Ejercicios de Investigacion

INVESTIGACIN DE OPERACIONES

UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

ADMINISTRACION

TACNA PERU

LIC. KILBERT CHUSI HUAMANI

TEMA: Ejercicios y problemas del mtodo grafico

TEMA: Ejercicios y problemas del mtodo grafico

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Resolver problemas mediante el mtodo grafico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Determinar los pasos para desarrollar los problemas mediante el mtodo

grafico.

Analizar las posibles soluciones que se pueden presentar mediante la

aplicacin del mtodo grafico en los problemas de pl.

Desarrollar problemas de comercio exterior mediante el mtodo grafico.

JUSTIFICACION

El presente investigacin se realizo con el objetivo de optimizar nuestros

conocimientos relacionados problemas del mtodo grafico , lo que nos permite

tener una visin ms amplia permitiendo tener en cuenta todos aspectos ms

relevantes a este tema como sus caractersticas, lo que contribuye a la buena

formacin acadmica a travs de los conocimientos adquiridos. Es por eso que es

muy importante el estudio de este tema.

PROBLEMAS DE PLANTEO METODO GRAFICO

FORMULACION DE DIETA

Una dieta debe contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de

protenas. El alimento a contienen dos unidades de carbohidratos y 4 de protenas;

el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de protenas. Si el

alimento A cuesta 1.20 dlares por unidad y el B 0.80 dlares por unidad,

Cuantas unidades de cada alimento deben comprarse para minimizar costos?

Cul es el costo mnimo?

Alimento A Alimento B Disponibilidad

Carbohidratos 2 2 16

Protenas 4 1 20

Precio 1.20 24

= 1.20 + 0.80 Funcin Objetiva

2 + 2 16

4 + 20 Restricciones

; 0

2 + 2 16

2 16 2

16 2/2

8

X Y

0 4

8 0

4 + 20

20 4

-30 -20 -10 10 20 30

-30

-20

-10

10

20

30

x

y

A

BC

REMPLAZO

20-4x = 8-x Y = 8-X -4x+x= -20+8 Y = 8-4 -3x = -12 Y = 4 x = -12/-3 X = 4

= 1.20 + 0.80 FUNCIN OBJETIVA

PA = (0; 20) ZA = 1.20 (0)+0.80 (20) = 16 PB = (4; 4) ZB = 1.20 (4)+0.80 (4) =8// PC = (8; 0) ZB = 1.20 (8)+0.80 (0) =9.60

TOMA DE DECISIONES:

X Y

0 20

5 0

ZBF

Se debe comprar 4 unidades de carbohidratos y a unidades de protenas para

tener un costo mnimo de $ 8

NUTRIENTES EN FERTILIZANTES

Un agricultor compra fertilizantes que contienen tres nutrientes: A, B Y C. Los

requerimientos mnimos semanales de estos son 80 unidades A, 120 de B y 240

de C. Existen dos mesclas de fertilizantes de gran aceptacin en el mercado, la

mescla 1 cuesta 8 dlares por bolsa y contiene dos unidades de A 6 de B y 4 de

C. La mescal dos cuesta 10 dlares por bolsa con 2 unidades de A dos de By

doce de C.

Cuntas bosas de cada bolsa debe comprar el agricultor para minimizar el costo

de satisfacer su requerimiento de nutrientes?

Nutriente A

Nutriente B

Nutriente C Precio

Mezcla I 2 6 4 8

Mezcla II 2 2 12 10

Disponibilidad 80 120 240

= 8 + 10 Funcin Objetiva

2 + 2 80 6 + 2 120 4 + 12 240 Restricciones ; 0

2 + 2 80 2 80 2 80 2/2 40

X Y

0 40

40 0

X Y

6 + 2 120 2 120 6 120 6/2

60 3

4 + 12 240 12 240 -4x

240 -4x/12 20 4/12

-60 -40 -20 20 40 60

-60

-40

-20

20

40

60

x

y

A

B

CD

ZBF

REMPLAZO

40-x = 60-3x Y = 40-X -x+3x= 60-40 Y = 40-10 2x = 20 Y = 30 x = 10

REMPLAZO

40-x = 20-4/12x Y = 40-X -x+4/12x= 20-40 Y = 40-30 -12x+4x = 240-480 Y = 10 -8x =-240 X =-240/-8 x = 30

= 8 + 10 FUNCIN OBJETIVA

0 60

20 0

X Y

0 20

60 0

PA = (0; 60) ZA = 8 (0)+10 (60) = 600 PB = (10; 30) ZB = 8 (10)+10 (30) =1100 PC = (30; 10) ZC = 8(30)+10 (10) =340// PD = (60; 0) ZD = 8(60)+10 (0) =480

