Ejercicios 1 -...
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Curso Matematicas Basicas para ciencias, ciencias economicas e ingenierıas.
Autora: Margarita Ospina Pulido
Coleccion notas de clase
Facultad de Ciencias Sede Bogota
Editorial Universidad Nacional de Colombia, 2016
Solucionario
Elaborado por Brayan David Escobar Lopez
(Estudiante de Matematicas y Monitor del curso en el segundo semestre de 2016)
Ejercicios 1.1
1. Contenencia
B P B ⊆ P B ( P B + P
I N I ⊆N I ( N I + N
P C P * C P + C
C B C * B C + B
I D I * D I ⊇ D I ) D
A B A * B A ⊇ B A ) B
D E A ⊆ E A ⊇ B
F P F ⊆ P F ( P F + P
A E A * E A + E
F F F ⊆ F F ⊇ F
2. Pertenencia.
N P I A B C D E F
4 ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈
12 ∈ ∈ /∈ ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈
5 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ ∈ ∈ /∈
0 ∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈ ∈
3 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ ∈ ∈ /∈
1 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈
18 ∈ ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈
6 ∈ ∈ /∈ ∈ ∈ ∈ /∈ /∈ /∈
15 ∈ /∈ ∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈ /∈
Ejercicios 1.2
1. C = {a, b, c}
(a) ℘ (D) = ℘ (C) ∪ {{d}, {a, d}, {b, d}, {c, d}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, D}(b) ℘ (E) = ℘ (D) ∪ {{e}, {a, e}, {b, e}, {c, e}, {d, e}, {a, b, e}, {a, c, e}, {a, d, e},{b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}, {a, b, c, e}, {a, b, d, e}, {a, c, d, e}, {b, c, d, e}, E}
2. verdadera
1
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Ejercicios 1.3
1. complementos
P′ = IA′ = I ∪ {0, 2, 4}B′ = {x|x es mayor que 12} ∪ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11}C′ = {0, 3, 5, 7} ∪ {x|x es mayor que 8}D′ = {x|x es par y menor que 16} ∪ {x|x es mayor o igual a 16}E′ = {0, 1, 2, 4} ∪ {x|x es mayor o igual a 6}F′ = {x|x es mayor o igual a 1}U′ = ∅
2. Algunos ejemplos:
P ∪ I = U P ∪ A = P I ∪ E = I
P ∩ I = ∅ P ∩ A = A I ∩ E = E
A ∩ B = B B ∩ C = {6, 8} U ∪ P = U
U ∩ E = E B ∪U = U A ∩U = A
3. H denota cualquier conjunto
∅ ∪ H = H ∅ ∩ H = ∅
Ejercicios 1.5
15. (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
A ∪ B (A ∪ B)′
A B
U
A B
U
2
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A′ B′ A′ ∩ B′
A B
U
A B
U
A B
U
16. (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
A ∩ B (A ∩ B)′
A B
U
A B
U
A′ B′ A′ ∩ B′
A B
U
A B
U
A B
U
Ejercicios 1.7
2. B = {1, 8}
3. B = {1, 2, 4, 5, 7, 9}
3
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Ejercicios 1.8
U: pacientes de cardiologıaA: pacientes con presion altaF: pacientes que fumanC: pacientes con colesterol alto
A ∩ C′ ∩ F′
C ∩ A′ ∩ F′ F ∩ C′ ∩ A′
A ∩ C ∩ F
A
C F
A ∩ F ∩ C′A ∩ C ∩ F′
C ∩ F ∩ A′
A′ ∩ F′ ∩ C′
U
A
C F
8
9 12
2
67
4
4
U
A ∩ C ∩ F:pacientes que tienen la precion alta, que tienen el colesterol alto y que fuman
A∩ F∩C′:pacientes que tienen la precion alta, que fuman y que no tienen el colesterol alto
A∩C∩ F′:pacientes que tienen la precion alta, que tienen el colesterol alto y que no fuman
C∩ F∩A′:pacientes que tienen el colesterol alto, que fuman y que no tienen la precion alta
A′∩ F′∩C′:pacientes que no tienen la precion alta, que no fuman y que no tienen el colesterol alto
A∩C′∩ F′:pacientes que tienen la precion alta, que no tienen el colesterol alto y no fuman
C ∩ A′ ∩ F′:pacientes con colesterol alto, que no tienen la precion alta y que no fuman
F∩C′∩A′:pacientes que fuman, que no tienen el colesterol alto y que no tienen la precion alta
d) 1 es falsa y 2 es verdadera
4
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Ejercicios 2.2
