Ejemplo: problema por trabajar con un nmero limitado de dgitos

Asumiremos que trabajamos con 4 digitos significativos

[0.003 59.145.291 6.130][xy ]=[59.1746.78]El elemento pivote vale 0.003

m=5.291/0.003=1763.6667 redondeamos m=1764

E2 = E2 mE1

0.003*1764 0.059.14*1764 = 104322.96 10430059.17*1764 = 104375.88 104400

[0.003 59.140.0 104300] [xy ]=[ 59.17104400 ]

Ejemplo: El nuevo sistema, por acumular errores de redondeo ya noes equivalente al sistema de ecuaciones original

Despejo y:y = 104400/104300 = 1.000958 1.001

Sustituyo en la primer ecuacin59.14*1.001 = 59.19914 59.20 despejo x59.17 - 59.20 = -0.03x = -0.03/0.003 = -10

Solucin con error de redondeo: [ -10 , 1.001 ]

Solucin exacta: [ 10 , 1.0 ]

[0.003 59.140.0 104300] [xy ]=[ 59.17104400 ]

Ejemplo: Repitamos el clculo, pero cambiando el orden de las ecuaciones

[5.291 6.1300.003 59.14 ][xy ]=[46.7859.17]

[0.003 59.145.291 6.130][xy ]=[59.1746.78]Intercambiamos de lugar la E1 con la E2

Procediendo de la misma manera que en el caso anterior, redondeando el resultado de cada operacin a 4 dgitosllegamos a la siguiente solucin:

[ x , y ] = [ 10.00 , 1.000 ]

Ax By = CDx Ey = F

y = ABx

CB

y = DEx F

E

x

y

Ax By = CDx Ey = F

x

y

Ax By = CD'x E' y = F'

En algunos sistemas, los erroresde redondeo afectan poco el resultado final

Ax By = CDx Ey = F

x

y

Ax By = CD'x E' y = F'

En otros sistemas, pequeos errores de redondeo, pueden tener grandes efectos en elresultado final

x'

Un sistema est bien condicionado si un pequeo cambio enlos coeficientes de la matriz A o del vector de trminosindependientes b producen slo un pequeo cambio enel vector solucin x

Un sistema est mal condicionado, si un pequeo cambio enlos coeficientes de A o de b, producen un gran cambio en el vector solucin x

Ax=b x=A1b

K A =A1ANmero de Condicin de una matriz:

Cuanto mayor sea el valor de K(A), peor condicionada es A

Ejemplo para probar en ScilabA=[1 22 3.999] b=[ 47.999] solucin [21]A=[1 22 3.999] b=[4.0017.999] solucin [3.9944.000]K A =24992

A=[1 22 3] b=[47] solucin [21]A=[1 22 3] b=[4.0017.001] solucin [1.9991.001]K A =18

Errores de Redondeo en Sist. Ecu. Se dan en las siguiente condiciones:

Divisin: N/M con N>>M (mij= aij/aii) Resta de nmeros muy cercanos: cancelacin

catastrfica Como se reduce:

escalado: multiplico una o ms ecuaciones por algn factor de escala

pivoteo parcial: intercambio de filas pivoteo total: intercambio de filas y columnas OJO: al intercambiar columnas cambian de

posicin los elementos del vector solucin