Ejercicios Del Libro Dibujo Tecnico II

8/22/2019 Ejercicios Del Libro Dibujo Tecnico II

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Dibujo Técnico II Ricardo Moreno Luquero, Colegio Retamar, Madrid

DDIIBBUUJJOO TTÉÉCCNNIICCOO IIII EEJJEERRCCIICCIIOOSS PPRROOPPUUEESSTTOOSS

2º de Bachillerato

Ricardo Moreno Luquero




2

1. Dibujar el conjunto de puntos desde los que se ven aun segmento de 3 cm bajo un ángulo de 70º.

2. Construir un triángulo conociendo la longitud de unlado 6 cm, el ángulo opuesto 60º y que la altura desde esevértice es 4 cm.

3. Construir un triángulo conociendo la longitud de unlado 5'5 cm, el ángulo opuesto 45º, y la longitud 6 cm de lamediana que llega al lado dado.

4.

¿Cuánto han de valer los ángulos α y β para que elcuadrilátero ABCD sea inscribible en una circunferencia?

70º60º

αβ

5. A la vista de la figura adjunta y teniendo en cuentalos valores acotados en los ángulos, deducirrazonablemente y en este orden los valores de losángulos α, β, γ y δ.

90º 45º

30º

β

δ γ

α

TTEEMMAA 11

TTRRAAZZAADDOOSS EENN EELL PPLLAANNOO




3

6. Dibujar un cuadrilátero inscribible ABCD del que se daen posición y magnitud el lado AB. Se conocen ademáslos lados BC = 60 mm, AD =45 mm y el ángulo A= 120º.

A

B

7. Los puntos A, B y C son tres vértices del cuadriláteroconvexo ABCD inscrito en una circunferencia. Dibujardicho cuadrilátero sabiendo que el lado CD mide 40 mm.

B C

A

8. Hallar los punto del plano desde los que se ven bajoun ángulo de 45º los segmentos AB y BC.

A B

9. Los segmentos AB y BC son lados de dos triángulosque tienen un lado común BD. Dibujar ambos triángulossabiendo que los ángulos ABD y BDC valen 30º.

A

B C

10. Desde un navío se divisan los faros F y P formandoun ángulo de 60º y las posiciones del faro P y la colina Cformando un ángulo de 45º; ambas mediciones serealizan en un plano horizontal. Determinar la posición delnavío.

F P

C

11. Dadas las circunferencias C1 y C2 hallar los puntosdel plano desde los que se ve a C 1 bajo un ángulo de 60º

y a C2 bajo un ángulo de 90º. Se recuerda que un puntove a una circunferencia bajo un ángulo α cuando lastangentes trazadas desde el punto a la circunferenciaforman un ángulo de valor α.

O1

C12

O2




4

12. Dibujar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida80 mm, y la altura sobre ella sea de 35 mm.

13. Dado el triángulo ABC, hallar un punto de su interiordesde el cual se vean los tres lados bajo el mismo ángulo.

B

C

A

14. Construir un cuadrilátero inscriptible en unacircunferencia de modo que AB= 20, BD= 60 y AD = 50mm, siendo BC=CD.

15. Construir un cuadrilátero ABCD tal que AB= 75 mm,<DAB=75º, <BCD=105º, <DCA=15º y AD=CD.

16. Sea AB el diámetro de una circunferencia. Tracemosuna cuerda arbitraria AC que sale de A. Prolonguémoslauna cantidad CM=CB. Hallar el lugar geométrico del puntoM.

A

C

B

17. Dado un punto P en el plano de un círculo, ¿Cuál esel lugar geométrico del punto medio M de las cuerdas quepasan por P?

MP




5

18. Un ángulo constante α pivota alrededor de su vérticeV que está en una circunferencia fija. ¿Cuál es el lugargeométrico de los puntos medios P de las cuerdas AB quesus lados interceptan en la circunferencia?

A

B

α

P

V

19. Los puntos A y B son dos puntos fijos de unacircunferencia y CD es una cuerda de longitud constanteque ocupa todos las posiciones posibles en lacircunferencia. Hallar los lugares geométricos de lospuntos M y N.

A B

C

M

D




6

TTEEMMAA 22

PPRROOPPOORRCCIIOONNAALLIIDDAADD,, SSEEMMEEJJAANNZZAA YY EEQQUUIIVVAALLEENNCCIIAA

1. Inscribir un cuadrado en el triángulo dado.

2. Hallar gráficamente el perímetro de un triánguloA'B'C' cuyo lado mayor mide 50 mm, sabiendo ademásque es semejante a otro triángulo ABC cuyos lados midena = 35 mm, b = 30 mm y c = 25 mm.

3. Construir un triángulo semejante al ABC y que tengade perímetro 180 mm.

A

B

C

4. Inscribir en el triángulo ABC, en la forma que indica lafigura explicativa, un rectángulo en el que un lado es los2/3 del otro.

A B

C

CROQUIS

l

23 l




7

5. Dado la circunferencia C, inscribir en ella unrectángulo que tengo un lado doble del otro.

6. Conocemos las rectos r, r' y un punto A situadosobre r. Dibujar todos los cuadrados ABCD tales que ellado AB quede contenido en r y el vértice C opuesto al Aquede contenido en r'.

r'

r

A

7. Los dos herederos de un terreno triangular ABC, quesólo tiene acceso desde la calle del lado AB, decidendividir en dos partes iguales con un lado paralelo a AC, deforma que ambos tengan acceso desde dicha calle.Determinar los divisiones del terreno.

A B

C

8. Dividir áureamente un segmento AC = 40 mm.

9. Construir un rectángulo áureo conociendo la medidade los dos lados mayores = 60 mm

10. Dado un segmento b = 50 mm, hallar gráficamentelos segmentos a y c sabiendo que a es el segmento áureode b y que b es el segmento áureo de c.

11. Dibujar un triángulo isósceles de perímetro 10 cm yen el que la base es el segmento áureo de uno de suslados laterales.

