Ejercicios de Movimiento Circular 4

Grupo Editorial Patria

tRetroalimentadn de la actividad experimental 7feComprueba si tus respuestas fueron correctas al leer el siguiente texto:

I Ala pregunta 1 de la actividad experimental 7 Tiro parablico, segu-'; ramente respondiste en los siguientes trminos: la evidencia de quelia esfera de acero sufre una aceleracin constante durante su cada, selobtiene al observar que las alturas verticales descendidas por la esferaf metlica son mayores entre s, cada vez que se aleja la tabla 20 cm ms.|A la pregunta 2 respondiste que la grfica de los valores de la distancia||orizontal y la distancia vertical que, sealan la trayectoria o caminopairvo que sigue la esfera al ser lanzada horizontalmente al vaco, es el

esultado de dos movimientos independientes; un movimiento ho-Irizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia con

i velocidad cero y va aumentando su magnitud en la misma pro-} porcin de otro cuerpo que se dejara caer verticalmente del mismo(punto en el mismo instante. A la pregunta 3, debiste responder ms oliBenos as: el principio de independencia del movimiento horizontal

f del movimiento vertical seguido por la esfera de acero, se manifies-to porque la esfera lanzada con una velocidad horizontal tendr una

rapidez constante durante su recorrido horizontal, que ser indepen-diente de su movimiento vertical originado por la aceleracin de lagravedad durante su cada libre. A la pregunta 4 debiste responderque el comportamiento de dos esferas que caen libremente desde lamisma altura y al mismo tiempo, pero una se suelta y la otra recibe unimpulso horizontal, se manifiesta de la siguiente manera: al primersegundo, ambas esferas han recorrido 4.9 m en su cada,- sin embargo,la esfera que recibe un impulso horizontal deber avanzar una distan-cia horizontal que ser proporcional a la magnitud de la velocidadhorizontal que lleva; al segundo segundo, ambas esferas ya han re-corrido 19.6 m en su cada, pero la esfera con velocidad horizontal,ya recorri el doble de la distancia horizontal, y as sucesivamente.Finalmente, a la pregunta 5, respondiste que el tiro parablico es unejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensio-nes o sobre un plano, y para su estudio se puede considerar comola combinacin de dos movimientos que son un movimiento hori-zontal uniforme y un movimiento vertical rectilneo uniformementeacelerado.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) YMOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)Movimiento circularUn cuerpo describe un movimiento circular cuando su trayectoria es una circun-ferencia. En este movimiento el vector velocidad vara constantemente de direccin,j su magnitud puede variar o permanecer constante. Por tanto, en un movimientocircular un cuerpo se puede mover con rapidez constante o no, pero su aceleracinformar siempre un ngulo recto (90) con su velocidad y se desplazar formando uncrculo. La aceleracin que recibe el cuerpo est dirigida hacia el centro del crculo yrecibe el nombre de aceleracin normal, radial o centrpeta. El movimiento circularse efecta en un mismo plano y es el movimiento ms sencillo en dos dimensiones.

En nuestra vida cotidiana observamos diferentes objetos o cuerpos fsicos describien-do movimientos circulares, tal es el caso de una persona que se sube a la rueda de lafortuna Fig. 2.36, una nia que disfruta de un carrusel, o una piedra atada al extremode una cuerda y que se hace girar.

Es importante sealar que el movimiento circular es un caso particular del movimien-to de traslacin de un cuerpo, ya que el eje de giro est fuera de de dicho cuerpo, comose observa en cualquier persona que se mueve describiendo crculos en una rueda de lafortuna. Sin embargo, el eje de giro est en el centro de la rueda de la fortuna. No sucedeas en el movimiento de rotacin de un cuerpo rgido en donde el eje de giro se localiza

Figura 2.36 Cuando laiueda de la fortuna se pone en movimiento, las personas experimentan un movimientocircular, ya que su trayectoria es una circunferencia.

Diferencias entre varios tipos de movimientos

dentro del cuerpo rgido. Tal es el caso de la rotacin de un disco compacto, la rueda deTin molino, un carrusel o lade nuestro planeta.

Las expresiones matemticas del movimiento circular se expresan, generalmente, con magnitudesangulares como el desplazamiento angular, la velocidad angular y la aceleracin angular.

