Ejercicios 1CAV

8/17/2019 Ejercicios 1CAV

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN

FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA

CÁLCULO Y ANÁLISIS VECTORIALProf. MCM. Luis Farfán

Ejercicios

Funciones de varias variables

Dominio, contradominio y gráficas de funciones elementales

Ejercicio 1 Sea f una funci´ on de dos variables definida por f (x, y) = x + y

x − y . Obtener

1. f (−3, 4) 2. f 12 , 13 3. f (x + 1, y − 1) 4. f (−x, y) − f (x,−y)Ejercicio 2 Sea f una funci´ on de dos variables definida por f (x, y) =

x2 − y. Obtener

1. f (3, 5) 2. f (−4,−9) 3. f (x + 2, 4x + 4) 4. f 1x , −3x2

Ejercicio 3 Sea g una funci´ on de tres variables definida por g (x,y,z) =

4 − x2 − y2 − z2. Obtener

1. g(1,−1,−1)2. g

−1, 12 , 323. g

12x, 12y, 12z

4. [g(x,y,z)]2 − [g(x + 2, y + 2, z)]2

Ejercicio 4 Determinar el dominio de f y dibujarlo como una regi´ on de R2.

1. f (x, y) = ex2−y2 .

2. f (x, y) = 1

x2 + y2 − 1 .

3. f (x, y) =

1 − x2 − y2.

4. f (x, y) = 1

16 − x2 − 4y2.

5. f (x, y) = x4 − y4x2 − y2 .

6. f (x, y) = √

x + y − 2 l n (x − 3).

Ejercicio 5 Determinar el dominio, contradominio de f y dibujar la gr´ afica de f .

1. f (x, y) =

16 − x2 − y2 2. f (x, y) = 6 − 2x + 2y 3. f (x, y) = x2 − y2

Ejercicio 6 Determinar el dominio de f y dibujarlo como una regi´ on de R3.

1. f (x,y,z) = z

x2 − y . 2. g(x,y,z) = ln x + ln y + ln z. 3. h(x,y,z) = xyz .

Curvas de nivel y mapas de contorno

Ejercicio 7 Dibujar un mapa de contornos de f que muestre las curvas de nivel para los n´ umeros indicados.

a) f (x, y) =

16 − x2 − y2; para 0, 1, 2, 3 y 4.b) f (x, y) = 6 − 2x + 2y; para 10, 6, 2, 0,−2,−6 y −10.c) f (x, y) = x2 − y2; para 16, 9, 4, 0,−4,−9 y −16.d) f (x, y) =

√ x + y; para 10, 8, 6, 5 y 0.

e) f (x, y) = 4x2 + 9y2; para 0, 1, 4, 9, 16 y 36.

f ) f (x, y) = exy; para 1, 2, e, 4, e−1 y 1

4.

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Ĺımites y continuidad

Ejercicio 8 Usando propiedades, determinar el valor de l ı́mite indicado o establecer que no existe, usando trayec-torias.

a) ĺım(x,y)→(2,3)

3x2 + xy − 2y2

b) ĺım(x,y)→(2,−1)

3x − 2yx + 4y

c) ĺım(x,y)→(2,−1)

x4 − (y − 1)4x2 − (y − 1)2

d) ĺım(x,y)→(ln3,ln2)

ex−y

e) ĺım(x,y)→(4,2)

1

3x − 4y

f ) ĺım(x,y)→(6,3)

xy cos(x − 2y)

g) ĺım(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2

h) ĺım(x,y)→(0,0)

8x2y2

x4 + y4

i) ĺım(x,y)→(0,0)

x2y2

x3 + y3

j) ĺım(x,y)→(0,0)

x2y3

x4 + y6

Ejercicio 9 Determine todos los puntos en los que la funci´ on es continua.

