REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

FACULTAD DE INGENERIA

STALIN GUEDEZ

PABLO PERAZA

Solución de los Ejercicios

Ejercicios de Distribución Binomial

Nº 1:

De 20 pernos 5 están malos. Si selecciono 4 al azar. ¿Cuál es la probabilidad que estos estén bien

P=20−520=0.75, si 4 están bien es

P (X=4)=20 !

4 !∗(20−4 )!∗(0.75)4∗(1−0.75)20−4= 0,000000356927

Nº 2:

En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección:

1.- Cual es la probabilidad de que tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

P(A U B)= 0.05+0.1- 0.05*0.1= 0.145P [X=3 ]= 5 !

3 !∗(5−3 )!∗(0.145 )4∗(1−0.145 )5−3=0.2228621091

2.- cual es la probabilidad de que por lo menos uno de los conductores haya cometido alguna de las infracciones.

p [almenos1 ]=1−( 5 !0 !∗(5−0 ) !

∗(0.145 )0∗(1−0.145 )5)=0.5430900942

Nº 3

Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que contestar SI o NO. Suponiendo que a las personas que se le aplican no saben contestar a ninguna de las preguntas y, en consecuencia, contestan al azar, hallar:

1er Suceso= acertar la pregunta; p=p(1er)=0.52do Suceso= no acertar la pregunta; q=q(2do)=0.5

a) Porcentaje de obtener cinco aciertos.

P[X=5]= 10 !

5!∗(10−5 ) !∗(0.5 )5∗(0.5 )10−5=0,2461

b) Probabilidades de acertar.

P[X≥1]= P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]+P[X=4]+P[X=5]+P[X=6]+P[X=7]+P[X=8]+P[X=9]+P[X=10]

Lo haremos para el suceso contrario

P[X≥1]=1-P[X=0], calcularemos el porcentaje de no tener ningún acierto P[X=0]

P [X=0 ]= 10 !0! (10−0 ) !

∗(0.5 )0∗(0.5 )10=0.0010

Así

P[X≥1]= 1-P[X=0]= 1-0.0010= 0.999

c) Porcentaje de obtener al menos cinco aciertos.

P[X≥5]= P[X=5] +P[X=6]+P[X=7] +P[X=8] +P[X=9] +P[X=10]P[X≥5]= 0.2461+0.2051+0.1172+0.0439+0.0098+0.0010= 0.6231

Nº 4:

Calcule la probabilidad de que una familia que tiene cuatro hijos, tres de ellos sean niños.

Suceso A sean Niños; p[A]=0.5=pSuceso Ä sean Niñas; q[Ä]=0.5=q

P[X=3]= 4 !

3!∗(4−3 ) !∗(0.5 )3∗(0.5 )4−3=0.25

Distribución Hipergeométrica

Nº 1:

Una caja contiene 9 baterías de las cuales 4 están en buen estado y las restantes defectuosas. Se toma una muestra eligiendo al azar tres baterías. Calcule la probabilidad que en una muestra se obtengan,

N=9 (total de elementos)

K=4 (total de elementos considerados ‘éxitos’)

n=3 (tamaño de la muestra)

X: cantidad de baterías en buen estado en la muestra (variable aleatoria discreta)

a) Ninguna batería en buen estado

P[X=x]=

P[X=0] = = 0.119

b) Al menos una batería en buen estado

P[X³1] = 1–P[X=0]= 1 - 0.119 = 0.881

c) No más de dos baterías en buen estado.

3210x

3

9x3

49

x

4

,,,,

3

903

49

0

4

P[X£2] = P[X=0]+P[X=1]+P[X=2]= 0.9523

Nº 2:

Se selecciona al azar un comité de cinco personas entre tres químicos y cinco físicos. Calcular la distribución de probabilidad para el número de químicos en el comité.

P[X=0]=(30)(55)(85)

= 156

=0.017857

P[X=1]= (31)(54)(85)

=1556

=0.267857

P[X=2]= (32)(53)(85)

=3056

=0.535714

P[X=3]= (33)(52)(85)

=1056

=0.178571

Nº 3:

Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selección de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?