TOMA DE DECISIONES:

El agricultor debe comprar 3 bolsas de mezcla I y 10 bolsas de mezcla II para

tener un costo mnimo de $ 340

EXTRACCION DE MINERALES

Una compaa extrae minerales de una mina, el nmero delibras de los minerales

Ay B que pueden extraerse de cada tonelada de la mina 1 y 2 se dan en la tabla

siguiente, junto con los costos por tonelada de las minas:

MINA 1 MINA 2

MINERAL A 100 Lb 200 Lb

MINERAL B 200 Lb 50 Lb

COSTO POR

TONELADA

50 dlares 60 dlares

Si la compaa debe producir al menos 300 Lb de A y 2500 Lb de B, Cuantas

toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo?


Si la compaa debe producir al menos 3000 lb de A y 2500 de B, Cuntas

toneladas de cada mina deben procesarse con el objetivo de minimizar el costo?


Mina I Mina II Disponibilidad

Mineral A 100lb 200lb 3000lb Mineral B 200lb 50 lb 2500lb

Costo 50 60


100 + 200 3000 200 + 50 2500 Restricciones ; 0

100 + 200 3000 200 3000 100 3000 100/200 15 0.5

200 + 50 2500 50 2500 200

50 4

REMPLAZO

15-0.5x = 50-4x Y = 50-4X 4x= 60-40 Y = 50-4(10) 2x = 20 Y = 50-40 x = 10 Y = 10


PA = (0; 50) ZA = 50(0)+60 (50) = 3000 PB = (10; 10) ZB = 50(10)+60 (10) =1100

X Y

0 15

30 0

X Y

0 50

12.5 0

Series 1

Series 2

f(x)=15-0.5X

Shade 1

Shade 1

f(x)=50-4X

Shade 2

Shade 2

-60 -40 -20 20 40 60

-60

-40

-20

20

40

60

x

y

A

B

C

ZBF

TOMA DE DECISIONES:

Deben procesarse 10 toneladas de la mina I y 10 toneladas de la mina II para

tener un costo mnimo de $1100

COSTO DE CONSTRUCCION

Una compaa qumica est diseando una planta para producir dos tipos de

polmeros, P1 y P2. La planta debe tener una capacidad de produccin de

almenos 100 unidades de P1 y 420 unidades de P2 cada da. Existen dos posibles

diseos para las cmaras principales de reaccin que se incluir en la planta.

Cada cmara de tipo A cuesta 600000 dlares y es capaz de producir 10

unidades de P1 y 20 unidades de P2 por da, el tipo B es un diseo ms

econmico, cuesta 300000 dlares y es capaz de producir 4 unidades de P1 y 30

unidades de P2 por da.

A causa de los costos de operacin, es necesario tener al menos 4 cmaras de

cada tipo en la planta. Cuntas cmaras de cada tipo deben incluirse para

minimizar el costo de construccin y satisfacer el programa de produccin

requerido? (suponga que existe un costo mnimo).

Cmara A Cmara B Disponibilidad

Polmero P1 10 4 100

Polmero P2 20 30 420

Utilidad 600000 300000


10 + 4 100 20 + 30 420 Restricciones ; 0

10 + 4 100 4 100 10 100 10/4 25 5/2

20 + 30 420 30 420 20 420 20/30 14 2/3

Series 1

Series 2

f(x)=25-2.5X

Shade 1

Shade 1

f(x)=14-0.6X

Shade 2

Shade 2

-30 -20 -10 10 20 30

-30

-20

-10

10

20

30

x

y

A

B

C

ZBF

X Y

0 25

10 0

X Y

0 14

23.3 0

REMPLAZO

25-5/2x = 14-2/3x Y = 25-5/2X 150-15X= 84-4X Y = 25-5/2 (6) -15x +4X= 84-150 Y = 25-15 11x = -66 Y = 10 x = 6


PA = (0; 25) ZA = 600000(0)+300000 (25) = 7500000 PB = (6; 10) ZB = 600000(6)+300000 (10) = 6600000// PC = (23.3; 0) ZC = 600000(23.3)+300000 (0) = 13980000 TOMA DE DECISIONES:

Se debe incluir 6 cmaras de tipo A y 10 cmaras de tipo B para tener un costo

mnimo de $ 6`600.000

Una compaa de fletes maneja envos para dos empresas A y B, localizadas en la

misma ciudad. La empresa A enva cajas que pesan, 3 Kg y tienen un volumen de

2 pies3; la empresa B enva cajas de 1 pie3 que pesan 5kg cada una. Tanto A

como B envan al mismo destino. El costo de transporte por cada caja de A es de

$ 0.75 y el de B es de $0.50. La compaa de fletes tiene un camin con 2400

pies3 de espacio para carga y una capacidad mxima de 9200 kg. En un trayecto,

elabore un programa para saber cuntas cajas de cada empresa debe transportar

este camin de modo que la compaa de fletes reciba un ingreso mximo.

