MEDIAS MUESTRALES1.DISTRIBUCIONES DE LA MEDIA MUESTRAL:

EJERCICIO Nº 01:

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

Solución:

Este valor se busca en la tabla de z

La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16 focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.

EJERCICIO Nº 02:

Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:

a. El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros. b. El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.

Solución:

Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo en cada inciso.

a.

(0.7607)(200)=152 medias muestrales.

b.

(0.0336)(200)= 7 medias muestrales

2.DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS

EJERCICIO Nº 01

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y su desviación estándar es de 12.247 libras. Si representa el promedio de los pesos de 20 niños y es el promedio de los pesos de una muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 20 libras más grande que el de las 25 niñas.

Solución:Datos:

1 = 100 libras2 = 85 libras1 = 14.142 libras

2 = 12.247 librasn1 = 20 niños n2 = 25 niñas

= ?

Por lo tanto, la probabilidad de que el promedio de los pesos de la muestra de niños sea al menos 20 libras más grande que el de la muestra de las niñas es 0.1056.

EJERCICIO Nº 02Uno de los principales fabricantes de televisores compra los tubos de rayos catódicos a dos compañías. Los tubos de la compañía A tienen una vida media de 7.2 años con una desviación estándar de 0.8 años, mientras que los de la B tienen una vida media de 6.7 años con una desviación estándar de 0.7. Determine la probabilidad de que una muestra aleatoria de 34 tubos de la compañía A tenga una vida promedio de al menos un año más que la de una muestra aleatoria de 40 tubos de la compañía B.Solución:

Datos:A = 7.2 años B = 6.7 añosA = 0.8 añosB = 0.7 años

nA = 34 tubosnB = 40 tubos

= ?

EJERCICIO Nº 3Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina, encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en 35 autos y la segunda en 42 autos.

a.¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina de un rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda gasolina?

b.¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y 0.83km/L a favor de la gasolina 1?.

Solución:En este ejercicio no se cuenta con los parámetros de las medias en ninguna de las dos poblaciones, por lo que se supondrán que son iguales.

Datos:1 = 1.23 Km/Lto

2 = 1.37 Km/Lton1 = 35 autos n2 = 42 autos

a. = ?

b. ?

La probabilidad de que la diferencia en rendimientos promedio en las muestras se encuentre entre 0.65 y 0.83 Km/Lto a favor de la gasolina 1 es de 0.0117.

3.DISTRIBUCION NORMAL DE LA PROPORCION:

EJERCICIO Nº 01:

En una determinada población el 30% votarían por el partido X en caso que se celebrasen las elecciones el día de mañana. Si seleccionamos al azar a una muestra de 200 personas y las encuestamos, obtenga la probabilidad de que las personas que expresen esa intención de voto superen el 38%.

SOLUCION

p= 0.3 q=0.7 n=200 Hallar: P (p > 0.38)

p N (0.3 ; (0.3*0.7)/200) z = (0.38 – 0.30)/(√(0.3*0.7)/200) = 2.47

P (p >0.38) = P (z ≥ 2.47) = 1 – P (z ≤ 2.47) = 1 – 0.99324 = 0.00676

RESPUESTA: P (p > 0.38) = 0.00676

EJERCICIO Nº02

Supongamos que con una terapia para tratar “el miedo a volar en avión” se recupera el 80% de los pacientes. Si seleccionamos al azar 16 pacientes que han acudido a la consulta de un psicólogo clínico con este tipo de fobia ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 12 se hayan recuperado y puedan tomar aviones? 0.798 ….0.791