P[X=1]= (31)(374 )(405 )

=0.3011

Nº 4:

Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo

(a)¿cuál es el porcentaje de que todas sean del proveedor local?

P[X=4]= (1004 )(2000 )

(3004 )=0.0119

(b)¿Cuál es el porcentaje de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?

P[X≥2]=(1002 )(2002 )

(3004 )+(1003 )(2001 )

(3004 )+

(1004 )(2000 )(3004 )

P[X≥2]

¿0.298+0.098+0.0119=0.408

(c) ¿Cuál es el porcentaje de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

P[X≥1]=1-P[X=0]=1-(1000 )(2004 )

(3004 )=0.196

Distribución de Poisson

Nº 1:

La cantidad de errores de transmisión de datos en una hora es 5 en promedio. Suponiendo que tiene distribución de Poisson, determine la probabilidad que:

a) En cualquier hora ocurra solamente 1 errorb) En cualquier hora ocurran al menos 3 errores

c) En dos horas cualesquiera ocurran no más de 2 errores.

Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de errores por hora)λ= 5 (promedio en 1 hora)

a. P[X=1] =51e−5

1 !=0.0337

b. P[X≥3]=1-P[X≤2]= 1-(P[X=0]+P[X=1]+P[X=2])= 1-0.1247= 0.8743

c. Sea X: variable aleatoria discreta (cantidad de errores en 2 horas)

λ=10 (promedio de 2 horas)P[X≤2]= P[X=0]+P[X=1]+P[X=2]

= 100 e−10

0 !+10

1e−10

1!+ 10

2 e−10

2 !=0.0028

Nª 2:

Supongamos que el número de imperfecciones en un alambre delgado de cobre sigue una distribución Poisson con una media de 2.3 imperfecciones por milímetro.

(a) Determine el porcentaje de 2 imperfecciones en un milímetro de alambre.

E(x)=2.3 imperfecciones

P[X=2]=e−2.33∗32

2 !=0.265

(b) Determine el porcentaje de 10 imperfecciones en 5 milímetros de alambre.

Sea que X denote el número de imperfecciones en 5mm de alambre. Entonces, X tiene una distribución de Poisson conE(x )=5mmx 2.3 imperfecciones

mm=11.5 imperfecciones

Por lo tanto, P[X=10]= e−11.5∗11.510 !

=0.113

(c) Determine el porcentaje de al menos una imperfección en 2mm de alambre.

Sea que X denote el número de imperfecciones de 2mm de alambre. Entonces X tiene una distribución de Poisson conE(x )=2mmx 2.3 imperfecciones

mm=4.6 imperfecciones

Por lo tanto, P[X≥1]= 1-P[X=0]= 1-e4.6=0.9899

Nº 3:

La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico. El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1. El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados.

(a) Encuentre el porcentaje de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.Sea que X denote el número de partículas en el área de un disco bajo estudio. Puesto que el numero promedio de partículas es de 0.1 partículas por c m2

E(x )=100cm2 x0.1 particulascm2

=10 particulas

Por lo tanto

P[X=12]=e−101012

12 !=0.095

(b) el porcentaje de que ocurran cero partículas en el área del disco bajo estudio.P[X=0]=e−10=4.54 x10−5

(c) Determine la probabilidad de que 12 o menos partículas ocurran en el área del disco bajo estudio.

P[X≤12]= P[X=0]+P[X=1]+…+P[X=12]= ∑i=0

12e−1010 i

i !

Nª 4:

Las lesiones laborales graves que ocurren en una planta siderúrgica, tienen una media anual de 2,7. Dado que las condiciones de seguridad serán iguales en la planta durante el próximo año, ¿cuál es la probabilidad de que el número de lesiones graves sea menor que dos?

El evento de que ocurrirán menos de dos lesiones graves, es el evento que X=0 o bien que X=1, por lo tanto

P[X<2]=p[1] en donde p(x)= (2.7 ) xe−2.7

x

Sustituyendo en la formula para p(x), obtenemos:

P[X<2]=p[0]+p[1]= (2.7 )0 e−2.7

0+

(2.7 )1e−2.7

1=0.249