Kg Pies

Masa Volumen Utilidad

Empresa A 3 2 0.75

Empresa B 5 1 0.50

Disponibilidad 9200 2400

Maximizar

= 0.75 + 0.50

Sujeta a:

1) 3x + 5y 9200

2) 2x + y 2400

1) 3x + 5y 9200

5y 9200 3x

y = 1840 3

5

X 0 3066.7

Y 1840 0

2) 2x + y 2400

y 2400 2x

y = 2400 2x

X 0 1200

Y 2400 0

Punto C

2400 2x = 1840 3

5

2x + 3

5 = 1840 2400

7

5 = 560

Zona Factible

x = 400 Reemplazar

y = 2400 2x y = 2400 2 (400) y = 1600

() = 0.75(0) + 0.50(0) Z(A) = 0

() = 0.75(0) + 0.50(1840) () = 920

() = 0.75 (400) + 0.50 (1600) () = 1100

() = 0.75 ( 1200) + 0.50 (0) () = 900

Toma de Decisiones: La empresa A debe transportar 400 cajas para lo cual la

compaa recibe un ingreso de $300 y la empresa B debe transportar 1600 cajas

para que reciba un ingreso de 800 y de esta manera la compaa pueda obtener

una utilidad mxima de 1100 usd.

La empresa Producto Natural est considerado elaborar un nuevo bocadillo bajo

en grasa. Sera una mezcla de dos tipos de cereales, cada uno de los cuales tiene

diferentes caractersticas de fibra, grasa y protenas. La siguiente tabla muestra

estas caractersticas de nutricin para una onza de cada tipo de cereal.

FIBRA

DIETTICA

(GRAMOS)

GRASA

(GRAMOS)

PROTENAS

(GRAMOS)

A 2 2 4

B 1.5 3 3

Los requerimientos de nutricin de Producto Natural exigen que cada onza del

nuevo alimento contenga al menos 1.7g de protenas. El costo del cereal A es

$0.020 por onza y el costo del cereal B es $0.025 por onza. Producto Natural

desea determinar cunto de cada cereal se necesita para producir 1 onza del

nuevo producto alimentario con el menor costo posible. Formule un modelo de

programacin lineal para esta situacin.

Minimizar

FIBRA

DIETTICA

(GRAMOS)

GRASA

(GRAMOS)

PROTENAS

(GRAMOS)

COSTOS

A 2 2 4 0.020

B 1.5 3 3 0.028

Disponibilidad 1.7 2.8 3.6

= 0.020 + 0.025

Sujeta a:

1) 2 + 1.5 1.7 2) 2x + 3y 2.8 3) 4x + 3y 3.6

1) 2 + 1.5 1.7 1.5y 1.7 2x y = 1.13 1.33x

X 0 1.13

Y 0.85 0

2) 2x + 3y 2.8 3y 2.8 2x y = 0.93 0.66x

X 0 0.93

Y 1.4 0

3) 4x + 3y 3.6 3y 3.6 4x y = 1.2 1.33x

No existe solucin ptima

La compaa P & T fabrica y vende productos. Dicha compaa obtiene una

ganancia de $120 por cada unidad que vende de su producto1, y de $40 por cada

unidad de su producto 2. Los requerimientos en trminos de horas de trabajo para

la fabricacin de estos productos en los tres departamentos de produccin se

enumeran de manera resumida en la siguiente tabla. Los supervisores de estos

departamentos han estimado que tendrn las siguientes disponibilidades de horas

de trabajo durante el prximo mes: 800 horas en el departamento 1600 horas en el

departamento 2 y 2000 horas en el departamento 3. Suponiendo que la

compaas este interesas en maximizar las ganancias, desarrolle usted el modelo

de programacin lineal correspondiente.

