

1,9540

lt

DESARROLLO

Un estudiante obtuvo como promedios semestrales 5.6 y 6.0 respectivamente .La nota final se calcula asignando al promedio anual una ponderación del 70 % y al examen del 30 % . Su promedio final fue 6.1 (aproximando la centésima) .Es posible que la nota que obtuvo en el examen haya sido :

A ) 6.1 B ) 5.6 C ) 6.5 D ) cualquier nota entre 6,7 y 7.0 E ) N. A.

5.6 6.0. . 5.8

2N P

5.8 0.7 0.3 6.1x 4.06 0.3 6.1x

6.1 4.06

0.3x

2.04

0.3 6.8

DESARROLLO

Un estudiante obtuvo como promedios semestrales 5.6 y 6.0 respectivamente .La nota final se calcula asignando al promedio anual una ponderación del 70 % y al examen del 30 % . Para que la nota final fuera 5.5 (aproximando la centésima) .Su nota de examen podría haber sido :

A ) 2.8 B ) 3.2 C ) 4.7 D ) 5.5 E ) N. A.

la nota final N, antes de aproximar a 5.5 debe ser 5.45 N 5.54

5.8 0.7 + 0.3 x = 5.45

4.06 + 0.3 x = 5.45

4.631.39

x =0.3

5.8 0.7 + 0.3 x = 5.54

4.06 + 0.3 x = 5.54

4.933331.48

x =0.3

DESARROLLO

Si a la serie de datos 7 , 6 , 5 , 4 , 5 . Se le agregan dos datos , entonces suMediana seria 6, su promedio 7 y su moda 5 . Los datos que se deben agregar podrían ser :

I ) 5 y 17 II ) 9 y 13 III ) 8 y 14

A ) solo I B ) solo II C ) solo III D ) I y II E ) II y III

Una vez que se han agregado los datos a la serie dada, el conjunto tiene 7 datos .Si el promedio debe ser 7 , entonces la suma de todos los datos debe ser 49. comola suma de los 5 datos dados originalmente es 27, entonces hay que agregar 22 mas.

Si se ordenan los datos de la serie original : 4 , 5 , 5 , 6 , 7Para que la mediana sea 6 y la moda 5 los datos que hay que agregar debenser mayores que 6 .

Luego satisfacen las condiciones las propuestas II y III

7 6 5 4 5 27

DESARROLLO

Un test de aptitudes básicas se aplico a los estudiantes de 7º básico de las tresComunas de una provincia. Los promedios para cada una de las comunas están tabulados a continuación. comuna promedio Nº de estudiantes sierra bella 72.6 2824 puerto claro 59.4 427 angostura 52.1 635

Entonces el promedio general es : 72.6 59.4 52.1)2824 427 635

72.6 59.4 52.1)

3) 68.7

) 67.8

) 69.6

A

B

C

D

E

2824 72.6 427 59.4 635 52.1

2824 427 635PR

205022.4 25363.8 33083.5

3886

263469.767.8

3886

DESARROLLO

El grafico indica la frecuencia en que ha salido cada resultado al lanzar un dado20 veces ¿Cuál es la media de los resultados obtenidos?

A ) 2.85B ) 3.2C ) 3.333D ) 3.35E ) 3.5

4

1

3

2

f

5

21 643 5 puntajes

Puntajes frecuencia 1 3 2 4 3 5 4 2 5 3 6 3

3 1 4 2 5 3 2 4 3 5 3 6

20x

3 8 15 8 15 18

20

673.35

20

El grafico indica la frecuencia en que ha salido cada resultado al lanzar un dado20 veces ¿Cuál es la frecuencia de la moda?

A ) 2B ) 3C ) 4D ) 5E ) 6

21 643 5

4

1

3

2

5

DESARROLLO

1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,5,5,6,6,6

La moda es 3

La frecuencia de la moda es 5

DESARROLLO

Los cuartiles ( Q1,Q2,Q3 ) de la serie de números :

8 , 12 , 14 , 21 , 24 , 32 , 33 , 44 , 47 , 48. son respectivamente :

