Ejercicios de integrales

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO

Nombre: Andrea RodriguezSemestre: Segundo Paralelo 3

Hallar las siguientes integrales. Empleando las principales reglas y fórmulas de integración:

1051.-∫ adxa−x

¿−a∫ duuu=a−x ;du=−dx

¿−aIn|u|+C=−a∈|a−x|+C

∫ adxa−x

=−a∈|a−x|+C

1053.- ∫ 1−3 x3+2 xdx

¿∫(−32 +

112

3+2x )dx 1−3 x3+2 x

=−32

+

92+1

3+2x=

−32

+

112

3+2x

¿−32∫ dx+

114 ∫ dx

2x+3u=3+2x ;du=2dx

¿−32∫ dx+

114 ∫ duu

¿−32x+ 114

∈|2 x+3|+C

∫ 1−3 x3+2 xdx=−3

2x+ 114

∈|2x+3|+C

1055.- ∫ ax+bαx+β

dx

¿∫ aα dx—∫aβ+αbα

+b

αx+βdx ax+b

αx+β=aα−

αβα

+b

αx=∫( aα−

αβα

+b

αx )d x

¿ aα∫ dx−

aβ+αbα ∫ dx

aβ+αbu=αx+β ;du=αdx

¿ aα∫ dx−

aβ+αbα 2

∫ duu

¿ aαx−aβ+αb

α2∈|u|+C

¿ aαx−aβ+αb

α2∈|αx+β|+C

∫ ax+bαx+β

dx=aαx−aβ+αb

α2∈|αx+β|+C

1057.-∫ x2+5 x+7x+3

dx

¿∫( x+2+ 1x+3 )dx x2+5 x+7

x+3=x+2+ 1

x+3

¿∫ xdx+2∫ dx+∫ 1x+3

dx u=x+3 ;du=dx

¿ x2

2+2x+¿|u|+C

∫ x2+5 x+7x+3

dx= x2

2+2 x+¿|x+3|+C

1059.- ∫(a+ bx−a )

2

dx

¿∫(a2+ 2abx−a+ b2

(x−a )2 )dxu=x−a ;du=dx

¿a2∫dx+2ab∫ dxx−a

+b2∫ dx

( x−a )2

¿a2∫dx+2ab∫ duu +b2∫ duu

¿a2 x+2ab∈|u|+b2 u−1

−1+C

∫(a+ bx−a )

2

dx=a2 x+2ab∈|x−a|− b2

x−a+C

1061.- ∫ bdy

√1− y

¿−b∫ du

√uu=1− y ;du=−dy

¿−b∫ u−12 du

¿−2bu12+C

∫ bdy

√1− y=−2b (1− y )

12+C

1063.- x

√x2+1dx

¿ 12∫

du

√uu=x2 ;du=2xdx

¿ 12∫ u

−12 du

¿12u12

12

+C=(x2+1 )12+C

∫ x

√ x2+1dx=(x2+1 )

12+C

1065.- ∫ dx

3 x2+5

Reemplazo: Integración por partes:

¿ 1√3∫

du

u2+a2u2=3 x2 ;u=√3 x ;du=√3dx

¿ 1√3×1aarc tg

ua+C a2=5 ;a=√5

¿ 1√3×1√5arc tg √3 x

√5+C

∫ dx3 x2+5

=√1515

arc tg√ 3 x5 +C

1069.- ∫ x3

a2−x2dx

Cambio de variable:

¿−∫ xdx−∫ a2 xdxx2−a2

u=x2−a2 ;du=2xdx

¿−∫ xdx−a2∫ xdx

x2−a2

¿−∫ xdx−a2

2∫ duu

¿− x2

2−a

2

2∈|u|+C

¿− x2

2−a

2

2∈|x2−a2|+C

¿∫ x3

a2−x2dx=−x2

2−a

2

2∈|x2−a2|+C

1073.- ∫ 2 x−53 x2−2

dx

¿ 13∫

3 (2 x−5 )3 x2−2

dx u=3x2−2 ;du=6 x dx

¿ 13∫

6 xdx

3x2−2−153 ∫ dx

3 x2−2

¿ 13∫

6 xdx

3x2−2−53∫

dx

(x2−23 )¿ 13∫

6 xdx

3x2−2−53∫

dx

x2−(√ 23 )2

¿ 13∫

duu

−53∫

dx

x2−(√ 23 )2

¿ 13∈|u|+C1−

53∫

dx

x2−(√ 23 )2

Reemplazo: Cambio de variable:

¿ 13∈|u|+C1−

53∫

dv

v2−a2v=x ; dv=dx a=√ 23

¿ 13∈|3 x2−2|+C1−

5312a

∈|v−av+a |+C2

¿ 13∈|3 x2−2|−5

3 [ 1

2√ 23∈|x−√ 23x+√ 23 |]+C

¿ 13∈|3 x2−2|− 5

√32√2∈|√3 x−√2

√3 x+√2|+C∫ 2 x−53 x2−2

dx=13∈|3 x2−2|− 5

2√6∈|√3 x−√2

√3x+√2 |+C

1075.- ∫ 3 x+1

√5x2+1dx


¿3∫ xdx

√5 x2+1+∫ dx

(x√5 )2+12u=5x2+1 ;du=10 x dx

¿3∫ xdx

√5 x2+1+∫ dx

(x√5 )2+12v=x √5 ;dv=√5dx

¿ 310∫

du

√u+ 1

√5∫dv

√v2+12

¿310u12

12

+1

√5∈|v+√v2+1|+C

¿ 35√5x2+1+ 1

√5∈|x √5+√5 x2+1|+C

∫ 3 x+1

√5x2+1dx=3

5√5 x2+1+ 1

√5∈|x√5+√5 x2+1|+C

1077.- ∫ x dx

x2−5

¿ 12∫

duu

u=x2+5 ;du=2 xdx

¿ 12∈|u|+C

¿ 12∈|x2+5|+C

¿∫ x dx

x2−5=12∈|x2+5|+C

1079.- ∫ ax+ba2 x2+b2

dx


¿a∫ x dx

a2 x2+b2+b∫ dx

a2 x2+b2u=a2 x2+b2;du=2a2 xdx

¿ a

2a2∫ duu

+ ba∫

dv

v2+b2v=ax ;dv=adx

¿ 12∈|u|+ b

a1barc tg

vb+C

¿ 12∈|a2 x2+b2|+ 1

aarc tg

axb

+C

∫ ax+ba2 x2+b2

dx=12∈|a2 x2+b2|+ 1

aarc tg

axb

+C

1081.- ∫ x2

1+x6dx

¿∫ x2dx

1+ (x3 )2u=x3 ;du=3 x2

¿ 13∫

du

1+u2

¿ 13arc tg|u|+C

¿ 13arc tg x3+C

¿∫ x2

1+x6dx=1

3arc tg x3+C

1083.-∫√ arc sen x1−x2dx

¿ 12∫ √ arc senx1−x2

dx u=arc senx; du= dx

√1−x2

¿ 22∫ √udu

¿22u32

32

+C

¿ 23u32+C

¿ 23√ (arc senx )3+C

¿ 23√ (arc senx )3+C

∫√ arc sen x1−x2dx=2

3√ (arc senx )3+C

1085.- ∫ x−√arc tg 2x1+4 x2

dx


¿∫ xdx1+4 x2

−∫ √arc tg 2x1+4 x2

dx u=1+4 x2 ;du=8xdx

¿ 18∫ duu

−12∫v

12 dv v=arc tg 2x ;dv= 2dx

1+4 x2

¿18∈|u|−1

2v32

32

+C

¿ 18∈|1+4 x2|−2 (arc tg3 x )

32

3+C

∫ x−√arc tg 2x1+4 x2

dx=18∈|1+4 x2|−2 (arc tg3 x )

32

3+C

1087.- ∫ ae−mxdx

¿a∫e−mx dx u=−mx ;du=−mdx

¿− am∫ e

udu

¿− ameu+C

¿− ame−mx+C

∫ ae−mxdx=−ame−mx+C

1089.- ∫ (et−e−t )dt

¿∫e tdt−∫e−tdt u=−t ;du=−dt

¿∫e tdt−∫eudt

¿e t+eu+C

¿e t+e−t+C

∫ (et−e−t )dt=e t+e−t+C

1093.- ∫ e−(x2+1) x dx

¿∫e− x2−1 xdx u=−x2−1; du=−2 x dx

¿−12∫ e

udu

¿−12eu+C

¿−12e−(x2+1)+C

¿− 1

2ex2+ 1

+C

∫ e−(x2+1) x dx= −12ex

2+1+C

1095.- ∫ e1x

x2dx

¿−∫ eudu u=1x;du=−dx

x2

¿−eu+C

¿−e1x+C

¿− x√e+C

∫ e1x

x2dx=− x√e+C

1097.- ∫ ex

ex−1dx

¿∫ duuu=ex−1 ;du=ex dx

¿∈|u|+C

¿∈|ex−1|+C

∫ ex

ex−1dx=¿|e x−1|+C

1099.- ∫ (e xa+1)13exa dx

¿∫3√e xa+1e xa dx u=e

xa+1;du=

exa

adx

¿a∫u13 du

¿au

43

43

+C

¿3a(e xa+1)