En el movimiento circular de un cuerpo resulta prctico considerar que el origen del sistemade referencia se encuentra en el centro de su trayectoria circular. Para estudiar este movi-

miento es necesario recordar conceptos ya mencionados, como son:_ desplazamiento,tiempo, velocidad y aceleracin. Pero adems, debemos introducir.los conceptos dengulo y radin.

rea de longitudigual al radi (r)

nguloEs la abertura comprendida entre dos radios cualesquiera, que limitan unarco de circunferencia.

RadinEs el ngulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio (Fig. 2.37).

La equivalencia de un radin en grados sexagesimales se determina sabiendo que:

Figura 2.37 Un radin equivale a 57.3 = 57 18'y es el ngulo central 2Trrad = 360al que corresponde un arco de longitud igual al radio.

\rad =360 180

= 57.3 = 57 18'

Vector de posicin y desplazamiento angularSi observamos el movimiento de un objeto colocado encima de un disco que gira, podemos precisar su posicinsi tomamos como origen del sistema de referencia al centro de la trayectoria circular. De esta forma, el vector quenos indicar su posicin para cada intervalo de tiempo se encontrar determinado por el radio de la circunferen-cia, mismo que permanece constante. Por tanto, el vector de posicin tendr una magnitud constante y sudireccin ser la misma que tenga el radio de la circunferencia. Cuando el objeto colocado sobre el disco sedesplace, su cambio de posicin se podr expresar mediante desplazamientos del vector de posicin, lo cual darlugar a desplazamientos angulares. Por tanto, el desplazamiento angular es la magnitud fsica que cuantifica lamagnitud de la rotacin que experimenta un objeto de acuerdo con su ngulo de giro (Figs. 2.38 y 2.39). Eldesplazamiento angular se representa por la letra griega 6 (theta) y sus unidades de medida son: el radin cuandoel sistema usado es el internacional, as como grados sexagesimales y revoluciones que son unidades prcticas. Elgrado sexagesimal es aquel que tiene por base el nmero 60. La circunferencia tiene 360 grados sexagesimales,cada uno de los cuales se subdivide en 60 minutos, y stos en 60 segundos. Una revolucin se efecta cuando unobjeto realiza una vuelta completa alrededor de un eje de rotacin. Una revolucin es igual a 360 = 2 ir rad.

r = vector de posicin6 = desplazamiento angularA = posicin inicial del objetoB = posicin final del objeto despus

de un intervalo de tiempo

r = vector de posicin0V 62,03 = desplazamientos angulares en radianesA, B, C, D = diferentes posiciones de un cuerpo en

trayectoria circularB

Figura 2.38 Al pasar de una posicin nidal Aa una posicin final B, un objeto experimenta undesplazamiento angular B que se mide en radia-nes, grados sexagesimales o en revoluciones.158

Figura 2.39 Al pasar un cuerpo por las diferentesposiciones A, B, C y D experimenta los correspondientesdesplazamientos angulares representados por 6Y Q1 y 0y


Periodo y frecuencia

PeriodoEs el tiempo que tarda un objeto en dar una vuelta completa o en completar un ciclo. En el sistema interna-cional, la unidad del periodo es el segundo. Es decir:

segundos transcurridosT = 1 ciclo

FrecuenciaEs el nmero de vueltas, revoluciones o ciclos que efecta un mvil en un segundo.

/= nmero de ciclos1 segundoi Nota: En ocasiones, se suele escuchar que se expresa el nmero de vueltas o revolucionesj que realiza un mvil en un minuto (RPM), tal es el caso de los antiguos discos de acetato quei utilizan un fongrafo que gira a 33 1/3 RPM. Si deseamos conocer su frecuencia, debemos

convertir sus revoluciones por minuto a revoluciones por segundo.

Como se puede observar, el periodo equivale al inverso de la frecuencia y la frecuencia al inverso del perio-do. Portante:

1 sT = en f-j ciclo

1 ciclo

El ciclo /s recibe el nombre de hertz (Hz).