1. Divisores
natural divisores cantidad natural divisores cantidad
1 1 1 9 1 3 9 3
2 1 2 2 10 1 2 5 10 4
3 1 3 2 11 1 2 2
4 1 2 4 3 39 1 3 13 39 4
5 1 5 2 60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60 12
6 1 2 3 6 4 77 1 7 11 77 4
7 1 7 2 153 1 3 9 17 51 153 6
8 1 2 4 8 4 0 N ∞
Ejercicios 2.3
1. m.c.d(34, 148) = 2
2. m.c.d(17, 384) = 1
3. m.c.d(8, 148, 384) = 4
4. m.c.d(17, 148, 384) = 1
5. m.c.d(120, 20) = 20
6. m.c.d(120, 20∗n) = 20donde 2,3 y 5 no son divisores de n
7. m.c.d(4,n) = 4 donde n es tal que, 2 no es divisor de n
Ejercicios 2.5
1. M.C.M.(34, 10) = 170
2. M.C.M.(17, 38) = 646
3. M.C.M.(8, 9, 6) = 72
4. M.C.M.(17, 14, 38) = 4522
5. M.C.M.(20, 120) = 120
6. M.C.M.(20, 24) = 120
7. M.C.M.(8, 5) = 40M.C.M.(4, 10) = 20
8. M.C.M.(11, 3) = 33M.C.M.(33, 1) = 33
9. M.C.M.(25, 4) = 100M.C.M.(20, 50) = 100
5
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10. no es posible
Ejercicios 2.6
1. −9
2. −9
3. −9
4. 480
5. 480
6. 5
7. −24
8. −16
9. −16
10. −26
11. −11
12. 39
Ejercicios 2.7
grupo expresion simplificada1216 = −9
−12 = 34
34
−721 = 4
−12 = −13 = 8
−24−13
25 = −4
−10 = 3485
25
−2−4 = 1
212
−11−33 = 1
313
−152 = 45
−6−15
2
Ejercicios 2.8
1. 7760
2. 7760
3. 715
4. 715
5. −715
6. −715
7. −715
8. 715
9. 715
10. 15
11. −83
12. 215
13. 215
14. −215
15. −215
16. −215
17. −215
18. 210
19. 118
20. 118
21. −118
22. −118
23. −120
24. −120
25. −790
26. −259900
Ejercicios 2.9
1. −78 ≤
−56 ≤
−37 ≤
23 ≤
32 ≤
125 ≤
125 ≤
235
6
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2. −235 ≤
−32 ≤
−310 ≤
−15 ≤
7100 ≤
516 ≤
37 ≤
178
Ejercicios 2.11
Forma decimal periodica Expresion como cociente de dos enteros
2, 35 = 23399
1, 358 = 1357999
5, 624 = 5568990 = 928
165
8, 631 = 7768900 = 1942
225
3, 0524 = 302199900 = 10073
3300
2, 9 = 31 = 3
3, 29 = 3310
1, 569 = 157100
Ejercicios 2.12
1. 1, 897 ≤ 1, 89 ≤ 2, 345643 ≤ 2, 349
2. −2, 349 ≤ −2, 345643 ≤ −2, 345622 ≤ −1, 89 ≤ −1, 897
Ejercicios 2.14
1. 12, 545545554...
2. 3, 3
3. 1, 1
4. 1, 113311133311113333...
5. 2
6.√
6
7.√
2
8. 53
9. NO
10. NO
11. NO
12. NO
7
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Ejercicios 3.1
0
−4.12 −14
23
75
π
3.25 4
−23−23−23−23−23−23
−0.3
2710
1 +√
3
2.75
3.20
8
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Ejercicios 3.3
1.
{x|x < 7
}= (−∞, 7) 7
R
{x|x ≤ −1
}= (−∞,−1] −1
R
{x|x < 0
}= (−∞, 0) 0
R
{x|x ≥ −3
}= [−3, ∞) −3
R
{x|x > 5
}= (5, ∞) 5
R
{x|−4 ≤ x ≤ 2
}= [−4, 2] −4 2
R
{x|−2 < x ≤ 3
}= (−2, 3] −2 3
R
{x|−5 ≤ x < 8
}= [−5, 8) −5 8
R
{x|−12 < x < 3
}= (−1, 3) −12 3
R
2. a) 8, 20, 200, 4, 5 no pertenecen a (−∞, 7)−π, 5,−10,−8,−100 pertenecen a (−∞, 7)
b) −.05,−π
4, 7, 90, 789 no pertenecen a (−∞,−1)
9
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−e,−5.98,−7,−98,−56
pertenecen a (−∞,−1)
c) 8, 20, 200, 4, 5 no pertenecen a (−∞, 0)−π, 5,−10,−8,−100 pertenecen a (−∞, 0)
d) −4.05,− π
0.3,−7,−90,−π no pertenecen a [−3, ∞)
−e, 5.98, 7, 98,eπ
pertenecen a [−3, ∞)
e) 4.98,−3π
2, 5,−90, π no pertenecen a (5, ∞)
2e, 5.98, 7, 98,7eπ
pertenecen a (5, ∞)
f) −3.9999,−π2,−92
,−2e, e no pertenecen a [−4, 2]
−3.9,√
π,52
, 0,−4 pertenecen a [−4, 2]
g) −1.9,−π2,−92
,−2e, π no pertenecen a (−2, 3]
−1.98,√
π,52
, 0,−0.0001 pertenecen a (−2, 3]
h) −8.8888,−π2,−19−2
,−2e, 2πe no pertenecen a [−5, 8)
−3.66459, 4√
625,52
, 0, 7.004 pertenecen a [−5, 8)
i) −0.9999,2π2
7,
52
, 1.98, e pertenecen a (−1, 3)
−3.9,−√
π, 5−2 , 050.00,−4.0 no pertenecen a (−1, 3)
3. otros ejemplos{x|−4 ≤ x ≤ 2
}∩{
x|−12 < x < −3}= [−4, 2]{
x|x ≤ −1}∩{
x|x > 5}= ∅
Ejercicios 3.4
1. a = 5, b = 10; a = −8, b = −100; a = −5469.2, b = −0.125; a = 139.12, b = 93.111...