a) f (x, y) = x2

y − 1

b) g(x, y) = sen y

x

c) h(x, y) = 4x2y + 3y2

2x − y

d) u(x, y) = 1

x−

y

e) v(x, y) = ln(xy2)

f ) f (x, y) = ln(25 − x2 − y2).

g) f (x, y) =

xy x2 + y2

si (x, y) = (0, 0)0 si (x, y) = (0, 0)

Diferenciación

Derivadas parciales

Ejercicio 10 Dada las siguientes funciones, calcular:

f x(x, y) = ∂f

∂x = ĺım

h→0

f (x + h, y) − f (x, y)h

y

f y(x, y) = ∂f

∂y = ĺım

h→0

f (x, y + h) − f (x, y)h

donde,

1. f (x, y) = x2y + y3.

2. f (x, y) = x

y .

3. f (x, y) = x2 − xy + 2y2.

4. f (x, y) = 6x + 3y − 7.

Ejercicio 11 Encuentra las primeras derivadas parciales de las funciones.

a) f (x, y) = xy.

b) g(x, y) = exy.

c) v(x, y) = xy.

d) h(x, y) = x cos x cos y.

e) f (x, y) = (x2 + y2)ln(x2 + y2).

f ) u(x1, x2) =

x21 + x22.

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Derivadas parciales para funciones de más de 2 variables

Ejercicio 12 Encuentra las primeras derivadas parciales de las funciones.

a) f (x,y,z) = xyz2 tan yz.

b) f (x,y,z) = exy2

+ ln(y + z).

c) f (x,y,z,t) = xy2

t + 2z.

d) f (x,y,z,r,t) = xyr + yzt + yrt + zrt.

e) f (x,y,z) = xyz2 tan yz.

f ) f (x,yz) = x sen y cos z

g) f (x,y,z) = exy2

+ ln(y + z).

h) f (x,y,z,t) = xy2

t + 2z.

i) f (x,y,z,r,t) = xyr + yzt + yrt + zrt.

j) u(x1, x2 . . . , xn) =

x21 + x22 + · · · + x2n.

Aplicaciones de la derivada parcial:

Ejercicio 13 Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por f (x, y) = −x2

2 − y2 + 25

8en el punto

12 , 1, 2

.

Ejercicio 14 Hallar las pendientes de la superficie dada por f (x, y) = 1− (x− 1)2 − (y − 2)2 en el punto (1, 2, 1),en las direciones de x y de y.

Ejercicio 15 Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de intersecci´ on de la superficie z = x2 + y2 con el plano y = 1 en el punto (2, 1, 5). Dibujar la curva y la recta tangente.

Razones parciales de cambio

Ejercicio 16

El ´ area de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre los que se forma un ´ angulo θ est´ a dada por A = ab sen θ,como se muestra en la figura: exercise

a) Hallar la tasa de cambio de A respecto de a si a = 10, b = 20 y θ = π

6.

b) Hallar la tasa de cambio de A respecto de θ si a = 10, b = 20 y θ = π

6.

Ejercicio 17 La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa delgada es T grados, donde T = 54− 23x2−4y2.Si la distancia se mide en cent́ımetros, calcular la raz´ on de cambio de la temperatura con respecto a la distancia

recorrida a lo largo de la placa en las direcciones positivas de los ejes x y y, respectivamente en el punto (3, 1).

Derivadas parciales de orden superior

Ejercicio 18 Calcule las derivadas parciales indicadas

1. f (x, y) = 2x3y + 5x2y2 − 3xy2;a) f xyx(x, y)

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b) f yxx(x, y)

2. g(x,y,z) = sen(xyz)

a) gxz(x,y,z)

b) gyz(x,y,z)

3. g(r,s,t) = ln(r2 + 4s2 − 5t2)a) grts(r,s,t)

b) grtt

(r,s,t)

Ejercicio 19 Muestre que f (x, y) satiface la ecuaci´ on f xx + f yy = 0, la cual se conoce como la ecuaci´ on deLaplace en R2

a) f (x, y) = ln(x2 + y2)

b) f (x, y) = tan−1 2xy

x2 − y2

c) f (x, y) = ex sen y + ey cos x

d) f (x, y) = xy

(x2 + y2)2 para (x, y) = (0, 0)

Ejercicio 20 Mostrar que f xz = f zx y f xzz = f zxz = f zzx para la funci´ on dada por f (x,y,z) = yex + x ln z.