Velocidad angularLa magnitud de la velocidad angular representa el cociente entre la magnitud del desplazamiento angularde un objeto y el tiempo que tarda en efectuarlo:

0^t

donde: ft = magnitud de la velocidad angular en rad/s.- ._ .0 =; magnitud del desplazamiento angular en rad.

t ?= tiempo en que se efecta el desplazamiento en segundo (s).La magnitud de la velocidad angular se puede expresar en funcin de los cambios en su desplazamiento angularcon respecto al cambio en el tiempo, de la siguiente forma:

A0 0-0,

La magnitud de la velocidad angular tambin se puede determinar si se conoce su periodo (T) es decir, el tiempoque tarda en dar u-na vuelta completa o una revolucin (360 = 277 radianes). La expresin que se utiliza es:

ITT rad 2irto = = en rad/s

como: T 1 //la velocidad angular tambin se puede determinar por:

O = 277/en rad/s159


Velocidad angular mediaCuando la velocidad angular de un objeto no es constante o uniforme, podemos determinar la magnitud d lavelocidad angular media al conocer las magnitudes de la velocidad angular inicial y su velocidad angular final:

a) =

donde: d)m magnitud de la velocidad angular media en rad/sto, = magnitud de la velocidad angular final en rad/s

O>0 = magnitud de la velocidad angular inicial en rad/s

Velocidad lineal o tangencial( 'Minio mi nh|uti i | MWUHMJlfUMI ' ""' 10 t** |.!lli iil.v, , |i*l Hilwii. un mUIVil Id I.H Hi. ,1. l.i . u.nnUivnulA Uiut-lU pur l BOU un* VttlfilM iittiMl hUy magnitud ssr mayor, a medida que aumenta el radio de la cir-cunferencia. Esta velocidad lineal tambin recibe el nombre de tangencial, porque la direccin de la velocidadsiempre es tangente a la circunferencia recorrida por la partcula y representa la magnitud de la velocidad quellevara sta si saliera disparada tangencialmente como puede observarse en la figura 2.40.

Figura 2.40 La velocidad tangencial o lineal representa la velocidad que llevar uncuerpo al salir disparado en forma tangencial a la circunferencia que describe.

Para calcular la magnitud de la velocidad tangencial o lineal se usa la ecuacin:

Irsr

donde: r radio de la circunferencia en metros (m)T = periodo en segundos (s)

VL = magnitud de la velocidad lineal en m/s

27TComo (O =- la magnitud de la velocidad lineal puede escribirse as:

VL u>r

donde VL = magnitud de la velocidad lineal o tangencial en m/s

o> = magnitud de la velocidad angular rad/s

r = radio de la circunferencia en metros (m)160

Movimiento circular uniforme (MCU)Este movimiento se produce cuando un objeto con velocidad angular constante describe ngulos iguales entiempos iguales. El origen de este movimiento se debe a una fuerza de magnitud constante, cuya accin es per-pendicular a la trayectoria del objeto y produce una aceleracin que afectar slo la direccin del movimiento, sinmodificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que tiene el objeto. Por tanto, en un movimiento circularuniforme el vector velocidad (velocidad lineal o tangencial) mantiene constante su magnitud, pero no sudireccin, toda vez que sta siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo.

Interpretacin de grficas magnitud deldesplazamiento angular-tiempo y magnitud de lavelocidad angular-tiempo en el MCUComo los movimientos rectilneo uniforme y circular uniforme son muy similares, lainterpretacin de grficas para el movimiento circular uniforme (MCU), ser semejantea la realizada en el movimiento rectilneo uniforme. Sin embargo, es conveniente recor-dar que uno tiene una trayectoria circular y el otro una trayectoria rectilnea. Adems,en el movimiento rectilneo uniforme un cuerpo mvil sigue una trayectoria en lnearecta, recorriendo distancias iguales en cada unidad de tiempo, por lo que la velocidady su magnitud, es decir, la rapidez permanece constante. En cambio en el movimien-to circular uniforme, slo permanece constante la rapidez, o sea la magnitud dela velocidad lineal o tangencial, ya que sta cambia de direccin, misma que siempreser tangente a la circunferencia y, por tanto, perpendicular al radio de la misma como semuestra en la figura 2.41.

Resolucin de un problema de interpretacinde grficas para MCUEn el movimiento circular uniforme de un ob-jeto se obtuvieron los datos contenidos en elcuadro 2.7.1. Granear la magnitud del desplazamiento

angular en funcin del tiempo, interpretarel significado fsico de la pendiente obtenidaal unir los puntos y obtener el valor de dichapendiente.

2. Granear la magnitud de la velocidad angulardel objeto en funcin del tiempo, e interpre-tar el significado fsico del rea obtenida alunir los puntos.

Solucin ,,1. Clculo de la pendiente de la recta:

Velocidad lineal o tangencial (VL

Figura 2.41 La velocidad lineal (vj cambia constantemente dedireccin, sta siempre es tangente a la circunferencia y, por tanto,perpendicular al radio de la misma.

