Ejercicios de lógica

5/13/2018 Ejercicios de l gica - slidepdf.com

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E j e r c i c i o s P r i m e r P a r c i a l

1 . I n d i q u e e l a n t e c e d e n t e y e l c o n s e c u e n t e p a r a c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s

e n u n c i a d o s .

a ) S i l a l u n a e s t á h e c h a d e q u e s o , e n t o n c e s 8 e s u n n ú m e r o i r r a c i o n a l .

b ) E l p e z m u e r d e s ó l o c u a n d o l a l u n a e s t á l l e n a .

c ) b d i v i d e a 3 s i y s ó l o s i b d i v i d e a 9.

2 . E s c r i b e e l o p u e s t o y l a c o n t r a p o s i t i v a p a r a c a d a e n u n c i a d o d e l i n c i s o

a n t e r i o r .

3 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s c o n d i c i o n a l e s s o n v e r d a d e r o s ?

a ) S i e l h e x á g o n o t i e n e s e i s l a d o s , e n t o n c e s l a l u n a e s t á h e c h a d e q u e s o .

b ) S i 5 < 2 , e n t o n c e s 10 < 7 .

c ) S i e l c u m p l e a ñ o s d e E u c l i d e s f u e e l 2 d e a b r i l , e n t o n c e s l o s r e c t á n g u l o s

t i e n e n c u a t r o l a d o s .

4 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s s o n p r o p o s i c i o n e s ?

a ) ¾ D ó n d e e s t á n l a s l l a v e s d e m i a u t o ?

b ) E n t r e e l 1 d e e n e r o d e l 2 2 0 5 y e l 1 d e e n e r o d e 2 2 1 5 , l a p o b l a c i ó n m u n d i a l

s e d u p l i c o .

c ) x2

≤20 .

5 . H a c e r l a s t a b l a s d e v e r d a d p a r a c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s f o r m a s

p r o p o s i c i o n a l e s .

a ) ( p ∧ q) ∨ ¬q .

b ) ( p ∨ ¬q) ∧ r .

c ) ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r).

d ) ( p ∨ q) ⇒ ( p ∧ q).

e ) [(q ⇒ s) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ [( p ∨ q) ⇒ (s ∨ r)].

6 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e f o r m a s p r o p o s i c i o n a l e s s o n e q u i v a -

l e n t e s ?

a ) ( p ∨ q) ∨ r, p ∨ (q ∨ r) .

b ) ( p ∧ q) ∨ r, p ∨ (q ∧ r).

c ) p ∧ (q ∨ r), ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) .

1



7 . D é u n a n e g a c i ó n c o n v e n i e n t e p a r a c a d a e n u n c i a d o .

a ) L a s r o s a s s o n r o j a s y l a s v i o l e t a s a z u l e s .

b ) S u e e s c o g e r á y o g u r t p e r o n o e s c o g e r á h e l a d o .

c ) n e s p a r y n n o e s m ú l t i p l o d e 5. ( A s u m a q u e n e s u n e n t e r o . )

8 . S e a p l a s e n t e n c i a " q e s v e r d a d " y s e a q l a s e n t e n c i a " p e s v e r d a d " . ¾ E s

p u n a p r o p o s i c i ó n ? E x p l i q u e .

9 . D e t e r m i n e s i c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n u n a t a u -

t o l o g í a , u n a c o n t r a d i c c i ó n o n i n g u n a . P r u e b e s u r e s p u e s t a .

a ) ( p ∧ q) ∨ ((¬ p) ∧ (¬q)).

b ) (a

∧b)

∨(a

∧ ¬b)

∨((

¬a)

∧b)

∨((

¬a)

∨(

¬b)) .

c ) p ∨ ((¬q) ∧ p) ∧ (r ∨ q) .

d ) ( p ⇔ q) ⇔ ¬(¬ p ∨ q) ∨ (¬ p ∧ q).

e ) [ p ⇒ (q ∧ r)] ⇒ [r ⇒ ( p ⇒ q)].

