Ejercicios de Criterio de Falla & Kirsch

Fundamentos de Geomecánica Ingeniería Civil de Minas

Preparado por Ivo Fritzler Universidad de Santiago de Chile

Clase de Ejercicios N°2

Prosecución de Estudios

Profesor : Cristián Orrego

Ayudantes : Ivo Fritzler, Víctor Yelicich

Fecha : Sábado 22 de octubre de 2016

1. Ejercicios

1.1. Soluciones Elásticas de Kirsch

a. Se está evaluando la construcción de dos acueductos emplazados 150 m bajo la superficie, con

la finalidad de transportar petróleo desde el sector de explotación a una planta de refinamiento,

las labores presentan un diámetro de 4 y 2 metros respectivamente, están paralelas entre sí,

son horizontales en dirección NS y a una distancia desde sus centros de 18 metros (H), a través

de estas se presenta una falla como se aprecia en la siguiente ilustración.

Ilustración 1 – Vista frontal acueductos de petróleo

Estimaciones preliminares del macizo rocoso indican que presenta una densidad de 2.65 t/m3

y un estado tensional hidrostático (asuma una gravedad de 10 m/s2), además para la falla se

ha determinado una cohesión de 4.6 MPa y un ángulo de fricción de 35°.

Se solicita determinar:

- Nuevo estado tensional en el punto P debido a excavaciones. (Puede apoyarse en la razón

de esfuerzos principales secundarios)

- Nuevo estado tensional en la falla y además determinar si esta se activará o no debido a

las labores realizadas.



b. Mediante el sistema de medición triaxial de esfuerzos Hollow Inclusion se ha determinado el

siguiente estado tensional, que representa los esfuerzos principales del sector estudiado:

Tabla 1 – Estado tensional a partir de medición HI

σx [MPa] σy [MPa] σz [MPa] τxy [MPa] τyz [MPa] τxz [MPa]

40 28 33 12 -8 6

En dicho sector, se requiere analizar la construcción de dos piques de traspaso, los cuales están

perpendiculares al plano horizontal, los centros de los piques se encuentran distanciados a 20

metros (H) alineados por un azimut de 115°, presentan diámetros de 5 metros y se emplazan a

300 m bajo la superficie, como se aprecia a continuación.

Ilustración 2 – Vista superior piques de traspaso

Referente al macizo rocoso, se estimó un peso unitario de 28.3 kN/m3 (asuma gravedad de 9.8

m/s2), además se determinó sus propiedades según Hoek & Brown, obteniendo los siguientes

valores mi=12, σci=40 MPa y se determinó un GSI de 75 para el macizo rocoso.


- Esfuerzos por excavaciones en pilar P según HI, ¿Cómo se comportan los esfuerzos?

- Si las razones de esfuerzo fuesen KNS=1.3, KEW=1.5, ¿Cuáles serían los nuevos esfuerzos in-

situ?, realice el mismo análisis para el pilar P, ¿Qué método es más conservador por HI o

el clásico?

- Estabilidad en el punto P.



1.2. Criterio de Falla

a. Para la realización de una nueva línea de metro, se está evaluando el estado tensional del sector,

para ello se tomaron muestras de testigos de roca del sector de interés los cuales se sometieron

a ensayos de Compresión Simple, Triaxiales y de Tracción indirecta como se aprecia en la Tabla

2, la excavación se emplaza a 200 metros bajo la superficie y el macizo presenta una densidad

de 2.7 t/m3, además se ha estimado un GSI de 60 a 80, el cual no presenta daños por voladura.

(asuma una gravedad de 10 m/s2).

Tabla 2 – Resultados Ensayos de Laboratorio

Ensayos de Tracción Indirecta

Ensayos de Compresión Simple

Ensayos Triaxiales

σ3 [MPa] σ1 [Mpa] Ruptura

TI Ruptura UCS Ruptura 7 160 M

12 M 154 M 7 162 M

10 M 132 E 10 184 M

13 M 160 M 12 92 M

8 E 158 M 16 250 M *M: Ruptura por Matriz, E: Ruptura por Estructura


- Envolvente de Hoek & Brown y Mohr-Coulomb para roca intacta.