Magnitud del desplazamiento angular 6 = (rad)

A0 36 rad -18 radco = At

18rO) =

2s

4s-2s

= 9 rad/s

161


e (rad)

50 - - El valor de la pendiente de larecta representa a la magnitudde la velocidad angular (ia)

< f(s)

Como se observa, la pendiente de la recta obtenida representa la magnitud de la velocidad angular, cuyo valorpermanece constante, igual a 9 rad/s.

2. Corno la velocidad angular no cambia en su magnitud, graneamos el mismo valor para cada segundo.

a (rad/s)

20 - -

10 --

El rea representa la magnituddel desplazamiento angular delobjeto (0)

Como se puede apreciar, en la grfica magnitud de la velocidad angular en funcin del tiempo, si la magnitudde la velocidad angular permanece constante se obtiene una lnea recta paralela al eje . Para cualquier tiempoel rea del rectngulo representa el producto u>t, el cual equivale a la magnitud del desplazamiento angularrealizado por el objeto. Por tanto, el desplazamiento angular realizado en un tiempo de 5 segundos con unavelocidad angular de 9 rad/s ser de:

6 = a)t = 9 rad/s X 5s = 45 rad

Resolucin de problemasMovimiento circular uniforme

1. Un mvil con trayectoria circular recorri 820. Cuntos radianes fueron?SolucinDe la siguiente equivalencia:

1 rad = 57.3Obtenemos el factor de conversin, mismo que se multiplicar por 820, es decir:

820 X ^ = 14.31 radianes

Grupo Editorial Patria6

2. Un objeto A recorri 515 radianes y un objeto B recorri 472 radianes. A cuntos grados equivalen losradianes en cada caso?

Soluciones57.3

Cuerpo A: 515 rad X ' = 29509.51 rad

57.3Cuerpo B: 472 rad X = 27 045.681 rad

3. Cul es la magnitud de la velocidad angular de una rueda que gira desplazndose 15 rad en 0.2 segundos?

Datos Frmulaea) =

0= 15 radf = 0.2s

Sustitucin y resultado15 rad0.2 s

= 75 rad/s

4. Determina la magnitud de la velocidad angular y la frecuencia de una piedra atada a un hilo, si gira con unperiodo de 0.5 s.

Datos Frmulas2?r

) =T

/=?I

Y

Sustitucin y resultados2X3.14

0.5 s = 12.56 rad/s

0.5 s 2ciclos/s

5. Halla la magnitud de la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430revoluciones por minuto.

Datos Frmulas

T = ?

/= 430rpm

Sustitucin y resultados

I

T=7

430 rpm X ^ = 7.17 rev/s60 s


V;

6. Determinar la magnitud de la velocidad angular de un disco de 45 RPM, as como la magnitud de sudesplazamiento angular, si su movimiento dur 3 minutos.

Datos Frmulas

(t = 27T/

/ 45rpm

f = 3min = 180 s


1 min45 rpm X 60 s = 0.75 rev/s = 0.75 ciclos/s

Nota: 1 rev/s = 1 ciclo/s = 1 hertz = 1 Hz

( = 2 X 3.14 X 0.75 ciclos/s = 4.71 rad/s

6 = 4.71 rad/s X 180 s = 847.8 rad

7. Calcular la magnitud de la velocidad lineal de una partcula cuyo radio de giro es de 25 cm y tiene unperiodo de 0.01 s. Dar el resultado en cm/s y m/s.

Datos Frmula

T

r 25 cm

T = 0.01s

Sustitucin y resultado

2X3 .14X25cm0.0 I s = 15 700 cm/s = 157 m/s

8. Determinar la magnitud de la velocidad lineal de una partcula que tiene una velocidad angular cuya mag-nitud es de 30 rad/s y su radio de giro es 0.2 m.

Datos

VL = >

o) 30 rad/sr = 0.2m tOMMtklntt PIMHlMllll

Frmula

V = cor

VL 30 rad/s X 0.2 m * m/s

Ejercicios propuestos1. Cul es la magnitud del desplazamiento an-

gular de una rueda que gira con una velocidadangular cuya magnitud es de 63 rad/s durante10 s?

2. Una persona se subi a la rueda de la fortuna yrecorri 7 200. Cuntos radianes recorri?

3. Un disco gira desplazndose 20 rad en 0.1 se-gundos. Cul es la magnitud de su velocidadangular?

4. Un objeto con trayectoria circular recorre 750radianes. A cuntos grados equivalen?

5. Calcula la magnitud de la velocidad angular y elperiodo de una rueda que gira con una frecuen-cia de 1 200 revoluciones por minuto.