2. a = 5, b = −10; a = −8, b = 100; a = 5469.2, b = −0.125; a = −139.12, b = 93.111...
10
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Ejercicios 3.7
1. (a) 2−83 × 3
−34 × 5
−12
(b) 224 × 3−31
4 × 54
2. 211720
3. d
4. b
5. a
6. b
Ejercicios 3.8
1. 3.21× 10−2
2. 5.76× 107
3. −2.1× 10−5
4. −3.64× 106
5. 6.1× 1012
6. −3.47× 10−11
7. 4.56× 10−14
8. −8.9× 10−12
Ejercicios 3.9
1. 3.75× 10−16 2. 4.1667× 10−5
Ejercicios 4.1
1. x = −125
2. x = 33
3. x = 0
4. ∅
5. R
Ejercicios 4.2
1. t = 8 2. x = 1 3. p = −315
Ejercicios 4.4
a) verdadero
b) f also
c) f also
d) verdadero
e) verdadero
f) f also
11
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Ejercicios 4.5
1. {−3, 7}
2.{−13
,12
}3.
{1−√
32
,1 +√
32
}
4.{
1,43
}5. x = −5
6. ∅
Ejercicios 4.9
PROBLEMA 17. n: cantidad de un ingrediente para la receta de 12 muffins.
Ingrediente n32512
n : cantidad ingrediente para preparar 325 muffins
Avena 132512
= 28
Huevos 23256
= 55
Azucar14
32548
= 7
Aceite12
32524
= 14
Manzanas 23256
= 55
Leche condensada12
32524
= 14
PROBLEMA 18. Carro al oeste 60km y carro al norte 80km
PROBLEMA 19. Telon grande: 40m ; Telon mediano: 20m ; Telon pequeno: 10m.
PROBLEMA 20. Los numeros son 15 y 17.
PROBLEMA 21. Se necesitan 50 ninos
PROBLEMA 22. Equivalen a 46250 pesos
PROBLEMA 23. Invirtieron 2.600.000
PROBLEMA 24. Bajara 1200 gramos
PROBLEMA 25. Largo 15 y ancho 10
PROBLEMA 26. Las longitudes son 7 y 24
12
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PROBLEMA 27. Subira 2100 pesos
PROBLEMA 28. 100 asistentes
PROBLEMA 29. 3.6L
PROBLEMA 30. V = 60km/h
PROBLEMA 31. 8.83kg luna
PROBLEMA 32. Alcanza 18m
PROBLEMA 33. su diferencia es de 2.3
PROBLEMA 34. Ancho 15 +√
145 y largo 30 + 2√
145
PROBLEMA 35. Costara 97.500 pesos
PROBLEMA 36. La presion es de 100 libras por pulgada cuadrada
PROBLEMA 37. La distancia entre C y D es 292.5km
PROBLEMA 38. una medida d a escala es realmented ∗ 1UA23.6m
Ejercicios 5.2
1.[
25
, ∞)
2.(−∞,
13
)3.[
13
, ∞)
4.(−∞,
−52
)
5.[−52
, ∞)
6.[−2,
73
)7.(−83
,53
]8.(−17
3,−43
]
9.(
53
,83
]
10. (1, 5)
11. ∅
Ejercicios 5.3
1. R 2. ∅ 3.{−12
}
Ejercicios 5.4
13
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1. ∅ 2. R 3. R
Ejercicios 5.5
1. R
2. ∅
3. ∅
4. R
5. R
6. ∅
Ejercicios 5.6
1.(−∞,
15
)∪ (−4, ∞)
2. (−∞,−3] ∪[
12
, ∞)
3.(−∞,
−25
)∪(−13
, ∞)
4.(−∞,
−23
)∪(−23
, ∞)
= R −
{−23
}5. ∅
6. ∅
7.(−√
2√
5 + 6,√
2√
5 + 6)
8. (−∞, 1) ∪ (5, ∞)
Ejercicios 5.7
1.(−3,−23
]∪ (0, 5]
2. (−∞,−2) ∪(
1,52
]3. [−3, 3) ∪ (4, ∞)
4.[−13
, 0)
5.[
0,12
]∪ [1, ∞)
6. (−∞,−2] ∪ (1, 3]
7.(−2,
12
]∪ [1, 5)
8. (−1, 0) ∪ (1, ∞)
9.