1 0 . R e e s c r i b a c a d a u n a d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s u s a n d o c o n e c t i v o s

l ó g i c o s . A s u m a q u e c a d a s í m b o l o n , x, S r e p r e s e n t a n a l g ú n o b j e t o c o m -

p u e s t o .

a ) S i n e s p r i m o , e n t o n c e s n = 2 o n e s i m p a r .

b ) S e s c o m p a c t o s i y s o l o s i S e s c e r r a d o y a c o t a d o .

c ) 6 ≥ n − 3 s ó l o s i n > 4 ó n > 10.

d )

xe s d e C a u c h y i m p l i c a q u e

xe s c o n v e r g e n t e .

1 1 . D a r , d e s e r p o s i b l e , u n e j e m p l o d e u n a f r a s e c o n d i c i o n a l f a l s a p a r a e l

c u a l .

a ) L a c o n v e r s a e s v e r d a d e r a .

b ) L a c o n v e r s a e s f a l s a .

c ) L a c o n t r a p o s i t i v a e s v e r d a d e r a .

d ) L a c o n t r a p o s i t i v a e s f a l s a .

1 2 . L a i n v e r s a u o p u e s t a , d e u n a s e n t e n c i a c o n d i c i o n a l p ⇒ q e s

¬ p

⇒ ¬q .

a ) M o s t r a r q u e p ⇒ q y s u i n v e r s a n o s o n f o r m a s e q u i v a l e n t e s .

b ) P a r a c a d a v a l o r d e l a p r o p o s i c i ó n p y q . ¾ S o n p ⇒ q y s u i n v e r s a a m b a s

v e r d a d e r a s ?

c ) ¾ C u á l e s e q u i v a l e n t e a l c o n v e r s o d e u n s e n t e n c i a c o n d i c i o n a l . ¾ L a c o n t r a -

p o s i t i v a d e s u i n v e r s o , o e l i n v e r s o d e s u c o n t r a p o s i t i v a ?

2



1 3 . T r a d u z c a l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s d e l e s p a ñ o l a e n u n c i a d o s s i m b ó l i -

c o s c o n c u a n t i c a d o r e s . E l u n i v e r s o d e c a d a u n o e s t á d a d o e n t r e p a r é n t e s i s .

a ) A l g u n o s t r i á n g u l o s i s ó s c e l e s s o n t r i á n g u l o s r e c t á n g u l o s . ( T o d o s l o s t r i á n -

g u l o s )

b ) A l g u n a s p e r s o n a s s o n h o n e s t a s y a l g u n a s p e r s o n a s n o l o s o n . ( T o d a s l a s

p e r s o n a s )

c ) P a r a c a d a r e a l p o s i t i v o x, h a y u n ú n i c o r e a l y t a l q u e 2y = x. ( N ú m e r o s

r e a l e s )

1 4 . P a r a c a d a p r o p o s i c i ó n e n e l e j e r c i c i o 1 3 , e s c r i b a l a n e g a c i ó n , y d é u n a

t r a d u c c i ó n a l e s p a ñ o l .

1 5 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s s o n v e r d a d e r o s ? E l u n i v e r s o p a r a

c a d a u n o e s t a d a d o e n t r e p a r é n t e s i s .

a ) (∃x)(2x + 3 = 6x + 7) ( N ú m e r o s n a t u r a l e s )

b ) (∀x)(x2 + 6x + 5 ≥ 0)( N ú m e r o s r e a l e s )

c ) (∀x)(x3 + 17x2 + 6x + 100 ≥ 0)( N ú m e r o s r e a l e s )

1 6 . E s c r i b a l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s u s a n d o l a n o t a c i ó n {x : P (x)}.

a ) E l c o n j u n t o d e e n t e r o s c u y o c u a d r a d o e s m e n o r q u e 17.

b ) [−5, −1]c ) E l c o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s m e n o r q u e

−1.

1 7 . ¾ V e r d a d e r o o f a l s o ?

a ) {∅} ⊆ {∅, {∅}} .

b ) P a r a c a d a c o n j u n t o A, {∅} ⊆ A.

c ) {1, 2} ∈ {{1, 2, 3}, {1, 3}, 1, 2}.