43

4+C

∫ (exa+1)

13exa dx=

3a(e xa+1)43

4+C

1101.- ∫ axdx1+a2 x

¿∫ axdx

1+ (ax )2u=ax ;du=ax Ina dx

¿ 1Ina

arc tgu+C

¿ 1Ina

arc tgax+C

∫ axdx1+a2 x

= 1Ina

arc tg ax+C

1103.- ∫ e tdt1−e2 t

¿∫ e tdt

√1−(e t )2u=et ;du=etdt

¿∫ du

√1−u2

¿arc senu+C

¿arc sene t+C

∫ e tdt1−e2 t

=arc sen et+C

1105.- ∫cos x√2 dx

¿√2∫ cosudu u= x

√2;du= dx

√2

¿√2 senu+C

¿√2 sen x√2

+C

∫cos x√2 dx=√2 sen x√2

+C

1107.- ∫cos √x dx√x

¿2∫ cosudu u=√x ;du= dx

2√ x

¿2 senu+C

¿2 sen √x+C

∫cos √x dx√x=2 sen √x+C

1109.- ∫ se n2 x dx

¿∫ 1−cos2 x2dx

u=2x ;du=2dx

¿ 12∫ dx−

12∫cos2 x dx

¿ 12∫ dx−

14∫cosu du

¿ 12x−14senu+C

¿ 12x−14sen 2x+C

∫ se n2 x dx=12 x−14sen 2x+C

1111.- ∫ sec2 (ax+b )dx

¿ 1a∫ se c

2uduu=ax+b ;du=adx

¿ 1atgu+C

¿ 1atg (ax+b )+C

∫ sec2 (ax+b )dx=1atg (ax+b )+C

1113.- ∫dx

senxa

¿∫cosec xa dx u= xa;du=dx

a

¿a∫cosecu du

¿aIn|cosec u−cotgu|+C

¿aIn|cosec xa−cotg xa|+C

∫ dx

senxa

=aIn|cosec xa−cotg xa|+C

1115.- ∫ dxsen (ax+b )

¿∫cosec (ax+b )dx u=ax ; du=adx

¿ 1a∫cos ecudu

¿ 1a∈|cosec u−cotgu|+C

¿ 1a∈|cosec (ax+b )−cotg (ax+b )|+C

∫ dxsen (ax+b )

=1a∈|cosec (ax+b )−cotg (ax+b )|+C

1117.- ∫ xsen (1−x2)dx

¿−12∫ senu du

u=1−x2;du=−2 x dx

¿ 12cosu+C

¿ 12cos (1−x2)+C

∫ xsen (1−x2)dx=12 cos (1−x2 )+C

1119.- ∫ tgx dx

¿∫ ( secx−1 )dx

∫ secx dx−dx

¿ 16∫u

3duu=sen6 x ;du=6cos6 xdx

¿ 16u4

4+C

¿ u4

24+C

¿ sen46 x24

+C

∫ sen36 xco6 x dx= sen46 x24

+C

1129.- ∫ sen3 x3+cos3 x

dx

¿−13∫

duu

u=3+cos3 x ; du=−3 sen3 xdx

¿−13∈|u|+C

¿−13∈|3+cos 3x|+C

∫ sen3 x3+cos3 x

dx=−13

∈|3+cos3 x|+C

1131.- ∫√1+3cos2 x sen2 x dx

¿∫√1+3( 1+cos2 x2 )sen2 xdx

¿∫√1+ 3+3cos 2x2sen2 xdx

¿∫√ 5+3cos 2x2sen2 xdx u=5+3cos 2x

2;du=−3 sen2xdx

¿−13∫ u

12 du

¿−13u32

32

+C

¿−29u32+C

¿−29 ( 5+3cos 2x2 )

32+C

∫√1+3cos2 x sen2 x dx=−29 ( 5+3cos2 x2 )