12. Dibujar un triángulo isósceles de perímetro 18 cm ycuyos lados iguales sean cada uno segmento áureo de labase.




8

13. Trazar el cuadrado equivalente al polígono dado.

14. Hallar el cuadrado equivalente al polígono dado.

15. Determinar el triángulo equilátero equivalente alparalelogramo dado.

16. Determinar un rectángulo de doble base que altura,equivalente al triángulo dado.




9

TTEEMMAA 33

PPOOTTEENNCCIIAA DDEE UUNN PPUUNNTTOO RREESSPPEECCTTOO DDEE UUNNAA CCIIRRCCUUNNFFEERREENNCCIIAA

1. Supuesta la superficie de la Tierra lisa y esférica,calcular de forma teórica el radio del horizonte que ve unobservador a 2 m de altura. (Radio de la Tierra = 6 400km).

2. Hallar los puntos del plano que tengan igual potenciarespecto a las circunferencias dadas y desde los que sevea el segmento que une sus centros bajo un ángulo de60º.

O O'

3. Dibujar el lugar geométrico de los puntos que tienen 25cm2 de potencia respecto de una circunferencia de radio 3cm.

4. Dadas las circunferencias C1 y C2 hallar los puntos Pdel plano desde los que se pueden trazar tangentes aambas circunferencias, tales que la distancia del punto P alpunto de contacto sea 35 mm.

C1

C2




10

5. Hallar gráficamente un punto P entre M y N tal que

ON OM OP ⋅=

O M N

6. Determinar un punto M sobre el lado AC del triángulo,tal que AB2= AM · AC.

A C

B

7. Trazar una circunferencia con centro M y tal que Ptenga igual potencia respecto de ella y de la (N).

M

P

N

8. Dibujar una circunferencia de centro O de forma que eleje radical de la misma y de la circunferencia dada C sea larecta r.

r

C

O

9. Determinar el centro radical de las tres circunferencias.




11

10. Hallar el punto P desde el cual pueden dibujarsetangentes de igual longitud a las circunferencias dadas.Dibujar las posibles tangentes.

11.11.11.11. Trazar una circunferencia que pase por el punto P yque comparta el mismo eje radical con las circunferenciasdadas C1 y C2.

C2

C1

O2

O1P




12

TTEEMMAA 44

FFOORRMMAASS PPOOLLIIGGOONNAALLEESS

1. Dibujar un pentágono regular de 4 cm de lado.

2. Dibujar un pentágono regular inscrito en unacircunferencia de r = 4 cm.

3. Construir un decágono regular de 3'5 cm de apotema.

4. Construir un triángulo ABC conociendo a= 5'5 cm, elángulo A

ˆ

= 45º y la mediana desde A, mA = 6 cm.

5. Construir un triángulo ABC dados Bˆ =60º, C ˆ =75º y lalongitud de¡ segmento m que es la mediana desde A.

m




13

6. En el triángulo ABC el ángulo Aˆ vale 60º. Si M es elcircuncentro del triángulo deducir razonadamente y en esteorden los valores de los ángulos α y β.

B

β α

C

M

A

6 0 °

7. Construir un triángulo del que se conocen el lado a =40 mm y las alturas hA =25 mm y hB = 35 mm. ¿Cuántassoluciones hay?

8. Construir un triángulo del que se conocen el ángulo Aˆ = 60º, la bisectriz wA = 40 mm y la altura hA = 30 mm.

9. Construir un triángulo del que se conocen el ángulo Bˆ = 60º, la altura hA = 40 mm y hB = 30 mm.

10. Construir un triángulo del que se conocen la medianamA = 50 mm, la altura hA =40 mm, y que el lado a es eldoble de b.

11. Construir un triángulo del que se conocen a = 50 mm,la suma b + c = 80 mm, y la altura hC = 30 mm.




14

12. Construir un triángulo conocido el lado a = 40 mm, lamediana de a = 35 mm, y la altura de a =30 mm.

13. Construir un triángulo rectángulo que tenga su

hipotenusa contenida en la recta r, un cateto debe pasarpor el punto P, el otro por el punto Q y además la alturacorrespondiente a la hipotenusa debe valer 40 mm.

P

r

Q

14. Dibujar un triángulo ABC del que se conoce el lado AC

= 90 mm, el ángulo Aˆ = 45º y la bisectriz correspondienteal vértice C, wC =75 mm.

15. Dibujar un triángulo ABC del que se conoce que su

lado AB tiene de longitud 60 mm, el ángulo C ˆ es de 30º yla altura correspondiente al vértice B es hB = 30 mm.Analizar el número de soluciones posibles.

16. Dibujar un triángulo ABC del que se conoce el ángulo

Aˆ = 45º, Bˆ = 60º y el radio de la circunferencia circunscritaR= 30 mm.

17. Construir un triángulo rectángulo de perímetro 180mm, siendo uno de sus ángulos de valor 30º .




15

18. Dibujar el triángulo ABC del que se conocen el ángulo

C ˆ = 60º, la altura hB = 5 cm, y la mediana mA =6 cm.

19. Dibujar un triángulo ABC del que se conocen el lado b

= 60 mm, el ángulo Aˆ = 45º y la bisectriz correspondientea este ángulo wA = 45 mm.

20. Construir un triángulo que tiene por mediana y alturasobre el lado BC los segmentos mA =51 mm y hA = 49 mm.

Además, se sabe que la mediana sobre el lado AC es mB

=81 mm.

21. De un triángulo ABC se sabe que su base AB mide 70mm y ha de estar contenida en la recta r. Su baricentro esel punto G y la mediana mC relativa a la base mide 50 mm.Dibujar todos los triángulos ABC que cumplan los requisitosanteriores.

G

r

22. Dibujar un rombo de lado l=35 mm cuyas diagonalessumen d1 + d2 = 90 mm.

23. De un triángulo ABC se conocen los vértices A, B y laposición de su baricentro G. Terminar el dibujo de dichotriángulo.