- Determine las propiedades de Hoek & Brown para macizo rocoso.

- Envolvente de Hoek & Brown para macizo rocoso.

- Módulo de deformación para macizo rocoso.



b. Se ha realizado un estudio para determinar el comportamiento tensional de un talud, es por

esto que se han realizado una serie de ensayos como se aprecia en la tabla 3, dicho talud tiene

una altura de 150 metros, referente al macizo rocoso, densidad de 2.7 t/m3, presenta

estructuras rugosas y 4 familias estructurales, además de pequeños daños por tronadura.

(considere una gravedad de 9.8 m/s2)

Tabla 3 – Resultados de Ensayos a Talud

Ensayos de Tracción Indirecta

Ensayos de Compresión Simple

Ensayos Triaxiales

TI Ruptura UCS Ruptura σ3 [MPa] σ1 [Mpa] Ruptura

6 M 40 M 2 72 M

3 E 69 M 4 98 M

5 M 60 E 8 116 M

4 M 70 M 8 93 E

6 M 48 M 16 162 M

7 M 80 E 4 88 M

7 M 83 M 7 76 E

5 E 54 M 8 117 M

8 M 55 M 16 179 M *M: Ruptura por Matriz, E: Ruptura por Estructura


- Envolvente de Hoek & Brown y Mohr-Coulomb para roca intacta y macizo rocoso.

- Para la envolvente de Mohr-Coulomb de macizo rocoso determinar parámetros de

Cohesión y Fricción, además de la expresión en función de esfuerzos combinados (normal

y cortante).

- Módulo de deformación del macizo rocoso.

- Resistencia a la Tracción y Compresión Uniaxial del macizo rocoso.



2. Expresiones

2.1. Soluciones Elásticas de Kirsch

Esfuerzos in-situ

- Vertical o Litostático

σV = ρ ∙ g ∙ h

- Horizontal

σH = K ∙ σV

- Condición hidrostática

K = 1

Esfuerzos inducidos

- Por distancia “r”

σrr= (σx+σy)

2(1 −

a2

r2) +(σx−σy)

2(1 + 3

a4

r4 − 4a2

r2) cos 2θ

- Por ángulo “θ”

σθθ= (σx+σy)

2(1 +

a2

r2) −(σx−σy)

2(1 + 3

a4

r4) cos 2θ

- Por cortante “rθ”

σrθ= −(σx−σy)

2(1 − 3

a4

r4 + 2a2

r2) sin 2θ

Esfuerzos inducidos para condición hidrostática

- Por distancia “r”

σrr = σV (1+K

2) (1 −

a2

r2) − σV (1−K

2) (1 + 3

a4

r4 − 4a2

r2) cos 2θ

- Por ángulo “θ”

σθθ = σV (1+K

2) (1 +

a2

r2) + σV (1−K

2) (1 + 3

a4

r4) cos 2θ

- Por cortante “rθ”

σrθ = σV (1−K

2) (1 + 3

a4

r4 − 4a2

r2) sin 2θ

Rotación de esfuerzos

- Rotación “r”

σrr´= (σrr+σθθ)

2(1 −

a2

r2) +(σrr−σθθ)

2(1 + 3

a4

r4 − 4a2

r2) cos(2θ′)



- Rotación “θ”

σθθ´= (σrr+σθθ)

2(1 +

a2

r2) −(σrr−σθθ)

2(1 + 3

a4

r4) cos(2θ′)

- Rotación “rθ”

σrθ´= −(σrr−σθθ)

2(1 − 3

a4

r4 + 2a2

r2) sin(2θ′)

Principio de Superposición de esfuerzos

- Para esfuerzos normales

σind = σin situ + ∑(σindexc i− σin situ)

n

i=1

- Para cortantes

τind = τin situ + ∑(τindexc i− τin situ)

n

i=1

Esfuerzos principales

σP,Q =σx + σy

2± √((

σx − σy

2)

2

+ τxy2)

Razón de Anisotropía

σP

σQ

Factor de seguridad

FS =Fresistido

Faplicado=

σresistido ∙ A

σaplicado ∙ A

- Estabilidad en Fallas

FS =C + tan ϕ ∙ σn

τaplicado

- Estabilidad en Macizo Rocoso

FS =σ3 + σci (mb

σ3σci

+ s)a

σ1aplicado




Ensayos

Los ensayos que presenten ruptura por estructura deben ser descartados.

