EJERCICIOS DE LOS TEMAS 3 Y 4.pdf

UNED. ELCHE. e-mail: [email protected]

TUTORA DE ESTADSTICA EMPRESARIAL (2 A.D.E.) https://www.innova.uned.es/webpages/Ilde/Web/index.htm

CUESTIONES Y PROBLEMAS DE LOS TEMAS 3 Y 4, PROPUESTOS EN EXMENES 1/6

CUESTIONES Y PROBLEMAS DE LOS TEMAS 3 Y 4, PROPUESTOS EN EXMENES DE

ESTADSTICA EMPRESARIAL (LICENCIATURA ADE)

CUESTIONES.-

2) Explique conceptualmente cual es la utilidad del Teorema Central del Lmite.

Respuesta.-

Permite calcular probabilidades de una variable aleatoria Sn, suma de un nmero

elevado de variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas, ya que el teorema

establece que dicha suma se comporta aproximadamente como una variable Normal cuyas

media y varianza son la suma, respectivamente, de las medias y varianzas de las variables

aleatorias cuya suma es Sn.

3) Representar grficamente la funcin de densidad y de distribucin de una funcin

Uniforme Continua.

Respuesta.-

Funcin de densidad: f(x) =

resto elen ,0

bxa,ab

1

Funcin de distribucin: F(x) =

bx,1

bxa,ab

ax

ax,0

4) Indicar las caractersticas que presentan los experimentos de Poisson.

Respuesta.-

- El nmero de sucesos que ocurren en un determinado intervalo (de tiempo o de

espacio) es independiente del nmero de sucesos que ocurren en cualquier otro intervalo.

- La probabilidad de que un solo suceso ocurra en un intervalo muy pequeo es

proporcional a la longitud del intervalo y no depende del nmero de sucesos que ocurran fuera

de dicho intervalo.

- La probabilidad de que ocurra ms de un suceso en un intervalo muy pequeo es

prcticamente nula.

5) Indicar la relacin que existe entre una variable distribuida segn una ji-cuadrado de

Pearson y la distribucin Normal.

Respuesta.-

Una variable aleatoria 2 (con n grados de libertad) es suma de cuadrados de n variables aleatorias normales N(0, 1), independientes.

6) Explique brevemente cual es la utilidad del teorema de Moivre.

Respuesta.- Permite calcular probabilidades para una variable aleatoria binomial B(n, p) cuando n es

muy grande, utilizando la distribucin normal ya que establece que, cuando n tiende a infinito,




la variable aleatoria binomial B(n, p) tiende a comportarse como una variable aleatoria normal

N p1np,np . 7) Relacin entre la distribucin normal y los cambios de orgen y escala.

Respuesta.-

Sea X una variable normal N(, ). Si consideramos un nmero real cualquiera a y construimos la variable U = X + a, decimos que hemos efectuado un cambio de origen, de

manera que si X = 0 (origen de la variable X) entonces U = a (origen de la variable U).

Sabemos adems que U es normal y que E(U) = E(X) + a = + a. Tambin Var(U) = Var(X)

= 2, luego U es normal N(+a, ).

Si consideramos ahora un nmero real b>0 y construimos la variable V = b

1X, decimos

que hemos efectuado un cambio de escala, de forma que a un intervalo de longitud b de la

variable X le corresponde un intervalo de longitud 1 de la variable V. Tambin sabemos que V

sigue siendo normal y como E(V) = b

1E(X) =

b

, y Var(V) =

2

2

2b

)Xvar(b

1 , se tiene que V

es normal

b,

bN .

Si hacemos simultneamente un cambio de origen y de escala, es decir, si Y = b

aX , se

tiene que Y es normal

b,

b

aN .

Un caso particular de cambio de origen y escala es la tipificacin de la variable X, es

decir, construir la variable Z =

X que, teniendo en cuenta lo anterior, ser normal N(0, 1).

8) Por qu a veces es ms conveniente utilizar la distribucin de Poisson en vez de la

Binomial para el clculo de probabilidades?

Respuesta.-

Sabemos que

e

!x)p1(p

x

nlim

xxnx

n, donde = np, es decir, si X es binomial

B(N, p), entonces, para valores grandes de n, la probabilidad P(X = x) puede calcularse

considerando que X es de Poisson de parmetro = np. Es ms conveniente usar la distribucin de Poisson que la binomial por economa de clculo. Por ejemplo, si n = 60, p =

0,05 y x = 4, por la binomial habra que calcular 564

95,005,04

60

, mientras que por la de

Poisson se tendra 3

4

e!4

3

9) Razone porqu se puede obtener la distribucin de Poisson como lmite de la

distribucin Binomial.