SOLUCIÓNp= 0.8 q=0.2 n=16 Hallar: P (p ≥ 0.75)

p N (0.8 ; (0.8*0.2)/16) z = (0.75 – 0.8 – (1/2*16))/√(0.8*0.2)/16 = -0.81

P (p ≥ 0.75) = P (z ≥ -0.81) = 1 - P (z ≤ -0.81) = 1 – 0.20897 = 0.79103

RESPUESTA: P (p ≥ 0.75) = 0.79103

4. DISTRIBUCION NORMAL DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES: EJERCICIO Nº 01:

En dos grandes empresas se lleva a cabo un estudio sobre la proporción de mujeres entre sus empleados diplomados y licenciados. De cada empresa se toma una m.a.s. de 40 empleados entre los diplomados y licenciados, obteniéndose que en la empresa A había 16 mujeres y en la empresa B, 22 mujeres. Obtener el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales al nivel de confianza 0'96 ¿Podemos pensar que la proporción es la misma?

Sustituyendo en el intervalo:

=[−0 ' 15−0 ' 2265 ,−0 ' 15+0 ' 2265 ]=[−0 ' 3765 ,0 ' 0765 ]El intervalo contiene al cero, pero el extremo inferior se aleja bastante de cero.

5. DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL: EJERCICIO Nº 01

Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.

Solución:Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

EJERCICIO Nº 02:

Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza , tenga una varianza muestral:

a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745

Solución.

a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05

b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:

Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

ESTIMACION DE PARAMETROS1.ESTIMACIÓN DE LA MEDIA POBLACIONAL: POBLACIÓN MUESTRA

1.1 Estimación interválica o confidencial

EJERCICIO Nº01

Deseamos valorar el grado de conocimientos en Historia de una población de varios miles de alumnos. Sabemos, por estudios anteriores, que la desviación típica poblacional es =2,3. Nos proponemos estimar pasando una prueba a 100 alumnos. La media de esta muestra de 100 alumnos ha resultado ser =6,32. Halla el intervalo de confianza de con un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Puesto que n=100, sabemos que .

Esto quiere decir, que aunque no sabemos el valor de , “podemos asegurar que estará entre 5,87 y 6,77 con una probabilidad del 95%”. Al radio del intervalo de confianza, L, se le llama error máximo admisible; en el ejemplo anterior es L=0,45.

Notas:

Para un tamaño muestral fijado, podemos rebajar el error máximo admisible a costa de rebajar el nivel de confianza.

Si lo que queremos es mantener fijo el nivel de confianza y rebajar el error, tendremos que aumentar el tamaño de la muestra.

EJERCICIO Nº 02:

En el ejemplo anterior, y manteniendo el nivel de confianza en el 95%, ¿cuál ha de ser el tamaño de la muestra para que el error máximo admisible sea L=0,20?

Solución:

Si el intervalo de confianza ha de ser [ x -0,20, x +0,20], entonces, como 2,3,X Nn

,

2,3, , 0,23100

X N N

6,32 6,32(6,32 6,32 ) 0,95 ( ) 0,950,23 0,23 0,23

( ) 0,95 ( (0,1)) ( ) 0,975 1,96 ( )0,23 0,23 0,23 0,231,96 0,23 0,45 , int

L X LP L X L P

L L L LP Z donde Z N P Z ver tabla

L con lo que el ervalo de confianz

, 95%, y según esta muestra, [6,32 0,45;6,32 0,45] [5,87;6,77]

a para ales

0,20 0,20( 0,20 0,20) 0,95 0,952,3 2,3

0,20 0,200,975 1,96 ( )2,3 2,3

0,20 1,96 2,31,96 2,54 5082,3 0,20

P x X x P Z

n n

P Z ver tabla

n n

n n n

EJERCICIO Nº 03:

Queremos saber la media de km recorridos por los taxistas de cierta población. Sabemos por estudios anteriores que = 2.250 km. Para ello, elegimos una muestra de 100 taxistas y obtenemos una media muestral x =15.200 km.

a) Determina el intervalo de confianza al 99% para . b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error no supere los 500

km con la misma confianza del 99%?Solución:

Puesto que n=100 (30), sabemos que 2.250, , 225

100X N N

.