32+C

1133.- ∫ √tgxcos2 x

dx

¿∫√ tgx sec2 xdx u=tgx ;du=sec2 x dx

¿∫u12 du

¿u32

32

+C

¿ 23t g

32 x+C

∫ √tgxcos2 x

dx=23t g

32 x+C

1135.- ∫ 1+sen 3xcos23 x

dx


¿∫ dx

cos23x+∫ sen3 x

cos23xdx

u=sen3 x ;du=3 dx

¿ 13∫ sec

2udu+ 13∫

senu

cos2udu

v=cosu; dv=−senudu

¿ 13∫ sec

2udu+ 13∫

dv

v2

¿ 13tgu+ 1

3 v+C

¿ 13tgu+ 1

3cosu+C

¿ 13tg3 x+ 1

3cos3 x+C

∫ 1+sen 3xcos23 x

dx=13tg3 x+ 1

3cos3 x+C

1137.- ∫ cosec23 xb−actg 3 x

dx

¿ 13a∫

duu

u=b−actg3 x ;du=3acosec23x dx

¿ 13a

∈|u|+C

¿ 13a

∈|b−actg3 x|+C

∫ cosec23 xb−actg 3 x

dx= 13a

∈|b−actg3 x|+C

1192.- ∫ x (2x+5 )10 dx

¿∫ u−52 u10du2

u=2x+5 ;du=2dx

¿ 14∫ (u−5 )u10du u−5=2 x→ x=u−5

2

¿ 14∫ (u11−u10 )du

¿ 14∫ u

11du−54∫u

10du

¿ 14u12

12−54u11

11+C

¿ 148u12− 5

44u11+C

¿ 148

(2x+5 )12− 544

(2x+5 )11+C

∫ x (2x+5 )10dx= (2x+5 )12

48−5 (2 x+5 )11

44+C

1993.- ∫ 1+x1+√ x

dx

¿∫ 1+u2

1+udx×2u du

u=√x

¿2∫ u3+1u+1

duu2=x

¿2∫(u−u+2− 2u+1 )du dx=2udu

¿2[ u33 −u2

2+2u−2 ln|u+1|]+c

∫ 1+x1+√ x

dx=2[ √x33 − x2+2√x−2 ln|√x+1|]+c

1194.-∫ x

x √2 x+1dx ¿∫ 2x+1+22 x+1

dx

¿∫( 2 x+12 x+1+ 22x+1 )dx

¿∫(1+ 22 x+1 )dx

¿∫dx+∫ 2dx2x+1

¿ x+∫ d (2x+1)(2 x+1)

∫ x

x √2 x+1dx=x+ln|2 x+1|+c

1195.- ∫ dx

√ex−1

∫ dx

√ex−1=∫

2 tdt

t 2+1t

=2∫ dtt 2

=2arctg1+c

∫ dx

√ex−1=2arctge (√ex−1 )+c

ex dx=2 tdt → dx=2 tdt

t2+1

1196. ∫ ¿2 x¿4 x

dxx

¿4 x=(2×2x )=¿2+¿2x u=¿4 x ;du=dxx

u=¿2+¿2x

¿2 x=u−¿2

∫¿2 x¿4 x

dxx

¿ ∫ u−¿2u

du

¿ ∫ du− ∫ ¿2udu

¿ ∫ du−¿2 ∫ duu

¿u−¿2|u|+c

¿∈4 x−¿2 [¿ (¿ 4 x ) ]+c

∫ ¿2 x¿4 x

dxx

=¿ 4 x−¿2 [¿ (¿4 x ) ]+C

1197.- ∫ (arc senx )2

√1−x2dx

¿∫ xarc senx√1−x2dx u=arc senx; du= dx

√1−x2

¿−√1−x2arc sen x+∫ dx dv= xdx

√1−x2; v=−√1−x2

¿−√1−x2arc senx+x+C

∫ (arc senx )2

√1−x2dx=−√1−x2arc senx+x+C

1211.- ∫ Inxdx

∫udv=uv−∫vdu

u=Inx ;du=dxx

∫ Inxdx=Inx(x)−∫ x( dxx ) dv=1dx ;v=x

¿ xInx−∫ dx

¿ xInx−x+C

¿ x (Inx−1 )+C

∫ Inxdx=x ( Inx−1 )+C

1222.- ∫ (x2+5 x+6 )cos2 xdx

∫udv=uv−∫vdu u=x2+5 x+6 ;du=(2x+5 )dx

∫ x2+5 x+6 (cos2 x )=x2+5 x+6( 12 sen2 x)−∫ 12 sen2 x (2 x+5 )dxdv=cos2 x ; v=12sen2 x

