Ejercicio de decrecimiento y crecimiento

Un cultivo tiene una cantidad inicial Po de bacterias. Cuando t= 1 h, la cantidad de bacterias es de 3/2 Po. Si la rapidez de crecimiento es proporcional a la cantidad de bacterias P (t) en el momento de t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de microorganismos.

Solución:

Nos dan las condiciones

t=0→P (0 )=Po

t=1→P (1 )=32Po

Sustituyendo la variable x de la ecuación por la de P que es la que estamos trabajando nos queda que:

Dp/dt-KP=0; Es una ecuación lineal diferencial de 1er orden.

DondeP es la población existente de bacterias.K es la constante de crecimiento.

Procedemos a calcular la ecuación diferencial:Primero sacamos el factor integrante de la ecuación.

e− ∫ kdt=e−k ∫dt→e−kt Obteniendo este valor del factor de integración.

Entonces:

Donde nos queda que: P (t )=C x ekt

Recordamos las condiciones iniciales de t=0 ; P(0)= C x ek (0 )

p (0 )=C xe0=C x 1=c

peroC=P (0 )=Po

Ahora calculo k:

En conclusión la cantidad real Po de bacterias presentes en el tiempo t=0 no influyo para la determinación del tiempo necesario para que el cultivo se triplicara y el tiempo requerido para que una población inicial de 100 de bacterias siempre será aproximadamente 2,71 horas.

Ejercicio de Carbono 14

Se analizó un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14, calcule la edad del fósil.

Solución:

Quedaría: dA/dt=KA, cuando A(0)=Ao

dA/dt-KA=0

Sacamos el factor de integración e− ∫ kdt=e−k ∫ dt→e−kt

Lo multiplicamos por todos los miembros

Entonces:

Para t=5600 años (constante del c-14) se tiene que: A(5600)= Ao/2

Luego: A(5600)= Ao x ek (5600 )