) (15.200 15.200 ) 0,99 ( ) 0,99225 225

( ) 0,995 2,575 ( ) 579,225 225

int , 99%, y según esta muestra, [14.621;15.779]

L La P L X L P Z

L LP Z ver tabla L

con lo que el ervalo de confianza para al es

b) Si el I.C. ha de ser [ x -500, x +500], entonces, como,

2. ESTIMACIÓN DE PROPORCIÓN POBLACIONAL

2.1 Estimación puntual

EJERCICIO Nº 01:

Uno de los líderes de un colectivo laboral desea plantear una cuestión a todos los miembros del grupo. Si más de la mitad respondieran NO entonces preferiría no plantearla para no

2.250,X Nn

500 500( 500 500) 0,99 0,992.250 2250

500 500( ) 0,995 2,575 ( )2.250 2.2502,575 2.250 11,59 134,32 135

500

P x X x P Z

n n

n nP Z ver tabla

n n n

minar su prestigio. Para salir de dudas, elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y sólo 30 responden NO. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera proporción al nivel del 95%?Como el tamaño muestral es grande, podemos aplicar el teorema central el límite. Tenemos

Sustituyendo los valores en el intervalo correspondiente:

Por tanto, la verdadera proporción está en el intervalo 0 ' 2102, 0 ' 3898 con un nivel de confianza del 95%.

EJERCICIO Nº02:

Se elige una muestra de la producción fitoplanctònica en un estanque, durante el mes de mayo de 1999 (fertilizada con nutrilake y superfosfato triple de fósforo SPT) estime la proporción de días cuya producción de clorofila oscila de 12500 a 37250. Para = 98ال .La información es la siguiente: n = 24; N = 50

15000, 37500, 50000, 37250, 25000, 12500, 37250, 37500, 25000, 43750, 37500, 25000, 6250, 12500, 15000, 43750, 32500, 25000, 10000, 43750, 37500, 25000, 12500, 6250.

Calculamos la proporción muestral: p = nx

donde x = nº de elementos que cumplen con la característica en estudio.

p = 67.0

2416

x= nº de días cuya producción de clorofila oscila de

12500 a 37250.

P: 12/

N

nNzp 67.0ˆ pP

Q= 1- p = 1 – 0.67 = 0.33

2/Z7900.0

298.0

2

Tabla normal = z = 2.33

1 0 ' 951 2 0 ' 975 z 1

2

1 ' 96

0 ' 3 1 ' 96 0 ' 3 0 ' 7 100 , 0 ' 3 1 ' 96 0 ' 3 0 ' 7

100

0 ' 2102, 0 ' 3898

P: 1502450

24)33.0)(67.0(33.267.0

0.67 0.16

0.67 – 0.16 , 0.67 + 0.16

0.51 , 0.83P ( 83.051.0 p ) = 0.98

Al 0.98 de confiabilidad, la proporción de días cuya producción de clorofila oscila de 12500 - 37250 oscila de 0.51 - 0.83

Estimacion intervalica

EJERCICIO Nº 01:

Una compañía que fabrica pastelillo desea estimar la proporción de consumidores que prefieran su marca. Los agentes de la compañía observan a 450 compradores, del número total observado 300 compraron los pastelillos. Calcule un intervalo de confianza del 95% para la venta de la proporción de compradores que prefieren la marca de esta compañía.

SOLUCION

n= 450 IC= 0.95 a= 300 α= 1 – 0.95 = 0.05

P (zα/2) = 0.975 zα/2 = 1.96

p= 300/450 = 0.67 q= 1 – 0.67 = 0.33

P [(0.67 – 1.96*√(0.67*0.33)/450 < p̑ < 0.67 + 1.96*√(0.67*0.33)/450)] = 0.95

P (0.578 < p̑ < 0.762) = 0.95

INTERPRETACION: La proporción de compradores que prefieren los pastelillos oscila entre [0.578 – 0.762] para una confianza del 95%

EJERCICIO Nº 02:

Uno de los líderes de un colectivo laboral desea plantear una cuestión a todos los miembros del grupo. Si más de la mitad respondieran NO entonces preferiría no plantearla para no minar su prestigio. Para salir de dudas, elige aleatoriamente a 100 trabajadores a los que hace la pregunta y sólo 30 responden NO. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera proporción al nivel del 95%?