6. Determina la magnitud de la velocidad angulary la frecuencia de un rehilete que gira con un pe-riodo de 0.1 s.

7. Calcula la magnitud de la velocidad de una rue-da que gira a 600 RPM, as como la magnitud desu desplazamiento angular, si dura girando 10minutos.

8. Cul es la magnitud de la velocidad lineal deun objeto que tiene una velocidad angular conuna magnitud de 40 rad/s y su radio de giro esde 0.15 m?

9. Determina cul es la magnitud de la velocidad li-neal de un objeto que en su movimiento circulartiene un radio de giro de 40 cm y tiene un periodode 0.012 segundos. Expresar el resultado en m/s.

Para tu ReflexinMedicin d^l tiempoEl hombre ha necesitado siempre saber aqu hora realiza sus actividades, y por ello hainventado el reloj (Fig. 2.42). Revisemos sudesarrollo: el primer reloj del hombre fue elSol, que se encuentra a diario ms o menosen posicin igual a la misma hora.El Sol, al recorrer el cielo, produce sombrasque varan en cada minuto. Cuando se elevaal Oriente, proyecta una sombra larga hacia elPoniente. Al medioda cuando se encuentra di-rectamente sobre nuestras cabezas, la sombradesaparece; al atardecer, cuando desciende alPoniente, la sombra se alargi hacia el Oriente.Es algo que puedes observar cada da.Los egipcios inventaron el reloj de sol e idearonel de agua, hacia el ao 1400 a.G, que consistaen unas vasijas grandes de lados indinados yagujeros en el fbado. En la paute interna sefta-

en cualquier momento la cantidad de lquidoque quedaba en la vasija. De este modo, calcu-laron con bastante precisin cunto tiempohaba transcurrido desde que se llen.Los;primeros relojes mecnicos se movanpor medio de pesas, las cuales al descenderlenta y rtmicamente, hacan girar un tam-bor. Como las pesas tenan que ser muygrandes para que cumplieran su misin, losrelojes mecnicos de entonces se albergaronen grandes torres y campanarios.El diseo de los relojes y su precisin mejo-raron bastante cuando la cuerda desplaz alas pesas a fines del siglo xv. Fueron ms pe-queos y menos pesados que los anteriores.Pero la cuerda tena la desventaja de que, amedida que su resorte se desenrollaba, per-ili.i I IK--I /..i y 1,1-, madai u l >. ,n > i u i n i.i ' . lan-,,fi!rl Pw bs

pronto este defecto, y en el siglo xvi se en-contraban en muchas casas relojes de redu-cidas proporciones y bastante exactos.Se han introducido muchas mejoras en los re-lojes desde el siglo xvn. Tal vez la ms impor-tante sea la utilizacin de zafiros, diamantes, yms tarde piedras preciosas artificiales, cuyassuperficies muy suaves posibilitan que las di-ferentes partes del reloj se muevan con facili-dad, lo cual aumenta su precisin y duracin.A fines del siglo XIX, la fabricacin de relojesse convirti en una industria muy importante.Suiza se hizo clebre en este sentido, aunquemuchas naciones como Japn han competidocontra ella. Hoy da, puede adquirirse un relojde pulsera a prueba de agua y de golpes, concalendario y despertador, entre otras cosas.

chas fuentes de energa en sustitucin de la emiten los cristales de dicho mineral. l.oscuerda, n 79S~ aparecieron relojes elc- atmico*, impulsados por el movimientotrican de pulsera, provistos de minsculas de tomos y molculas son IIK ms pre-bateras, hav otros c\ue toman su energa cisos, algunos se retrasan un segundo vn Figura 2.42de los raros solares, l.os de cuarzo reciben W 001) aos. hora d*}/- '-'--

165


Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA)El movimiento circular uniformemente acelerado se presenta cuando un mvil con trayectoria circular au-menta o disminuye en cada unidad de tiempo la magnitud de su velocidad angular en forma constante,por lo que la magnitud de su aceleracin angular permanece constante.

