V.

PROPIEDADES GENERALES DE

a. El número de combinaciones de “n” elementos diferentes

tomados todos a la vez es la unidad, es decir

COMBINACIÓN CON REPETICIÓN b. Combinatorios complementarios

c. Degradación de índices

Todo número combinatorio puede degradarse, como:

• Degradación de ambos índices:

• Degradación de índice superior:

• Degradación de índice inferior:

Si tenemos “m” elementos de los cuales solo “r” son

diferentes y queremos formar grupos de “n” elementos,

tendremos:

nr

(n+r-1)!CR =

(r-1)!n!

r < n < m

nkC

nn

nC = =1

n 0

n n

k n - kC C ; n k n ; k= "³ÙÎ N

n nk PSi C C k p p n k= Þ= Ú= -

n-1nk k-1

nC = . C

k

n-1nk k

nC = .C

n-k

n nk k-1

n-k+1C = . C

k

“Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos,

todos de diferentes colores entre sí”.

01. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?

a) 15 b) 240 c) 60

d) 120 e) 72

02. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede

vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales?

a) 120 b) 60 c) 80

d) 12 e) 720

03. Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la

camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul?

a) 95 b) 80 c) 120

d) 61 e) 91

04. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones

y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras

puedes realizar dicho viaje?

a) 11 b) 60 c) 12

d) 42 e) 31

“De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a

Tacna hay 5 caminos también diferentes”.

05. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna,

pasando siempre por Ica?

a) 9 b) 20 c) 12

d) 40 e) 625

06. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de

Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente

a la de ida?

a) 400 b) 380 c)240

d) 399 e) 401

07. De un grupo de 15 personas que estudian solo 2 idiomas cada

uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y

francés y los otros solo alemán y francés. Si se quiere escoger

2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a

cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas

se puede elegir?

a) 28 b) 74 c) 92

d) 48 e) 120

08. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede

escoger una casilla blanca y negra de tal manera que no estén

en la misma horizontal ni vertical?

a) 24 b) 120 c) 32

d) 256 e) 64

09. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y

4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la

misma nacionalidad se sienten juntos?

a) 864 b) 1728 c) 688

d) 892 e) 1700

10. El aula Círculo de Estudios de la Academia Preuniversitaria

Sistema 2000 consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el

examen final.

¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los

2 primeros puestos, si no hay empate?

a) 210 b) 230 c) 240

d) 205 e) 180

ENUNCIADO:

ENUNCIADO:

286

Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático

11. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el

lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales?

a) 6 934 b) 6 912 c) 6 780

d) 6 512 e) 6 936

12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona

que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales),

2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas

(3 iguales)?

a) 420 b) 280 c) 288

d) 840 e) 168

13. Se lanzan tres dados legales al piso. ¿De cuántas maneras

diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres

dados?

a) 120 b) 180 c) 140

d) 130 e) 117

14. Una alumna tiene para vestirse: 4 blusas: 3 pantalones,

2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá

vestir convencionalmente?

a) 120 b) 60 c) 144

d) 72 e) 288

15. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera

6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en

uno de los extremos?

a) 24 c) 48 c) 96

d) 120 d) 72

16. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila

4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere

sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)?

Además, consideremos que las personas del mismo sexo no

están juntas.

a) 720 b) 360 c) 240

d) 8! e) 144

17. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres.

¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente,

vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente

debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre?

a) 1 428 b) 1 716 c) 1 628

d) 1 718 e) 1 728

18. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos mas participan en una

carrera. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la

meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y este

llegue antes que Juan?

a) 6 720 b) 4 360 c) 1 532

d) 1 236 e) 1 538

19. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de “A” a “B”?

a) 12 b) 14 c) 16

d) 20 e) 24

20. La Municipalidad de Barranca ha ordenado que las mototaxis

sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras

seguidas de 3 dígitos).

¿Cuantas placas diferentes se podrán formar? (Considerar:

26 letras del alfabeto).

3 3 2 2a) 20 ́ 10 b) 26 ́10

3 3 3c) 26 ́ 10 d) 26 ́ 10

e) 26 ́ 25 ́ 24

21. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas

diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?

a) 15 b) 120 c) 20

d) 60 e) 80

22. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de

una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el

número de personas era:

a) 12 b) 18 c) 20

d) 14 e) 16

23. De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de

3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

a) 530 b) 350 c) 305

d) 450 e) 380

24. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de

la palabra “JAPANAJA”?

a) 81 b) 840 c) 120

d) 8 e) 64

25. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en

una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán

separadas?

a) 120 b) 16 c) 48

d) 144 e) 72

26. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey,

¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer?

a) 13 b) 10 c) 25

d) 32 e) 31

A C B

287

27. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay

6 asientos. Si solo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas

maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?

a) 24 b) 60 c) 120

d) 240 e) 360

28. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas

en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?

a) 2 520 b) 12 000 c) 25 200

d) 10! e) 15!

29. Al ir 5 parejas de esposos al teatro, tienen la mala suerte de

encontrar solamente 5 asientos juntas en una misma fila. ¿De

cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere

que por lo menos este sentado un hombre y una mujer?

a) 25 600 b) 30 000 c) 256

d) 25 e) 625

30. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos

con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea

abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos, como

máximo, tendrá que realizar?

(La bóveda se abrirá cuando los tres discos se combinen de

manera correcta).

a) 1 000 b) 120 c) 999

d) 810 e) 512

31. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se

pueden formar?

Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera

debe tener la forma mostrada.

a) 10 b) 20 c) 24

d) 40 e) 25

32. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de

6 personas.

¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo

que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres?

a) 200 b) 20 c) 312

d) 212 e) 210

33. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que pueden

comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un

edificio?

a) 20 b) 56 c) 28

d) 14 e) 16

34. De 6 números positivos y 5 números negativos, se escogen

4 números al azar y se multiplican.

Calcula el número de formas que se pueden multiplicar, de tal

manera que el producto sea negativo.

a) 60 b) 96 c) 128

d) 160 e) 170

35. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras

diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos?

a) 160 b) 210 c) 128

d) 144 e) 105

36. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se

desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas

maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada

uno de ellos estén siempre dos mujeres?

a) 560 b) 390 c) 120

d) 140 e) 280

37. Halla e1 número de señales que pueden formarse con cinco

signos más y menos.

a) 25 b) 10 c) 24

d) 32 e) 64

38. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para

vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se

pueden ocupar estos tres cargos?

a)108 b) 64 c)128

d) 72 e) 90

39. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan

estrechandose las manos, suponiendo que cada uno es cortés

con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos

hubieron?

a) 60 b) 435 c) 870

d) 120 e) 205

40. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato

(una rueda, todos contra todos).

¿Cuántos partidos más se deberían programar, si llegan

3 equipos más?

a) 31 b) 33 c) 9

d) 12 e) 21

288

Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático Estadística, Probabilidades y Análisis Matemático

11. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el

lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales?

a) 6 934 b) 6 912 c) 6 780

d) 6 512 e) 6 936

12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona

que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales),

2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas

(3 iguales)?

a) 420 b) 280 c) 288

d) 840 e) 168

13. Se lanzan tres dados legales al piso. ¿De cuántas maneras

diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres

dados?

a) 120 b) 180 c) 140

d) 130 e) 117

14. Una alumna tiene para vestirse: 4 blusas: 3 pantalones,

2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá

vestir convencionalmente?

a) 120 b) 60 c) 144

d) 72 e) 288

15. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera

6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en

uno de los extremos?

a) 24 c) 48 c) 96

d) 120 d) 72

16. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila

4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere

sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)?

Además, consideremos que las personas del mismo sexo no

están juntas.

a) 720 b) 360 c) 240

d) 8! e) 144

17. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres.

¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente,

vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente

debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre?

a) 1 428 b) 1 716 c) 1 628

d) 1 718 e) 1 728

18. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos mas participan en una

carrera. ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la

meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y este

llegue antes que Juan?

a) 6 720 b) 4 360 c) 1 532

d) 1 236 e) 1 538

19. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de “A” a “B”?

a) 12 b) 14 c) 16

d) 20 e) 24

20. La Municipalidad de Barranca ha ordenado que las mototaxis

sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras

seguidas de 3 dígitos).

¿Cuantas placas diferentes se podrán formar? (Considerar:

26 letras del alfabeto).

3 3 2 2a) 20 ́ 10 b) 26 ́10

3 3 3c) 26 ́ 10 d) 26 ́ 10

e) 26 ́ 25 ́ 24

21. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas

diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?

a) 15 b) 120 c) 20

d) 60 e) 80

22. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de

una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el

número de personas era:

a) 12 b) 18 c) 20

d) 14 e) 16

23. De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de

3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

a) 530 b) 350 c) 305

d) 450 e) 380

24. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de

la palabra “JAPANAJA”?

a) 81 b) 840 c) 120

d) 8 e) 64

25. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en

una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán

separadas?

a) 120 b) 16 c) 48

d) 144 e) 72

26. Con las frutas: plátano, papaya, melón, piña y mamey,

¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer?

a) 13 b) 10 c) 25

d) 32 e) 31

A C B

287

27. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay

6 asientos. Si solo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas

maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?

a) 24 b) 60 c) 120

d) 240 e) 360

28. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas

en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?

a) 2 520 b) 12 000 c) 25 200

d) 10! e) 15!

29. Al ir 5 parejas de esposos al teatro, tienen la mala suerte de

encontrar solamente 5 asientos juntas en una misma fila. ¿De

cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere

que por lo menos este sentado un hombre y una mujer?

a) 25 600 b) 30 000 c) 256

d) 25 e) 625

30. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos

con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea

abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos, como

máximo, tendrá que realizar?

(La bóveda se abrirá cuando los tres discos se combinen de

manera correcta).

a) 1 000 b) 120 c) 999

d) 810 e) 512

31. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se

pueden formar?

Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera

debe tener la forma mostrada.

a) 10 b) 20 c) 24

d) 40 e) 25

32. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de

6 personas.

¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo

que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres?

a) 200 b) 20 c) 312

d) 212 e) 210

33. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que pueden

comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un

edificio?

a) 20 b) 56 c) 28

d) 14 e) 16

34. De 6 números positivos y 5 números negativos, se escogen

4 números al azar y se multiplican.

Calcula el número de formas que se pueden multiplicar, de tal

manera que el producto sea negativo.

a) 60 b) 96 c) 128

d) 160 e) 170

35. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. ¿De cuántas maneras

diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos?

a) 160 b) 210 c) 128

d) 144 e) 105

36. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se

desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas

maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada

uno de ellos estén siempre dos mujeres?

a) 560 b) 390 c) 120

d) 140 e) 280

37. Halla e1 número de señales que pueden formarse con cinco

signos más y menos.

a) 25 b) 10 c) 24

d) 32 e) 64

38. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para

vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se

pueden ocupar estos tres cargos?

a)108 b) 64 c)128

d) 72 e) 90

39. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan

estrechandose las manos, suponiendo que cada uno es cortés

con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos

hubieron?

a) 60 b) 435 c) 870

d) 120 e) 205

40. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato

(una rueda, todos contra todos).

¿Cuántos partidos más se deberían programar, si llegan

3 equipos más?

a) 31 b) 33 c) 9

d) 12 e) 21

288