SOLUCION:

n= 100 IC= 0.95 a= 30 α= 1 – 0.95 = 0.05

P (zα/2) = 0.975 zα/2 = 1.96

p= 30/100 = 0.3 q= 1 – 0.3 = 0.7

P [(0.3 – 1.96*√(0.3*0.7)/100 < p̑ < 0.3 + 1.96*√(0.3*0.7)/100)] = 0.95

P (0.2102 < p̑ < 0.3898) = 0.95

INTERPRETACION: La verdadera proporción oscila en el intervalo [0.2102 – 0.3898] para un nivel de confianza del 95%.

3.ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES

3.1 Estimación puntual

EJERCICIO Nº 01:

Se comparan dos tipos de rosca de tornillo para ver su resistencia ala tensión. Seprueban 50 piezas de cada tipo de cuerda bajo condiciones similares, la marca A tuvo una resistencia promedio a la tensión de 78.3 Kg, mientras que la marca B tuvo una resistencia promedio de 87.2 Kg. Se sabe de antemano que las desviaciones poblacionales son de 6.5 Kg para la marca A y 6.3 Kg para la B.

Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de las dos medias poblacionales.

SOLUCION:

σ1= 5.6 Kg

σ2= 6.3 Kg

n1 = n2 = 50

ˉX1= 78.3

ˉX2= 87.2

Zα/2= 1.96

μ1-μ2:

-6.56 -11.24

e = ± 2,3364

La resistencia a la tensión de tornillos de la marca B es superior a la marca A.

EJERCICIO Nº 02:

Los zoólogos están interesados en la distancia promedio que un cierto tipo de mamífero viaja desde su madriguera. Un equipo de vigilancia observa dos poblaciones de estos mamíferos, la información en metros de la población 1 fue:176-289-181-226-265-174-260-260-325-145-207-245-228-144, y de la población 2 fue: 129-212-213-191-157-143-136-148-138-167. Calcule e interprete un intervalo de confianza del 99% para la diferencia media de la distancia desde la madriguera de las dos poblaciones, suponga que las desviaciones poblacionales son iguales.

SOLUCIÓN:

ˉX1= 223.21

ˉX2= 163.4

S1 = 54.58

S2 = 31.39

n1 = 14

n2 = 10

Sp2 = 2163.39 m2 Sp = 46.51 m

μ1-μ2:

114.09 5.524

e = ± 2,3364

μ1 en ambos casos debe ser mayor.

3.2 Estimación interválica

EJERCICIO Nº01:

Dos universidades públicas tienen dos métodos distintos para inscribir a sus alumnos. Los dos desean comprobar el tiempo promedio que toma la inscripción de los alumnos. En cada universidad se tomaron los tiempos de inscripción de 31 alumnos tomados al azar. Las medias y desviaciones típicas muestrales fueron: , , , Si se supone que el muestreo se llevó a cabo en dos poblaciones normales e independientes, obtener los intervalos de confianza al nivel de riesgo 0'05 para la diferencia entre las medias del tiempo de inscripción para las dos universidades,a) suponiendo que las varianzas poblacionales son , .

b) suponiendo que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

Para el apartado a

Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

Para el apartado b, buscamos en la tabla de la t de Student .

Sustituyendo los valores en el intervalo obtenemos:

EJERCICIO Nº02:

La información siguiente muestra la producción fitoplanctònica (clorofila) por estanques (E1 , E2

) fertilizados con Nutrilake y superfosfato triple de fósforo (SPT). Se desea estudiar la diferencia de medias poblacionales, contando con muestras n1=15

(E1=Es tanque 1) Y n2=19 (E2=es tan que2 ).