¿∫ (x2+5 x+6 )2

sen2 x−12∫ (2 x+5 ) sen2 xdx

Segunda derivada

u=2x+5 ;du=2dx

dv=sen2 xdx ;v=−12cos 2x

¿ 12sen 2x (x2+5 x+6 )−1

2 [ (2 x+5 )(−12 cos2 x)+∫cos 2xdx ]¿ x

2+5 x+62

sen2 x+ 14cos2x (2x+5 )−1

2∫ cos2 xdx

¿ x2+5 x+62

sen2 x+ 2 x+54

cos2 x−14∫sen 2x+C

∫ (x2+5 x+6 )cos2 xdx= x2+5 x+62

sen2 x+ 2 x+54

cos 2x−14∫ sen2x+C

1223.- ∫ x2 Inxdx

∫udv=uv−∫vdu u=Inx ;du=dxx

∫ Inx (x2dx)=Inx( x33 )−∫( x33 )( dxx ) dv=x2dx ;v= x3

3

¿ Inx( x33 )−13∫ x2dx¿ x

3 Inx3

−13∫ x2dx

¿ x3 Inx3

− x3

9+C

∫ x2 Inxdx= x3 Inx3

− x3

9+C

1224.- ∫¿2 xdx

∫udv=uv−∫vdu u=¿2 x ;du=2 Inx 1xdx

∫¿2 x1dx=¿2 x ( x )−∫ ( x )(2 Inx 1x dx) dv=1dx ;v=x

¿ x¿2 x−2∫ Inx 1x xdx

¿ x¿2 x−2∫ Inxdx

∫ Inxdx=x ( Inx−1 )+C

¿ x¿2 x−2 [ x ( Inx−1 )+C ]

¿ x¿2 x−2 x (Inx−1 )+C

∫¿2 xdx=x ¿2 x−2x ( Inx−1 )+C

1225.- ∫ Inx

x3dx


∫ x−3Inxdx=Inx( −1

2 x2 )— ( −12 x2 )( dxx ) dv=x−3dx ;v=−1

2 x2

¿− Inx2 x2

+ 12∫ x

−3dx

¿− Inx2 x2

− 1

4 x2+C

∫ Inx

x3dx=−Inx

2x2− 1

4 x2+C

1233.- ∫3x cos xdx

∫udv=uv−∫vdu u=cosx ;du=−senxdx

∫3x cos xdx=cosx 3x

¿3+ 1

¿3∫3x senx dx dv=3x dx; v= 3x

¿3

¿cosx 3x

¿3+ 1

¿3 ( 3x¿3senx− 1

¿3∫3xcosx dx ) u=senx ;du=cosx dx

¿cosx 3x

¿3+ 3

x senx¿23

− 1¿23

∫3x cosx dx dv=3x dx; v= 3x

¿3d

∫3x cos xdx= 3x

¿3 (cosx+ senx¿3 )− 1¿23

∫3x cosx dx

∫3x cos xdx (1+ 1¿23 )= 3

x

¿3 (cosx+ senx¿3 )+C

( ¿23+1¿23 )∫ 3x cosx dx= 3x

¿3 (cosx+ senx¿3 )+C

∫3x cosx dx=3x (¿3 )

¿23+1 (cosx+ senx¿3 )+C

∫3x cos xdx=∫ 3x cosx dx=3x (¿3 )

¿23+1 (cosx+ senx¿3 )+C

1234.- ∫ eax senbx dx

∫udv=uv−∫vdu

u=senbx ;du=bcosbx dxdv=eaxdx ; v=1aeax

∫ eax senbx dx= eax senbxa

−ba ( e

ax cosbxa

+ ba∫ eax senbx dx )

∫ eax senbx dx=¿ eax senbxa

−b eax cosbxa2

−b2

a2∫eax senbx dx¿

1+ b2

a2=a

2+b2

a2

( a2+b2a2 )∫ eax senbx dx=aeax senbx−b eax cosbxa2+C

∫ eax senbx dx=aeax senbx−beaxcosbx

a2

( a2+b2

a2 )+C

∫ eax senbx dx=aeax senbx−b eax cosbx

a2+b2+C

∫ eax senbx dx= eax (asenbx−bcosbx )

a2+b2+C

∫ eax senbx dx= eax (asenbx−bcosbx )

a2+b2+C

1235.-∫ sen ( Inx )dx

∫udv=uv−∫vdu u=sen ( Inx ) ;du= cos ( Inx )x

dx

dv=dx ; v=x

∫ sen ( Inx )dx=sen ( Inx )∗( x )−∫ x ( cos ( Inx )x

dx)∫ sen ( Inx )dx=sen ( Inx )∗( x )−∫ cos ( Inx )dx

∫udv=uv−∫vdu u=cos ( Inx ) ;du=−sen ( Inx )x

dx

dv=dx ; v=x

∫ sen ( Inx )dx=cos (Inx )∗( x )−∫ x (−sen (Inx )x

dx)¿ xsen ( Inx )−[ xcos ( I nx )+∫ sen ( Inx )dx ]¿ xsen ( Inx )−xcos ( Inx )−∫ sen ( Inx )dx