[−√
10 + 13
, 1
)∪[√
10 + 13
, 3
)10. [−3, 3]
11. c)
12. b)
13. c)
Ejercicios 5.8
14
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1.(−43
, 2)
2. [1, 4]
3. (−∞,−1) ∪(
57
, ∞)
4. (−∞, 1] ∪ [11, ∞)
5. ∅
6.{−25
}7. ∅
8. R = (−∞, ∞)
9. R
10.[−58
, 0)∪(
0,5
16
]
11.(−73
,−13
]∪ [1, 3)
12. (−5, 5)
13. R− {0, 1}
14.[−57
,−12
)∪(−12
,−27
]
15.(−∞,
23
)∪ (2, ∞)
16. [−30,−10] ∪ [10, 30]
17.{
13
}
Ejercicios 5.9
1. condicion para una temperatura T no sana: |T − 98.6| ≥ 1.5solucion de la inecuacion: (−∞, 97.1] ∪ [100.1, ∞]
2. V : voltaje real representado por la inecuacion |V − 115| ≤ 5solucion de la inecuacion: [110, 120]
3. se encuentra en el intervalo:[23.520.000, 24.780.000]
4. puede agregar a cada lado una distancia menor o igual a 5 metros
5. valores en el intervalo [58.6, 79.21]
6. [59, 95]
7. [168, 192]
8. [8192.8, 9313.9]
9.(−1,
12
]∪ [1, 3)
Ejercicios 6.1
15
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2. (3x + 5)2
3. (2x− 6)(
4x2 + 6x + 9)
4. (4x + 1) (16x2 − 4x + 1)
5. (x− 2)3
6. (5x− 3)2
7. (2x + 3)3
8. (10x− 7)(10x + 7)
9. (√
3x−√
5)(√
3x +√
5)
Ejercicios 6.2
5. p(x)÷ t(x) = (−2x2 − 8x− 31)(x− 4)− 125p(x)÷ w(x) = (−2x2 + 6x− 17)(x + 3) + 50
p(x)÷ z(x) = (−x2 − 32
x− 74)(2x− 3)− 25
4t(x)÷ w(x) = (1)(x + 3)− 7
6. r(x)÷ t(x) = (5x3 + 20x2 + 78x + 312)(x− 4) + 1245r(x)÷ w(x) = (5x3 − 15x2 + 43x− 129)(x + 3) + 384
r(x)÷ z(x) = (52
x3 +154
x2 +378
x +11116
)(2x− 3) +28516
q(x)÷ z(x) = (x2− 9
4)(2x− 3)− 19
4
Ejercicios 6.3
1. (x + 1)(x− 5)(x− 3) 25(x + 1)(x− 5)(x− 3)
2. (x− 2)(x + 1)2 (x− 2)2(x + 1)2 (x− 2)3(x + 1)2
3. x2(x + 1)2
4. No es posible
5. (x + 1)(x− 2)(x + π) (x + 1)2(x− 2)
Ejercicios 6.5
1. (x− 2)(x+ 1)3 tiene dos ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad 1 y x = −1es un cero racional de multiplicidad 3.
16
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2. 3(x − 2)(x − 1)(x + 2)2 tiene 3 ceros, x = 2 es un cero racional de multiplicidad1, x = 1 es un cero racional de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional demultiplicidad 2.
3.19(3x + 1)(3x− 2)(x + 2)(x− 3) tiene 4 ceros, x =
−13
es un cero racional de multi-
plicidad 1, x =23
es un cero racional de multiplicidad 1, x = −2 es un cero racionalde multiplicidad 1, x = 3 es un cero racional de multiplicidad 1.
4. (x + 3)3 tiene un cero, x = −3 es un cero racional de multiplicidad 3.
5. (2x− 1)(4x + 1)(x2 + 2) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadratico x2 + 2 que
no se puede factorizar en los reales, x =12
es un cero racional de multiplicidad 1,
x =−14
es un cero racional de multiplicidad 1.
6. (x + 2)2(2x − 1)(4x2 + 2x + 1) tiene dos ceros reales, tiene un factor cuadratico
4x2 + 2x + 1 que no se puede factorizar en los reales, x =12
es un cero racionalde multiplicidad 1, x = −2 es un cero racional de multiplicidad 2.
7. (x − 2)(x + 1)
(x +
√21− 5
2
)(x +−√
21− 52
)tiene 4 ceros, x = 2 es un cero
racional de multiplicidad 1, x = −1 es un cero racional de multiplicidad 1, x =(−−√
21− 52
)es un cero irracional de multiplicidad 1, x =
(−√
21− 52
)es un
cero irracional de multiplicidad 1.
Ejercicios 7.1
Hay 15 conjuntos de dos elementos:
15 = (62)
{a, b}{a, c}{a, d}
{a, e}{a, f }{b, c}{b, d}
{b, e}{b, f }{c, d}{c, e}
{c, f }{d, e}{d, f }{e, f }
Hay 20 conjuntos de dos elementos:
20 = (63)
{a, b, c}{a, b, d}{a, b, e}
{a, b, f }{a, c, d}
{a, c, e}{a, c, f }
{a, d, e}{a, d, f }
17
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{a, e, f }{b, c, d}{b, c, e}
{b, c, f }{b, d, e}{b, d, f }
{b, e, f }{c, d, e}{c, d, f }
{c, e, f }{d, e, f }
Ejercicios-observaciones 7.3
1. (n0) = (n
n) = 1
2. (n1) = ( n
n−1) = n
3. (41) = (4
3)
(54) = (5
1)
(235 ) = (23
18)
(40) = (4
4)
(52) = (5
3)
(184 ) = (18
14)
(50) = (5
5)
(62) = (6
4)
(159 ) = (15
6 )
4. a) (153 )x12y3
b) (1713)x4y13
c) (109 )xy9
d) (220 )x22
e) (84)x4y4
f) (4223)x19y23
g) (2422)x2y22
h) (1313)y
13
Ejercicios 7.5
1. a) −(149 )x5y9
b) −(149 )x5y9
c) 7
d) −(147 )x7y7
2. a) −2537(127 )x5y7
b) −2339(129 )x3y9
c) 6
d) 2636(126 )x6y6
3. a) −23(83)x10y−3
b) −25(85)x3y−5
c) 4
d) −2(81)x14y−1;−23(8
3)x10y−3;−25(8
5)x6y−5;−27(87)x2y−7;
Ejercicios 8.1
1. 25.5
2. 30
3. 25
4. α = 80 y su complemento 10
5. entre 60 y 70
6. δ esta entre 28.33 y 33.33
18
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Ejercicios 8.2
Con los siguientes datos es posible determinar la medida de los demas angulos de losliterales a. y b.
a. El valor de x es 25 y los angulos senalados miden 43 grados.
b. El valor de x es 56 y los angulos senalados miden 74 y 106 grados.