Para = 0.90ال

La información es:

N1=26

n1=15 ;

6250, 25000, 25000, 37250, 30000, 125000, 37500, 37250, 43750, 50000, 12500, 43750,37500, 250000, 28400

N2=26

n2=19

25600, 10000, 12500, 50000, 30000, 37500, 10000, 26100, 30000, 350000, 43750, 57500, 12500, 6250, 10000, 12500, 12500, 6250, 32500.

n1=15<30 , σ 2=? ; n2=18<30 , σ 2=? usamos “t”

μ1−μ2 : (x̄1− x̄2 ) ± (tα /2 , n1+n2−2 ) σ̂ x̄1− x̄2

σ x̄ 1−x̄ 2 = √sc2 (1n1

+ 1n2

)

sc2=

(n1−1 )sc2+(n2−1)s

c2

n1+n2−2

En n1 , x̄1=30110 .00000

s1=12676 . 44328 , s12=160692214 . 2

En n2 , x̄2=24234 .21053

s2=15614 . 92389 , s22=243825848

ss2=(15−1 )(160692214 .2 )+(19−1 )(243825848)15+19−2 s

c2=840180476 . 6

σ x̄ 1−x̄ 2=√840180476 . 6( 115

+1

19)=10011.596

μ1−μ2=(30110. 00000−24234 .21053 )±(0. 6944 )(10011.596 )

0.90ال = , α=0 . 10

t(α /2 , n1+n2−2)=t 0 .102

,15+19−2 )=(0 . 05 ,32)=0. 6944

: 5875.79 ± 6952.05

5875.798 – 6952.05 , 5875.79 + 6952.05

-1076.26 12827.84

P (−1076 .26<μ1−μ2<12872 . 84 )=0 . 90

La probabilidad de la diferencia en producción de clorofila en los dos estanques fertilizados oscila de 0 – 12872.84, al 0.90.

HIPOTESIS ESTADISTICA1.HIPÓTESIS SIMPLE O UNILATERAL

EJERCICIO Nº1

Se tiene dos cajas, caja A y caja B. La caja A tienen 40 fichas con el número 1; 50 fichas con el número 10 y 10 fichas con el número 100. La caja B tiene 40 fichas con el número 100; 50 fichas con el número 10 y 10 fichas con el número 1. Se elige una caja al azar, y de ella se saca una ficha. Usted no sabe si es la caja A ó B.

H0 : La caja es la A.Se tiene las hipótesis:

H1 : La caja es la B.Se establece la regla de decisión: Rechazar la hipótesis nula si la ficha es de 100.

FICHAS Número de fichas en caja A

Numero de fichas en caja B

1 40 1010 50 50100 10 40

a.¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo I? Solución: La probabilidad de cometer el error tipo I es el nivel de significación de alfa: α=P(rechazar H 0/H 0es verdadera).α=P(sacar una fichade100de lacaja A) .α=10 /100α=0.10

b.¿Cuál es la probabilidad de cometer el error tipo II? Solución: La probalidad de cometer el error tipo II es beta: β=P(aceptar H 0/H 1 esverdadera) .β=P(sacar una fichade1ó de10de la caja B) .β=60 /100β=0.60

c. ¿En este un test de hipótesis de una ó de dos colas?

Solución:

H0: Caja BX

X XX XX XX X X1 10 10

0

H0: Caja AX

X XX XX XX X X1 10 10

0

La dirección del extremo en esta hipótesis es hacia la derecha, rechaza para valores grandes de fichas. Por lo tanto este es un tes de una cola o unilateral.