Deben presentar una correlación aceptable al momento de visualizarlo (graficar), los que se escapen de

la tendencia general deben ser descartados, si son demasiados y siguen una tendencia distinta, puede

significar que existe otra unidad geotécnica, se deberá realizar un estudio por separado en ese caso.

- Tracción Indirecta (TI)

Corrección

−0.77 ∙ TI

Equivale

σ3

- Compresión Simple o Uniaxial (UCS)

Equivale

σ1

- Triaxial

Equivale

σ1, σ3

Roca Intacta

- Criterio de Hoek & Brown

σ1′ = σ3′ + σci (mi

σ3′

σci+ 1)

0.5

Regresión lineal

(σ1 − σ3)2 = miσci ∙ σ3 + σci2

Correlación de datos

𝑟2 =[∑ 𝑥𝑦 − (

∑ 𝑥 ∑ 𝑦𝑛 )]

2

[∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2

𝑛 ] [∑ 𝑦2 − (∑ 𝑦)2

𝑛 ]

- Envolvente de Mohr-Coulomb

En función de esfuerzos combinados (normal y cortante)

τ = c + tanϕ ∙ σN



En función de esfuerzos principales

σ′1 =2 ∙ c ∙ cosϕ

1 − senϕ+

1 + senϕ

1 − senϕ∙ σ′3

Regresión lineal

σ1 = σcm + K ∙ σ3

σcm =2 ∙ c ∙ cosϕ

1 − senϕ, K =

1 + senϕ

1 − senϕ

Correlación de datos

𝑟2 =[∑ 𝑥𝑦 − (

∑ 𝑥 ∑ 𝑦𝑛

)]2

[∑ 𝑥2 − (∑ 𝑥)2

𝑛 ] [∑ 𝑦2 − (∑ 𝑦)2

𝑛 ]

Ángulo de fricción

ϕ = sin−1 (K − 1

K + 1)

Cohesión de partículas

c =σc𝑚

2√𝐾

Macizo Rocoso

- Criterio de Hoek & Brown

σ1′ = σ3

′ + σci (mb

σ3′

σci+ s)

a

Parámetros

mb = mi ∙ e(

GSI−10028−14D

), s = e

(GSI−100

9−3D), a =

1

2+

1

6(e

(−GSI

15)

− e(

−203

))

- Envolvente de Mohr-Coulomb

En función de esfuerzos combinados (normal y cortante)

τ = c′ + tanϕ′ ∙ σN

En función de esfuerzos principales

σ1′ =2 ∙ c′ ∙ cosϕ′

1 − senϕ′+

1 + senϕ′

1 − senϕ′∙ σ3′



σ′cm =2 ∙ c′ ∙ cosϕ′

1 − senϕ′, K´ =

1 + senϕ′

1 − senϕ′

σ′cm = σci ∙(mb + 4 ∙ s − a ∙ (mb − 8 ∙ s)) ∙ (

mb4

+ s)a−1

2 ∙ (1 + a) ∙ (2 + a)

Cohesión de partículas

c′ =σ′cm

2√K′

Ángulo de fricción

ϕ′ = sin−1 [6 ∙ a ∙ mb ∙ (s + mb ∙ 𝛔′𝟑𝐧)a−1

2 ∙ (1 + a) ∙ (2 + a) + 6 ∙ a ∙ mb ∙ (s + mb ∙ 𝛔′𝟑𝐧)a−1]

