MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ – 2º BACHILLERATO DICIEMBRE 2013

Se ubica una masa 𝐦 en el centro de un semicírculo homogéneo de masa 𝐌 y radio 𝐑. Deduce

la expresión de la fuerza gravitatoria que actúa sobre la masa puntual 𝐦.

Recordamos que la fuerza gravitatoria que se ejercen dos masas puntuales se calcula, en forma vectorial,

a través de la fórmula:

F⃗ = −GMm

r2ur⃗⃗ ⃗

No obstante, en este caso no estamos trabajando con una masa puntual, sino con una distribución

continua de masa. El procedimiento a seguir en este tipo de problemas consiste en dividir dicha

distribución continua en secciones infinitesimales para más tarde sumar las fuerzas elementales asociadas

a cada una de ellas. Tal y como se infiere de la oración anterior, se requerirá el empleo de diferenciales e

integrales para trabajar con los citados infinitésimos.

Este problema puede ser resuelto de varias formas. De hecho, el método que aplicaré presentará

diferencias sustanciales con los que he hallado en otros manuales y textos.

En primer lugar, tal y como se observa en el esquema de arriba, las fuerzas elementales (dF⃗ ) ejercidas

sobre la masa tienen, en general, dos componentes. Sin embargo, debido a la simetría del semicírculo y al

hecho de que la masa está ubicada justo en el centro, todas las componentes horizontales se anularán dos

a dos. Así, la fuerza resultante tendrá tan solo una componente vertical y, como es lógico, estará dirigida

hacia arriba a causa del carácter atractivo del campo gravitatorio.

En el enunciado se nos dice que el semicírculo es perfectamente homogéneo. Este dato es fundamental,

pues significa que la densidad del mismo será la misma en todas sus partes. Introducimos, pues, una

magnitud conocida como densidad lineal de masa:

λ =M

L

MARTÍN DE LA ROSA DÍAZ – 2º BACHILLERATO DICIEMBRE 2013

Siendo M la masa del semicírculo y L, la longitud del mismo. A sabiendas de que el perímetro de una

circunferencia viene dado por P = 2πR, se tendrá que L = πR al tratarse de un semicírculo.

Ahora hemos de buscar alguna forma de expresar la fuerza gravitatoria en función del ángulo. De lo

contrario, resultaría complicado poder realizar distinciones entre un semicírculo, una circunferencia o un

arco de circunferencia de cualquier otra extensión.

Si consideramos el arco subtendido por un ángulo infinitesimal d𝜃, la ínfima longitud del arco hará que

este pueda ser considerado como un triángulo rectángulo en el que uno de los catetos mide dL y la

hipotenusa, R. A partir de esto, podemos establecer la siguiente relación:

dL = R sin 𝜃 d𝜃

Escribiendo asimismo la versión infinitesimal de la densidad lineal de masa, que debe coincidir con la ya

planteada anteriormente:

λ =M

πR=

dM

dL

Despejamos dM para obtenerla en función del ángulo:

dM =MdL

πR=

MR sin 𝜃 d𝜃

πR=

Msin 𝜃 d𝜃

π

Y dado que:

dF = GmdM

R2= G

mMsin 𝜃 d𝜃

πR2

Podemos hallar la suma de todas las fuerzas infinitesimales a través de la integración de la expresión

anterior. Los límites de integración han de ser 0 y π ya que el semicírculo abarca un ángulo de π radianes.

F = ∫ GmMsin 𝜃 d𝜃

πR2

π

0

= GmM

πR2∫ sin 𝜃 d𝜃

π

0

= GmM

πR2[− cos 𝜃]0

π = 2GmM

πR2

En conclusión:

F⃗ = 2GmM

πR2𝑗 ̂

Donde 𝑗̂ es el vector unitario en la dirección vertical (empleando la base ortonormal o canónica).

Nota: Este problema estaría fuera de los límites del nivel con el que se imparte la asignatura de física en

2º de bachillerato. Sin embargo, todas las herramientas matemáticas utilizadas son conocidas por los

alumnos de este curso, por lo que podría ser planteado como un problema de desafío.