2.HIPÓTESIS COMPUESTAS O BILATERALES

EJERCICIO Nº 01:

Se sabe que el 10 % de los fumadores prefieren la marca de cigarrillo Malboro. Después de una campaña publicitaria del cigarrillo Malboro, se entrevistaron a 200 fumadores para determinar la eficiencia de la campaña publicitaria. El resultado de la muestra realizada detecto un total de 26 personas que fumaban Malboro. ¿Pueden considerarse que esos datos presentan evidencia suficiente para indicar que hubo un aumento en la aceptación del cigarrillo Malboro. Obtenga las conclusiones del planteamiento desarrollando un contraste de hipótesis con un nivel de significancia del 5 %.

SOLUCIÓN: Para resolver el problema se plantea una hipótesis altenativa unilateral por la derecha. Por tabla se sabe que al 5 % por la derecha Zα=1 ,645 .

Datos:p=0.10 , ..q=0 .90. . .. .. p=26

200=0 . 13 ,. .n=200

.Hipótesis:H0 : p=0 .10H1 : p>0 . 10

Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si Zc>Zα ,es decir, Zc>1 ,645 . Aplicando formula se tiene:Zc=

p−p

√ p .qn

=0 .13−0 .10

√ 0 .1 x0 . 9200

= 0.03√0.00045

= 0 . 030 . 02127

→Zc=1 .41

Conclusión: Como Zc es menor que Zα , es decir,Zc=1 . 41<1. 96 , se acepta H0 : p=0 .10 con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A en donde Zc=1 .41 cae dentro del área de aceptación, por lo tanto, el 10 % de los fumadores prefieren Malboro, lo que indica que la campaña publicitaria no fue efectiva ya que de haberlo sido se hubiese aceptado la hipótesis H1 : p>0 . 10.

ESTADISTICA DE PRUEBA1.PARA LA MEDIA POBLACIONAL

a) Para sigma al cuadrado conocido y “n” mayores igual que 30

EJERCICIO Nº01:

Un inspector de pesos y medidas visita una planta de empacado para verificar que el peso neto de las cajas sea el indicado en la etiqueta. El gerente de la planta asegura al inspector que el peso promedio de cada caja es de 750 gramos con una desviación estándar de 5 gr. El inspector selecciona, al azar, 100 cajas y encuentra que el peso promedio es de 748 gr. Bajo estas condiciones y usando un nivel de significancia de 0.05 ¿Qué actitud debe tomar el inspector?

Solución:

Ho: µ = 750gr H1: µ ≠ 750gr

α = 0.05 n = 100 x̄ = 748gr ơ = 5

P (zα/2) = 0.975 zα/2 = 1.96

RA/Ho = [-1.96 ; 1.96] RR/ Ho = [-∞; -1.96] U [1.96 ; +∞]

Zo = (748 – 750)/ (5/√100) = -4

Como: Zo E RR/Ho Rechazamos Ho

Por lo tanto, deben tomarse las medias necesarias para corregir esta situación, que va en contra de los intereses del consumidor

EJERCICIO Nº 02:

La tasa actual para producir fusibles de 5 amp en Neary Electric Co. es 250 por hora. Se compró e instaló una máquina nueva que, según el proveedor, aumentará la tasa de producción. Una muestra de 40 horas seleccionadas al azar el mes pasado indica que la producción media por hora en la nueva máquina es 256, con una varianza de 6 por hora. Con 0.05 de nivel de significancia, ¿puede Neary concluir que la nueva máquina es más rápida?