Ejercicios 8.3
1. es un triangulo rectangulo cuyos angulos son: 30 , 60 y 90
2. es un triangulo acutangulo cuyos angulos son: 40 , 55 y 85
3. es un triangulo obtusangulo cuyos angulos son: 34 , 38 y 108
Ejercicios 8.4
1. Sı
2.104
y214
3.145
y245
5. AA
Ejercicios 8.72. a. F
b. Vc. V
d. Ve. Ff. V
g. Vh. Vi. V
j. Fk. Fl. F
m. F
Ejercicios 8.8
1. 18
2. 12 + 6√
2
3. 15
4. = 58
5.
6. Perımetro = 68Area = 252
7. 8
8. 1230m
9. 8424cm2
10. 6
11. la proporcion de precio por centımetro cuadrado es de 2 a 1, es decir, la pizza dediametro 20 cm es dos veces mas costosa por centımetro cuadrado que la pizza dediametro 40 cm.
19
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12. (a) 9
(b) 12
(c)9π
2− 9
(d) Cuadrado circunscrito en circunferencia.
Area del cuadrado = 18Perımetro del cuadrado = 12
√2
Area sombreada = 18− 9π
2
13. 32 + 48π
14. Area =L2
4cm2
15. Area = 32√
3Volumen = 8
√3cm3
16. Silo con techo conico: C ; Silo con techo esferico: S
2VC =
323
πm3
2
2
2VS =
403
πm3
2
2
17. Se necesitan 5 galones de pintura por cada silo.
20
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Ejercicios 9.1
1. Plano cartesiano
X
Y
(-3,2)
(2,-1)
(5,3)
(0,5)
(4,0)
(-2,-4)
(3,1)
(7,-2)
(1,1)
(-1,-1)
(0,0)
2. Q) (-3,1)R) (2,2)
S) (0,-2.5)T) (-3,-3)
U) (-1,4)W) (2,-4)
Z) (4,0)
3. a) a > 0 y b > 0
b) a < 0 y b > 0
c) a < 0 y b < 0
d) a > 0 y b < 0
e) b = 0
f) a = 0
Ejercicios 9.2
1. Por ejemplo la distancia entre los puntos (2,-1) y (-3,-6) es 5√
2
2. Para 3 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1− 2√
2)Para 4 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1−
√15)
Para 5 unidades una pareja es: (1,1) y (2, 1− 2√
6)
3. Por ejemplo: (7, 7); (3, 7); (−2, 2); (−2, 12)
21
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Ejercicios 9.3
1. a.(−12
, 2)
b.(
32
,12
)c. (3, 3)
d.(−32
,32
)e.(
12
,72
)f.(
12
,52
)g.(
4,−52
)
h.(−52
,92
)i. (0,−3)
2. a. (4,−4) b. (0,−6) c. (−6, 6)
Ejercicios 9.4
1. i) pendiente-corte: y = 3x− 1 ; ecuacion lineal general: 3x-y-1=0
ii) pasa por los puntos (0,−1) y(
13
, 0)
; pendiente-corte : y = 3x− 1
iii) pendiente-corte: y = 3x ; lineal general: 3x− y = 0 ; pasa por: (0, 0) y (1, 3)
2. i) pendiente-corte: y = −2x− 1 ; ecuacion lineal general: 2x+y+1=0
ii) pasa por los puntos (0, 3) y(
32
, 0)
; pendiente-corte : y = −2x + 3
iii) pendiente-corte: y = −2x− 2 ; lineal general: 2x + y + 2 = 0 ; pasa por: (0,−2)y (−1, 0)
3. i) pendiente-corte: y = 5 ; ecuacion lineal general: y-5=0
ii) pasa por los puntos (56,−3) y(
13
,−3)
; pendiente-corte : y = −3
iii) pendiente-corte: y = 0 ; lineal general: y = 0 ; pasa por: (0, 0) y (1, 0)
4. i) pendiente-corte: x = 5 ; ecuacion lineal general: x-5=0
ii) pasa por los puntos (2,−1) y(
2,13
); pendiente-corte : x = 2
iii) pendiente-corte: x = −1 ; lineal general: x + 1 = 0 ; pasa por: (−1, 0) y (−1, 3)
5. i) pasa por los puntos (2,−2) y (0, 2) ; pendiente-corte: y = −4x + 2
ii) pasa por los puntos (4, 0) y (0, 4) ; pendiente-corte: y =x4− 1
6. i) pasa por los puntos (−1,−1) y (0,−13) ; pendiente-corte: y =
23
x− 13
ii) pasa por los puntos (1, 2) y (0,72) ; pendiente-corte: y =
−3x2
+72
22
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7. i) pasa por los puntos (2,13) y (0,
13) ; pendiente-corte: y =
13
ii) pasa por los puntos (72
, 0) y (72
, 4) ; pendiente-corte: x =72
8. i) pasa por los puntos (2, 5) y (0, 1) ; pendiente-corte: y = 2x + 1
ii) pasa por los puntos (4,−11) y (0, 1) ; pendiente-corte: y = −3x + 1
Ejercicios 9.5
1. x =−113
; y =−913
2. ∅ 3. {(x, y) ∈ R2 : y = 3x− 2}
Ejercicios 9.6
1. a) k =−23
b) k =32
2. k =145
y l =215
3. a) y =−34
x
b) y =43
x
c) y = 3x
e) y =−34
x− 34+ 3
f) y =43+
233
d) Por ejemplo: y = 2x + 1 ; y = 3x ¿ Existe una forma general de expresar todas lasrectas que satisfacen la condicion pedida ?