G

A

B




16

24. Inscribir un cuadrado de 35 mm de lado en el cuadradoABCD.

A B

D

25. Tenemos un pentágono (no necesariamente regular)cuyos lados miden cada uno un metro y otro pentágonocuyos lados miden cada uno dos metros. Contestarrazonadamente si ambos pentágonos han de sernecesariamente semejantes.

26. En una circunferencia de 30 mm de radio inscribir unrectángulo cuyo perímetro valga 140 mm.

27. Construir un pentágono regular estrellado de dosvueltas conocido I = 20 mm.

28. Dibujar un decágono regular estrellado de tres vueltas,sabiendo que el radio de la circunferencia donde se inscribees 25 mm.

29. Dibujar un trapecio ABCD de altura h=30 mm,diagonales AC=50 y BD=45 mm, siendo CD=DA.

B C

DA

CROQUIS




17

30. Dibujar un octógono regular sabiendo que dos de suslados paralelos están situados en las rectas r y s.

s

r

31. Construir un paralelogramo en el que dos de sus ladosformen un ángulo de 60º y sumen 75 mm, siendo ladiagonal menor de 40 mm.

32. Construir un triángulo ABC tal que el radio de sucircunferencia circunscrita sea 35 mm, siendo el ángulo<A=45º y la altura hA= 45 mm.

33. Dibujar el trapecio ABCD cuyos lados cumplen lasrelaciones: AB-CD= 20mm, BC=DA=30 mm y su diagonalAC=60 mm.




18

TTEEMMAA 55

TTRRAANNSSFFOORRMMAACCIIOONNEESS GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAASS

1. Dados los puntos A y B y la recta r, hallar en esta rectaun punto P tal que la suma PA + PB tenga un valor mínimo.

A

r

B

2. Las circunferencias C y C' son tangentes exteriormentey el radio de una es el doble que el de la otra. Existe unahomotecia directa (K>0) de centro O y razón K quetransforma C en C' y otra inversa (K<0) de centro O' razónK' que realiza la mismo función. Dibujar sobre la figura lospuntos O y O' y dar los valores de K y K'.

CC'




19

3. Dadas las circunferencias C y C' de la figura, construirlos posibles centros de homotecia que transforman C en C'e indicar las correspondientes razones de homotecia.

C C'

4. Dibujar la figura transformada del trapecio ABCDmediante una homotecia de razón -3/2. Se conoce eltransformado A' del punto A.

C

B

A'D

A

5. Una lupa está situada sobre un mosaico regular delmodo que se muestra en la figura. Completa el dibujoañadiendo las formas que se ven a su través, sabiendo queen ella se producen 2 aumentos en su área.

6. Construir una figura semejante a la dada pero quetenga el doble de área.

A

7. Dado un triángulo ABC, construir el triángulohomotético A'B'C' de superficie la cuarta parte de lasuperficie del primero, siendo centro de homotecia elbaricentro G.

A

C

B

8. Dadas las rectas r y s y un punto P, dibujar una recta tque pase por P y que forme el mismo ángulo con r y con s.

r

s

P




20

9. Nos dan una circunferencia, un punto A de la misma yuna cuerda BC. Se pide:

a) trazar la circunferencia homotética de la dada concentro de homotecia en A y razón k = 1/2.

b) Dibujar las cuerdas que pasen por A y seancortadas por BC en su punto medio.

A

O

B

C

10. Hallar la figura inversa del triángulo ABC respecto deO, siendo A inverso de sí mismo.

O C

A

11. Hallar la figura inversa respecto de O del segmentocircular dado, sabiendo que A es inverso de sí mismo.

O A

12. Hallar la figura inversa de la dada respecto de O.Potencia de inversión: K= -9 cm x cm.

O

13. Figura inversa de la dada, siendo A el centro de lainversión y B y C inversos de sí mismos.

C

A

B

14. Hallar la figura inversa de la circunferencia dada,conociendo los inversos de dos de sus puntos.

A'

B'

B

A




21

15. Hallar la figura inversa de la dada respecto de O,sabiendo que A' es el inverso de A.

O A A'

16. Hallar el centro de la inversión que transforma A en A'y B en B'.

A B A'B'

17. En una inversión positiva definida por la circunferenciaC y la recta r, hallar la figura inversa del punto P.

C

P

r

18. En una inversión de potencia negativa, cada punto dela circunferencia C se trasforma en su diametralmenteopuesto. Hallar el inverso del punto P.

P

C

O

19. Si los puntos A y A' son homólogos en una inversiónde centro O, dibujar la inversa de la circunferencia C.

A'

C

O A

20. Dada la circunferencia C y la recta r de la figura, en laque se verifica que AB = BO = OD = a, indicar cuáles sonlos posibles centros de inversión que transforman C en r ycuáles serían las correspondientes potencias de inversión.

C

B

A

aO

D

2 a

r




22

21. Dado el cuadrilátero AA'B'B de la figura, cuyo ánguloAA'B' vale 120º, ¿cuánto ha de valer el ángulo B para quelas parejas de puntos (A, A') y (B, B') sean parejas dehomólogas en una inversión?

A'

A

1 2 0 °

α

B'

B

22. En la inversión definida por el centro de inversión O yuna pareja de puntos inversos A y A', hallar la figura inversade la recta r.

O

A

A' r

23. Hallar la inversa de la recto r en una inversión decentro O y potencia de inversión la potencia que el punto Otiene respecto a la circunferencia C.

O

C

r

24. En una inversión de centro O y potencia positivaK=OP·OQ, hallar el inverso del arco AB.

O P Q

B

A

25. Determinar un punto M sobre el lado AC del triángulo,tal que ÁB2=AM·AC.

A

B

26. Determinar la figura A’B’C’D’, inversa de la ABCDdada, en una inversión de centro O que convierte el puntoA en el A’

O

A

A'

B

C

D




23

27. Dibujar los posibles segmentos iguales y paralelos alsegmento s, de modo que sus extremos estén en lascircunferencias de centros O y O1.