1 8 . E s c r i b e l o s c o n j u n t o s p o t e n c i a , P (X ) , p a r a c a d a u n o d e l o s s i g u i e n t e s

c o n j u n t o s .

a ) X = {∅, {a}, {b}, {a, b}}b ) X =

{1,

{2,

{3

}}}1 9 . P r u e b e q u e s i A ⊆ B , B ⊆ C y C ⊆ A, e n t o n c e s A = B y B = C .

2 0 . A s i g n e u n a c a l i c a c i ó n d e A ( c o r r e c t o ) , C ( p a r c i a l m e n t e c o r r e c t o ) o

F ( f r a c a s o ) a c a d a u n o . J u s t i c a r l a s a s i g n a c i o n e s d e o t r a c a l i c a c i ó n q u e n o

3



s e a A .

a ) S i

A,

By

C s o n c o n j u n t o s y

A ⊆ By

B ⊆ C , e n t o n c e s

A ⊆ C .

P r u e b a : S e a A = { 1 , 5 , 8 } , B = { 1 , 4 , 5 , 8 , 1 0 } y C = { 1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 8 , 1 0 } . E n -

t o n c e s A ⊆ B , B ⊆ C y A ⊆ C .

b ) S i A, B y C s o n c o n j u n t o s y A ⊆ B y B ⊆ C , e n t o n c e s A ⊆ C .

P r u e b a : s i x ∈ C , e n t o n c e s , d a d o q u e B ⊆ C , x ∈ B . P u e s t o q u e A ⊆ B

y x ∈ B , s e d e d u c e q u e x ∈ A. D e e s t o x ∈ C i m p l i c a x ∈ A. P o r l o t a n t o

A ⊆ C

c ) S i A e s u n c o n j u n t o , A ⊆P (A) .

P r u e b a : A s u m i m o s q u e A e s u n c o n j u n t o . S u p o n g a m o s q u e x ∈ A. E n t o n c e s

{x} ⊆ A. P o r l o t a n t o x ∈P (A) . P o r l o t a n t o , A ⊆

P (A) .

2 1 . S e a U e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s e n t e r o s . S e a n E , D , P y N l o s c o n j u n t o s

d e t o d o s l o s e n t e r o s p a r e s , i m p a r e s , p o s i t i v o s y n e g a t i v o s r e s p e c t i v a m e n t e .

E n c o n t r a r .

a ) P − E

b ) P − N

c ) D

d ) U − P

2 2 . S e a U = {I, 2, 3} e l u n i v e r s o d e l o s c o n j u n t o s A = {I, 2} y B = {2, 3}.

E n c o n t r a r

a ) P

(A) ∩P

(B)b ) P (A) ∪

P (B)

2 3 . S e a U e l u n i v e r s o , s e a n A y B s u b c o n j u n t o s d e U . E n t o n c e s

a ) A ⊆ B s s i B ⊆ A

b )

A ∪ B = A ∩ B

c )

A ∩ B = A ∪ B

( b ) y c ) l e y e s d e D e M o r g a n )

2 4 . S e a n A y B c o n j u n t o s .

a ) D e m o s t r a r q u e P (A)∪

P (B)⊆

P (A∪

B)b ) M o s t r a r c o n u n e j e m p l o q u e l a i g u a l d a d d e c o n j u n t o n o e s n e c e s a r i a -

m e n t e e l c a s o e n l a p a r t e a ) . ¾ B a j o q u é c o n d i c i o n e s s o b r e A y B s e c u m p l e

P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B) ?

4



2 5 . S e d e n e l a o p e r a c i ó n d i f e r e n c i a s i m é t r i c a c o m o

A B = (A − B) ∪ (B − A)

P r u e b e q u e

a ) A B = B A

b ) A B = (A ∪ B) − (A ∩ B)

2 6 . P r u e b e q u e p a r a c a d a f a m i l i a n o v a c í a A d e c o n j u n t o s ,

A∈A

A ⊆

A∈A

A

.

2 7 . S e a A = {Aα : α ∈ ∆} u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s y s e a B u n c o n j u n t o ,

p r u e b e q u e

B ∩

α∈∆

Aα =

α∈∆

(B ∩ Aα)

2 8 . S e a A u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s , s u p o n g a q u e A ⊆ D p a r a c a d a A ∈ A .