∫ sen ( Inx )dx=x [sen ( Inx )−cos ( Inx ) ]−∫ sen ( Inx )dx

∫ sen ( Inx )dx+∫ sen ( Inx )dx=x [sen (Inx )−cos ( Inx ) ]

2∫ sen ( Inx )dx=x [sen (Inx )−cos ( Inx ) ]+C

∫ sen ( Inx )dx=¿ x2

[sen ( Inx )−cos ( Inx ) ]+C ¿

∫ sen ( Inx )dx=¿ x2

[sen ( Inx )−cos ( Inx ) ]+C ¿

1238.- ∫ (x2−2x+3 ) Inx dx


dv=(x2−2x+3 ) dx ;v= x3

3−x2+3x

∫ (x2−2x+3 ) Inx dx=( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫( x33 −x2+3 x) dxx¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫( x3dx3 x − x

2dxx

+3 xdxx )

¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫( x23 −x+3)dx

¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)−∫ x2

3dx−∫ xdx+3∫dx

¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)− x3

3∗3− x

2

2+3 x+C

¿ ( Inx )( x33 −x2+3 x)− x39 − x2

2+3x+C

∫ (x2−2x+3 ) Inx dx=¿( x33 −x2+3 x )Inx− x39 − x2

2+3x+C ¿

1239.- ∫ xIn 1−x1+xdx

∫udv=uv−∫vdu u=¿ 1−x1+x

;du= 2dx

x2−1

dv=xdx ;v= x2

2

∫ xIn 1−x1+x

dx=(¿ 1−x1+x )( x2

2 )−∫ x2

2 ( 2dxx2−1 )¿(¿ 1−x1+x )( x

2

2 )−∫ x2dxx2−1

¿(¿ 1−x1+x )( x2

2 )−∫(1+ 1x2−1 )dx

¿ x2

2∈1−x1+x

−∫dx−∫ dxx2−1

¿ x2

2∈1−x1+x

−x−12∈ 1−x1+x

+C

∫ xIn 1−x1+x

dx= x2

2∈1−x1+x

−x−12∈ 1−x1+x

+C

1240.- ∫ ¿2 xx2dx

∫udv=uv−∫vdu u=I n2 x ;d u=2∈xxdx

∫ ¿2 xx2dx=I n2 x (−1x )—∫−1

x (2∈xx dx ) dv=x−2dx ;v=−1x

¿− I n2 xx

+2∫ Inxx2dx

¿− I n2 xx

+2∫ x−2 Inx dx

∫udv=uv−∫vdu u=¿ x ;du=dxx

¿− I n2 xx

+2(−Inxx +∫ dxx2 ) dv=x−2dx ;v=−1

x

¿− I n2 xx

−2 Inxx

+2∫ dxx2

¿− I n2 xx

−2 Inxx

−2x+C

∫ ¿2 xx2dx=−I n2 x

x−2 Inx

x−2x+C

1241.- ∫ ¿ ( Inx )x

dx

∫ ¿ ( Inx )x

dx=∫ Inw dw w=Inx ;dw=dxx

∫udv=uv−∫vdu u=Inw ;du=dww

¿wInw−∫w dwwdv=dw ;v=w

¿wInw−∫dw

¿w Inw−w+C

¿w ( Inw−1 )+C

¿ Inx [¿ (Inx )−1 ]+C

∫ ¿ ( Inx )x

dx=Inx [¿ ( Inx )−1 ]+C

1276.-∫ cosxdx

sen2 x−6 senx+12

¿∫ cosxdx

(senx−3 )2+3

∫ cosxdx

sen2 x−6 senx+12= 1

√3arctg ( senx−3√3 )+c

1277.-∫ exdx

√1+ex+ex+e2x

¿∫ ex dx

√1+ex+ex+e2 x

¿∫ exdx

√(ex+ 12 )2