DEPARTAMEN

TO 1

DEPARTAMEN

TO 2

DEPARTAMEN

TO 3

UTILIDA

D

Producto 1 1 hora 1 hora 2 horas $ 120

Producto 2 2 horas 3 horas 3 horas $ 40

Disponibilid

ad

800 horas 600 horas 2000 horas

= 120 + 40

Sujeta a:

1) + 2 800

2) x + 3y 600

3) 2x + 3y 2000

1) + 2 800 2y 800 x

y = 400

2

X 0 800

Y 400 0

2) + 3 600

3 600

y = 200

3

X 0 600

Y 200 0

3) 2x + 3y 2000 3y 2000 2x

y

= 666.66 2

3

X 0 999.99

Y 666.66 0

A = (0 ; 0) B = (0 ; 200) C = (800 ; 0)

Zona Factible

() = 120(0) + 40(0) Z(A) = 0

() = 120(0) + 40(200) () = 8000

() = 120 (800) + 40 (0) () = 96000

Toma de Decisiones: Para maximizar las ganancias la empresa debe elaborar

800 productos del 1 y con ello se obtiene una ganancia de 96000 dlares.

Como parte de una iniciativa de mejoramiento de la calidad, los empleados de T &

P complementan un programa de capacitacin de tres das en trabajos en equipo

y un programa de capacitacin de dos das en solucin de problemas. El gerente

de mejoramiento de la calidad ha solicitado que este ao, se ofrezcan al menos 8

programas de capacitacin en trabajo de equipo y al menos 10 en capacitacin en

solucin de problemas. Adems, la administracin de nivel ejecutivo ha

especificado que deben ofrecerse al menos 25 programas de capacitacin en este

periodo. T & P emplea un asesor para impartir los programas de capacitacin. M

Durante el siguiente ao, el asesor tiene 84 das de tiempo de capacitacin

disponible. Cada programa de capacitacin de trabajo en equipo cuesta $1000 y

cada programa de capacitacin sobre solucin de problemas cuesta $ 800.

Formule un modelo de programacin lineal que pueda usarse para determinar la

cantidad de programas de capacitacin sobre trabajo en equipo y la cantidad de

programas de capacitacin sobre solucin de problemas que deben ofrecerse para

minimizar el costo total.

ASESOR ADMINISTRADOR COSTO

Trabajo en Equipo

8 12.5 1000

Solucin de problemas

10 12.5 800

Disponibilidad 84 1

= 1000 + 800

Sujeta a:

1) 8 + 10 84

2) 12.5 + 12.5 1

1) 8 + 10 84 10 84 8 y = 8.4 0.8 x

X 0 10.5

Y 8.4 0

2) 12.5 + 12. 1 12.5 1 12.5

y = 1

12.5

X 0 0.08

Y 0.08 0

Z = 1000x + 800y Z(A) = 1000(0) + 800(8.36)

Z(A) = 6688 Z (B) = 1000(0) + 800(5)

Z(B) = 4000

Zona Factible

Toma de decisiones: Para minimizar el costo total se deben dar 0 programas de

capacitacin de equipo de trabajo y 5 programas de capacitacin de solucin de

problemas. Dndonos un costo total de 4000 dlares.

PROBLEMAS METODO GRAFICO APLICADOS AL COMERCIO EXTERIOR

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos

tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el

8%. Decidimos invertir un mximo de 130.000 euros en las del tipo A y como

mnimo 60.000 en las del tipo B. Adems queremos que la inversin en las del tipo

A sea menor que el doble de la inversin en B. Cul tiene que ser la distribucin

de la inversin para obtener el mximo inters anual?

Solucin

Es un problema de programacin lineal.

Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A

Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B

Inversin Rendimiento

Tipo A X 0,1x

Tipo B Y 0,08y

210000 0,1x+0,08y

Condiciones que deben cumplirse (restricciones):

R1

R2

R3

R4

Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la

regin factible (conjunto de puntos que cumplen esas condiciones).

r1 r2 (paralela a OY) r3 (paralela a OX) r4

X y x y x y x y

0 210000 130000 0 0 60000 0 0

210000 0 130000 65000

La regin factible es la pintada de amarillo, de vrtices A, B, C, D y E

A (0, 60000), B (120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0,

210000)

La funcin objetivo es;

F(x, y)= 0,1x+0,08y

Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar

grficamente que el vrtice mas alejado es el D, y por tanto es la solucin

ptima.

Comprobarlo analticamente (es decir comprobar que el valor mximo de la

funcin objetivo, F, se alcanza en el vrtice D).

2. En una pastelera se hacen dos tipos de tartas para comercializarlas en

Colombia: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por

cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta

Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas.

de beneficio. En la pastelera se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de

bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden

hacer mas de 125 tartas de cada tipo. Cuntas tartas Vienesas y cuantas Reales

deben vender al da para que sea mximo el beneficio?

