UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAOFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA - ENERGIA

PRACTICA DIRIGIDA DE ESTADISTICAEJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE V.A. DISCRETAS

Prof. V.Contreras T.

1. Se realiza el experimento de Bernoulli hasta que ocurra exito (de pro-babilidad p). Suponga que las repeticiones son independientes.

a) Halle la probabilidad de uq se requiera un numero impar de tira-das(en funcion de p).

b) Halle el valor de p, de modo que la probabilidad de que se requieraun numero impar de tiradas sea 0,6.

2. Una maquina utiliza tres componentes identicas que trabajan en formaindependiente. La probabilidad de que falle cada componente es 0.1 yestas se cambian por nuevas una sola vez.

a) Obtenga la distribucion de probabilidades del numero de compo-nentes que podrıan fallar en la maquina.

b) Un usuario que utiliza la maquina recibe una utilidad constantediaria de 100 soles y una utilidad variable de 10 soles por cadacomponente que no falla, pero, pierde 50 soles por cada compo-nente que falla. Calcule la utilidad esperada diaria del usuario.

3. La pequena empresa ”Juguetes ecologicos.empaca su produccion en lotesde 5unidades. Antes de sacar al mercado la empresa realiza un controltotal de calidad de cada lote a un costo de 5 u.m. Si cada unidad lecuesta producir 10 u.m, lo vende a 25 u.m.y reemplaza en el lote elnumero X de las unidades defectuosas que encuentra y si el porcentajede produccion defectuosa es 10%,

a) ¿Cuantas unidades defectuosas espera encontrar por lote?. Inter-prete su respuesta.

b) ¿Cuanto es la utilidad esperada de la empresa por lote?.

4. Debido a que no todos los pasajeros que hacen una reservacin se presen-tan, una aerolınea vende 125 asientos para un vuelo con capacidad parasolo 120 pasajeros. La probabilidad de que un pasajero no se presentees 0,1 y el comportamiento de los pasajeros es independiente

a) ¿Cual es la probabilidad de que todos los pasajeros que se presen-ten puedan tomar el vuelo?

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b) ¿Cual es la probabilidad de que el vuelo parta con asientos vacios?

5. Una companıa alquila computadoras por periodos de tiempo de t horas,por lo cual recibe 600 dolares por hora. El numero de veces que unacomputadora falla en t horas es una v.a. con distribucion de Poisson conµ = 0, 8t. Si una maquina falla x veces en t horas, el costo de reparaciones 50x2 dolares. ¿Que valor de t maximiza su utilidad esperada?

6. Las unidades producidas por dos maquinas A y B, en igual propor-cion, llegan a una bandeja de control. El 3% y el 1% de las unidadesproducidas respectivamente por A y B son defectuosas. Un ingenierocontrola la calidad del producto revisando una por una (sin devolucion)las unidades de la bandeja.

a) ¿Que probabilidad hay de que la decima unidad controlada sea laprimera defectuosa?.

b) ¿Cuantas unidades en promedio controla hasta que aparece la pri-mera defectuosa?.

c) ¿Que probabilidad hay de que la decima unidad controlada sea latercera defectuosa?.

d) Si el ingeniero controla las unidades antes que caigan a la bandeja,calcule la probabilidad de que la primera defectuosa encontradasea la cuarta de A y la sexta de B?.

7. El proceso de produccion de un bien se debe detener tan luego produzcala primera unidad que no cumpla con las especificaciones establecidas.Se estima en 0.99 la probabilidad de que una unidad producida cumplalas especificaciones. Si el objetivo es producir 150 unidades del bien demanera que cumplan con las especificaciones.

a) ¿Que probabilidad hay de lograr el objetivo?.

b) Si despues de producir 100 unidades del bien aun no se ha detenidoel proceso, ¿con que probabilidad se lograrıa el objetivo?.

8. Un sistema electrico consiste de 6 componentes conectados en serie, esdecir, el sistema funciona si todos las componentes funcionan. Si lascomponentes del sistema se seleccionan al azar de un lote de 20 quecontiene tres que no funcionan.

a) Describa el modelo de probabilidad del numero posible de compo-nentes que no funcionan de los 6 escogidos y calcule la probabilidadde que el sistema no funcione.