+ 34

∫ exdx

√1+ex+ex+e2x=ln|ex+ 12 √1+ex+e2x|+C

1278.-∫ sen x dx

√cos2 x+4cos x+1

¿∫ sen x dx

√(cos x+2)2−3

∫ sen x dx

√cos2 x+4cos x+1=−ln|cos x+2+√cos2 x+4cos x+1|+C

1279.-∫ ln x dx

x √1−4 ln x−ln2 x

¿∫ ln xdx

x √5−( ln x+2 )2

¿∫ ln xdx

x √5−( ln x+2 )2

¿∫ (u−2 )du

√5−u2

¿∫ udu

√5−u2−2∫ du

√5−u2=¿¿

¿−√5−u2−2sin−1( u√5 )+c

∫ ln x dx

x √1−4 ln x−ln2 x=−√1−4 ln x−ln2 x−2sin−1( ln x+2√5 )+c

u=ln x+2

du=dxx

ln x=u−2

1307.-∫√a−bx dx

¿∫√a−bxdx

¿∫(a−bx)1/2dx

¿∫ (a−bx )3/2

3 /2dx

¿∫ (a−bx )3/2

3 /2+C

∫ √a−bx dx=∫ 2√(a−bx)3

3+C

1337.-∫ dx

√ x3 3√1+ 4√x3

u3=1+ 14√ x3

;u= 3√1+ 14√x3

4√ x3= 1

u3−1; 4√ x=

3√1u3−1

= 13√u3−1

4√ x7= 1

(u3−1 )73

;4√x3= 1

(u3−1 )2

u3=1+ 14√ x3

;3u2du=−3dx44√x7

;dx=−4u2du

(u3−1 )73

¿∫ dx

√x3 3√1+ 4√x3

¿∫ −4u2 (u3−1 )2

(u3−1 )73 .

3√u3u3−1

du

¿−4∫ u2 (u3−1 )2 (u3−1 )

13

(u3−1 )73u

du

−4∫ udu=−2u2+c

¿−2( 3√1+ 14√x3 )

2

+c

∫ dx

√ x3 3√1+ 4√x3=−2 (3√1+x

−34 )2+c

1377.-∫ dx8−4sin x+7cos x

¿∫2dt

1+ t2

8− 8 t1+t2

+7− 7 t2

1+t 2

¿2∫ dt

t 2−8 t+15

¿2∫ dt

(t−4 )2−1

¿ ln|t−4−1t−4+1 |+c¿ ln|t−5t−3|+c

∫ dx8−4sin x+7cos x

=ln| tan x2−5

tanx2−3|+c

1378.- ∫ dxcos x+2sin x+3

¿∫2du

1+u2

1− u2

1+u2+ 4u1+u2

+3

¿2∫ du

2u2+4 u+4

¿2∫ du

2u2+4 u+4

¿∫ du

u2+2u+2

¿∫ du

(u+1 )2+1

¿∫ du

(u+1 )2+1

¿arc tg (u+1 )+c

∫ dxcos x+2sin x+3

=arctg( tg x2 +1)+c

1381.- ∫ dx

1+3cos2 x

¿∫ sec2 xdxsec2 x+3

¿∫ sec2 xdx

tg2 x+4

∫ dx

1+3cos2 x=12ar ctg( tgx2 )+c

1382.-∫ dx

sen2 x+3 sen xcos x−cos2 x

¿∫ 1

sen2 x+3 sen x cos x−cos2 xdx×sec2 ( x )

¿∫ sec 2 ( x )tg2 x+3tg ( x )−1

dx

¿sec 2 ( x )

tg2 x+3 tg ( x )−1u=tg ( x ) ;du=sec2 (x )dx

¿∫ 1

u2+3u−1du

¿∫1

(u+ 32 )2

−134

du

¿

¿

¿1

(u+ 32 )2

−134

¿¿

s=u+32;ds=du

¿∫ 1

s2−134

ds

¿∫ −4

13 (1−4 s213 )ds

¿− 413∫

−1

1−4 s2

13

ds

p= 2 s

√13;dp= 2

√13ds¿− 2

√13∫1

1−p2dp

¿−2 tagh−1 ( p )

√13+C

¿−2 tagh−1( 2 s√13 )

√13+C

¿−2 tagh−1( 2u+3√13 )