P r u e b e q u e

A∈A

A

⊆D

.

2 9 . P r u e b e q u e , s i A = {Aα : α ∈ ∆}e s d i s j u n t a p o r p a r e s y A c o n t i e n e

a l m e n o s d o s c o n j u n t o s q u e n o s o n i g u a l e s , e n t o n c e s

α∈∆

Aα = ∅

.

3 0 . S e a A =

{Ai : i

∈N

}u n a f a m i l i a d e c o n j u n t o s y s e a n k , m n ú m e r o s

n a t u r a l e s c o n k ≤ m. p r u e b e q u e

a )

k+1

i=1

Ai =k

i=1

Ai ∪ Ak+1

5



b )

∞

i=1

Ai ⊆m

i=k

Ai

3 1 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s s o n p r o p o s i c i o n e s ? D e s e r l o , i n -

d i q u e s u v a l o r d e v e r d a d .

a ) E l e n t e r o 0 e s p a r .

b ) 5x + 3 e s u n e n t e r o i m p a r .

c ) E l e n t e r o 123 e s p r i m o .

3 2 . ¾ C u á l e s d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n v e r d a d e r a s ? D é u n a e x p l i -

c a c i ó n p a r a c a d a p r o p o s i c i ó n f a l s a .

a ) ∅ ∈ ∅.

b ) {1, 3} = {3, 1}

.

c ) 1 ⊆ {1}.

3 3 . D é l a n e g a c i ó n d e c a d a u n a d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s .

a )

√2 e s u n n u m e r o r a c i o n a l .

b ) Q e s u n e n t e r o n o n e g a t i v o .

c ) 111 e s u n n ú m e r o p r i m o .

3 4 . S e a p : 15 e s u n n ú m e r o i m p a r y q : 21 e s p r i m o . I n d i c a r c a d a u n o d e

l o s s i g u i e n t e s e n p a l a b r a s y d e t e r m i n a r s i s o n v e r d a d e r o s o f a l s o s .

a ) P ∨ Q .

b ) P ∧ Q.

c ) (¬P ) ∨ Q .

d ) P ∧ (¬Q).

3 5 . D a d a l a i m p l i c a c i ó n (q ∨r) ⇒ ¬ p f a l s a y q f a l s a . D e t e r m i n e l o s v a l o r e s

d e v e r d a d d e r y p .

3 6 . C o n s i d e r e l a s p r o p o s i c i o n e s p : x = −2 y q : x2 = 4 . I n d i c a r c a d a u n a

d e l a s s i g u i e n t e s e n p a l a b r a s :

a ) p ∨ q .

b ) p ⇒ q .

6



c ) p ⇔ q .

3 7 . M o s t r a r q u e p ⇒ ( p ∨ q) e s u n a t a u t o l o g í a .

3 8 . a ) ¾ É s ¬( p ∨ q) l ó g i c a m e n t e e q u i v a l e n t e a (¬ p) ∨ (¬q) ? E x p l i q u e

b ) ¾ Q u é p u e d e d e c i r a c e r c a d e ¬( p ∨ q) ⇔ ((¬ p) ∨ (¬q))?

3 9 . E s c r i b a l a n e g a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s a b i e r t o s .

a ) x = 0 ó y = 0.

b ) l o s e n t e r o s a y b s o n a m b o s p a r e s .

4 0 . C o n s i d e r e l a i m p l i c a c i ó n : s i x e y s o n p a r e s e n t o n c e s xy e s p a r .

a ) I n d i q u e l a i m p l i c a c i ó n u s a n d o " s o l o s i " .

b ) I n d i q u e l a c o n v e r s a d e l a i m p l i c a c i ó n .

4 1 . I n d i q u e l a n e g a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s c u a n t i c a d o s . D o n d e

t o d o s l o s c o n j u n t o s s o n s u b c o n j u n t o s d e a l g ú n u n i v e r s o U .

a ) P a r a c a d a c o n j u n t o A, A ∩ A = ∅b ) E x i s t e u n c o n j u n t o A t a l q u e A ⊆ A.