Ejercicios 9.7
1. Si lo son, ya que hay dos parejas de puntos tal que la distancia entre puntos de cadapareja es 2
√17
2. Una vez que demuestre que el triangulo es retangulo el area es de 5 unidadescuadradas.
3. -40ºC = -40ºF
4. Presion a 20 metros es 2.988 y a 50 metros es 5.97
23
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5. Los numeros son: 128 y 37.
6. Se deben mezclar23
L de la solucion al 15% y13
L de la solucion al 12%
7. Se invirtio 1.400.000 en la cuenta de ahorros.
8. No es posible. Sin embargo si reemplazamos 68.000 pesos por 69.000 pesos habrıan45 monedas de 200 y 120 monedas de 500.
Ejercicios 10.1
1. Plano cartesiano
X
Y
(1,-1) (6,-1)
(6,3)(1,3)
2. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−1 ≤ y ≤ 3
3. p(x, y) = 4 ≤ x ≤ 9∧−1 ≤ y ≤ 3
4. p(x, y) = −1 ≤ x ≤ 4∧−1 ≤ y ≤ 3
5. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧ 4 ≤ y ≤ 8
6. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−2 ≤ y ≤ 2
7. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧ −12≤ y ≤ 3
2
8. p(x, y) =13≤ x ≤ 2∧−1 ≤ y ≤ 3
9. p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−3 ≤ y ≤ 9
10. p(x, y) = 4 ≤ x ≤ 24∧−1 ≤ y ≤ 3
11. p(x, y) = −6 ≤ x ≤ −1 ∧ 2 ≤ y ≤ 4
X
Y
(-6,2) (-1,2)
(-6,4) (-1,4)Simetrıas con respecto a:
Eje x:p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧−4 ≤ y ≤ −2Eje y:p(x, y) = 1 ≤ x ≤ 6∧ 2 ≤ y ≤ 4Recta y=x:p(x, y) = −6 ≤ y ≤ −1∧ 2 ≤ x ≤ 4
24
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12. p(x, y) = −1 ≤ x ≤ 7 ∧ −3 ≤ y ≤ 2
X
Y(7,2)
(7,-3)(-1,-3)
(-1,2)Simetrıas con respecto a:Eje x:p(x, y) = −1 ≤ x ≤ 7∧−2 ≤ y ≤ 3Eje y:p(x, y)=−7 ≤ x ≤ 1∧−2 ≤ y ≤ 3Recta y=x:p(x, y) = −1 ≤ y ≤ 7∧−3 ≤ x ≤ 2
13. Simetrıas Triangulo
Triangulo base:
XY
(1,-2)
(3,-4)
(5,-1)
Simetrıa con respecto al eje Y:
XY
(-1,-2)
(-3,-4)
(-5,-1)
Simetrıa con respecto al eje X:
X
Y
(1,2)
(3,4)
(5,1)
Simetrıa con respecto a la recta y = x:
XY(-2,1)
(-4,3)
(-1,5)
14. Simetrıas Triangulo
25
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Triangulo base:
X
Y
(-4,-1) (1,-1)
(1,3)
Simetrıa con respecto al eje Y:
X
Y
(4,-1)(-1,-1)
(-1,3)
Simetrıa con respecto al eje X:
X
Y
(-4,1) (1,1)
(1,-3)
Simetrıa con respecto a la recta y = x:
X Y
(-1,-4)
(-1,1) (3,1)
Ejercicios 11.1
1. Centro = (3,−1) ; Radio = 2
X
Y
2. Centro = (3, 0) ; Radio = 2
X
Y
3. Centro = (0,−1) ; Radio = 2
26
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X
Y
4. Centro = (3,−1) ; Radio =
√3
3
XY
5. Centro = (3,−1) ; Radio = 5
X
Y
6. Centro = (3,−1) ; Radio = 2
X
Y
7. Centro = (3,−1) ; Radio = 2√
5
X
Y
8. Centro = (0, 2) ; Radio = 1
X
Y
9. Centro = (1, 0) ; Radio = 2
27
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X
Y
10. Centro = (1,−1) ; Radio =√
3
X
Y
11. x2 + y2 + 6x− 4y− 12 = 0
12. x2 + y2 + 6x− 4y + 8 = 0
13. x2 + y2 − 6x + 4y− 3 = 0
14. x2 + y2 + 6x− 4y− 108 = 0
15. x2 + y2 − 2y− 8 = 0
16. x2 + y2 + 14x + 48 = 0
17. x2 + y2 − 2πx− y + π2 − 154
= 0
18. x2 + y2 + 2y = 0
19. Las ecuaciones son: x2 + y2 − 6x − 16 = 0 ; x2 + y2 − 4y + 3 = 0 ; x2 + y2 − 8x +4y + 16 = 0
Ejercicios 11.2
Puntos Extremos:
Caso 2: (−2, 0); (2, 0); (0, 1); (0,−1)
Caso 3: (−1, 0); (1, 0);(
0,13
);(
0,−13
) Caso 4: (−1, 0); (1, 0); (0, 3); (0,−3)
Caso 5:(−1
2, 0)
;(
12
, 0)
; (0, 3); (0,−3)
