Resolución de problemas mediante el método de Gauss

Tres personas A, B y C le van a hacer un regalo a un amigo común. El regalo les cuesta 86 €. Como no todos disponen del mismo dinero, deciden pagar de las siguiente manera: A paga el triple de lo que pagan B y C juntos, y por cada 2 € que paga B, C paga 3 €. Se pide:

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar cuánto paga cada persona.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior por el método de Gauss.

Planteamiento del problema

x= dinero que paga Ay = dinero que paga Bz = dinero que paga C

Planteamos las ecuaciones:x + y + z= 86x = 3(y + z)

y/2 = z/3

Planteamiento del problema

Simplificamos las las ecuaciones:x+ y+ z = 86x – 3y- 3z = 0 3y – 2z = 0

Aplicamos el método de Gauss

En primer lugar hacemos ceros en la x, para ello a la segunda ecuación le restamos la primera, las

otras dos se quedan como están:

x + y + z = 86 -4y – 4z = -86 3y – 2z = 0

Aplicamos el método de Gauss

Ahora hacemos ceros en la y, para ello multiplicamos la segunda ecuación por 3 y la tercera por cuatro el resultado lo sumamos:

x + y + z = 86 -4y – 4z = -86 – 20z = -258

Aplicamos el método de Gauss

Despejamos la última ecuación:

x + y + z = 86 -4y – 4z = -86 z=-258/-20 es decir, z = 12,9

Aplicamos el método de Gauss

Despejamos de la segunda ecuación:

x + y + z = 86 -4y – 4(12,9) = -86;-4y – 51,6 = -86;

-4y=-86+51,6; 4y= -34,4; y = 8,6 z = 12,9

Aplicamos el método de Gauss

Despejamos de la primera ecuación:

x = 86 - 12,9 – 8,6; x = 64,5 y = 8,6 Z = 12,9Por tanto A paga 64,5€, B paga 8,6€ y C paga 12,9€