Velocidad angular instantneaLa magnitud de la velocidad angular instantnea representa la magnitud del desplazamiento angular efectuadopor un mvil en un tiempo muy pequeo, que casi tiende a cero.

lm A0

Aceleracin angular mediaCuando durante el movimiento circular de un mvil su velocidad angular no permanece constante, sirio que vara,decimos que sufre una aceleracin angular. Cuando la velocidad angular vara es conveniente determinar cul esla magnitud de su aceleracin angular media, misma que se expresa de la siguiente manera:

a =f/-'o Ai

donde (Xm magnitud de la aceleracin angular media en rad/s1O = magnitud de la velocidad angular final en rad/s

O)g = magnitud de la velocidad angular inicial en rad/sAi = tiempo durante el cual vara la magnitud de la velocidad angular en segundos (s)

Aceleracin angular instantneaCuando en el movimiento acelerado de un cuerpo que sigue una trayectoria circular, los intervalos de tiempoconsiderados son cada vez ms pequeos, la aceleracin angular media se aproxima a una aceleracin angularinstantnea.

Cuando el intervalo de tiempo es tan pequeo que tiende a. cero, la magnitud de la aceleracin angular del cuerposer la instantnea.

lm AO

166

Grficas de la magnitud del desplazamiento angular-tiempo, magnitud de lavelocidad angular-tiempo y magnitud del desplazamiento angular-tiempo alcuadrado, para el MCUAAl realizar la interpretacin de las grficas para el movimiento circular uniforme, es posible comprobar que tienenla misma interpretacin de las grficas para el movimiento rectilneo uniforme, con la salvedad de que uno sigueuna trayectoria circular y otro una trayectoria rectilnea. De igual manera, al revisar los conceptos de movimientocircular uniformemente acelerado (MCUA), velocidad angular media e instantnea y aceleracin angular mediae instantnea, tambin se puede observar la similitud entre el movimiento rectilneo uniformemente acelerado(MRUA) con el circular uniformemente acelerado (MCUA). Por tanto, interpretaremos las grficas del MCUA,como lo hicimos para el MRUA. Veamos: En una grfica de la magnitud del desplazamiento angular-tiempo, elvalor de la pendiente de la curva representa la magnitud de la velocidad angular; en una grfica magnituddel desplazamiento angular-tiempo al cuadrado, el valor de la pendiente de la recta representa la mitad de la


magnitud de la aceleracin angular I Otj, Por ltimo, el valor de la pendiente de la recta que resulta degranear la magnitud de la velocidad angular instantn ea en funcin del tiempo representa la magnitudde la aceleracin angular del cuerpo.

Resolucin de un problema de interpretacin de grficas paraMOJAEn el movimiento circular uniformemente acelerado de un objeto se obtuvieron los datos contenidos en elcuadro 2.8.

Cuadro 2.8 Datos de un movimiento circular uniformemente acelerado

Tiempo (s) Magnitud del desplazamientoangular 9 (radianes)

Magnitud de la velocidadangular instantnea (rad/s)

Con los datos del cuadro 2.8 realiza lo siguiente:

1. Granear las magnitudes del desplazamiento angular en funcin del tiempo e interpretar el significado fsico dela curva obtenida al unir los puntos.

2. Graficar las magnitudes del desplazamiento angular en funcin del tiempo elevado al cuadrado e interpretarel significado fsico del valor de la pendiente de la recta obtenida al unir los puntos. Determinar el valor de lapendiente.

3. Graficar los datos de la magnitud de la velocidad angular instantnea en funcin del tiempo y hallar el valor dela pendiente de la recta obtenida al unir los puntos. Cul es el significado fsico de la pendiente de la recta?

Soluciones1. Al unir los puntos se obtiene una curva en la cual el valor de la pendiente representa la magnitud de la velocidad

angular del mvil, misma que aumenta en forma constante mientras transcurre el tiempo. Esta curva tambinposibilita conocer que, conforme transcurre el tiempo, la magnitud del desplazamiento angular aumenta.