Ejercicios 11.3
1. centro: (2, 0) ; vertices: (−1, 0), (5, 0), (2, 5), (2,−5) ; focos: (2, 4), (2,−4)
2. centro: (0, 1) ; vertices: (−6, 1), (6, 1), (0,−3), (0, 5) ; focos: (2√
5, 1), (−2√
5, 1)
3. centro: (4,−7) ; vertices: (0,−7), (8,−7), (4,−15), (4, 1) ;focos: (4,−7− 4
√3), (4,−7 + 4
√3)
28
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4. centro: (−3, 1) ; vertices: (−10, 1), (4, 1), (−3,−4), (−3, 6) ;focos: (−3− 2
√6, 1), (−3 + 2
√6, 1)
5. Caracterısticas de dos de las elipses:
Centro: (2,−3)vertices: (−1,−3); (5,−3); (2,−2); (2,−4)Focos: (2− 2
√2,−3); (2 + 2
√2,−3)
Eje focal: Horizontal de longitud 6.Eje transverso: Vertical de longitud 2.
Ecuacion:(x− 2)2
9+
(y + 3)2
1= 1
Centro: (−4, 2)vertices: (−4, 6); (−4,−2); (−5, 2); (−3, 2)Focos: (−4, 2 +
√15); (−4, 2−
√15)
Eje focal: Vertical de longitud 8.Eje transverso: Horizontal de longitud 2.
Ecuacion:(x + 4)2
1+
(y− 2)2
16= 1
Ejercicios 11.7
1. Algunos datos caracterısticos.
a) Elipse con centro en (0, 0) y eje focal vertical.
b) Elipse con centro en (2,−3) y eje focal horizontal.
c) Hiperbola con centro en (−5, 0) que abre hacia arriba y abajo.
d) Parabola que abre hacia arriba con vertice en (−4,−3).
e) Representa al conjunto {(2,-1)}.f) Elipse con centro en (1,−1) y eje focal vertical.
g) Parabola que abre hacia la derecha con vertice en (−3,−1).
h) Hiperbola con centro en (−1, 1) que abre hacia arriba y abajo.
i) Representa al conjunto {(−3, 1)}.j) Elipse con centro en (0, 2) y eje focal vertical.
k) Elipse con centro en (3, 0) y eje focal vertical.
l) Parabola que abre hacia arriba con vertice en (−1,−1).
m) Parabola que abre hacia la derecha con vertice en (−2,−3).
n) Hiperbola con centro en (−3, 2) que abre hacia la derecha y la izquierda.
o) Representa a las rectas y = x ; y = −x.
29
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2. a) Interior y grafica de la elipse 9x2 + 4y2 − 18x + 8y + 4 = 0
X
Y
b) Interior (zona sombreada) de la hiperbola 4x2 − 9y2 + 8x + 18y + 4 = 0
−4 −3 −2 −1 1 2
−2
2
4
c) Interior (zona sombreada) y grafica de la hiperbola 3x2 − y2 + 30x + 78 = 0
−7 −6 −5 −4 −3
−4
−2
2
4
3. i) a) α 6= 19
30
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b) α = 19
ii) a) β < 100 b) β = 100 c) β > 100
iii) a) γ < 9 b) γ = 9 c) γ > 9
4. b)
5. b)
6. b)
7. a)
8. b)
9. a)
10. a)
11. b)
Ejercicios 12.1
Enumerando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
1. Sı
2. No
3. Sı
4. No
5. No
6. Sı
Ejercicios 12.2
[−3.5] = −4[−π] = −4
[−437] = −7
[−1.87] = −2[−6] = −6
[−125] = −3
[−0.4567895] = −1[−5.99] = −6
[− 4108
] = −1
Ejercicios 12.3
1. Grafica f1
−6 −4 −2 2
−2
2
4 Dominio: R
Imagen: (−3,−1) ∪ [0, ∞)
31
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2. Grafica f2
−4 −2 2 4
−3
−2
−1
1
2
Dominio: R
Imagen: [−3, ∞)
3. Grafica f1
−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−1
1
2 Dominio: R− {1}
Imagen: R− {0}
4. Grafica f1
−2 −1 1 2
−4
−2
2
4
Dominio: R
Imagen: {−4} ∪ [1, ∞)
32
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Ejercicios 12.4
1. Enumerando de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo.
i) Unicamente inyectiva
ii) Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
iii) Unicamente sobreyectiva.
iv) Ninguna.
