ejemplo para datos agrupados

VARIABLES ESTADÍSTICAS

Una variable estadística es la característica observable de interés en un estudio estadístico. Las variables se clasifican en CUALITATIVAS y CUANTITATIVAS. Las primeras nos determinan cualidades o atributos, las segundas nos determinan cantidades.

Las variables cuantitativas se dividen en continuas y discretas; las variables continuas pueden tomar cualquier valor en un intervalo (decimales), las discretas solamente pueden tomar valores enteros.

POBLACIÓN: Es una colección completa de individuos, objetos, medidas que poseen una característica en común, es sinónimo de universo.

MUESTRA: Es un subconjunto representativo seleccionado de una población, es decir es una colección de algunos de los individuos, objetos o medidas de la población.

Adaptado por Lic. EDWIN RIVERA CANTOR 1

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS NO AGRUPADOS

Sea X la variables que representa en número de fallas de asistencia al colegio de los 50 alumnos de un curso durante un año escolar. X genera el siguiente conjunto de los datos numéricos: 3, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 5, 3, 4, 1, 2, 3, 2, 5, 1, 3, 3, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 1, 2, 4, 3, 7, 7, 3, 7, 6, 5, 3.POBLACIÓN: La totalidad de los alumnos del colegios de estudio.

MUESTRA: Los 50 alumnos del curso en estudio

TIPO DE VARIABLE: La variable X solamente toma valores enteros en el intervalo [ 1 , 7 ], razón por la cual afirmamos que x es una variable discreta.

Ordenemos los datos, representémoslos mediante una tabla de frecuencia y un gráfico de barras, calculemos sus medidas de tendencia central: moda, mediana y media aritmética.


TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA PARA DATOS NO AGRUPADOS

XXii

Número Número de fallasde fallas

ffii

Frecuencia Frecuencia absolutaabsoluta

FFii

Frecuencia Frecuencia absoluta absoluta

acumuladaacumulada

hi Frecuencia hi Frecuencia relativa relativa

absoluta absoluta porcentual (fi/porcentual (fi/

n)*100n)*100

HiHi

Frecuencia Frecuencia relativa relativa

porcentual porcentual acumulada acumulada (Fi/n) *100(Fi/n) *100

XXii * f * fii

11 55 55 1010 1010 55

22 88 1313 1616 2626 1616

33 1717 3030 3434 6060 5151

44 77 3737 1414 7474 2828

55 66 4343 1212 8686 3030

66 44 4747 88 9494 2424

77 33 5050 66 100100 2121

TotalTotal 5050 175175

i


5

8

17

7 64 3

02468

1012141618

1 2 3 4 5 6 7

Número de alumnos

Faltas de asistencia (ausencia)

DIAGRAMA DE BARRAS

DIAGRAMA DE BARRAS CORRESPONDIENTE AL NÚMERO DE FALTAS DE ASISTENCIA DE UN GRUPO DE 50 ALUMNOS DURANTE EL AÑO ESCOLAR


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Moda: Número de ausencias más frecuente en el grupo.

Mediana: Número de días para el cual la mitad de los alumnos tuvo una inasistencia superior.

Media aritmética: Promedio de faltas de asistencia del grupo durante el año escolar.

LA MODA: La moda de una serie de datos estadísticos, ordenados en una tabla de frecuencias, es el valor de la variable que tiene la máxima frecuencia absoluta. En la tabla de distribución de frecuencia, la máxima frecuencia absoluta fi es f3 = 17. Por tanto, la moda es el valor de la variable x3 = 3.

Luego, moda Mo = 3 faltas indica que en un año escolar lo más frecuente el el grupo es que faltes durante tres días al colegio.

Adaptado por Lic. EDWIN RIVER CANTOR 5

LA MEDIANA: La mediana de una serie de datos estadísticos numéricos, ordenados en una tabla de frecuencias, es el valor de la variable tal que entre él y sus menores cubren la mitad (50%) de la muestra.

Para determinar la mediana en la tabla, podemos emplear uno de los siguientes procedimientos:

•Tomamos el valor de X que corresponde a la frecuencia acumulada inmediatamente superior a n/2.

Así: n/2 = 50/2 = 25. La Fi inmediatamente superior a 25 es 30, al cual corresponde el valor X3 = 3.

Luego, mediana = Me = 3 faltas significa que la mitad del grupo faltó 3 días o menos al colegio.

•En la columna de frecuencias acumuladas porcentuales, leemos aquel porcentaje que es inmediatamente superior al 50% y tomamos como mediana el valor X que le corresponde.

Así: 60% es la frecuencia acumulada porcentual inmediatamente superior a 50%; luego Me= 3 faltas.Adaptado por Lic. EDWIN RIVERA CANTOR 6

Si n/2 coincide con una frecuencia acumulada, entonces tomamos como mediana la semisuma del valor Xi correspondiente con el siguiente Xi+1.

Es decir :2

1++= iie

XXM

LA MEDIA ARITMETICA: L a media aritmética o simplemente media de una serie de datos estadísticos numéricos es un número que se obtiene sumando todos los datos y dividiendo la suma por el tamaño de la muestra.

Para calcular la media cuando los datos se encuentran ordenados en un tabla de frecuencias, procedemos de la siguiente manera:

Si los valores diferentes X1 , X2, X3, …, X k se presentan con frecuencia absolutas f1, f2, f3, …, fk, entonces la media aritmética es:

n

fxfxfxfxfxfxfxX 77665544332211 ++++++=

5.350

175 ==X


LA SIGUIENTE INFORMACIÓN ES SOLO PARA TRABAJAR CON DATOS AGRUPADOS LEAN CON ATENCIÓN Y ANTE CUAQUIER DUDA ESTARÉ ATENTO PARA SOLUCIONAR SUS POSIBLES DUDAS

Adaptado por Lic. EDWIN RIVERA CANTOR

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REGLAS GENERALES PARA ORGANIZAR DATOS EN UNA TABLA DE FRECUENCIA

Siempre deben tenerse en cuenta las siguientes reglas generales para la organización de los datos en tablas de frecuencia.