O

s

O1

28. Dadas las rectas r y s que se cortan fuera de loslímites de¡ papel, trazar por los puntos A y B dos rectas quepasen por el punto de corte de r y s.

A

B

29. Se pide construir un triángulo equilátero cuyo vértice Apertenezca a la circunferencia C1, el B pertenezca a la C2 yel vértice C está fijado.

C1

C2

C

30. Se pide dibujar un segmento con su punto medio en M,y cuyos extremos se encuentren en las circunferencias C1 yC2.

C1 M

C2

31. Se pide dibujar un segmento perpendicular a la recta r,

con su centro perteneciente también a la recta r, cuyosextremos se encuentren en las circunferencias C1 y C2.

C1

r

C2

32. Trazar por P un segmento que corte a la circunferenciaen dos puntos A y B tales que PA=2·PB, en los dos casosdados: con P fuera y dentro de la circunferencia.

P

P




24

33. Trazar por P las rectas que corten a la circunferenciaen segmentos de longitud 2 cm.

P

34. Determinar el segmento AB que pasa por el punto Pconocido, cuyos extremos se sitúan sobre las recta a y brespectivamente, cumpliéndose la relación PA=2PB.Exponer razonadamente el fundamento de la construcciónempleada.

P

a

b

35. Dibujar los segmentos de 45 mm de longitud que seanparalelas a la recta r, y que tengan uno de sus extremos enla circunferencia c y el otro extremo en al recta s.

O

s

r

c

36. Hallar los segmentos de 55 mm de longitud que seanparalelos a la recta r dada y que apoyen sus extremos encada una de las dos circunferencias c1 y c2 dadas.

r

c1c2




25

TTEEMMAA 66

HHOOMMOOLLOOGGÍÍAA 1. Determinar el homólogo del triángulo equilátero dado, en una homología de centro O, eje E y siendo A' el homólogo de A.

E

O

C

A

B

A'

2. Hallar la figura homóloga de ABCD, dados el eje y un par de puntos homólogos.

C

B

A

ED

B'

A'




26

3. En una homología, dados el centro O, la recta límite L y el eje E, hallar la figura homóloga del polígono dado . Medidas enmm.

O

25 17

L

8 25

1 0

2 0

1 0

E

4. Hallar la figura homóloga de la dada, conocidos el eje y dos pares de puntos homólogos.

A'

B

C

D

A

E

B'

5. Dada una afinidad por su eje y dos puntos afines A-A', se pide obtener la figura afín de la dada.

A

E

A'




27

6. Hallar la figura afín de la circunferencia dada, sabiendo que el punto afín de su centro es el A'.

AA'

7. Trazar la figura afín de la dada, con los datos que se indican.

B

A D

B'C

E

8. Hallar el cuadrilátero homotético del dado, siendo O el centro y K =- 1/2su razón de homotecia.

O




28

9. Teniendo una homología afín definida por su eje e y un par de puntos homólogos P y P', hallar el triángulo transformado delABC.

E

P'

C

B

A

10. Dibujar la figura homotética de la circunferencia dada, siendo O el centro de la homotecia y su área la mitad de la del círculoconocido.

O




29

TTEEMMAA 77

TTAANNGGEENNCCIIAASS EENN EELL PPLLAANNOO

1. Dados los puntos A y B y la circunferencia C, trazaruna de las posibles circunferencias tangentes a esos treselementos. Explicación razonada. Indicar el número desoluciones posibles.

C

A

B

2. Trazar las circunferencias tangentes a las rectas r ys, y que pasan por el punto P.

s

P

r

3. Trazar dos circunferencias tangentes interiormenteentre sí y tangentes a las rectas dadas, una en A y la otraen B.

B

A

4. Trazar una circunferencia tangente interiormente a ladada en M y tangente a la recta r.

r

M




30

5. Trazar una circunferencia de 3 cm de radio, tangenteinterior a la B y tangente exterior a la A.

A B

6. Determinar las circunferencias tangentes a la c quepasan por los puntos A y B.

B

A

C

c

7. Dado el triángulo equilátero de la figura, trazar en suinterior tres circunferencias de igual radio siendo cadacircunferencia tangente exteriormente a las otras dos ysiendo tangentes, además, a los lados del triángulo.

8. Trazar una circunferencia tangente a los tres dadas,de tal modo que éstas resulten exteriores y sabiendo quelas circunferencias de centros O1 y O2 son iguales.

O1 O2

O

9. La circunferencia C de la figura representa un tuboque alberga en su interior a dos cables cilíndricos de igualdiámetro, y a un tercero cuyo diámetro máximo sepretende calcular. Determínese éste gráficamente.

C1 C2

C




31

10. Obtener la circunferencia de menor radio posible quesea tangente a las circunferencias c1 y c2, de igual radio, ya la recta t, siendo esta última paralela a la que une loscentros de ambas circunferencias.

t

C1 C2

11. Dados las rectas r y s y la circunferencia C tangentea ambas, trazar las circunferencias tangentes a s, r y C.

C

r

s

12. Trazar las circunferencias que sean tangentes a lacircunferencia C y a la recta r en el punto T.

O

T

C

r

13. Trazar dos circunferencias tangentes a lacircunferencia dada y a la recta r en el punto T.

O

T

r

14. Dados los puntos A, B y C, trazar tres circunferenciascon centros en estos puntos y que cada una sea tangentea las otras dos.

A

B

C

15. Un jugador de fútbol se dirige desde el centro delcampo O hacia la esquina C, siguiendo una trayectoriarectilínea. ¿Desde qué punto de esta trayectoria divisa losextremos A y B de la portería con el ángulo máximo?

C

O

BA




32

16. Dados los puntos A y B y la recta r, hallar los puntosdel plano que equidistan de A, B y r.

A

r

B

17. En una ciudad hay una plaza de toros C, una boca demetro M y un paseo P. Una castañera que cursó Dibujoen 2º de Bachillerato quiere poner un puesto equidistantea esos lugares. Indicar en el plano la posición queescogió. (Explicación razonada).