Solucin

En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:

Tipo N Bizcocho Relleno Beneficio

T. Vienesa x 1.x 0,250x 250x

T. Real y 1.y 0,500y 400y

150 50

Funcin objetivo (hay que obtener su mximo): f(x, y)=250x+ 400y

Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):

Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la regin

factible:

Para 0.25x+0.50y=50, x + 2y=200

X Y

0 100

200 0

Para x + y =150

x Y

0 150

150 0

La otras dos son paralelas a los ejes

Al eje OY x=125

Al eje Ox y =125

Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las

soluciones deben estar en el primer cuadrante

La regin factible la hemos coloreado de amarillo:

Encontremos los vrtices:

El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las

intersecciones con los ejes coordenados)

Se observa que la restriccin y es redundante (es decir sobra)

Resolviendo el sistema:

, por reduccin obtenemos y=50, x=100

Otro vrtice es el punto C(100, 50)

Y el ltimo vrtice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:

X+y=150

X=125

Cuya solucin es: X=125, Y=25 B(125, 25)

Los vrtices de la regin son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),

Si dibujamos el vector de direccin de la funcin objetivo f(x, y)=250x+ 400y

Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200

X Y

0 0

200 -125

Se ve grficamente que la solucin es el punto (100, 50), ya que es el vrtice ms

alejado

(El ltimo que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y= 0 )

Lo comprobamos con el mtodo analtico, es decir usando el teorema que dice

que si existe solucin nica debe hallarse en uno de los vrtices

La uncin objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vrtices obtenemos

f(125,0)=31.250

f(125,25)=31.250+10.000=41.250

f(100,50)=25.000+20.000=45.000

f(0,100)=40.000

El mximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)

Conclusin: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.

ABSTRAC

Is an algebraic method and it is used to solve problems of lineal programming as to

maximize and to minimize the function objective.

This algebraic method is very efficient it is used generall operations like the

multiplication, sum subtraction of applied lines to the basic arithmetic what allows

to be solved several restrictions with different variables and different equations,

sometimes taking into account that it exists an i number total of incognito similar to

the i number of variables but it is but effective when it is to solve problems that

have but incognito that equations

The steps to build the main simplex are:

We build the objective function

We build the restrictions that can be determined

We build the charts simplex

If it exists negative indicators the column it is located the one that the value

appears but negative this column you the pivotea

Divide each positive entrance above it lines her among dotted of the column,

choose the value but small that calls you pivoteo.

Mark the entrance column pivoteo that corresponds to the quotient but small of the

previous step, this it is the entrance pivoteo the variable that alone it is that that this

to the left of the line pivots.

It uses the operations of the pivoteo where the pivoteo should be a value of 1 and

the other of this column will be made zero.

In the left side of this chart the variable that this it replaces to the variable that

comes out.

CONCLUSIONES

El mtodo grfico se utiliza para la solucin de problemas de PL,

representando geomtricamente a las restricciones, condiciones tcnicas y

el objetivo.

Los pasos necesarios para realizar el mtodo son nueve los mismos que

permiten determinar el desarrollo y la forma de estructurar el mtodo

grafico.

Mediante el mtodo grafico se puede encontrar regiones factibles y no

factibles las cuales ayudan a la toma de decisiones de los problemas

planteados ya sean de comercio exterior.

RECOMENDACIONES

El modelo se puede resolver en forma grfica si slo tiene dos variables.

Para modelos con tres o ms variables, el mtodo grfico es imprctico o

imposible.

Si la regin factible no es acotada, este mtodo puede ser errneo:

soluciones ptimas siempre existen cuando la regin factible est acotada,

pero pueden no existir en el caso no acotado. Si la regin factible no es

acotada, estamos minimizando una funcin objetiva cuyos coeficientes son

no negativos, entonces existe una solucin dado por este mtodo.

Es importante que los estudiantes conozcamos los pasos que se deben

seguir para resolver los problemas mediante el mtodo grafico para as

evitar posible errores al momento de obtener la solucin que se desea.

LINKOGRAFIA

html.rincondelvago.com/investigacion-de-operaciones.html

www.eio.uva.es/~ricardo/io/introio.pdf

http://www.investigaciondeoperaciones.net

http://www.eio.uva.es/~ricardo/io/introio.pdfhttp://www.investigaciondeoperaciones.net/

Ejercicios de Investigacion

Documents

Transcript of Ejercicios de Investigacion