Derivación implı́cita

Ejercicio 21 Calcule ∂z

∂x y

∂z

∂y para las siguientes expresiones:

a) z = (x2 + y2) sen(xz)

b) zeyz + 2xexz − 4exy = 3c) 3x2 + y2 + z2 − 3xy + 4xz − 15 = 0d) yexyz cos(3xz) = 5

Regla de la cadena

Ejercicio 22 Calcular la derivada parcial indicada por medio de la regla de la cadena.

a) u(x, y) = yex + xey; x = cos t; y = sen t; du

dt .

b) u(x, y) = x + t

y + t; x = ln t; y = ln

1

t;

du

dt .

c) u(x, y) = ln(x2 + y2 + t2)

d) u = x2

−y2; x = 3r

−s; y = r + 2s;

∂u

∂r

; ∂u

∂s

.

e) u = 3x − 4y2; x = 5 pq ; y = 3 p2 − 2q ; ∂u∂p

; ∂u

∂q .

f ) u = ey/x; x = 2r cos t; y = 4r sen t; ∂u

∂r;

∂u

∂t .

g) u = xy + xz + yz; x = rs; y = r2 − s2; z = (r − s)2; ∂u∂r

; ∂u

∂s.

h) u = sen(xy); x = 2zet; y = t2e−z; ∂u

∂t ;

∂u

∂z.

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i) u = x2 + y2 + z2; x = r sen φ cos θ; y = r sen φ sen θ; z = r cos φ; ∂u

∂r;

∂u

∂φ;

∂u

∂θ.

Ejercicio 23 Sean u = ey cos x, x = 2t, y = t2. Calcular d2u

dt2 en dos formas:

a) Expresar u en términos de t y luego derivar.

b) Utilizar la regla de la cadena.

Ejercicio 24 Sean u = 3xy − 4y2, x = 2ser, y = re−s. Calcular ∂ 2u

∂s∂r en dos formas:

a) Expresar u en términos de r y s y luego derivar.

b) Utilizar la regla de la cadena.

Diferencial total

Ejercicio 25 Encuentre los diferenciales totales de las siguientes funciones:

a) f (x, y) = sen(xy)

b) g(u, v) = u2 + uv

c) z = e−x cos y

d) h(x, t) = e−3t sen(x + 5t)

Ejercicio 26 Encuentre el diferencial total de f (x, y) =

x2 + y2 en el punto (1, 2) para calcular f (1,04, 1,98).

Valores extremos de funciones de dos variables

Ejercicio 27 Determinar los extremos relativos de la funci´ on definida por

a) f (x, y) = 2x4 + y2 − x2 − 2y.b) f (x, y) =

16 − x2 − y2.

c) f (x, y) = x2 + y2 − 4x − 8y + 16.d) f (x, y) = 4xy2 − 2x2y − x.

Nota: Para más ejercicios de extremos reltivos y sus aplicaciones revisar las páginas 1001− 1003 de Leithold.

Aplicaciones

De funciones de varias variables

Ejercicio 28 Se elabora una caja rectangular cerrada con tres tipos de materiales de modo que contenga un volumen 16 pies3. El material para la tapa y el fondo cuesta 0.18 por pie cuadrado, el material para las partes delantera y trasera cuesta 0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras dos caras cuesta 0.12 por pie cuadrado.

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a) Obtenga un modelo matem´ atico que exprese el costo del material como una funci´ on de las dimensiones de las partes delantera y trasera. Determine el dominio de la funci´ on.

b) ¿Cu´ al es el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y tasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja.

