ejemplo compresion compuesta

Universidad Mayor de San Andrés CIV-209 Hormigón Armado I

Facultad de Ingeniería Docente: Ing. Miguel Muñoz Black

Ingeniería Civil Ejercicios de Cátedra Semestre I-2010

Univ. Durán De Castro Quiroga Pablo 15.1

Capítulo 15

Compresión Compuesta o Excéntrica

Método del Pivote C Ejemplo 15.1 Empleando el Método del Pivote C calcular la armadura de refuerzo de una sección rectangular

que se muestra en la figura si está solicitada por un momento flector baricentrico de valor 120kN·m y una fuerza

norma de compresión de 1800kN que está construida con hormigón H-25 y acero B-400S en Condiciones

Normales de Control.

As1

0,60 0,50

0,30

0,05

0,05

NdG = 1800kN

MdG = 120kN·m

As2

Previamente calcularemos la excentricidad:

� � �� 120� � �1800� � 0,067� � 6,7��

1. Materiales

Hormigón H-25:

�� Ecuación 11,29

�� 25�"#1,5 � 16,667�"# � 16667�

�$

Acero B-400S:

�%�,� � 400�"#1,15 � 347,826�"# � 347826�

�$

(%,� � �%�,�)* � 347,826�"#200000�"# � 1000‰ � 1,739‰

2. Solicitaciones �� 1800�

�� , �� -.2 / 012

�� 120� � � , 1800� � -0,60�2 / 0,05�2 � 570� � �




15.2 Univ. Durán De Castro Quiroga Pablo

3. Cálculo del Momento Límite MBC

Como desconocemos el valor de la armadura superior AS2 debemos suponer inicialmente, de acuerdo al

flujograma, calcularemos en primera instancia el momento que reporta el bloque de compresión del hormigón

cuando el diagrama de deformaciones coincide con el límite del Dominio 4ª que es uno de los dominios solución

para compresión compuesta:

As1

0,60 0,50

0,30

0,05

0,05

As237·0,60

47·0,60

2‰C

εcu=3,5‰

εs1

Bεs2

Ns1

Nc1

Nd = 1800kN

Md = 570kN·m

12·(3

7·0,60)

Nc2

38·(4

7·0,60)

58·(4

7·0,60)

Ns212·(3

7·0,60)

αcc·f cd

3,5‰. � (*$. / 0$ � (*101

(*$ � 0,60� / 0,05�0,60� � 3,5‰ � 3,21‰ 3 (%,� � 1,739‰ 4 5*$ � �%�,� � 347826�

�$

(*1 � 0,05�0,60� � 3,5‰ � 0,292‰ 6 (%,� 4 5*1 � ) � (*1 � 200000�"# � 0,2921000 � 58,4�"# � 58400�

�$

Debido a que la compresión predomina: 7�� 0,85

��1 � 1 � 7�� -37 � .2 � 8 � 1 � 0,85 � 16667��$ � -37 � 0,60�2 � 0,30� � 1092,879�

��$ � 23 � 7�� -47 � .2 � 8 � 2

3 � 0,85 � 16667��$ � -47 � 0,60�2 � 0,30� � 971,448�

91 � 47 � . , 1

2 � -37 � .2 / 01 � 47 � 0,60� , 1

2 � -37 � 0,60�2 / 0,05� � 0,4214�

9$ � 58 � -47 � .2 / 01 � 5

8 � -47 � 0,60�2 / 0,05� � 0,1643�

�:; � ��1 � 91 , ��$ � 9$ � 1092,879� � 0,4214� , 971,448� � 0,1643� � 620,148� � �

Conclusión: El momento resistente aportado por el hormigón es suficiente para equilibrar al momento actuante

por lo que se realizará un rediseño con un ancho de sección igual a 0,20m

3.1 Rediseño





As1

0,60 0,50

0,20

0,05

0,05

As237·0,60

47·0,60

2‰C

εcu=3,5‰

εs1

Bεs2

Ns1

Nc1

Nd = 1800kN

Md = 570kN·m

12·(3

7·0,60)

Nc2

38·(4

7·0,60)

58·(4

7·0,60)

Ns212·(3

7·0,60)