Solución:

Ho: µ = 250 H1: µ > 250

α = 0.05 n = 40 x̄ = 256 ơ = 6

P (zα) = 0.95 zα = 1.645

RA/Ho = [-∞ ; 1.645] RR/ Ho = [1.645 ; +∞]

Zo = (256 – 250)/ (6/√40) = 6.32

Como: Zo E RR/Ho Rechazamos Ho

Por lo tanto, se demuestra que la nueva máquina es más rápida que la que tiene y de esta manera aumentara su producción.

b) Para sigma al cuadrado no conocido y “n” menores que 30

2.PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL

a) Cuando la muestra es “n” mayor igual que 30

3.PARA LA VARIANZA POBLACIONAL

EJERCICIO Nº 1

4.PARA LA

DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES

a) Cuando varianza conocidos y población mayores iguales a 30

EJERCICIO Nº01

Se realizó un estudio para comparar los años promedio de servicio de quienes se retiraron en 1979 con los que se retiraron el año anterior en Delong Manufacturing Co. Con un nivel de significancia de .01 ¿podemos concluir que los trabajadores que se retiraron el año pasado trabajaron más años según la siguiente muestra? Nota: sea población #1= año anterior.

 

Paso 1:

Paso 2: Rechace H0 si z > 2.33Paso 3:

Paso 4: Como z = 6.80 > 2.33, H0 se rechaza. Los que se retiraron el año anterior tenían más años de servicio.

b) Cuando varianzas desconocidas y población menores a 30

1. SUPRIMIENDO … (SON DISJUNTAS)

EJERCICIO Nº01

Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente equivalente. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes:

Con α = 0.05, se desea determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente promedio entre los dos diseños donde las varianzas son desconocidas y diferentes.

SOLUCION

Ho: (µ2 - µ1) = 0 H1: (µ2 - µ1) ≠ 0

α = 0.05 n1 = 16; n2 = 10 x̄1 = 24.2; x̄2 = 23.9 S12 = 10; S22 = 40

P (t(16+10-2)) = 0.975 t(24) = 2.064

RA/Ho = [-2.064 ; 2.064] RR/ Ho = [-∞ ; -2.064] U [2.064 ; +∞]

to = (23.9 – 24.2) / (√(10/16) + (40/10)) = - 0.1395

Como: to E RA/Ho Aceptamos Ho

Por lo tanto, se demuestra que la los dos diseños de microcircuitos no tienen una diferencia significativa, es decir producen un flujo de corriente equivalente.

EJEMPLO Nº02:

Dos proveedores fabrican un engrane de plástico utilizado en una impresora láser. Una característica importante de estos engranes es la resistencia al impacto la cual se mide en pies-libras. Una muestra aleatoria de 10 engranes suministrados por el primer proveedor arroja los siguientes resultados: x̄1 = 290 y S1 = 12. Del segundo proveedor se toma una muestra aleatoria de 16 engranes, donde los resultados son x̄2 = 321 y S2

DISEÑO 1

n1 = 16 x̄1 = 24.2 s12 = 10

DISEÑO 2

n2 = 10 x̄2 = 23.9 s22 = 40

= 45. Existe evidencia que apoye la afirmación de que los engranes del proveedor 2 tienen una mayor resistencia promedio al impacto. Use un nivel de significancia de 0.05.

Solución:

Ho: (µ2 - µ1) = 0 H1: (µ2 - µ1) > 0

α = 0.05 n1 = 10; n2 = 16 x̄1 = 290; x̄2 = 321 S12 = 144; S22 = 2025

P (t(16+10-2)) = 0.95 t(24) = 1.711

RA/Ho = [-∞ ; 1.711] RR/ Ho = [1.711 ; +∞]

to = (321 – 290) / (√(144/10) + (2025/16)) = 2.611

Como: to E RR/Ho Rechazamos Ho

Por lo tanto, se demuestra que existe evidencia suficiente para decir que el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 2 es mayor a el promedio de resistencia de los engranes del proveedor 1.

2. SUPRIMIENDO … (SON SEMEJANTES)

EJERCICIO Nº01:

Para encontrar si un nuevo suero detiene la leucemia, se seleccionan nueve ratones, todos con una etapa avanzada de la enfermedad. Cinco ratones reciben el tratamiento y cuatro no. Los tiempos de sobrevivencia en años, a partir del momento en que comienza el experimento son los siguientes:

Con Tratamiento

2.1

5.3

1.4

4.6

0.9

Sin Tratamiento

1.9

0.5

2.8

3.1

 

¿Se puede decir en el nivel de significancia del 0.05 que el suero es efectivo? Suponga que las dos poblaciones se distribuyen normalmente con varianzas iguales.