Respuesta.-

Porque si en la expresin que da la probabilidad de que X = x, para una variable X

binomial B(n, p), a saber xnx p1px

n

, hacemos que n , y ponemos p =

n

, se




demuestra que xnxn

p1px

nlim

=

e

!x

x

, que es la expresin de la probabilidad de que

X = x para una variable de Poisson de parmetro . 10) Qu interpretacin tiene el hecho de que en dos distribuciones normales A y B con

medias iguales A = B, la varianza de A sea superior a la de B. Representar grficamente las distribuciones de densidad de ambas poblaciones.

Respuesta.-

Las abscisas de los puntos de inflexin de la

funcin de densidad normal N(, ) son y

+ . El valor mximo de la funcin de densidad se

obtiene para x = y es f() = 2

1. Por tanto ser

f(A) < f(B), es decir B ms apuntada que A.

PROBLEMAS.-

Solucin.-

Puesto que la variable X = camas ocupadas es discreta, haciendo una correccin por continuidad consideraremos que la funcin de densidad es la uniforme en el intervalo

[199,5, 250,5] es:

f(x) =

restoelen,0

5,250x5,199,51

1

a) P[X > 230] = (correccin por continuidad) = P[X 230,5] = 51

20dx

51

15,250

5,230

0,39.

b) P[215 X 240] = (correccin por continuidad) = P[214,5 X 240,5] =

= 51

26dx

51

15,240

5,214

0,51. El porcentaje pedido es de 51 %.

c) En la distribucin uniforme = 2

ba y 2 =

32

ab

12

ab2

. As pues:

= 2

5,2505,199 = 225 y =

32

51

32

5,1995,250

14,72




Solucin.- Suponemos que las visitas diarias a una pgina web son sucesos que ocurren de forma

independiente durante un intervalo de tiempo. Podemos decir que se trata de un experimento

que sigue un modelo de Poisson, donde = 400 (cuya media es 400 y cuya desviacin tpica es

400 = 20).

Ahora bien, puesto que es suficientemente grande, podemos considerar que la variable X = nmero de visitas diarias se distribuye, aproximadamente, normal N(400, 20). As pues:

a) P[X < 300] = (correccin por continuidad) = P[ X 299,5] =

= (tipificacin) = P

20

5,100Z = P[Z 5,025] 0.

b) P[350 < X < 600] = (correccin por continuidad) = P[350,5 X 599,5] =

= (tipificacin) = P

20

5,199Z

20

5,49 = P[2,475 Z 9,975] = (tablas) = 1 0,0067 =

= 0,9933

Si hubisemos interpretado el nmero de visitas entre 350 y 600, ambos inclusive,

hubisemos obtenido un resultado cuya diferencia con el anterior es prcticamente

insignificante.

c) Si Xi es el nmero de visitas el da i-simo (i = 1, 2,,90), la variable

Y =

90

1i

iX ser de Poisson de parmetro 90400 = 36000 y, por tanto, aproximadamente

normal 36000,36000N N(36000; 189,74). Con estos parmetros, la probabilidad P[ Y < 25000] es prcticamente nula puesto que

la distancia de 25000 a 36000 es del orden de 58 desviaciones tpicas

97,57

74,189

3600025000.

Solucin.-

Sea X la variable aleatoria coste medio anual de las hipotecas en Espaa, que se

distribuye normal N(5000, ). Sabemos que 0,1587 = P[X < 3000] = (tipificando) =

=

2000ZP . De las tablas de la normal N(0,1) obtenemos que 00,1

2000

= 2000. As pues, X es normal N(5000, 2000). Luego P[2000 < X < 4000] = (tipificando) =

= P[1,5 < Z < 0,5] = (tablas) = 0,24. Luego el porcentaje pedido es del 24 %.

4) El nmero de veces al mes que, por diferentes motivos, suena la alarma de una

fbrica, sigue una distribucin de Poisson. Se ha observado que la alarma no se activa el

13,53% de los meses.

a) Cul es el nmero medio de veces al mes en que suena la alarma de la mencionada

fbrica?




b) Cul ser la probabilidad de que la alarma suene 5 veces en tres meses? y de que

suene ms de 18 veces al ao?

c) Si el mantenimiento de la alarma tiene un coste fijo de 30 euros al mes y cada vez

que se activa y acude el servicio de emergencia supone un pago de 180 euros, cambiara la

fbrica su sistema de seguridad por el de otra empresa que le pide nicamente un coste fijo

mensual de 300 euros?