Ejercicio 29 La oficina de inscripciones de una universidad utiliza la siguiente ecuaci´ on lineal para pornosticar el promedio de calificaciones de un estudiante de nuevo ingreso

z = 0.003x + 0.8y

−4,

donde z es el promedio de calificaci´ on pronosticado (GPA, por sus siglas en inglés) en una escala de 0 a 4.3, x la suma de las pruebas de aptitud escolar (SAT, por sus siglas en ingés) en matem´ aticas y expresi´ on verbal, en una escala de 400 a 1600, y y el GPA de preparatoria del estudiante, en una escala de 0 a 4.3. La universidad admite estudiantes cuyo GPA pronosticado sea por lo menos de 2.3.

a) ¿Ser´ a admitido un estudiante con SAT de 1050 y GPA de 3.0?

b) ¿Ser´ a admitido todo estudiante con SAT de 1600?

c) ¿Ser´ a admitido todo estudiante con GPA de 4.3?

Ejercicio 30 Un s´ olido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos coordenados, tiene un

vértice en el origen y el vértice opuesto en el punto (x,y,z) en el plano x + 3y + 2z = 6.

a) Obtenga un modelo matem´ atico que exprese el volumen del s´ olido como una funci´ on de las dimensiones de la base. Determine el dominio de la funci´ on.

b) ¿Cu´ al es el volumen si la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades?

Ejercicio 31 T (x, y) grados es la temperatura en un punto (x, y) de una placa met´ alica plana, donde T (x, y) = 4x2 + 2y2. Dibuje un mapa de contornos de T que muestre las isotermas para k = 12, 18, 4, 1 y 0.

De las derivadas parciales

Ejercicio 32 Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersecci´ on de la superficie

36x2 − 9y2 + 4z2 + 36 = 0

con el plano x = 1 en el punto (1,√

12,−3). Interprete esta pendiente como una derivada parcial.

Ejercicio 33 La temperatura en cualquier punto (x, y) de una placa delgada es T grados, donde T = 54− 23x2−4y2.Si la distancia se mide en cent́ımetros, calcular la raz´ on de cambio de la temperatura con respecto a la distancia recorrida a lo largo de la placa en las direcciones positivas de los ejes x y y, respectivamente en el punto (3, 1).

Ejercicio 34 Suponga que 10, 000x d´ olares es el inventario de un almacéen que tiene y empleados, P d´ olares es la utilidad semanal del almacén, y

P = 3000 + 240y + 20y(x − 2y) − 10(x − 12)2

donde 15 x 25 y 5 y 12. Actualmente, el inventario es de 180, 000 y hay 8 empleados.

a) Calcule la tasa de variaci´ on intant´ anea de P por unidad de variaci´ on de x si y permanece fija en 8.

b) Utilice el resultado del inciso a) para obtener la variaci´ on aproximada de la utilidad semanal si el inventariovaŕıa de 180, 000 a 200, 000 y el n´ umero de empleados permanece fijo en 8.

c) Determine la tasa de variací on intant´ anea de P por unidad de variaci´ on de y si x permanece fija en 18.

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d) Utilice el resultado del inciso c) para calcular la variaci´ on aproximada semanal si el n´ umero de empleados incrementa de 8 a 10 y el inventario permanece fijo en 180, 000.

Ejercicio 35 Si A metros cuadrados es el ´ area de la superficie del cuerpo de una persona, entonces una f´ ormula que proporciona el valor aproximado de A es

A = 2W 0.4H 0.7

donde W kilogramos es el peso de una persona y H metros es el altura de la persona. Calcule ∂A

∂W y

∂A

∂H cuando

W = 70 y H = 1.8 e interprete los resultados.