Q1 Q2 Q3

A ) 44 28 14B ) 14 28 44C ) 14 32 47D ) 12 24 44E ) 8 28 48

8 12 14 21 24 32 33 44 47 48

la serie tiene un numero par de elementos

Q2 = Me24 + 32Me=

228 28

Q1 Q3

14 44

DESARROLLO

El grafico de barra muestra la frecuencia de ocurrencia de temperatura en unaciudad durante un mes. La frecuencia porcentual de la temperatura con mayorfrecuencia absoluta es : A ) 26.66 %B ) 0.266 %C ) 23.33 %D ) 0.233 %E ) 13.33 %

29ºC

27ºC

28ºC

31ºC

30ºC

32ºC

34ºC

33ºC

11

9

8

7

65

4

3

2

Temperatura frecuencia

27º 4 28º 3 29º 4 30º 5 31º 8 32º 3 33º 2 34º 1

30

8

30rif 0.26 100 26.6%

10 + 15 + 12 + 8 + 4X = =

5

49=

59,8

Solución:

12 + 15 + 23 + 18 + 48 + 9X = =

7

157=

722,4

Solución:

No se conoce ninguna nota, solo la suma de ellas y su promedio. Todas las alternativas desde la A ) a la D ) cumplen con que la suma es 11 y el promedio es 5,5

Solución:

A ) 61,63B ) 59,4C ) 67,79D ) 68,34E ) 70,1

Solución:Corresponde al caso de un promedio ponderado

72,6 2824 + 59,4 427 + 52,1 635X =

2824 + 427 + 635263469,7

=3886

67,79205022,4 25363,8 33083,7

3886

Solución:

4 + 6 + 3 + 6 + 7 + 5X = =

6 31

6 5,16

x + x + 1 + x - 1 + 2x - 1 + 2x + 1X = =

5

7x

5

Solución:

Solución:

0,3 + 0 + 1,1 + 0,8 + 0,5 + 0,6X = =

6

3,3

60,55

La centésima mayor o igual a 5 se aproxima a la décima 0,6

Solución:

-5 + - 4 + - 3 + - 2 + -1 + 0 + 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6X = =

12

6

120,5

Solución:

55 + 35 + 18X = =

3

108

336

VVV

3 12 = 36 55 + 35 90+ 6 = + 6

3 3

Solución:

)II x - r + x - s + x- t = 0

x-r +x - s + x - t = 0

3x = r + s + t

r + s + tx =

3

)IIIr + s + t + 10

x + 10 =3

3 x + 10 = r + s + t + 10

3x + 30 = r + s + t + 10

3x = r + s + t - 20

r + s + t - 10x =

3

V

V

F

I ) Representa el concepto de media

Solución:

SX =

5

S17,4=

5

5 17,4 = S

S = 87

2S = 87 + 18 = 105

105

X =6

17,5

Sean x y S la media y la suma de las edades de los 5 amigos

Si a la suma de las edades se le agrega un amigo de 18 años

entonces

Solución:

SX =

8

S30 =

8

240 = S

S + 32 + 18

x =10

240 + 32 + 18=

10290

= 2910

Sea S la suma de los 8 números

Se agregan 32 y 18 obtenemos 10 números

Solución:

Sean A , B , 28 , 30 , 32 las edades de las 5 amigas

A + B + 28 + 30 + 3234 =

5

170 = A + B + 90

A + B = 80

El promedio de las edades de las dos amigal es

80x = = 40

2

Como son 3 números enteros consecutivos (p – 1) es el termino central, luegoeste es el promedio o la media, tiene igual numero de números en sus costadoscon igual dispersión o diferencia

Solución:

Solución:

Como hay un numero par de estudiantes (38), la mediana es el promedio de las dos notas centrales (nº 19 y nº 20), es decir

d

81 + 80M = =

2

161= 80,5

2

Solución:

Ordenamos los datos en forma ascendente:x - 2 , x - 1 , x , x + 2 , x + 3 .

La mediana es el valor que le corresponde al termino central luego Md = x

Solución:

Hay que recordar que los números primos son enteros divisibles por 1 y por si mismo , 1 no se considera numero primo

Los primeros nueve primos , ordenados en forma ascendente son :

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23

luego la mediana es el 11

Solución:

Hay que recordar que la moda es el elemento que mas se repite en una muestra.

Luego la moda es 4 , pues se repite un mayor numero de veces.