2. Ninguna 3. Ninguna 4. Ninguna 5. Ninguna
Ejercicios 12.5
1. Ninguna
2. Ninguna
3. Ninguna
4. Ninguna
5. Ninguna
6. par
7. Sı, solo una
1 Ejercicios 12.9
1. Calcule:log2 128 = 7log4 256 = 4log 1
2256 = −8
log 110
100000 = −5log3 81 = 4
log 12
16 = −4
log 14
1256
= 4
log101
10000= −4
log10 10000 = 4
log 15
1125
= 3
log 15
125 = −3
log81
64= −2
2. a) (−∞,−1) ∪ (1, ∞)
b) (−3,−1) ∪ (3, ∞)
c) R− 0
d) (−3, ∞)
3. Graficas:
33
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−4 −2 2 4
−3
−2
−1
1
2a) u(x)
−1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3 b) v(x)
−1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5
−1.5
−1
−0.5
0.5 c) w(x)
34
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5 10 15 20
1
2
3
4
5
d) g(x)
Ejercicios 12.10
1. Dominio
Dom( f ) = (−∞, 0]Dom(k) = (−∞,−1] ∪ (1, ∞)Dom(m) = (0, ∞)Dom(g) = (−∞, 0) ∪ [1, ∞)
Dom(l) =(−∞,
12
]Dom(n) = R
Dom(h) = [0, 25]Dom(j) = R
2. Graficas de l y j respectivamente, ambas no son inyectivas ni pares ni impares.
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−2
−1
1
Dominio: R
Imagen: (−∞, 1]
35
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−4 −2 2 4
2
4
6
8
Dominio: R
Imagen: [0, ∞)
3. Numeral 2)
−1 1 2 3 4
−4
−2
2
y = g(x)− 1
−1 1 2 3 4
−4
−2
2
y = g(x + 1)
−1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
y = g(x) + 1
−1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
y = g(2x)
36
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−1 1 2 3 4
−4
−2
2
y = g(x− 1)
−1 1 2 3 4
−4
−2
2
y = g(
12
x)
5. Sean f y g funciones no cero, en las siguientes tablas se expresa si la operacion entredos funciones pares o impares da como resultado una funcion par (P) , impar (I) ,nunca par nunca impar (N)
¿ Hay cambios en las siguientes tablas si f es cero o g es cero?
Tabla f + g
+ g par g impar
f par N
f impar
Tabla f × g
× g par g impar
f par
f impar P
Tabla f ◦ g
◦ g par g impar
f par P
f impar
6. a) Dom( f ) = R ; Im( f ) = [1, ∞)
Dom(n) = [0, ∞) ; Im(n) = [0, ∞)
Dom(j) = R ; Im(j) = (0, ∞)
Dom(g) = R ; Im(g) = [0, ∞)
Dom(k) = R− {0} ; Im(g) = R− {0}
Dom(l) = (0, ∞) ; Im(l) = R
Dom(h) = R ; Im(h) =(−∞,
498
]Dom(m) = R ; Im(m) = {1,−1}
b) dominios composiciones
37
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1) (0, ∞)
2) (0, ∞)
3) R− {0}
4)[−12
, 3]
5) R− {0}
6) R
7) [0, ∞)
8) [e−2, ∞)
9)(−12
, 3)
10) R
7. a) Area =
√3
4L2 ; Perimetro = 3L
b) l =√
2s
d ; Area =d2
2c) Area = 6L2 ; Volumen = L3
8. Es una funcion escalonada que vale 2500 hasta 2, luego cada 500 (eje y) hay escalones
de14
de ancho (15 min , eje x)
En total hay 18 escalones de14
de ancho, finalmente a partir de 6.5 (6h 30 min) hay
un escalon a la altura 12000, es decir la funcion vale 12000 en (6.5, ∞).
9. x = 50
10. Logra llegar con una ventaja de aproximadamente medio minuto.
11. a) 3200
b) 100× 2t/3
c) Sı
d) Entre 24 y 27 horas
12. a)18
gr
b) 2× 12
t/15
c) Entre 0.0.gr y 0.1gr
d) Entre 105 y 120 horas
Ejercicio 13.4
Alcanza un altura de 7.52 metros y su base esta a una distancia del edificio de 2.74 metros.
Ejercicios 13.7
1. T. Coseno. 2. T. Coseno. 3. T. seno. 4. T. seno.
Ejercicios 13.9
38
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1. verdadero 2. Falso 3. verdadero 4. Falso
Ejercicios 13.10 (pag 468)
−6 −4 −2 2 4 6
−2
−1
1
2k(x) = 2 sin
(x− π
4
)Dominio: R
Imagen: [−2, 2]
Amplitud: 2
Desplazamiento de fase:π
4
Periodo: 2π
−6 −4 −2 2 4 6
−1
1
2
3
4
l(x) = |1− 3 sin (2x− π)|
Dominio: R
Imagen: [0, 4]
Ejercicios 13.12 (pag 476)
1. b)
2. b)
3. c)
4. b)
5. b)
6. c)
7. a)
8. a)
9. b)
10. Por ejemplo sen(θ) =817
; cos(θ) =1517
11. AB = 6 y BC = 2√
3
12. Por ejemplo sen(α) = −√
154
13. Por ejemplo sen(α) = −2√
55
39
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14. α = β = 0∨ α = 2π − β 17. α =π
4∨ α =
54
π
18. d) 19. c) 20. a) 21. 33.7 22. 2.83Km 23. 39542
40