αcc·f cd

��1 � 1 � 7�� -37 � .2 � 8 � 1 � 0,85 � 16667��$ � -37 � 0,60�2 � 0,20� � 728,586�

��$ � 23 � 7�� -47 � .2 � 8 � 2

3 � 0,85 � 16667��$ � -47 � 0,60�2 � 0,20� � 647,632�

91 � 47 � . , 1

2 � -37 � .2 / 01 � 47 � 0,60� , 1

2 � -37 � 0,60�2 / 0,05� � 0,4214�

9$ � 58 � -47 � .2 / 01 � 5

8 � -47 � 0,60�2 / 0,05� � 0,1643�

�:; � ��1 � 91 , ��$ � 9$ � 728,586� � 0,4214� , 647,632� � 0,1643� � 413,432� � �

Con esta nueva sección propuesta se averiguará el momento máximo que reportaría el bloque de tensiones del

hormigón suponiendo que la profundidad del eje neutro se va a infinito:

As1

0,60 0,50

0,20

0,05

0,05

As2

2‰C

εcu=2‰

εs1 =2‰Ns1

Nd = 1800kN

Md = 570kN·m

αcc·f cd

Ncmax

εs2 =2‰Ns2

��<=> � 1 � 7�� . � 8 � 1 � 0,85 � 16667��$ � 0,60� � 0,20� � 1700,034�

9 � 12 � . / 01 � 1

2 � 0,60� / 0,05� � 0,25�

�:;<=> � 1700,034� � 0,30� � 425,009� � �





4. Dimensionamiento

Se procederá a calcular la cuantía mínima para la sección en estudio, considerando que el diámetro mínimo de la

armadura longitudinal para piezas comprimidas es ? � 12��. @*$A � �%�,� B 0,05 � �� Ecuación 15,56

@*$A � 347826��$ B 0,05 � 1800�

@*$A <CD � 2,59 � 10EF�$ � 2,59��$ G 3?12 � 3,39��$

(*$ 3 (%,� � 1,739‰ 4 5*$ � �%�,� � 347826��$

�*$A � @*$A � 5*$ � 3,39��$ � 347826��$ � 1�$

10000��$ � 117,913�

�H*$ � �*$A � 9* � 117,913� � 0,50� � 58,956� � � �� / �H*$ � 570� � � / 58,956� � � � 511,044� � �

I� � ��5J� � 8 � .$ �Ecuación 15,13

5J� � 0,85 � ��

I� � 511,044� � �0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60$�$ � 0,5010

El valor de I� es muy alto ya que los valores normales están cerca al valor de 0,4 por lo que incrementamos la

sección de acero más comprimido @*$A , con el valor calculado cuando el diagrama de deformaciones coincide con

el límite del dominio 4: �H*$ � �� / �� 570� � � / 413,432� � � � 156,568� � �

�*$A � �H*$9* � 156,568� � �0,50� � 313,136�

@*$A � �*$A5*$ � 313,136�347826��$

� 10000��$1�$ � 9,00��$

Elegimos una armadura inferior a la calculada: @*$A � 4?16 � 8,04��$

Recalculamos el momento asignado al hormigón con la armadura propuesta:

�*$A � @*$A � 5*$ � 8,04��$ � 347826��$ � 1�$

10000��$ � 279,652�

�H*$ � �*$A � 9* � 279,652� � 0,50� � 139,826� � � �� / �H*$ � 570� � � / 139,826� � � � 430,174� � �

I� � ��5J� � 8 � .$ �Ecuación 15,13

I� � 430,174� � �0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60$�$ � 0,4217

Nota: El nuevo momento �� es superior al momento máximo calculado que puede resistir el

hormigón: �:;<=> � 425,009� � � por lo que se incrementar la armadura más

comprimida o de lo contrario nunca se llegaría al equilibrio en la sección.