P M

C

18. Trazar las circunferencias que son tangentes a C1 y aC2 siendo P el punto de tangencia con esta última.

C1

P

C2

19. Determinar el punto P que equidiste de los A y B yque su distancia a C sea 30 mm mayor que las distanciasa los anteriores puntos.

C

B

A

20. De conformidad con las condiciones de diseñoexpresadas en el croquis adjunto, hallar geométricamentela recta s.

CROQUIS

2m

4 5 °

C1

C2

tR

m s

2 R

21. Dibujar a escala natural la figura cuyo croquis seadjunta y situar en él la recta tangente t con la condiciónangular que se expresa. Determinar con precisión loscentros y los puntos de tangencia de las circunferencias.

R 2 0

R 7 0

t

CROQUIS

R 1 5

70

1 5 °




33

22. Dibujar a escala 1:1 el objeto representado en elcroquis adjunto, según los datos del mismo, indicando loscentros y los puntos de tangencia.

R 1 5

Ø 2 5

Ø 2 5

Ø 5 0

50

23. Determinar las circunferencias tangentes a lacircunferencia c dada, que pasan por los puntos A y B.Exponer razonadamente el fundamento de la construcciónempleada

B

Ac

24. Determinar las circunferencias tangentes a las rectasparalelos r y s y a al circunferencia c

s

r

C

25. Representar la arandela cuya circunferencia exterior

es tangente a la recta t y la interior, de 10 mm menos deradio, pasa por los puntos A y B.

t

B

A

26. Determinar la circunferencia tangente a la recta t quepasa por el punto R y tiene su centro en r. Exponerrazonadamente el fundamento de la construcciónempleada.

R

t

r




34

27. Dada la circunferencia de centro C y el punto P de larecta r, hallar las circunferencias tangentes a la dada y ala recta r en el punto P.

C

P

r

28. Dibujar las circunferencias tangentes a c1, que pasenpor el punto P y tengan su centro en la recta r.

C1P

r




35

TTEEMMAA 88

CCUURRVVAASS TTÉÉCCNNIICCAASS

1. Dibujar la cicloide engendrada por una ruleta de radio 35 mm.

2. Dibujar la epicicloide con los siguientes datos: Rb = 45 mm Rr = 15 mm




36

3. Dibujar la hipocicloide con los siguientes datos: Rb = 60 mm Rr=20 mm

4. Trazar la evolvente de una circunferencia de radio 15 mm.

5. Un insecto camina en un disco desde el centro al ex-terior en línea recta, a una velocidad de 1 cm/s. El disco




37

tarda 4 segundos en dar una vuelta. Dibujar la curva des-crita durante 8 segundos.

6. Dibujar una espiral de 5 centros, los cuales forman unpentágono regular de 1 cm de lado.

7. Dibujar una voluta de paso 6 cm.

8. Dibujar una Lemniscata de Bernouilli cuya distanciaentre los focos sea 10 cm.




38

1. Dados los focos F – F' y la tangente t a una elipse,

hallar el punto de tangencia y los ejes 2a y 2b.

F' F

t

2. Dado el punto P de una elipse y los vértices C y D deleje menor, se pide el punto T de tangencia con la elipse dela recta t.

D

P C t

3. Hallar los vértices de la elipse de foco F que tiene por

tangentes a las rectas t1, t2 y t3.

t3

t2F

t1

4. Hallar los ejes de la elipse de la que se conoce un focoF, dos tangentes t 1y t2 y el punto de contacto T de latangente t1.

t2

1

F

T

TTEEMMAA 99

CCUURRVVAASS CCÓÓNNIICCAASS




39

5. Determinar las posiciones de los ejes y el otro foco deuna elipse conociendo el foco F, la tangente t y lasmagnitudes de los ejes a y b. El foco F' se encuentra a laizquierda de F.

t

F

ab

6. Determinar los ejes de la elipse definida por un foco F1,un punto T y su tangente t, sabiendo que dicho punto distala mitad de F1 que de F2.

F1

T

t

7. De una elipse conocemos la recta r que contiene a sueje mayor, un foco F y la tangente en uno de sus puntos P.Dibujar la circunferencia focal de centro el otro foco F' y losejes y vértices de la citada elipse.

r F

P

8. Hallar los ejes de una cónica de la que se conoce elfoco F1 y las tangentes t1, t2 y t3. Asimismo obtener lospuntos de contacto de las tangentes dadas.

t3t2

F1

t1

9. Tenemos una hipérbola definida por sus focos F y F' yun punto P de la misma. Dibujar sus asíntotas y la tangenteen el punto P.

F' F

P

10. Dibujar las asíntotas de una hipérbola conociendo unfoco F, la tangente t con su punto de tangencia T y la

longitud de su eje real V-V'.

F

V' V

T

t




40

11. Determinar los vértices y las asíntotas de la hipérboladeterminada por sus focos F y F', y una tangente t.

t

F F'

El punto F es el foco de una parábola que además, estangente a las rectas t1, t2. Dibujar la directriz y el eje dedicha parábola.

t2

F

t1

13. Determinar la directriz y el eje de la parábola cuyo focoes F y que es tangente a la recta t en el punto T.

F

T

t

14. Un rayo (impulso lumínico, acústico, etc) incide en unaparábola de foco F y vértice A. Obtener con exactitud (sindibujar la parábola) el punto de incidencia y el rayoreflejado.

FA

A F

15. Hallar gráficamente las tangentes desde el punto P a laelipse determinada por sus ejes y calcular sus puntos detangencia.

D

P

A B

C

16. Determinar con exactitud los puntos de intersección de

la elipse de ejes AB y CD con la recta r dada, sin dibujar lacónica.