6 (rad)

El valor de la pendiente de la curvarepresenta la magnitud de la tvelocidad angular (

- f(s)

167


2. Al graficar la magnitud del desplazamiento angular en funcin del tiempo al cuadrado encontramos urja rectacuyo valor de la pendiente representa la mitad de la magnitud de la aceleracin angular. El valor de la pendientese puede obtener por:

fc =A0 _ 25rad-9radAi2 ~ 25s2-9s2

lrad

16 s2= 1 rad/s2

El valor de la pendiente de la rectarepresenta la mitad de la magnitudde la aceleracin angular; es decir:

A9 1

15 . 20 25 30 35 40

Este resultado representa la mitad de la magnitud de la aceleracin angular que tiene el mvil durante su movi-miento. Por tanto, la magnitud de la aceleracin angular es igual a:

a = 2 k = 2 rad/s2

3. El valor de la pendiente que resulta de graficar las magnitudes de la velocidad angular instantnea en funcindel tiempo, representa la magnitud de la aceleracin angular del objeto, cuya magnitud constante es:

At) 10 rad/s - 4 rad/s5s-2s

"nst

(rad/s)

15 --

10 --

El valor de la pendiente de la rectarepresenta la magnitudde la aceleracin angular (

Ecuaciones utilizadas en el movimiento circularuniformemente acelerado (MCUA)Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente acelerado son las mismas que se utilizanpara el movimiento rectilneo uniformemente acelerado con las siguientes variantes.

1. En lugar de magnitud del desplazamiento en metros hablaremos de magnitud del desplazamiento angular enradianes (O en lugar de d).

2. La magnitud de la velocidad en m/s ser sustituida por la magnitud de la velocidad angular en radianes/s(o) en lugar de v).

3. La magnitud de la aceleracin en m/s2 se cambiar por la magnitud de la aceleracin angular en radianes/s2(a en lugar dea).

En conclusin, las ecuaciones sern:

a) Para calcular la magnitud de los desplazamientos angulares:

2-e= -V1

Si el objeto parte del reposo su velocidad angular inicial (a>0) es cero, y las tres ecuaciones anteriores se reducen a:

1.0 =u>

2. 0 = 2aU)

b) Para calcular la magnitud de las velocidades angulares finales:

1. a> )a + ai

2. o)2 = i)()2 + 2 a 9

Si el objet parte del reposo su velocidad inicial (o0) es cero, y las dos ecuaciones anteriores se reducen a:

\. co = at 169


Resolucin de problemasMCUA1. Un engranaje adquiri una velocidad angular cuya magnitud es de 2 S12 rad/s en 1.5 s. Cul fae la mag-

nitud de su aceleracin angular?SolucinDatos Frmula

w = 2512 rad/s

t= 1.5 sa = ?

Sustitucin y resultado2 512 rad/s ,

a = = 1674.67 rad/s11.5 s

2. Un mezclador elctrico increment la magnitud de su velocidad angular de 20 rad/s a 120 rad/s en 0.5s.

Calculara) Cul fue la magnitud de su aceleracin media?b) Cul fue la magnitud de su desplazamiento angular en ese tiempo?SolucinDatos Frmulas

a> = 20 rad/s

(f=\2Q rad/s = 0.5 sa) a = ?'

a) a = ni

v \ _Dy (7 CtJ

t

oP2


120 rad/s -20 rad/sa) a =

0.5 s= 200 rad/s*

b) 0 = 20 rad/s X 0.5 s + 200 rad/s2 (0.5 s)2

= 10rad + 25rad = 35rad

3. Determinar la magnitud de la velocidad angular de una rueda a los 0.1 minutos si tena una velocidad angularinicial con una magnitud de 6 rad/s y presenta una aceleracin angular cuya magnitud es de 5 rad/s2.SolucinDatos

o>0 = 6 rad/st= 0.1 min = 6s

a = 5 rad/s2

Frmulaoj o)0 + at

170

Grupo Editorial Patria8 4

Sustitucin y resultado= 6 rad/s + (5 rad/s2 X 6 s) = 36 rad/s

4. Una rueda gira con una magnitud de velocidad angular inicial de 18.8 rad/s experimentando una acelera-cin angular cuya magnitud es de 4 rad/s2 que dura 7 segundos.

Calculara) Qu magnitud de desplazamiento angular tiene a los 7 segundos?b) Qu magnitud de velocidad angular tiene a los 7 segundos?

SolucinDatos

u>= 18.8 rad/s

a = 4 rad/s2

a) 6 = 1b) W /=?Sustitucin y resultados

a) 0= 18.8 rad/s X7s

Frmulas

a) o = a>t + O "\) cu^ = c0 + ai

4 rad/s2 (7 s)2

= 131.6 rad + 98 rad = 229.6 rad

b) )f = 18.8 rad/s + 4 rad/s2 X 7 s= 18.8 rad/s + 28 rad/s

= 46.8 rad/s

5. Una rueda que gira a 4 rev/s aumenta su frecuencia a 20 rev/s en 2 segundos. Determinar la magnitud desu aceleracin angular.