4 2 . I n d i q u e l a n e g a c i ó n d e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s c u a n t i c a d o s .

a ) P a r a c a d a n ú m e r o r a c i o n a l r , e l n u m e r o

1

re s r a c i o n a l .

b ) E x i s t e u n n u m e r o r a c i o n a l

rt a l q u e

r

2

= 2.

4 3 . S e a S e l c o n j u n t o d e l o s e n t e r o s i m p a r e s , y s e a P (x) : x2 + 1 e s p a r y

Q(x) : x2 p a r

a ) E s c r i b a ∀x ∈ S , P (x) y

∃x ∈ S e n p a l a b r a s .

b ) D e n a u n e n u n c i a d o a b i e r t o R(x) y e n t o n c e s i n d i q u e ∀x ∈ S , R(x) y

∃x ∈ S , R(x) e n p a l a b r a s .

4 4 . S i m b o l i z a r l a s p r o p o s i c i o n e s s i g u i e n t e s :

a ) S i u n a s u s t a n c i a o r g á n i c a s e d e s c o m p o n e , e n t o n c e s s u s c o m p o n e n t e s s e

t r a n s f o r m a n e n a b o n o y f e r t i l i z a n t e s d e s u e l o .

b ) O s u s d e b e r e s e s t á n t e r m i n a d o s , o s i n o e s t á n t e r m i n a d o s t e n d r á q u e h a -

c e r l o s p o r l a n o c h e .

c ) S i e s t e m i n e r a l n o e s d u r o , e n t o n c e s n o e s t á c o m p u e s t o d e c r i s t a l e s .

4 5 . D e t e r m i n a r l o s v a l o r e s d e v e r d a d d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s , s i p

7



y q s o n p r o p o s i c i o n e s c i e r t a s y a y b s o n p r o p o s i c i o n e s f a l s a s .

a )

( p ⇒ a) ⇒ (¬ p ⇒ ¬a)b ) (¬ p ∨ b) ∨ (¬b ∧ a)c ) ( p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)

4 6 . M o s t r a r m e d i a n t e t a b l a s d e v e r d a d c u a l e s d e l a s s i g u i e n t e s , s o n e q u i v -

a l e n c i a s t a u t o l ó g i c a s .

a ) ( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p) .

b ) p ⇔ p ∨ q .

c ) ( p ⇒ q) ⇔ ¬ p ∨ q .

4 7 . S i m b o l i z a r c o m p l e t a m e n t e l o s s i g u i e n t e s e n u n c i a d o s .

a ) N i n g ú n h o m b r e e s a l a v e z l o c o y c u e r d o .

b ) S o l o l o s n ú m e r o s p o s i t i v o s s o n m a y o r e s q u e c e r o .

c ) P a r a t o d o x, x e s p o s i t i v o s i y s ó l o s i x e s m a y o r q u e c e r o .

4 8 . D e n o t e c o n s l a p r o p o s i c i ó n " y o e s t u d i o " , y c o n p l a p r o p o s i c i ó n " y o

p a s a r e e l c u r s o " . E x p r e s e s i m b ó l i c a m e n t e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :

a ) S i e s t u d i o p a s a r e e l c u r s o .

b ) E s t u d i o o n o p a s a r e e l c u r s o .

c ) P a s a r e e l c u r s o s i y s o l a m e n t e e s t u d i o .

4 9 . C a l c u l e e l v a l o r d e v e r d a d d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s , s u p o n i e n d o

q u e p e s v e r d a d e r a y q e s f a l s a .

a ) p ∨ q .

b ) p ∨ (¬ p ∧ q).

c ) ¬( p ⇔ q) .

5 0 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s ?

a ) 3 e s p a r p e r o 7 e s i m p a r ; e s f a l s o q u e : 3 e s p a r i m p l i c a q u e 7 e s p a r .

b ) S ó l o s i l a v a s l o s p l a t o s v a s a l c i n e ; s i l a v a s l o s p l a t o s v a s a l c i n e .