Solución:

Primero se probará el supuesto de varianzas iguales con un ensayo de hipótesis bilateral utilizando la distribución Fisher.

Datos:

Con tratamiento

s= 1.97 n = 5

Sin tratamiento

s = 1.1672n = 4

Ensayo de hipótesis:

Estadístico de prueba:

La sugerencia que se hace es que el numerador sea el de valor mayor .Entonces los grados de libertad uno será el tamaño de la muestra de la población uno menos uno. 1= 5-1 = 4 y 2 = 4-1=3.

Regla de decisión:Si 0.10 Fc 15.1 No se rechaza Ho, Si la Fc < 0.10 ó si Fc > 15.1 se rechaza Ho.Cálculo:

Decisión y Justificación:Como 2.85 esta entre los dos valores de Ho no se rechaza , y se concluye con un = 0.05 que existe suficiente evidencia para decir que las varianza de las poblaciones son iguales.Con la decisión anterior se procede a comparar las medias:Ensayo de HipótesisHo; CT- ST=0H1; CT- ST >0

Los grados de libertad son (5+4-2) = 7Regla de decisión:Si tR 1.895 No se Rechaza Ho

Si tR > 1.895 se rechaza Ho

Cálculos:

por lo tanto sp = 1.848

Justificación y decisión:Como 0.6332 es menor que 1.895, no se rechaza Ho, y se concluye con un nivel de significancia del 0.05 que no existe suficiente evidencia para decir que el suero detiene la leucemia.

5.PARA LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES

EJERCICIO Nº 01:

En un proceso de producción de botellas de vidrio se tomó una muestra de 400 de las cuales 28 estaban defectuosas, en otro proceso se tomaran 300 muestra de botellas de la cuales 15 estaban defectuosas. Demuestre la hipótesis nula p1= p2 de que los dos procesos generan proporciones iguales de unidades defectuosas, contra la hipótesis alternativa p1 ≠ p2 con un nivel de significancia de 0.05.

Datos:

Pr oporcion . .1 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. Pr oporcion . .2n1=400. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. ..n2=300

p1=28400

=0 .07 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . p2=15300

=0 . 05

x1=28. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .x2=15

p=28+15400+300

=43700

=0. 061 , .. .. . .q=1−p=0 .939

El . .valor . .de .. Zα /2. .al . . 0 .05 . .. para ..una ..hipotesis ..alternativa . .bilateral . .es . .Zα /2=±1.96

SOLUCIÓN: Para resolver este problema se plantearán las hipótesis y luego se aplica la formula.

Hipótesis:

H0 : p1=p2H1 : p1≠p2

Regla de decisión o Región crítica: Se rechaza la Hipótesis nula si Zc<−Zα /2. .o .. Zc>Z α /2

,es decir,Zc<−1.96 . ..o . .. Zc=1 .96 .

Aplicando formula se tiene:

Zc=p1−p2

√ pq [ 1n1

+ 1n2 ]

= 0 .07−0 . 05

√(0 . 061)(0 . 939 )[ 1400

+ 1300 ]

= 0. 02√0 . 003334

= 0 . 020 .0183

→Zc=1 . 09

Conclusión: Como Zc

es menor que Zα /2

, es decir,Zc=1 . 09<1. 96

, se acepta H0 : p1= p2

con un nivel de significancia de 0.05. Esto se puede observar en la grafica A en donde Zc=1 . 09

cae dentro del área de aceptación, por lo tanto, no se puede concluir que exista diferencias reales entre las dos proporciones verdaderas de unidades defectuosas.