La frecuencia con la cual se repite es 3

Solución:

El primer y ultimo dato tienen expresiones con datos no conocidos

a - 1el primer dato es :

1 - a-(1 - a )

=(1 - a) 1

0el ultimo termino es : - x + 2

Por propiedad una base , distinta de cero , elevada a cero es igual a 1

= -1

Luego la muestra esta formada por : -1 , -1 , 2 , 3 , -1

Por lo tanto la moda es -1 :

Pregunta 03_2005

El gráfico de la figura representa las notas obtenidas por 15 niños en una prueba. ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

I) La mediana es 5.II) II) La moda es 5.III) La media aritmética (promedio) es 4,7.

AlternativasA) Sólo IB) Sólo IIC) Sólo IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

Por lo que el promedio es la nota 4,7 , considerándola con un solo decimal.

Esta pregunta resultó difícil para el grupo que rindió esta prueba y la omitió la tercera parte de ellos. 

Tema:  Graficación e interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos contextosComentario:

Hay que tener claro el procedimiento para calcular las medidas de tendencia central.

Para este problema, la mediana es el valor que se encuentra en la mitad de los datos una vez ordenados de menor a mayor

Para visualizar mejor este concepto, interpretamos los datos del gráfico de la siguiente manera:

Notas: 1, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7

En este caso el número total de niños es 15, por lo tanto, el valor de la mediana debe corresponder a la octava nota que es el 5.

La moda es el valor que más se repite en una distribución, en este caso, es la nota 5,0, porque la obtuvieron un mayor número de niños, que fue 4.

Para determinar el promedio o media aritmética, se debe realizar la siguiente operación:

vv

v Solución:

Solución:

La marca de clase es mejor representante de cada intervalo, por tanto le atribuimosA el todos los datos pertenecientes al mismo intervalo. El calculo del promedioviene dado por :

c i

i

x fX = =

f

4255=

6070,9

Solución:

Aunque no es necesario tabular la información, si es necesario darse cuentaque se trata de un promedio ponderado.

Notas (xi ) alumnos (fi )

4 30 5 20

i i

i

x fX

f

5 20 4 30

20 30

100 120

50

220

50 4,4

Solución:

6 2 5 2 5 3 3 3

12X

12 10 35 9

12

66

12 5,5

1

ni i

i i

x fX

f

Solución:

620.000X

1

1

n

i iin

ii

x fX

f

500.000 900.000 (80 )

620.00080

x x

500.000 900.000 (80 ) 80 620.000x x

100.000(5 9 (80 )) 100.000(8 62)x x

100.000(5 9 (80 )) 100.000(8 62) / : 100.000x x

5 9 (80 ) (8 62)x x

Solución:

1

1

n

i iin

ii

x fX

f

15 2 25 4 35 2 45 2

2 4 2 2

30 100 70 90

10

290

10 29

La media o promedio diario considera la marca de clase de cada intervalo

Primero es necesario completar la frecuencia absoluta acumulada, posteriormente ubicamos la mitad de todos los datos tabulados y observamos la clase o variable correspondiente a la mediana desde la frecuencia acumulada. Observa el siguiente ejemplo:

Solución:

Como son 42 edades (cantidad par), la edad central se encuentra entre las posiciones 21 y 22, según la tabla la mediana es 21 años.

Solución:

Tabulamos la información

menoresde edad fi

Año deEstudio xi

frecuenciaAcumulada fac

0 3 31 0 3 + 0 = 32 1 3 + 1 = 43 2 4 + 2 = 64 3 6 + 3 = 95 6 9 + 6 = 15

Total 15

En total hay 15 datos, por lo tanto el dato central se encuentra en el lugar 8º.

,luego, la mediana es 4.

Corresponde a la variable de mayor frecuencia .

Como la frecuencia 16 es la mayor, entonces la moda es la marca de clase del primer intervalo.

es decir, 75.

Solución:

Solución:

La moda corresponde a la clase (año), de mayor frecuencia

El grafico muestra que la frecuencia mas alta es 10

Y corresponde a la variables de 5 años

Por lo tanto la moda es 5

Solución:

Autos xiFamilias fi

2345

Total familias encuestadas

8967

30

V

1

1

n

i iin

ii

x fX

f

2 8 3 9 4 6 5 7

30

16 27 24 35

30

102

303,4

V

F

La moda debe tomar un valor de la cantidad de autos, no de la cantidad de familias.El 9 indica el numero de familia, la mayor frecuencia, pero pertenece a la variable“3 autos” . Por tanto, la moda es adquirir por familia 3 autos en los últimos 10 años.