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b) ¿Cuanto serıa el costo esperado del sistema si cada componentetiene un costo de 4 unidades monetarias (u.m.) y si cada compo-nente que no funcionan de los 6 seleccionados se cambia por unodel lote que si funciona a un costo adicional de 1,5 u.m.?

9. Para tomar la decision de aceptar o rechazar lotes que contienen 20unidades de un producto se toman tres unidades al azar del lote, simas de una unidad es defectuosa se rechaza el lote, si las tres no sondefectuosas se acepta el lote y si una es defectuosa se toman otras dosunidades al azar de las 17 que quedan. Esta vez, si alguna es buenase acepta el lote, de otro modo se rechaza. Si se controla un lote quecontiene 4 unidades defectuosos (se desconoce este hecho),

a) Obtenga la distribucion de probabilidades del numero de defectuo-sos en el primer y en el segundo control. ¿Con que probabilidadse acepta el lote?. Aplique un diagrama de arbol para la solucion.

b) Si se rechaza el lote, ¿con que probabilidad esto ocurra en el se-gundo control?

10. Un artillero dispara a un blanco y sale que la probabilidad de acer-tar es p = 0, 01 ¿Cuo’antos disparos tendra que hacer para tener unaprobabilidad mayor que 90% de dar en el blanco por lo menos unavez?.

11. Solo uno de cada mil generadores ensamblados en una fabrica tienenunidades defectuosas y los generadores defectuosos se distribuyen alea-toriamente e independientemente a traves de la produccion.

a) ¿Cual es la probabilidad de que en un embarque de 500 generado-res no contenga ningun generador defectoso?

b) ¿Que en un embarque de 100 haya por lo menos un generadordefectuoso?

12. La ”Companıa Petrolera” ha sido designada para perforar pozos en laamazonia peruana hasta obtener un resultado exitoso. La Companıaestima en 0,7 la probabilidad de no hallar petroleo por cada pozo queperfora.

a) ¿Suponga que la Companıa Petrolera cree que una serie de explo-raciones sera rentable si el numero de pozos perforados hasta queocurra el primer exito es menor o igual que 5. Calcule la probabili-dad de que la exploracion no sera rentable si ya fueron perforados3 pozos y en ninguno de ellos se encontro petroleo.

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b) El costo para perforar cada pozo es de 10 000 dolares. Si un ensayono resulta exitoso, el siguiente ensayo tiene costo adicional de 5000 dolares. ¿Cuanto es el costo esperado del proyecto?

c) Si la Companıa dispone de un presupuesto de 145 000 dolares ,¿cual es la probabilidad de que los trabajadores experimentalestengan un costo que sobrepase el presupuesto de la Companıa?

13. Un sistema de comunicaciones recibe mensajes digitales de ceros y unos.Cada dıgito del mensaje puede ser recibido como correcto o incorrecto.La probabilidad de recibir un dıgito incorrecto es 0,01 y los dıgitos dereciben de manera independiente.

a) ¿Con que probabilidad un mensaje de 10 dıgitos binarios se recibeincorrectamente?

b) Si el sitema recibiera 15 mensajes de 10 dıgitos cada uno, ¿cuales la probabilidad de que al menos 12 de ellos se reciban correc-tamente?

c) Si un mensaje se recibe de forma incorrecta, se repite el enviohasta que sea recibido correctamente. ¿Con que probabilidad unmensaje de 10 dıgitos binarios es correctamente recibido en elcuarto intento?

d) Calcule el costo esperado del numero de mensajes de 10 dıgitosque se envian al sistema hasta conseguir el mensaje correcto sieste proceso se repite 3 veces y si el costo de los 3 procesos, endecimos soles, es igual al cuadrado del numero de intentos.

14. En una autopista pasan, en promedio 180 vehıculos por hora. Se deseaobtener la distribucion de probabilidad del tiempo, en minutos, entredos vehıculos consecutivos. Si un peaton necesita 20 segundos paracruzar la pista, calcular la probabilidad de que sea capaz de hacerloentre los dos proximos vehıculos.

15. Un fabricante ofrece el artıculo que produce en lotes de 10 unidades,de las cuales el 80% esta en buenas condiciones. El comprador planteasometer el lote a una prueba que consiste en sacar al azar dos artıculosdel lote y si estan en buenas condiciones los dos, compra el lote; encaso contrario, lo rechaza. El costo de produccion y “puesta en tienda”de cada lote es de 800 soles. Cuando se vende el lote se obtiene unautilidad de 300 soles.