De la diferencial total

Ejercicio 36 Un envase met´ alico cerrado tiene la forma de cilindro circular recto de 6 pulg de altura interior, de 2 pulg de radio interior y de 0.1 pulg de grosor. Si el costo del metal es de 40 centavos por pulgada c´ ubica, aproximar mediante diferenciales el costo del metal empleado en la elaboraci´ on del envase. De cuando serı́a el costo del metal empleado si existe una variaci´ on de 0.02 pulg en todas las medidas.

Ejercicio 37 Las dimensiones de una caja son 10cm, 12cm y 15cm, con un posible error de 0.02 en cada medici´ on.Aproximar mediante diferenciales el m´ aximo error si el volumen de la caja se calcula a partir de estas medidas.

Ejercicio 38 Un contenedor tiene la forma de un s´ olido rectangular y tiene longitud interior de 8m, un ancho

interior de 5m, una altura interior de 4m y un espesor de 4cm. Emplear la diferencial total para aproximar la cantidad de material necesario para construir el contenedor.

Ejercicio 39 Utilizar la diferencial total para calcular aproximadamente el mayor error al determinar el ´ area de un tri´ angulo rect´ angulo a partir de las longitudes de los catetos si ellos miden 6cm y 8cm, respectivamente, con un error posible de 0.1cm para cada medici´ on.

Ejercicio 40 Para la funci´ on de producci´ on P = 40L.25K .75, encuentre la diferencial dP cuando L = 2 y K = 16

Ejercicio 41 La ecuaci´ on del gas para un mol de ox́ıgeno relaciona su presi´ on, P (atm´ osferas), su temperatura,T (en Kelvin), y su volumen, V (en dećımetros c´ ubicos, dm3):

T = 16.574 1

V −.52754

1

V 2

+ .3879P + 12.187V P

a) Encuentra la temperatura T y la diferencial dT si el volumen es de 25dm3 y la presi´ on es de 1atm.

b) Utilice su respuesta al inciso a) para calcular cu´ anto tendŕıa que cambiar el volumen si la presi´ on aumenta en 0.1atm y la tempratura permanece constante.

De regla de la cadena

Ejercicio 42 Una cantidad de gas obedece la ley del gas ideal ( P V = kT ) con k = 1.2 y el gas est´ a encerradoen un recipiente que se calienta a una tasa de 3oK/min. Si en el instante en que la temperatura es de 300oK , la presi´ on es de 6atm y decre a la tasa de .1atm/min, calcule la tasa de variaci´ on del volumen en ese instante.

Ejercicio 43 En un instante dado, la longitud de un cateto de un tri´ angulo rect´ angulo es de 10cm y crece a la tasa de 1cm/min, y la longitud del otro cateto es de 12cm y decrece a una tasa de 2cm/min. Calcule la tasa de variaci´ on de la medida del ´ angulo agudo opuesto al cateto de 12cm en ese instante.

Ejercicio 44 Se introduce agua a un tanque que tiene forma de cilindro circular recto a una tasa de 4

3πm3/min.

El tanque se ensancha de modo que, aun cuando conserva su forma cilindrica, su radio se incrementa a un tasa de 0.2cm/min. ¿Qué tan r´ apido sube la superficie del agua cuando el radio es de 2m y el volumen del agua en el tanque es de 20πm3/min.

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De extremos relativos

Ejercicio 45 Determinar las dimensiones relativas de una caja rectangular, sin tapa que tiene un volumen de 32 unidades c´ ubicas, si se desea emplear la mı́nima cantidad de material en su elaboraci´ on.

Ejercicio 46 Determinar tres n´ umeros positivos cuya suma sea 24 de manera que su producto sea el mayor posible.

Ejercicio 47 Se elabora una caja rectangular cerrada con un volumen de 16f t3 empleando tres tipos de materiales.El costo del material para el fondo y la tapa es de $ 0.18 por pie cuadrado, el costo del material para el frente y la parte trasera es de $ 0.16 por pie cuadrado, y el costo del material para los otros dos lados es de $ 0.12 por pie cuadrado. Calcular las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea un mı́nimo.

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