D

A

C

B

r




41

17. Dada una elipse de ejes AB y CD, determinar sustangentes paralelas a la dirección d. Indicar los puntos detangencia.

D

C

A

d

B

18. Hallar los puntos de intersección de la parábola devértice V y directriz d con la recta dada.

d

V

r

19. Conocemos dos rectas r, r' y un punto A situado sobrer. Hallar sobre esta última recta los puntos que equidistande A y de r'. Dibujar todas las soluciones posibles.

A

r'

r

20. Determinar el lugar geométrico de los centros de lascircunferencias tangentes a la recta r y a la circunferencia c.

Ac

r

21. Dada una elipse por sus focos F-F' y su eje mayor AB,determinar los puntos de intersección de la misma con larecta r, perpendicular a dicho eje.

r

A F BF'

22. Una recta fija r es la directriz común de dos parábolasde focos F y F’ respectivamente. Obtener los puntos deintersección de las parábolas, sin necesidad de trazar lasmismas. Razonar la construcción empleada.

r

F

F'




42

23. Determinar los puntos de intersección de la recta h conla parábola de foco F que tiene tangente a la recta t en elpunto A.

h

F

A t

24. Trazar desde el punto Q las rectas tangentes a laparábola de foco F y directriz d. Obtener los puntos detangencia. Justificar razonadamente la construcciónempleada.

F

Q

d




43

TTEEMMAA 1111

SSIISSTTEEMMAA DDIIÉÉDDRRIICCOO II

1. Dibujar las trazas del plano determinado por las dosrectas r y s.

r1

r2

s2

1

2. Hallar las proyecciones de la recta intersección de losplanos α y β, cuyas trazas se cortan fuera de los límites deldibujo.

β1

β2

α1

α2

3. Determinar la recta intersección de los planos.

β1

β2

α1

α2

4. Hallar la recta intersección de los planos α y β .

β1

α2

α1

2




44

5. Hallar la recta intersección de los planos α y β .

β2α1

β1

α2

6. Hallar el punto común A de intersección de los tresplanos dados.

β1

α2

π1

α1

π2 β2

7. Hallar el punto de intersección P de los planos α, β y π.

β1

α1

α2

π2

β2

8. Trazar por el punto A, una recta que sea paralela alplano α y al plano β.

α1

β1

α2

A2

A1

β2

9. Hallar la intersección de la recta r con el plano α en losdos casos siguientes:

r1

r1

α1

r2

α2

r2

α1

2

10. Hallar el punto de intersección de la recta s con elplano α.

s1

α1

s2

2




45

11. Hallar el punto de intersección de la recta r con elplano β.

r1

β2

β1

r2

12. Dibujar la sección de la pirámide por el plano indicado.

α2

13. Dibujar la sección de la pirámide por el plano indicado.

α1

α2

14. Dibujar la sección del prisma por el plano indicado

α1

α2

15. Hallar la sección producido por el plano β en el cuerpomostrado en la figura siguiente.

β1

β2

16. Trazar las proyecciones de la sección producida en lapirámide por el plano que pasa por los puntos A, B y C.

B1

C1

A1

A2

C2

B2




46

17. Determinar las proyecciones de la sección que el planoα produce en la pirámide representada.

α1

α2

18. Determinar las trazas del plano paralelo a los rectasdadas y que pasa por el punto dado.

V1

V2

s1r1

s2r2

Hallar las trazas de un plano perpendicular a la recta s yque pase por el punto A.

s2

s1 A1=A2

19. Determinar el plano perpendicular al segmento AB yque equidiste de ambos puntos.

A1

A2

B1

B2

20. Trazar por el punto A la recta perpendicular al planodado, determinando su punto de intersección.

α2

A1

A2

α1

21. La recta r es de máxima pendiente de un plano α. Sepide hallar el pie de la perpendicular trazada desde el punto

A sobre dicho plano.

A2

r1 A1

r2




47

22. Obtener en diédrica la distancia del punto A al planodado y calcular su verdadera magnitud.

A1

A2

α1

α2

23. Hallar la distancia que separa a los dos planosparalelos α y β.

β1 α1

α2β2

24. Hallar la longitud del segmento de recta comprendidoentre los dos planos dados.

α2

β1

β2

r1

r2

α1

25. Hallar la distancia del punto A a la recta r.

r1

A1

A2

2

26. Determinar la distancia entre las rectas paralelos

dadas.

s2

r1s1

r2

27. Dado el plano α, trazar otro paralelo a una distancia Ddada.

D

α1

α2




48

28. El segmento AB se proyecta horizontalmente en A1-B1.Hallar sus posibles proyecciones verticales sabiendo quesu verdadera magnitud es de 45 mm.

B1

A1

A2

29. Dibujar la proyección horizontal del segmento ABconociendo su proyección vertical A2-B2 y sabiendo que suverdadera longitud es de 40 mm. Trazar todas lassoluciones posibles.

B2

A1

A2

30. Determinar las proyecciones de los posibles puntos Pde la recta r que disten 25 mm. del punto de intersección der con el plano α.

r1

r2

α1

α2

31. Hallar el punto del plano α más cercano al punto A.

A2

A1α1

α2

32. Hallar la distancia entre el punto A y el planoperpendicular al plano horizontal de proyección que

contenga a la recta r dada.

r1 A1

A2

r2

33. El asta de una bandera está fijado mediante trescables de los que se han representado el AB y el CD.Determinar gráficamente la verdadera magnitud de lalongitud del cable CD y el ángulo que forma AB con elplano horizontal.

B1

A1

A2

B2

C1

D2

C2




49

34. Hallar uno de los puntos de la línea de tierra que dista25 mm. del plano α.

α1

α2

35. Determinar la traza vertical del plano α para que lasección producida en el prisma recto de base el triánguloisósceles ABC sea, en verdadera magnitud, un triánguloequilátero.

α1

A1

C1

C2

B1

B2 A2

36. Una línea eléctrica está representado por la recta r.Determinar la verdadera magnitud de la distancia a dichalínea desde el punto A.