Elegimos una armadura superior a 9��$. @*$A � 4?16 , 1?12 � 9,17��$

�*$A � @*$A � 5*$ � 9,17��$ � 347826��$ � 1�$

10000��$ � 318,956�

�H*$ � �*$A � 9* � 318,956� � 0,50� � 159,478� � � �� / �H*$ � 570� � � / 159,478� � � � 410,522� � �





I� � ��5J� � 8 � .$ �Ecuación 15,13

I� � 410,522� � �0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60$�$ � 0,4025

K1 � 01h �Ecuación 15,5

M � 47 � 7 / 3 �Ecuación 15,17

N � 1 / 421 � M$ �Ecuación 15,21

K� �12 / 849 � M$

1 / 421 � M$ �Ecuación 15,22

I�O � N � �1 / K1 / K� �Ecuación 15,14

αααα δδδδ 1111 ξξξξ ψψψψ δδδδ G µµµµC µµµµC−µ−µ−µ−µ'c

1 0.083 1.00000 0.80952 0.41597 0.40533 0.00283

0.97 0.083 1.05541 0.78783 0.40382 0.40404 0.00154

0.95 0.083 1.09589 0.77124 0.39407 0.40305 0.00055

0.94 0.083 1.11732 0.76221 0.38858 0.40251 0.00001

7 � P. �Ecuación 15,3

P � 7 � . � 0,94 � 0,60� � 0,564�

As1

0,60 0,50

0,20

0,05

0,05

As237·0,564

47·0,564

2‰C

εcu=3,5‰

εs1

Bεs2

Ns1

Nc1

Nd = 1800kN

Md = 570kN·m

12·(3

7·0,564)

Nc2

38·(4

7·0,564)

58·(4

7·0,564)

Ns212·(3

7·0,564)

αcc·f cd

E.N.0,036

(�$P � (�1P / . � (*1P / 0 � (*$P / 0$ � 2‰P / 37 � . �Ecuación 15,7

(*$ � 2‰ � �P / 0$ P / 37 � . � 2‰ � �0,564 / 0,05

0,564 / 37 � 0,60 � 3,35‰ 3 (%,� � 1,739‰ 4 5*$ � �%�,� � 347826��$

(*1 � 2‰ � �P / 0 P / 37 � . � 2‰ � �0,564 / 0,55

0,564 / 37 � 0,60 � 0,091248‰ 6 (%,� 4 5*1 � ) � (*1





5*1 � 200000�"# � 0,0912481000 � 18,25�"# � 18250��$

��Q � 0,85 � �� 8 � . �Ecuación 15,10

��Q � 0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60� � 1700,034�

�� N � ��Q �Ecuación 15,11 �� 0,76221 � 1700,034� � 1295,783� �� 9 � �� . / 01 / K� � . �Ecuación 15,12 �� 1295,783� � �0,60� / 0,05� / 0,38858 � 0,60� � 410,571� � �

�*$A � @*$A � 5*$ � 9,17��$ � 347826��$ � 1�$

10000��$ � 318,956�

�H*$ � �*$A � 9* � 318,956� � 0,50� � 159,478� � �

Verificamos el equilibrio a rotación:

R�Q � 0 4 �� / �*$A � 9* / �� 0 / K� � . � 0 �Ecuación 15,1

570� � � / 159,478� � � / 1295,783� � �0,55� / 0,38858 � 0,60� � /0,049� � � G 0 �

Finalmente se debe calcular la armadura menos comprimida con el equilibrio a traslación:

RST � 0 4 �� / �*1 / �*$ / �� 0 �Ecuación 15,1

�*1A � �� / �*$A / �� 1800� / 318,956� / 1295,783� � 185,261�

@*1 � �*1A5*1 � 185,261�18250��$

� 10000��$1�$ � 101,51��$ G 6?40 , 2?32 , 5?16 � 101,53��$

Nota: La solución planteada requiere un acero inferior muy

grande. Se debe recalcular con otra armadura @*$.





Método Práctico Ejemplo 15.1 Usando el Método Práctico, calcular la armadura de refuerzo de una sección rectangular que se

muestra en la figura, si está solicitada por un momento flector baricentrico de valor 120kN·m y una fuerza

norma de compresión de 1800kN que está construida con hormigón H-25 y acero B-400S en Condiciones

Normales de Control.