σ′3n =σ′3máx

σci

σ′3máx=

σci

4 …...[Caso general]

σ′3máx= 0.47 ∙ σ′cm ∙ (

σ′cm

γH)

−0.94 [Túneles]

σ′3máx= 0.72 ∙ σ′cm ∙ (

σ′cm

γH)

−0.91 [Taludes]

***Para Túneles, si 𝜎𝐻 > 𝛾 ∙ 𝐻 ⇒ reemplazar 𝛾 ∙ 𝐻 por 𝜎𝐻 en 𝜎′3𝑚á𝑥***

- Módulo de deformación

Em[GPa] = (1 −D

2) √

σci

10010

(GSI−10

40), si σci ≤ 100 MPa

Em[GPa] = (1 −D

2) 10

(GSI−10

40), si σci > 100 MPa

- Resistencia a la tracción

σt = −sσci

mb

- Resistencia a la Compresión Simple o Uniaxial

σc = σcisa



Tablas

Geological Strength Index (GSI), Hoek & Marinos



Blast Damage Factor D, Evert Hoek



3. Terminología

3.1. Soluciones elásticas de Kirsch

σV: Esfuerzo vertical o Litostático [MPa]

σH: Esfuerzo horizontal [MPa]

K: Razón esfuerzos horizontal-vertical [Adim.]

g: Gravedad [m/s2]

𝝆: Densidad de la roca [t/m3]

σx,y: Esfuerzos in situ [MPa]

σrr,θθ,rθ: Esfuerzos inducidos por distancia r, ángulo θ y

cortante rθ respectivamente [MPa]

σrr,θθ,rθ′: Esfuerzos inducidos rotados [MPa]

a: Radio de la excavación [m]

r: Distancia “r” desde centro de excavación a punto de

interés [m]

σ, τind: Esfuerzo normal y cortante inducidos por excavación

respectivamente [MPa]

σ, τin situ: Esfuerzos in situ, naturales o pre minería [MPa]

σP,Q: Esfuerzos principales máximo y mínimo

respectivamente [MPa]

FS: Factor de seguridad, permite determinar qué tan

estable es un sector [1<inestable, 1=incertidumbre,

1>estable]


TI: Ensayo de Tracción Indirecta [MPa]

UCS: Ensayo de Compresión Simple o Uniaxial [MPa]

σ1,3: Esfuerzos Principales [MPa]

σ1,3′: Esfuerzos Principales en función de una envolvente

(variables) [MPa]

σci: Resistencia a la compresión uniaxial para roca intacta

[MPa]

mi: Constante del tipo de material [Adim.]

a, s: Constantes del macizo rocoso [Adim.]

σN: Esfuerzo normal [MPa]

τ: Esfuerzo de corte [MPa]

c: Cohesión de Partículas [MPa]

c′: Cohesión de Partículas a nivel de macizo rocoso

[MPa]

ϕ: Ángulo de fricción a escala roca intacta [°]

ϕ′: Ángulo de fricción a escala macizo rocoso [°]

σcm: Resistencia a la compresión uniaxial global para roca

intacta [MPa]

σ′cm: Resistencia del macizo rocoso global [MPa]

mb: Valor reducido de la constante mi [Adim.]

K: Constante en función de ángulos de fricción para roca

intacta [Adim.]

K′: Constante en función de ángulos de fricción para

macizo rocoso [Adim.]

GSI: Índice que califica calidad de macizo rocoso

D: Factor que depende de calidad de macizo rocoso y

tronadura

σ′3n: Constante que varía según tipo de excavación [Adim.]

σ′3máx: Límite superior del esfuerzo de confinamiento [MPa]

γ: Peso unitario de la roca [kN/m3]

H: Altura o profundidad de talud o excavación

respectivamente [m]

σt: Resistencia a la tracción para macizo rocoso [MPa]

σc: Resistencia a la compresión uniaxial para macizo

rocoso [MPa]

Em: Módulo de deformación para macizo rocoso [GPa]

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