A1

A2

r1

r2

37. Hallar las proyecciones de una recta horizontal quesea perpendicular a la recta r en el punto A.

A1

r1

r2

A2




50

38. Dibujar el camino más corto desde el vértice A al B,pasando por todas las caras laterales del prisma.

A1=B1

A2

B2

39. Dos tarjetas ABCD y EFGH se han insertado medianteun corte dado a una de ellas, quedando colocadas comomuestra la figura. Complétese la representación atendiendoa la visibilidad de cada arista.

B2A2

A1=D1

B1=C1

D2

E2

H2

G2

F2

C2

H1

G1

F1

E1

40. Completar la representación diédrica del triángulo ABC y el paralelogramo DEFG atendiendo a su intersección yvisibilidad.

B2

G2

E2

F2

C2D2

A2

A1 B1

G1

F1

E1

D1

C1

41. Determinar la intersección de los planos opacos ABCDy EFG, indicando la visibilidad.

E2

C2

G2B2

F2

D2

A2

E1 B1

G1C1

F1

D1

A1




51

TTEEMMAA 1122

SSIISSTTEEMMAA DDIIÉÉDDRRIICCOO IIII

1. Hallar el área del triángulo A(24,18,16); B(12,6,32);C(36,12,42) mm.

2. Se dan abatidos el hexágono de la figura y la trazavertical del plano que lo contiene. Determinar susproyecciones.

(α2)

α1

3. Determinar las proyecciones de un triángulo equiláteroABC contenido en el plano α, del que se conocen α2, lasproyecciones de los vértices indicados y que el vértice C esel de mayor cota posible.

B2

A1

A2

α2

4. Determinar las proyecciones diédricas de un hexágonoregular de lado AB situado en el plano definido por lospuntos A, B y P.

A2

A1

B1

B2

P1

P2




52

5. Obtener las proyecciones del incentro del triánguloABC.

B1

A1

B2 C2=C1

A2

6. Dada la recta frontal r y el punto A, dibujar lasproyecciones del triángulo equilátero que tenga un vérticeen A y el lado opuesto en r.

A1

r1

A2 r2

7. Determinar el menor de los ángulos que forman lasrectas coplanarias r y s.

s1

A1r1

s2 A2

r2

8. Hallar la distancia existente entre las rectas paralelas ry s.

s1

r1

r2s2

9. Hallar las proyecciones de los lados AD y CD delcuadrilátero ABCD sabiendo que éstos miden 20 y 30 mmrespectivamente.

B2

A1B1

A2

C1

C2

10. Determinar la mínima distancia existente entre el puntoA y la recta r.

A1

A2

r1

r2




53

11. Hallar la verdadera magnitud de la sección planaproducida en la pirámide por el plano α.

α1

2

12. Determinar la verdadera magnitud de la sección queproduce en la pirámide el plano que pasa por los puntos A,B y C.

V2

B1

A1

B2

A2

V1 C1

C2

13. Hallar la verdadera magnitud de la sección de lapirámide pentagonal dada, al ser cortada por un plano decanto.

α1

α2

14. Dibujar la sección, verdadera magnitud, desarrollo ytransformada de la sección.

α1

α2

15. Seccionar el prisma de la figura por el plano dado,hallando la verdadera magnitud de la sección y eldesarrollo.

α1

α2

16. Determinar la traza vertical del plano α para que lasección producida en el paralelepípedo sea, en verdaderamagnitud, un cuadrado.

α1




54

17. Hallar la recta intersección de los planos α y β.

β1

α1

β2

α2

18. Hallar la distancia del punto A al plano α.

A1

α1

A2

α2

19. Hallar la traza horizontal del plano β sabiendo que esperpendicular al plano α.

α1

α2

β2

20. Hallar las proyecciones del punto intersección delsegmento A y B con el plano α.

A1

B1

α1

B2

α2 A2

21. Dibujar los planos α y β paralelos al plano dado π ydistantes del mismo 15 mm.

π1

π2

22. Dibujar las proyecciones diédricas de un triánguloequilátero ABC, sabiendo que está contenido en el plano α y conociendo la proyección vertical del vértice A y lahorizontal del vértice B. De las dos soluciones posibles,elegir la de mayor cota para el vértice C.

B1 α1

A2

α2




55

23. Hallar la verdadera magnitud de la distancia entre elpunto C y la recta definida por los puntos A y B.

B2

B1

A1

A2

C2

C1

24. Determinar la proyección vertical de la recta frontal r ysus puntos A y B, de la intersección con la pirámide,sabiendo que AB=40 mm.

r1

A1

25. Obtener la recta r que, apoyándose en las rectas a y b,sea paralela a la línea de tierra.

a1

a2

b1

b2

26. Hallar las trazas de una recta de perfil que pase por elpunto A y sea paralela al plano α.

A1

α1

A2

α2

27. Hallar la recta intersección del plano α con el definidopor la línea de tierra y el punto A.

A1

α1

A2α2

28. Dado el cono de revolución de la figura, dibujar lastrazas de los planos que sean tangentes al mismo yparalelos a la línea de tierra.

V1

V2




56

29. Hallar las proyecciones del punto de intersección delos tres planos α, β y π. Obsérvese que el plano β estádeterminado por el punto A y la línea de tierra.

A2

π1

α1

A1

β2

β1

π2 α2

30. Representar las proyecciones de un punto de cota 20mm. que está contenido en el plano α y en el primerbisector.

α1

α2

31. Hallar la verdadera magnitud de los ángulos que larecta r forma con los planos de proyección.

r1

r2

32. Hallar los ángulos que forma el plano α con elhorizontal y el vertical de proyección.

α1

α2

33. Dada la recta r, hallar las trazas de los posibles planosque contengan a dicha recta y que formen 60º con el planohorizontal.

r2

r1

34. Obtener la verdadera magnitud de la secciónproducida en la pirámide dada por un plano que pasa porAB y forma 45º con el plano horizontal.