As1

0,60 0,50

0,20

0,05

0,05

NdG = 1800kN

MdG = 120kN·m

As2

1. Materiales

Hormigón H-25:

�� Ecuación 11,29

�� 25�"#1,5 � 16,667�"# � 16667�

�$

Acero B-400S:

�%�,� � 400�"#1,15 � 347,826�"# � 347826�

�$

(%,� � �%�,�)* � 347,826�"#200000�"# � 1000‰ � 1,739‰

2. Solicitaciones �� 1800� �� 120� � �

Trasladamos a �� a la altura de la armadura más comprimida:

��U � �� / �� -.2 / 0$2

��U � 120� � � / 1800� � -0,60�2 / 0,05�2 � /330� � �





As1

0,60 0,50

0,20

0,05

0,05

As2

Nd = 1800kN

Md = 330kN·m*

3. Cálculo de Valores Adimensionales 5J� � 0,85 � ��

IU � ��U5J� � 8 � .$ �Ecuación 15,30

IU � /330� � �0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60$�$ � /0,323523

VU � ��U5J� � 8 � . �Ecuación 15,31

VU � 1800�0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60� � 1,05880

K � 0. �Ecuación 15,4

K � 0,55�0,60� � 0,91667

K1 � 01. �Ecuación 15,5

K$ � 0,05�0,60� � 0,08333

K$ � 0$. �Ecuación 15,6

K$ � 0,05�0,60� � 0,08333

A continuación calcularemos @*$ y @*1para distintos valores de α empleando las siguientes ecuaciones:

M � 47 � 7 / 3 �Ecuación 15,50

N � 1 / 421 � M$ �Ecuación 15,49





KW �12 / 849 � M$

1 / 421 � M$ �Ecuación 15,22

KW �12 / 849 � X214 � �1 / N Y

N �12 / 849 � 214 , 849 � 214 � N

N � 67 / 5

14 � 1N

Z$ � VU , IU / N � [K / KW\K / K$ �Ecuación 15,36

(Q � 2‰

(*$ � 7 � (Q7 / 37

� -1 / K$7 2 �Ecuación 15,38

5*$ � ] �%� ^_ (*$ B (%)` � (*$ ^_ (*$ 6 (% a @*$ � Z$5*$ � 0,85 � �� 8 � .

Z1 � VU / N / Z$ �Ecuación 15,37

(*1 � 7 � (Q7 / 37

� -1 / 1 / K17 2 �Ecuación 15,39

5*1 � ] �%� ^_ (*1 B (%)` � (*1 ^_ (*1 6 (% a @*1 � Z15*1 � 0,85 � �� 8 � .

Para el caso de que αααα=1:

M � 47 � 7 / 3 � 4

7 � 1 / 3 � 1

N � 1 / 421 � M$ � 1 / 4

21 � 1$ � 0,8095

KW �12 / 849 � M$

1 / 421 � M$ �12 / 849 � 1$

1 / 421 � 1$ � 0,4160

Z$ � VU , IU / N � [K / KW\K / K$ � 1,05880 , /0,323523 / 0,8095 � �0,91667 / 0,4160 0,91667 / 0,08333 � 0,1842

(*$ � 7 � (Q7 / 37

� -1 / K$7 2 � 1 � 2‰1 / 37

� -1 / 0,083331 2 � 3,2083‰ 3 (% 4 5*$ � �%�

@*$ � Z$5*$ � 0,85 � �� 8 � . � 0,1842347826��$

� 0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60� � 9,00 � 10EF�$ � 9,00��$

(*1 � 7 � (Q7 / 37

� -1 / 1 / K17 2 � 1 � 2‰1 / 37

� -1 / 1 / 0,083331 2 � 0,291665‰ 6 (% 4 5*1 � ) � (*1

5*1 � 200000�"# � 0,2916651000 � 58,333�"# � 58333��$

Z1 � VU / N / Z$ � 1,05880 / 0,8095 / 0,1842 � 0,0651

@*1 � Z15*1 � 0,85 � �� 8 � . � 0,065158333��$

� 0,85 � 16667��$ � 0,20� � 0,60� � 18,97 � 10EF�$ � 18,97��$





Armadura Unilateral

Para el caso de Armadura Unilateral se deben cumplir las siguientes ecuaciones: IU � /N � �K� / K$ �Ecuación 15,44 VU � N , Z$ �Ecuación 15,45

Pero: IU � /0,323523

K� � 67 / 5

14 � 1N �Ecuación 15,46

Entonces:

IU � /N � -67 / 514 � 1N / K$2

N � IU / 514bK$ / 67c

� /0,323523 / 514b0,08333 / 67c

� 0,879626

7 � 4 , 6,8739 � d1 / N16,039 � d1 / N � 4 , 6,8739 � √1 / 0,879626

16,039 � √1 / 0,879626 � 1,1474

Armadura Simétrica

Para este caso se intenta con distintos valores de α hasta que @*1 � @*$.