5 1 . D e t e r m i n e c u á l e s d e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s s o n d e l t i p o

∀x ∈ U : p(x) ó ∃x ∈ U : p(x)p r e c i s a n d o e l c o n j u n t o u n i v e r s a l , l a p r o p o s i c i ó n a b i e r t a p(x) y e x p r é s e l a s s i m -

b ó l i c a m e n t e .

a ) C u a l q u i e r h o m b r e , s i t r a b a j a , s e a g o t a .

b ) A l g ú n t r i á n g u l o p u e d e s e r e q u i l á t e r o y n o t e n e r l o s 3 l a d o s i g u a l e s .

8



c ) N i n g ú n h o m b r e v i v e m á s d e 1 5 0 a ñ o s .

d ) T o d o s l o s n ú m e r o s r e a l e s c u m p l e n q u e s u c u a d r a d o e s p o s i t i v o .

5 2 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s p a r e s d e p r o p o s i c i o n e s s o n e q u i v a l e n t e s ?

a ) ∀x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2;

¬(∃x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2)b ) ∃x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 + 1 = 2; ¬(∀x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2)c ) T o d a s l a s p e r s o n a s o y e n c o n s e j o , o n o l l e g a r á n a v i e j o s ; c a d a p e r s o n a q u e

o y e c o n s e j o l l e g a a v i e j o

5 3 . D a d a s l a s s i g u i e n t e s p r e m i s a s t r a t e d e o b t e n e r c o n c l u s i o n e s c o r r e c t a s :

a ) N i n g ú n c u a d r ú p e d o s a b e v o l a r ; l o s g a t o s n o v u e l a n .

b ) S i H o r a c i o c o m e a d e s h o r a s , e n g o r d a r á ; H o r a c i o n o h a e n g o r d a d o .

5 4 . A v e r i g ü e s i s o n r e g l a s d e i n f e r e n c i a l a s s i g u i e n t e s f o r m a s :

a ) p ⇒ q ; q ⇒ r

p ⇒ r

b ) p ⇒ q ; ¬r ⇒ ¬q

¬r ⇒ ¬ p

c ) ∃x ∈ U : p(x) ; ∃x ∈ U : q(x)∃x ∈ U : p(x) ∧ q(x)

5 5 . D e m u e s t r e d i r e c t a m e n t e q u e :

a )

∀x ∈ R :s i

x > 5, e n t o n c e s

x > 3.

b ) S i m y n s o n n ú m e r o s e n t e r o s i m p a r e s , e n t o n c e s m + n e s u n e n t e r o p a r .

5 6 . D e m u e s t r e p o r c o n t r a d i c c i ó n q u e s i x e s r a c i o n a l y y e s i r r a c i o n a l e n -

t o n c e s x - y e s i r r a c i o n a l .

5 7 . D e m u e s t r e l a s s i g u i e n t e s p r o p o s i c i o n e s :

a ) ( ∀x ∈ R : x2 + 6 = 10 ) e s f a l s a .

b ) ( ∃x ∈ R : x2 + 6 = 0) e s v e r d a d e r a .

c ) ( ∀x ∈ R : x2 < 0 ⇒ x2 + 6 = 10 ) e s v e r d a d e r a .

5 8 . S i E = {1, 0} d e c i r e n t r e l a s a r m a c i o n e s c u a l e s s o n c o r r e c t a s o i n -

c o r r e c t a s .

a ) {0} ∈ E .

b ) ∅ ∈ E .

c ) {0} ⊂ E .

9



d ) 0 ∈ E .

e )

0 ⊂ E .

5 9 . S i B = {0, 1, 2} h a l l a r t o d o s l o s s u b c o n j u n t o s d e B .

6 0 . S e a n A = {1, 2, ..., 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D ={3, 4, 5}

y E = {3, 5}. ¾ C u á l e s c o n j u n t o s p u e d e n s e r i g u a l e s a X d a d a s l a s

s i g u i e n t e s c o n d i c i o n e s ?

a ) X y B s o n d i s j u n t o s . b ) X ⊂ D y X B . c ) X ⊂ A y X C . d ) X ⊂ C

y X A.