Solucin.-

Sea X la variable n de veces que la alarma suena al mes. Que no se activa el 13,53% de las veces quiere decir que, para un mes cualquiera, P[X = 0] = 0,1353. Ahora bien, como

P[X = x] =

e!x

x

P[X = 0] =

ee!0

0

= 0,1353. Tomando logaritmos neperianos queda

que = 2 = 2. Luego: a) El nmero medio de veces al mes en que suena la alarma es 2.

b) La variable aleatoria Y = nmero de veces que la alarma sonar en tres meses ser

una variable aleatoria de Poisson, de parmetro 3 = 6. Luego P[Y = 5] = (tablas) = 0,1606 La variable aleatoria A = nmero de veces que la alarma sonar en un ao ser una

variable aleatoria de Poisson, de parmetro 12 = 24. Para calcular P[A> 18] aproximaremos

por la normal N(24, 24 ). Luego P(A > 18) = (correccin por continuidad) = P(A 18,5) =

= (tipificando) =

24

245,18ZP = P(Z 1,12) = (tablas) = 1 0,1314 = 0,8686

c) Puesto que el nmero medio de veces que se dispara la alarma al mes es 2, el coste

medio mensual sera de 30 + 2180 = 390 . Por tanto debera cambiarse de empresa de seguridad.

5) Se ha evaluado, a travs de un test de seguimiento, el comportamiento de los

vendedores de nuestra empresa. Las puntuaciones obtenidas van de 0 a 10, la nota media fue

de 6,7 y la desviacin tpica de 1,2. Suponiendo que las notas siguen una distribucin normal,

determinar:

a).- El porcentaje de vendedores que sacaron entre 5 y 6.

b).- La puntuacin mxima del 10% ms bajo.

c). - La nota mnima del 10% ms alto.

Solucin.-

Sea X la variable aleatoria puntuacin obtenida.

a) P[5 X 6] = (tipificando) =

2,1

7,66Z

2,1

7,65P = P[1,42 Z 0,58] =

= (tablas) = 0,2810 0,0778 = 0,2032 . Porcentaje aproximado un 20%.

b) Sea x la puntuacin buscada. Se tiene 0,1 = P[0 X x] = (tipificando) =

=

2,1

7,6xZ

2,1

7,6P =

2,1

7,6xZP

2,1

7,6xZ58,5P ya que la probabilidad

P[ Z < 5,58] 0. De las tablas se obtiene que 28,12,1

7,6x

y de aqu x = 5,164

c) Sea x la nota mnima que se busca. Se tendr: 0,1 = P[x X 10] = (tipificando) =

=

2,1

7,610Z

2,1

7,6xP =

Z

2,1

7,6xP75,2Z

2,1

7,6xP ya que la probabilidad




P[ 2,75 < Z ] = 0,003 0. De las tablas se obtiene que 29,12,1

7,6x

y de aqu x = 8,248

6) La demanda diaria de cierta marca de refrescos es una variable aleatoria con

esperanza 3.000 y varianza 8.100.

Se pide:

1. La distribucin aproximada de la demanda total de refrescos en 100 das

consecutivos.

2. Probabilidad de que el total de refrescos demandados en 100 das sea superior a

298.000.

3. Cul debe ser la produccin de refrescos en 100 das para atender la demanda total

con probabilidad 0,99?

Solucin.-

Sea Xi la variable aleatoria demanda del da i, i = 1, 2, , 100 que supondremos

independientes. Sea S =

100

1i

iX . Se tiene que E(S) =

100

1i

iXE = 300000 y Var(S) =

=

100

1i

iXVar = 810000, de donde S = 810000 = 900. Entonces:

1) de acuerdo con el teorema central del lmite, S se distribuye aproximadamente

normal N(300000, 900);

2) P(S > 298000) = (tipificando) =

900

2000ZP = p(Z > 2,22) = (tablas) = 0,9868.

3) Sea n la produccin de refrescos que se busca. Deber ser P[S n] = 0,99

900

300000nZP = 0,99. De las tablas se obtiene que 33,2

900

300000n

n = 302097.

7) Una compaa de seguros tiene en la actualidad 3.000 plizas contratadas, que cubren

al asegurado de un accidente domstico. La incidencia de este tipo de accidentes es del 3 por

mil. En caso de accidente la compaa indemniza al asegurado con 1.000. a) Probabilidad de que ocurran menos de 3 siniestros.

b) Probabilidad de que ocurran al menos 5 siniestros.

c) Calcular la esperanza matemtica de la indemnizacin.

d) Justificar la distribucin de probabilidad utilizada para la resolucin del problema.

Solucin.-

La variable X = n de accidentes es binomial B(3000; 0,003) que se comportar

aproximadamente normal 997,03,9N N(9, 3). As pues: a) P[X < 3] = (correccin por continuidad) = P[X 2,5] = (tipificacin) = P[Z 2.17]= = (tablas) = 0,015.

b) P[X 5] = (correccin por continuidad) = P[X 4,5] = (tipificacin) = P[Z 1.5] = = (tablas) = 0,9332

c) La indemnizacin es 1000X, luego E(1000X) = 1000E(X) = 9000 . d) El teorema de Moivre permite aproximar una distribucin binomial B(n, p) mediante

una distribucin normal )p1(np,npN , siendo la aproximacin aceptable cuando np > 5 y

p 2

1 , circunstancias que se cumplen en el problema.

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