0.94 1.00 1.1474 1.03 1.04 1.041 1.0405

1.1173 1.0000 0.7949 0.9501 0.9346 0.9331 0.9338

0.7622 0.8095 0.8796 0.8281 0.8336 0.8342 0.8339

0.3886 0.4160 0.4511 0.4258 0.4287 0.4290 0.4289

0.1876 0.1842 0.1792 0.1829 0.1825 0.1824 0.1824

εεεε s2 [‰] 3.3501 3.2083 2.9606 3.1481 3.1293 3.1274 3.1284

σσσσs2 [kN/m2] 347826 347826 347826 347826 347826 347826 347826

A's2 [cm2] 9.17 9.00 8.76 8.94 8.92 8.92 8.92

0.1090 0.0651 0.0000 0.0479 0.0427 0.0422 0.0425

εεεε s1 [‰] 0.0912 0.2917 0.6420 0.3769 0.4034 0.4060 0.4047

σσσσs1 [kN/m2] 18250 58333 128394 75376 80685 81207 80946

As1 [cm2] [cm

2] 101.57 18.97 0.00 10.80 9.00 8.84 8.92

Ejemplo

15.1αααα=1

Armadura

Unilateral

Armadura

Simétrica

ωωωω2

ωωωω1

αααα

εεεε

ψψψψ

δδδδ g

La armadura simétrica: @*1 � @*$ � 8,92��$ G 8?12 � 9,05��$

El recubrimiento geométrico es igual a 0,020m.

Se deben adoptar las siguientes disposiciones constructivas:

- El diámetro ?f de los estribos será igual o mayor a ¼ del diámetro de la barra longitudinal más gruesa y

mínimo 6mm:

?f � 14 � ?<=> � 1

4 � 12�� 3�� g 6�� 4 ?f � 6��

- La separación de estribos será igual a ^h 6 15 � ?<CD de la barra longitudinal más delgada ni mayor a

30cm sin superar la menor dimensión transversal de la pieza. ^h 6 15 � ?<CD � 15 � 12�� 180�� i 300�� 4 ^h � 180�� 18�� i 8 � 20��

- La separación máxima entre armaduras longitudinales consecutivas será de 35cm. ^ � 0,60� / 2 � 0,020� / 2 � 0,006� / 6 � 0,012� � 0,476 3 0,35� j Se debe colocar una armadura constructiva al medio de la sección.





As2=8Ø12

0,20

0,60

As1=8Ø12 0,020

2Ø12

EØ6c36cm

EØ6c18cm

Puente

0,476

0,232

0,232

El centroide de la primera fila de 4?12 será:

k1 � 0,020� , 0,006� , 0,012�2 � 0,032�

Si separamos la segunda fila una distancia igual al mayor diámetro de la primera fila el centroide de la segunda fila

será:

k$ � 0,020� , 0,006� , 0,012� , 0,012� , 0,012�2 � 0,056�

Finalmente procedemos a calcular el centroide de la armadura superior e inferior:

k�W � @1 � k1 , @$ � k$@1 , @$ � 4 � 1,13��$ � 0,032� , 4 � 1,13��$ � 0,056�4 � 1,13��$ , 4 � 1,13��$ � 0,044� 6 0,05� �

Con este nuevo centroide recalculamos la armadura simétrica:

1.0477

0.9230

0.8377

0.4308

0.1805

εεεε s2 [‰] 3.1476

σσσσs2 [kN/m2] 347826

A's2 [cm2] 8.82

0.0406

εεεε s1 [‰] 0.3910

σσσσs1 [kN/m2] 78191

As1 [cm2] [cm

2] 8.82

ωωωω2

ωωωω1

αααα

εεεε

ψψψψ

δδδδ g

ejemplo compresion compuesta

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