6 1 . D e c i r c u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n n i t o s o i n n i t o s :

a ) E l c o n j u n t o d e r e c t a s p a r a l e l a s a l e j e x.

b ) E l c o n j u n t o d e n ú m e r o s q u e s o n m ú l t i p l o s d e 5.

c ) E l c o n j u n t o d e n ú m e r o s q u e s o n r a í c e s d e l a e c u a c i ó n .

x38 + 42x23 − 17x18 − 2x5 + 19 = 0

d ) E l c o n j u n t o d e a n i m a l e s q u e v i v e n e n l a t i e r r a .

6 2 . D e m o s t r a r A ∩ B = ∅, e n t o n c e s A ∪ B = B

.

6 3 . H a c e r u n d i a g r a m a d e V e n n c o n t r e s c o n j u n t o s n o v a c i o s A, B y C d e m o d o q u e A, B y C t e n g a n l a s s i g u i e n t e s c a r a c t e r í s t i c a s :

a ) A ⊂ B , C ⊂ B , A ∩ C = ∅.

b ) A ⊂ C , A = C , B ∩ C = ∅.

c ) A ⊂ (B ∩ C ), B ⊂ C , C = B , A = C .

6 4 . D e m o s t r a r : s i A e s u n s u b c o n j u n t o d e l c o n j u n t o v a c i o ∅

, e n t o n c e s

A = ∅.

6 5 . ¾ C u á l e s d e l o s s i g u i e n t e s c o n j u n t o s s o n v a c i o s ?

a )

B = {x|x2

= 9y2x = 4}b ) C = {x|x = x}c ) D = {x|x + 8 = 8}

D e m o s t r a r :

1 0



6 6 . B − A e s u n s u b c o n j u n t o d e A.

6 7 . B − A = B ∩ A.

6 8 . s i A ∩ B = ∅, e n t o n c e s B ∩ A = B .

6 9 . A ∩ B e s u n s u b c o n j u n t o d e A y d e B .

7 0 . A ∩ ∅ = ∅.

7 1 . S e a n A, B ⊂ S , e n t o n c e s A = B s i , y s o l a m e n t e s i , S − A = S − B .

7 2 . S i A ⊂ S , e n t o n c e s S − (S − A) = A.

7 3 . D e t e r m i n e l o s c o n j u n t o s X = (A∪B)∩(A∪Bc); Y (Ac∪Bc)∩(Ac∪B) .

7 4 . ¾ s o n v e r d a d e r a s l a s s i g u i e n t e s i m p l i c a c i c o n e s ?

a ) (A ∪ B) ⊂ (A ∪ C ) ⇒ B ⊂ C .

b ) (A ∪ B) ⊂ (A ∩ C ) ⇒ B ⊂ C .

7 5 . S u p o n g a q u e J u a n t o m a h u e v o s o t o c i n o ( o a m b o s ) p a r a s u d e s a y u n o

c a d a m a ñ a n a d u r a n t e e l m e s d e e n e r o . S i c o m e t o c i n o 2 5 m a ñ a n a s y h u e v o s

1 8 m a ñ a n a s , ¾ C u á n t a s m a ñ a n a s c o m e h u e v o s y t o c i n o ?

7 6 . S e a n A, B ⊂ S , e n t o n c e s B ⊂ A s í , y s o l a m e n t e s i , S − A ⊂ S − B .

7 7 . P o r c o n t r a d i c c i ó n , d e m u e s t r e q u e p a r a c u a l q u i e r s u b c o n j u n t o A d e U ,

A = Ac.

7 8 . C o n s t r u y a 3 e j e m p l o s d e c o n j u n t o s A y B p a r a l o s c u a l e s s e v e r i q u e n

l a s s i g u i e n t e s r e l a c i o n e s : A ∈ B, A ⊆ B y A ⊂ B .

7 9 . M u e s t r e q u e e l c o n j u n t o v a c i o e s t á c o n t e n i d o e n t o d o c o n j u n t o .

8 0 . F o r m e l a s n e g a c i o n e s d e :

a ) ∀x ∈ E, [ p ∧ (¬q)]b ) ∀x ∈ E, [ p ∨ (¬q)]

1 1

Ejercicios de lógica

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