√13+C

∫ dx

sen2 x+3 sen xcos x−cos2 x=

−2 tagh−1( 2tg (x )+3√13 )√13

+C

1383.-∫ dx

sen2 x+3 sen xcos x−cos2 x

¿∫ sec2 x dxtg2 x+3tg x−1

∫ sec2 x dx

tg2 x+ 32tg x+ 9

4−134

=∫sec2 xdx

(tg x+ 32 )2

x – (√132 )2

¿

¿

¿1

2 √132

ln|tg x+ 32−√132

tg x+32+ √132

|+C∫ dxsen2 x+3 sen xcos x−cos2 x

= 1√13

ln|2 tg x+3−√132 tg x+3+√13 |+C

1384.-∫ dx

sin2 x−5sin xcos x

¿∫ sec2 x dxtan2 x−5 tan x

¿∫ sec2 xdx

( tan x−52 )2

−( 52 )2

¿ 15ln|tan x−52−52tan x−

52+52|+c

∫ d x

sin2 x−5sin xcos x=15ln| tan x−5tan x |+c

1385.-∫ x √arctg 2x dx1+4 x2

¿∫ xdx1+4 x2

−¿∫ √arctg2 x1+4 x1

dx ¿ u=arctg2 x ;du=12 [ −1

(1+4 x) ]dx¿ 18∫ duu

−1u∫ u2

1

1du

u=(1+4 x)2 ;du=8xdx

∫ x √arctg 2x dx1+4 x2

=18ln|u|−1

3u23+C

1387.- ∫ cos 2x

cos4 x+sen4 xdx

¿∫ cos2 xdxcos4 x+sen4 x+2 x sen2 x cos2 x−2 sen2 x cos2 x

¿∫ cos2 xdx

(cos2 x+sen2 x )2−2 sen2 xcos2 x

¿2∫ cos2 xdx

2−sen22 xln

∫ cos 2xcos4 x+sen4 x

dx= 12√2

ln| √2+sen2 x√2−se n2 x|+c

1389.-∫ dx(2−sen x )(3−sen x )

=¿∫( 12−sen x

¿−1

3−sen x)dx¿¿

¿∫2dz

1+z2

2− 2 z1+z2

−∫2dz

1+ z2

3− 2 z1+z2

¿∫ dz

1+z+z2−∫ 2dz

3−2 z+3 z2

¿2

√3arc ta n2( tan x2−1√3 )− 1

√2arc tan2( 3 tan x2−12√2 )+C

1390.-∫ 1−sen x+cos x1+sen x−cos xdx

1−sen x+cos x1+sen x−cos x

=−1+ 21+sen x−cos x

¿∫(−1+ 21+sen x−cos x )dx

¿−x+2∫2dz

1+z2

1+ 2 z1+z2

−1+ z2

1+z2

¿−x+4∫ dz

1+ z2+2 z−1+z2

¿−x+2∫ dz

z2+z

¿−x+2∫¿¿

¿−x+2 ln [ zz+1 ]+C

∫ 1−sen x+cos x1+sen x−cos xdx=−x+2 ln [ tg x2tg

x2+1 ]+C

1468.-∫ dx2 senx+3cosx−5

¿∫2dt

1+ t2

1−2 2 t1+t 2

−3 1−t1+t 2

tgx2=t ; senx= 2 t

1+t2

¿∫ 2dt

1+ t2−2 (2 t )−3 (1−t 2 ) cosx=1−t2

1+ t2; dx= 2dt

1+ t2

¿∫ 2dt

4 t 2−4 t−2

¿ 12∫

dt

[(t 2−t+ 14 )−12− 14 ]¿ 12∫

dt

(t−12 )2

−34

¿ 12∫

dv

v2−a2

¿ 12.1

2 √32

ln|v−av+a |+C

¿ 12.1

2 √32

ln|t−12−√32

t−12+ √32

+C|

∫ dx2 senx+3cosx−5

= 12√3

ln|2 tg x2−1−√3

2tgx2−1+√3 |+C

1471.-∫ dxsin x sin 2 x

¿∫ sen2 x+cos2 x

2 se n2 x cos xdx

¿∫( 12cos x

+cos x

2 sen2 x )dx¿ 12∫ (sec x+cot x csc x )dx

∫ dxsin x sin 2 x

=12ln|sec x+ tan x|−1

2csc x+C

1473.-∫ sec2 x

√ tg2 x+4 tg x+1dx

¿∫ sec2 xdx

√(tg x+2 )2−3t=tg x+2 ;dt=sec2 x dx

¿∫ sec2 xdx

√(tg x+2 )2−3

¿∫ dt

√t 2−3

¿ ln|t+√ t2−3|+c

∫ sec2 x

√ tg2 x+4 tg x+1dx=ln|tg x+2+√ t g2 x+4 tg x+1|+c

Ejercicios de integrales

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