EJERCICIOS DE INTEGRALES MÚLTIPLES

1. Calcular el área limitada por las curvas:

y=4sin πx3

+10

z=3 x2+ x+4a) Graficamos en Matlab:

>> syms x Y Z;

hold on

x = linspace(-3,2,100000);

Y = 4*(sin(1/3*pi*x))+10;

Z = 3*x.^2+x+4;

plot (x,Y, x,Z)

xlabel ('Eje de las abscisas');

ylabel ('Eje de las ordenadas')

title('Problema N° 1')

legend ('Y=4*(sen(1/3*pi*x))+10','Z=3*x.^2+x+4 ')

grid on

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

5

10

15

20

25

30

Eje de las abscisas

Eje

de

las

orde

nada

s

Problema N° 1

Y=4*(sen(1/3*pi*x))+10

Z=3*x.2+x+4

PARA EL ÁREA

A1= ∫−1.088

1.673

∫6.466

14.21

(dy )dx

>> Syms x y INT1 INT2 f1 g1;f1=3*x^2 + x+4;g1 = 4*sin(pi*x/3)+10;'obtenemos la primera integral';INT1 = int (1, y, f1, g1)INT1 =4*sin ((pi*x)/3)+6 - x - 3*x^2'obtenemos la segunda integral';INT2 = int (INT1, x, -1.088, 1.673)INT2 = int (INT1, y, 6.466, 14.21) INT1 =4*sin((pi*x)/3) - x - 3*x^2 + 6INT1 =4*sin((pi*x)/3) - x - 3*x^2 + 6 INT2 =(12*(cos((136*pi)/375) + cos((1327*pi)/3000)))/pi + 9787885811/1000000000 INT2 = (3872*sin((pi*x)/3))/125 - (968*x)/125 - (2904*x^2)/125 + 5808/125

Análisis:Para encontrar el área de la región delimitada por las curvas se desarrollan una integral doble.

A1= ∫−1.088

1.673

∫6.466

14.21

(dy )dx

Rem

2. Encontrar el volumen delimitado por:

z=3 x2+2 y2−4 x+2 y

X=-3:.1:3;

[x y]=meshgrid(X,X);

z=3*x.^2+2*y.^2-4*x+2*y;

surf(x,y,z)

title('Problema N° 2')

grid on

hold on

Gráfica en matlab:

-4-2 0 2

4

-4-2024-10

0

10

20

30

40

50

60

70

Problema N° 2

Calculamos la integral

A1=∫0

2

❑∫0

√ x

( x2+ y2−2¿dy )dx

syms x y z INT1 INT2 f1;

z=3*x.^2+2*y.^2-4*x+2*y;

g1 =(x).^(1/2);

'obtenemos la primera integral';

INT1 = int (z, y, 0, g1)

z =3*x.^2+2*y.^2-4*x+2*y;

INT1 = x^(1/2)*(x^2 + x/3 - 2)

>> 'obtenemos la segunda integral'

INT2=int(INT1, x, 0, 2)

INT2 = (16*2^(1/2))/105 = 0.21599

ÁREA TOTAL=A1 + A2

A1= ∫−1.3

−0.667

❑ ∫x2+2x

2cos ( pi∗x2

)

(dy )dx

A2= ∫−0.667

0

❑ ∫x2+2 x

1

(dy )dx

Syms x y INT1 INT2 f1 g1;

f1=3*x^2 + x+4;

g1 = 4*sin(pi*x/3)+10;

'obtenemos la primera integral';

INT1 = int (1, y, f1, g1)

INT1 =4*sin ((pi*x)/3)+6 - x - 3*x^2

>> 'obtenemos la segunda integral';

INT2 = int (INT1, x, -1.088, 1.673)

INT2 = int (INT1, y, 6.466, 14.21)

A1 = (4*(sin ((7*pi)/20) + sin ((53*pi)/200)))/pi + 627141/1000000=1.53294

Para A2

syms x y INT1 INT2 f1;

f1=x^2 + 2*x;

'obtenemos la primera integral';

INT1=int(1,y,f1,1)

INT1 = - x^2 - 2*x + 1

'obtenemos la segunda integral';

INT2=int(INT1,x,-0.667,0)

INT2 = 3038926037/3000000000

A2 = 1.01298

A1+A2=2.54592