SolucinDatos Frmulas

/0 = 4 rev/s &)0 :f, - 20"rv/s Cu,.:

"/-o=

Sustitucin y resultados0)0 = 2 X 3.14 X 4ciclo/s = 25.12rad/s


6. Una hlice gira inicialmente con una velocidad angular cuya magnitud es de 10 rad/s y recibe una acele-racin constante cuya magnitud es de 3 rad/s2.

Calcular . . .

a) Cul ser la magnitud de su velocidad angular despus de 7 segundos?b) Cul ser la magnitud de su desplazamiento angular a los 7 segundos?c) Cuntas revoluciones habr dado a los 7 segundos?SolucinDatos Frmulas(t>g = 10 rad/s a) a> = a>Q + ai

af-a = 3 rad/s2 b)t = 7s

a ) a y = ?

c) No. de rev. = ?

Sustitucin y resultadosa) )l = 10 rad/s + (3 rad/s2 X 7 s)

= 10 rad/s + 21 rad/s = 31 rad/s

= 10 rad/s X 7 s

; V' 2

= 70 rad + 73.5 rad = 143.5 rad

como 1 rev 360 2 TT rad, tenemos:

c) 143,5 dX lrevJTT rao= 22.85 revoluciones

Ejercicios propuestos

1. Cul es la magnitud de la aceleracin angular deuna rueda que adquiere una velocidad angularde 350 rad/s en 2 s?

2. Una rueda tuvo una magnitud de aceleracinangular de 5 rad/s2 durante 6 segundos. Qumagnitud de velocidad final adquiri?

3. Si una hlice con una magnitud de velocidad an-gular inicial de 15 rad/s recibe una aceleracinangular cuya magnitud es de 7 rad/s2 durante 0.2min, cules son las magnitudes de la velocidad

angular final y del desplazamiento angular quealcanz a los 0.2 min?

4. Un engranaje aument la magnitud de su veloci-dad angular de 12 rad/s a 60 rad/s en 4 s. Culfue la magnitud de su aceleracin angular?

5. Una banda gira con una magnitud de velocidadangular inicial de 12 rad/s y recibe una acelera-cin angular cuya magnitud es de 6 rad/s2 du-rante 13 segundos.

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Calcular

a) Qu magnitud de velocidad angular lleva alcabo de los 13 segundos?

b) Qu magnitud de desplazamiento angulartuvo?

6. Un disco que gira a 2 rev/s aumenta su frecuen-cia a SO rev/s en 3 s. Determinar cul fue la mag-nitud de su aceleracin angular en rad/s2.

7. Una rueda de la fortuna gira inicialmente conuna magnitud de velocidad angular de 2 rad/s.

Si recibe una aceleracin angular cuya magnitudes de 1.5 rad/s2 durante 5 segundos, calcular:

a) Cul ser la magnitud de su velocidad angu-lar a los Ss?

b) Cul ser la magnitud de su desplazamientoangular?

c) Cuntas revoluciones habr dado al trmi-no de los 5 s?

Renete con otro compaero y si no disponen deuna computadora y acceso a Internet, visiten un caf-internet y por medio del buscador investiguen cual-

quiera de los siguientes temas:

a) Astronautas y su entrenamiento.b) Aviones supersnicos y sus caractersticas.c) Satlites artificiales habitados.

d) La astronutica y sus caractersticas.e) Globos aerostticos.f) Caractersticas de los automviles de carreras.Seleccionen la informacin que les parezca ms importante e impr-manla. Despus, en cartulinas o papel rotafolio, presenten un resu-men o esquemas didcticos con ilustraciones, que expondrn antesus compaeros con las instrucciones y apoyo de su profesor(a).

con unDe acuerdo con las instrucciones de tu profesor(a), rencia, hagan que tenga movimiento. Acompaen su maquetaformen un equipo de 3 o 4 integrantes. Visiten una resumen que seale las caractersticas del movimiento que experi-feria de juegos mecnicos, observen los diferentes menta el juego mecnico seleccionado,

juegos y seleccionen uno de ellos, de tal manera que en su cuaderno Con e, apoyo y orientadT1 de su profesora), expongan ante susdescriban las caractersticas del movimiento que realizan los cuerposen dicho juego. Represntenlo por medio de una maqueta, de prefe-

la maqueta y el resumen elaborada

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Ejercicios de Movimiento Circular 4

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