La moda es el valor que mas se repite, en este caso es el 9

Una vez ordenados los datos de menor a mayor , el valor central es la mediana.En este caso de 13 elementos el valor central es el séptimo ,

Solución:

que es 9

Solución:La suma de todos los tiempos de espera es 133 minutos.

Luego el promedio es :133

8,8615

x

2 , 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 8 , 8 , 8 , 10 ,10 , 12 , 14 18 , 20

Ordenamos los datos de menor a mayor

La mediana es el valor central : Md = 8

El valor que aparece con mayor frecuencia es la moda. Mo = 8

Solución:

El conjunto tiene 5 elementos , al agregar dos , el conjunto queda con 7 elementos

Si el promedio de los datos debe ser 7

Entonces la suma de los datos debe ser 49

Como la suma de los 5 datos es 27 , hay que agregar 22 mas.

Si se ordena la serie : 4 , 5 , 5 , 6 , 7

Como la mediana debería ser 6

Su promedio debe ser 7 y su moda 5

Los datos que hay que agregar deben ser mayores o igual a 6

F

VV

I , II , III . Los tres la suma es 22

Solución:

I ) el valor central es la mediana no la moda

FF

V

II ) Mostremos a través de un contraejemplo, un caso en que la media no es menor que la moda 0 , 1 , 1 , 3 , 5

La moda es 1 y la media es 10 / 5 = 2

III ) aunque no sea siempre ni necesario, puede haber mas de una moda en una muestra

Ejemplo : 0 , 1 , 1 , 3 , 3 , l a moda es 1 y 3 , bi. modal

A) 430

B) 580

C) 590

D) 600

E) 630

DESARROLLO

43. El gráfico muestra la distribución de puntajes en un ensayo, aplicado a los alumnos de un colegio. El puntaje promedio, para el total de estos alumnos es:

400 500 600 700 800

(no de alumnos)

(puntaje)

10

20

30

40

450

550

650

750

Se calculan las marcas de clase de cada intervalo

Luego el tanto por ciento de cada marca de clase y la suma de ellas da el puntaje promedio

450 por 20% = 90550 por 40% = 220650 por 30% = 195750 por 10% = 75

580

Total de alumnos es 100

60 .- La tabla adjunta muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?

I. La moda es 17 II. La mediana es mayor que la media ( promedio) III. La mitad de los alumnos tiene 17 o 18 años

Edad(años)

alumnos a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I, II y III

V

I ) modaIII ) 60 + 50 = 110

V

V

50 15 40 16 60 17 50 18 20 19

220x

750 640 1020 900 380

220

369016.77

220

100

mediana

A ) 4 y 5B ) 5 y 5C ) 4,1 y 4 D ) 4,1 y 5E ) 4 y 4,5

DESARROLLO

61 ) El gráfico de la fig. muestra la distribución de la notas de matemática de un grupo de 46 estudiantes .¿Cuál de las siguientes opciones corresponde a los valores de la mediana ,y la moda , respectivamente ?

B

C

P

A

EO

D

30º

d

1500

1 2 3 4 5 6 7

2

3

8

12

15

notas

frecuencia

A ) 4,25B ) 5,00C ) 5,16D ) 5,25E ) 5,50

DESARROLLO

62 ) Tres cursos rindieron una misma prueba obteniendo Los resultados que se indican en la tabla adjunta . ¿Cuál es el promedio total de la prueba ?

20 6 120 18 5 90 12 4 48 ______

258:50 5,16

25850

63.- El gráfico circular de la figura , muestra las preferencias de 30 alumnos en actividades deportivas ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s) ?

I. La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%II. La frecuencia relativa del básquetbol es de 30%III. La mitad del grupo no prefirió ni tenis ni fútbol

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo II y III e) I,II y III

fútboltenis

básquetbolI. 40% de 30 = 12 V

II. 30% de 30 = 9 V

III. 12 + 3 = 15 V

atletismo

El gráfico , muestra el número de libros que leen trimestralmente los alumnos de un curso. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) 9 alumnos es la moda.II) La mediana es 2 libros.III) La media aritmética es 94 libros.

A) Sólo IIB) Sólo IIIC) Sólo I y IIID) Sólo II y IIIE) I, II y III

3

6

10

8

2

54

9

7

10

0 1 2 3 4 5 6 libros

Nº

alum

nos

Libros Nº alumnos

0 91 82 73 44 65 46 2 40