PROBLEMAS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES y VARIABLES ALEATORIAS
Ejercicios de Variables Aleatorias
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Ejercicios:1.- a) Espacio muestral b) Función de Pro CXX CARAS XCX 0 CARAS XXC 1 CARA CCX 2 CARAS CXC 3 CARAS XCC CCC XXX Posibilidades 8 E={XXX,CCC,XCC,CXC,CCX,XXC,XCX,CXX} c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 o menos caras? P{X<=2}= P{X=0} +P{X=1} 0.875 d) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2? P{1<=X<=2}= P{X=1} + P{ 0.75 e) Calcular el número esperado de caras Se lanza una moneda, donde x es la Variable aleatoria que denota el númer 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 ∑24_( =0)^ ▒ = (0)p{x=0} + (1)p{x=1} + (2)p{x=2} + (3)p{x=3} ∑24_( =0)^ ▒ = (0)0,125 + (1)0,375 + (2)0,375 + (3)0,125 = 1,5
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Ejercicios:1.-
a) Espacio muestral b) Función de ProbabilidadesCXX CARAS variable XXCX 0 CARAS 0XXC 1 CARA 1CCX 2 CARAS 2CXC 3 CARAS 3XCC SumaCCCXXXPosibilidades 8E={XXX,CCC,XCC,CXC,CCX,XXC,XCX,CXX}
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 o menos caras?P{X<=2}= P{X=0} +P{X=1} + P{X=2} = 0.875
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?P{1<=X<=2}= P{X=1} + P{X=2} = 0.75
e) Calcular el número esperado de caras
Se lanza una moneda, donde x es la Variable aleatoria que denota el número de caras al lanzarla tres veces.
0 CARAS 1 CARA 2 CARAS 3 CARAS0
0.050.1
0.150.2
0.250.3
0.350.4
∑24_(𝑖=0)^𝑘▒𝑋𝑖𝑃𝑖 = (0)p{x=0} + (1)p{x=1} + (2)p{x=2} + (3)p{x=3} ∑24_(𝑖=0)^𝑘▒𝑋𝑖𝑃𝑖 = (0)0,125 + (1)0,375 + (2)0,375 + (3)0,125 =
1,5
PROBABILIDADES X.Pi0.125 00.375 0.3750.375 0.750.125 0.375
1 1.5
Se lanza una moneda, donde x es la Variable aleatoria que denota el número de caras al lanzarla tres veces.
0 CARAS 1 CARA 2 CARAS 3 CARAS0
0.050.1
0.150.2
0.250.3
0.350.4
H10
Bertha: Esperanza matemática
Ejercicio 2Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza
Dado1 Dado21 1 2 1 2 0.0277777777782 1 3 2 3 0.0555555555561 2 3 3 4 0.0833333333332 2 4 4 5 0.1111111111113 1 4 5 6 0.1388888888891 3 4 6 7 0.1666666666671 4 5 5 8 0.1388888888892 3 5 4 9 0.1111111111113 2 5 3 10 0.0833333333334 1 5 2 11 0.0555555555561 5 6 1 12 0.0277777777782 4 6 13 3 64 2 65 1 61 6 72 5 73 4 74 3 75 2 76 1 72 6 83 5 84 4 85 3 86 2 83 6 94 5 95 4 96 3 94 6 105 5 106 4 105 6 116 5 116 6 12
Total de posibilidades = 36
Suma de Caras (Espacio Muestral)
Cantidad Sumas
Suma de caras (X)
Probabilidades (Pi)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.020.040.060.08
0.10.120.140.160.18
Suma de Caras
Prob
abili
dade
s
Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza
Varianza0.0555555555555556 0.11111111
0.166666666666667 0.5 2.415229460.333333333333333 1.333333330.555555555555556 2.777777780.833333333333333 5
1.16666666666667 8.166666671.11111111111111 8.88888889
1 90.833333333333333 8.333333330.611111111111111 6.722222220.333333333333333 4
7 54.8333333
Esperanza Matematica (E) X2Pi
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.020.040.060.08
0.10.120.140.160.18
Suma de Caras
Prob
abili
dade
s
𝜎=√(∑▒〖𝑥 ^2 _𝑃 𝑖−𝐸^2 〗 ) =
G16
Bertha: Esperanza matemática
a. Probabilidad acumulada
Espacio Muestral Caras ProbabiliadCCC 0 CARAS 1 0 0.125 0.125CCX 1 CARA 3 1 0.375 0.5CXC 2 CARAS 3 2 0.375 0.875XCC 3 CARAS 1 3 0.125 1CXXXCXXXCXXXTotal de posibilidades: 8
c. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 o menos caras?P{X<=2}= P{X=0} +P{X=1} + P{X=2} = 0.875
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?P{1<=X<=2}= P{X=1} + P{X=2} = 0.75
e) Calcular el número esperado de caras
1. Se lanza una moneda 3 veces seguidos. a. Determine la función de distribución o de probabilidad acumulada, la cual representa en cada punto Xo, la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto, es decir: b. Represente en un gráfico la función de probabilidadc. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 o menos caras?d. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?e. Calcular el número esperado de caras
Número posible de caras
Variable aleatoria (X)
Probabilidad acumulada
∑_(𝑖=0)^𝑘▒𝑋𝑖𝑃𝑖 = (0)p{x=0} + (1)p{x=1} + (2)p{x=2} + (3)p{x=3}
∑_(𝑖=0)^𝑘▒𝑋𝑖𝑃𝑖 = (0)0,125 + (1)0,375 + (2)0,375 + (3)0,125 = 1,5
b. Representación de las probabilidades acumuladas
X.Pi0
0.3750.75
0.3751.5
a. Determine la función de distribución o de probabilidad acumulada, la cual representa en cada punto Xo, la probabilidad de
0 CARAS 1 CARA 2 CARAS 3 CARAS0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Cantidad de Caras
Prob
abili
dad
acum
ulad
a
J8
Bertha: Esperanza matemática
a. Obtener la función de probabilidades b. Representar gráficamente la función de probabilidades para XX Probabilidad-1 0.57870371 0.069444442 0.347222223 0.00462963
Total 1
c. Obtener E(X), es decir la esperanza matemática.
2. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia. a. Obtener la función de probabilidades b. Representar gráficamente la función de probabilidades para Xc. Obtener E(X), es decir la esperanza matemática.
E[X] = −1 × 125/216 + 1 × 15/216 + 2 × 75/216 + 3 × 1/216 = −0,078
-1 1 2 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
b. Representar gráficamente la función de probabilidades para X
2. En algunos casinos se realiza el siguiente juego: se elige uno de los números 1, 2, 3, 4, 5, 6. A continuación se lanzan tres dados. Si el número elegido aparece 1, 2, 3 veces, se recibe 1, 2, 3 veces lo apostado, y se recupera éste. Si no aparece el número elegido, se pierde lo apostado. Sea X la variable aleatoria que proporciona la ganancia.
-1 1 2 30
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