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a) Se desea expresar la ganancia neta por lote como funcion de lav.a.X que toma el valor de 1 si se vende el lote y toma el valor decero caso contrario.

b) Si cada dıa el fabricante ofrece 15 de estos lotes, ¿cual es el numeroesperado de lotes que vende?

16. Una maquina que produce cierto tipo de objeto se apaga automatica-mente cuando ha llegado a producir el 5to defectuoso. Si la probabilidadde que cada objeto producido sea defectusos es 0,05. ¿Cual es la proba-bilidad de que la maquina se apague cuando ha producido 12 objetos?

17. Se estima que el 30% de electores de una determinada ciudad votaranpor el candidato HML. En una encuesta realizada en tal poblacion,

a) ¿Cual es la probabilidad de que la sexta persona encuestada seala 4ta que votara por HML?

b) ¿Cuantas personas en promedio se deben encuestar hasta tener 12que votaran por HML?

18. Una firma comercializadora de parquet recibe un lote grande de parqueten parquets de 120 unidades cada una. Un paquete es rechazado si alrevisar 10 unidades de parquet elegidos al azar una a una sin reposicionse encuentran 3 o mas defectuosos. Calcule la probabilidad de que unpaquete sea aceptado si este contiene 20% de defectuosos.

a) A partir de la verdadera distribucion del numero de objetos de-fectuosos que se encuentra en la revision.

b) Utilizando una aproximacion adecuada.

19. Suponga que el numero de accidentes de trabajo que se producen porsemana en una fabrica sigue la ley de Poisson de manera que la proba-bilidad de que se ocurran 2 accidentes es igual a 2/3 de la probabilidadde que ocurra un accidente. Calcule la probabilidad de que no ocurranaccidentes en 3 semanas consecutivas.

20. Las fallas superficiales en ciertas placas de metal siguen una distribu-cion de Poisson con una media de 0,04 fallas por placa. Una empresasolicita un pedido grande de estas placas al fabricante y puede seguiruno de los siguientes procesos de inspeccion.

Proceso 1: Inspecciona 35 placas al azar y si encuentra menos de3 con fallas acepta el pedido.

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Proceso 2: Inspecciona una por una las placas y si encuentra latercera 3 placa con falla en la inspeccion 25, detiene la inspecciony rechaza el pedido.

¿Con cual de estos dos procesos es mas probable que rechace el pedido?

21. 2 Las fallas en los rollos de tela de algodon de la empresa ”TextilesP&C”se producen a traves de un proceso de Poisson y con una tasade de faila de λ = 0, 05 por metro. El control de calidad de los rollosde 100 metros, consiste en escoger de cada rollo una seccion al azarde 20 metros de longitud, si esta contiene mas de una falla, el rollosera reemplazado por uno nuevo. En caso contrario el rollo pasara elcontrol y se vendera en el mercado.

a) ¿Que probabilidad existe de que pase el control un rollo que con-tiene 2 errores?

b) Cada rollo tiene un costo de produccion de 100 dolares y se vendeen el mercadoa a 200 dolares. La empresa garantiza restituir todorollo que contenga no cumpla las especificaciones de control (esdecir, que tenga mas de 5 fallas) y mas aun indemnizar por estemotivo al consumidor con 20 dolares. Halle la utilidad esperadaque generaran los rollos que tienen tres fallas.

22. Uno de los productos principales de la empresa .Algodon H&A.es unatela que saca al mercado en rollos de 60 metros de longitud, donde, elnumero de puntos fallado de la tela se distribuyen de acuerdo al modelode probabilidad de Poisson con una tasa de falla de uno por cada 10metros. El control de calidad de la tela consiste en selcccionar al azarde cada rollo una seccion de 5 metros de longitud concluyendo que elrollo no cumple las especificaciones y por lo tanto es rechazado, si enesta seccion se halla mas de un punto fallado. Si un consumidor de estatela recibe 200 rollos de 60 metros cada uno, y aplica el procedimientode control indicado.

a) ¿Cuantos rollos que cumplen las especificaciones se rechazaran?.

b) ¿Cuantos rollos pasaran el control, si cada uno tiene 7 defectos?

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