1. Lo primero que debemos hacer es organizar los datos en forma ascendente ( de menor a mayor).

2. En caso de no conocer el nùmero de clases (m), se puede hacer un calculo aproximado con la regla de Sturges m = 1 + 3,3 Log n

3. Calcular el Rango (R) Rango = dato mayor – dato menor

4. Hallamos la amplitud del intervalo de clase (c)

c = R / m c = ( dato mayor – dato menor) / N° de intervalos

En caso de no obtener un valor entero, se aproxima o se trunca cuando el segundo decimal es mayor o igual a 5 o en el segundo caso menor de 5.

7. Una vez se han definido el número de clases a utilizar, y se conoce la amplitud de cada intervalo, se procede a tabular los datos.


EJEMPLO:

Supóngase que se tiene los datos de una muestra de 150 estudiantes que reflejan su cociente intelectual (CI), y se desea condensar esta información en una tabla de distribución de frecuencias.

Los puntajes obtenidos son:

88, 91, 104, 113, 125, 101, 114, 105, 101, 88, 126, 118, 100, 111, 125, 109,

119, 91, 106, 120, 129, 120, 109, 104, 112, 101, 113, 100, 106, 105, 121, 128,

93, 89, 124, 96, 105, 95, 91, 106, 93, 88, 89, 100, 115, 98, 108, 88,

99,120, 101, 108, 118, 118, 113, 114, 109, 91, 104, 109, 110, 113, 119, 119,

106,106, 97, 104, 105, 122, 112, 124, 108, 121, 96, 97, 99, 101, 116, 118,

102,127, 121, 116, 100, 95, 89, 103, 115, 113, 129, 91, 85, 108, 103, 116,

108, 98, 108, 114, 102, 96, 99, 108, 114, 121, 107, 122, 100, 116, 111, 113,

109,104, 113, 118, 110, 129, 124, 105, 93, 115, 120, 97, 112, 94, 113,122,

114,106, 105, 115, 98, 112, 103, 92, 125, 107, 115, 118, 128, 92, 85,126,

108,114, 125, 121, 122, 117


SOLUCIÓN:

3. Ordenamos los dato en forma ascendente.

85, 85, 88, 88, 88, 88, 89, 89, 89, 91, 91, 91, 91, 91, 92,

92, 93, 93, 93, 94, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 97, 97, 98, 98,

98, 99, 99, 99, 100, 100, 100, 100, 100, 101, 101, 101, 101, 101, 102,

102, 103, 103, 103, 104, 104, 104, 104, 104, 105, 105, 105, 105, 105, 105,

106, 106, 106, 106, 106, 106, 107, 107, 108, 108, 108, 108, 108, 108, 108,

108, 109, 109, 109, 109, 109, 110, 110, 111, 111, 112, 112, 112, 112, 113,

113, 113, 113, 113, 113, 113, 113, 114, 114, 114, 114, 114, 114, 115, 115,

115, 115, 115, 116, 116, 116, 116, 117, 118, 118, 118, 118, 118, 118, 119,

119, 119, 120, 120, 120, 120, 121, 121, 121, 121, 121, 122, 122, 122, 122,

124, 124, 124, 125, 125, 125, 125, 126, 126, 127, 128, 128, 129, 129, 129 Adaptado por Lic. EDWIN RIVERA CANTOR

1. Calculamos el número de intervalos o clases.

m = 1 + 3,3 Log (150) = 1 + 3,3 ( 2,176091259)

m = 1 + 7.181101155

m = 8.181101155

m = 8

El número de intervalos o clases es igual a 8.

7. Calculamos el Rango.

R = 129 – 85

R = 44

10.Hallamos la amplitud del intervalo I = 44 / 8 = 5,5 = 6

En la práctica, el valor decimal se redondea al mayor valor entero.


1. Construimos la tabla de distribución de frecuencias.

Intervalo de claseIntervalo de clase Límites RealesLímites RealesFrecuencia Frecuencia absoluta absoluta

ffii

Frecuencia Frecuencia Relativa hRelativa hii

Frecuencia Frecuencia Acumulada Acumulada

FFii

Frecuencia Frecuencia Rela. Acum. Rela. Acum.

HHii

85 - 9085 - 90 84.5 – 90.584.5 – 90.5 99 0.060.06 99 0.060.06

91 - 9691 - 96 90.5 – 96.590.5 – 96.5 1616 0.110.11 2525 0.170.17

97 - 10297 - 102 96.5 – 102.596.5 – 102.5 2121 0.140.14 4646 0.310.31

103 - 108103 - 108 102.5 – 108.5102.5 – 108.5 3030 0.200.20 7676 0.510.51

109 – 114109 – 114 108.5 – 114.5108.5 – 114.5 2727 0.180.18 103103 0.690.69

115 – 120115 – 120 114.5 – 120.5114.5 – 120.5 2323 0.150.15 126126 0.840.84

121 – 126121 – 126 114.5 – 120.5114.5 – 120.5 1818 0.120.12 144144 0.960.96

127 – 132 127 – 132 120.5 – 126.5120.5 – 126.5 66 0.040.04 150150 1.001.00

TOTALTOTAL ------------ 150150 1.001.00 ---------- ----------Adaptado por Lic. EDWIN RIVERA CANTOR

ejemplo para datos agrupados

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