A1

A2

B1

B2




57

35. Se conoce la traza horizontal α1 de un plano que forma60º con el plano horizontal. Dibujar la traza vertical de dichoplano. ¿Cuántas soluciones hay?

α1

36. Sabiendo que el plano α es vertical y que la proyección

r1

de la recta r es perpendicular a la traza α1

, hallar el puntode intersección de la recta y el plano , y el ángulo queforman.

r1 α1

r2

α2

37. Determinar el ángulo que forman los planos ABC yABDEF.

E1

F2

D1 B1

C1A1F1

E2 2

C2=B2A2

38. Una recta r pasa por los puntos A y B. Este perteneceal PH. Además sabemos que la recta forma 45º con elplano horizontal y está contenida en un plano proyectantesobre el horizontal. Hallar el punto B.

r1A1

A2

39. Hallar las trazas de un plano β que pase por lospuntos A y B y sea perpendicular al plano α.

α1

A1

B1

B2

α2

A2

40. Dada la recta r contenido en el plano α hallar el planoperpendicular a α que pase por r.

r1

α1

α2




58

41. Hallar el plano β que pasa por el punto A y esperpendicular al plano α y paralelo a la recta r.

α1

A1 r1

2

A2

r2

42. Dado el cubo inferior en diédrica, apoyado en la aristaAB, hallar la nueva posición vertical al mover el planovertical mediante el cambio de plano definido por la nuevaLT.

A1

A2=B2

B1

43. Determinar la distancia del punto P a la recta r.

P2

P1

r2

r1

44. Determinar la verdadera magnitud de la sección delprisma con el plano α proyectante vertical.

Vα

45. Determinar en posición y magnitud el segmento“mínima distancia ” entre las rectas r y s.

s2

s1

r2

r1

46. Dadas las rectas r y s, que se cortan en el punto P,hallar la verdadera magnitud del ángulo que forman entreellas.

s2

r1

P2

P1

r2

s1




59

1. Dibújese en perspectiva libre un poliedro de 6 caras y5 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?

2. Determinar el ángulo que forman dos carascualesquiera de un tetraedro regular.

3. Dado la proyección horizontal de un tetraedro regular yun plano α que lo corta, hallar las proyecciones de lasección.

α1

α2

4. Un tetraedro regular ABCD tiene la arista AB contenidaen la recta r y la arista opuesta CD contenida en la recta s,siendo ambas rectas horizontales y ortogonales entre sí.

Dibujar las proyecciones del tetraedro.

r1s1

s2

r2

TTEEMMAA 1133

SSUUPPEERRFFIICCIIEESS




60

5. Hallar las proyecciones diédricas de un tetraedroregular de arista CD, sabiendo que los vértices C y D sonlos de mayor cota de tetraedro y que la arista AB eshorizontal.

C1

D2

D1

C2

6. Un cubo se apoya en el plano horizontal de proyecciónsobre una arista AB del mismo, teniendo además paralela adicho plano una de sus secciones principales. Conociendo

la proyección horizontal A1B1 de la arista de apoyo,completar las proyecciones del cubo.

A1

B1

7. Sabiendo que la figura adjunta representa laproyección horizontal de un cubo con una diagonal vertical,dibujar su proyección vertical, distinguiendo partes vistas yocultas.

D1=F1

A1

B1

C1

E1

H1

G1

D2

8. Dibujar las proyecciones horizontal y vertical de uncubo, cuya arista AB está contenida en una recta de perfil.

El cubo debe quedar a la derecha del plano de perfil quecontiene a la arista AB y el vértice A debe ser el de menorcota del mismo.

A1

B1

A2

B2




61

9. El segmento AB es arista de un hexaedro regular y lasrectas r y s son diagonales de las caras perpendiculares ala arista AB. Hallar las proyecciones del poliedro.

A1

B1

A2=B2

r2

=s2

r1

s1

10. Dibujar sobre el cubo dado el poliedro resultante deunir los puntos medios de sus aristas. Interpretarcorrectamente las partes vistas y ocultas del sólidoresultante. Indicar el número de aristas y el número devértices, y dibujar el desarrollo de la superficie.

11. Hallar la verdadera magnitud de la sección que elplano α produce en el cubo que está apoyado en el planohorizontal de proyección mediante su cara ABCD.

A1

B1

C1

D1

α1

α2

12. Dibujar las proyecciones de un cubo de arista 30 mm.del que se conoce que: 1º) tiene una cara contenida en elplano α, siendo A uno de sus vértices y estando todo elsólido situado a la derecha de α, 2º)otra de las caras quepasa por A forma 30º con el plano horizontal de proyección,3º) el cubo está totalmente situado en el primer cuadrante.

A1

α1

α2

A2

13. Dada la recta de punta r, dibujar las proyecciones deun cubo que tenga su arista AB contenida en r y la aristaopuesta de una de las caras contiguas contenida en elplano horizontal de proyección. El cubo debe quedar a laderecha del plano de perfil que contiene a r.

r1

A1

B1

r2=A2=B2

14. Dibujar el desarrollo del poliedro obtenido al seccionarel octaedro regular por planos a 1/3 de la arista. Bastatrazar cuatro o cinco caras yuxtapuestas.




62

15. Completar la sección producida por el plano ABC en eloctaedro regular representado, y visualizar las partes vistasy ocultas.

16. Dibujar las proyecciones de un octaedro regular queestá apoyado sobre el plano horizontal de proyección sobrela cara ABC. Interpretar correctamente las aristas vistas yocultas.

B1

B2

C1

A1

A2 C2

17. A1=B1 es la proyección horizontal de la altura de unoctaedro regular que tiene un vértice sobre el plano verticaly cuyas aristas horizontales forman 45º con dicho plano.Dibujar las proyecciones del octaedro.

A1=B1

18. Dada la superficie esférica de la figura y lasproyecciones horizontales P1≡Q1 de dos puntos de lamisma, hallar las proyecciones verticales de estos puntossabiendo que P tiene mayor cota que Q.

P1=Q1




63

19. Dibujar los ejes de la elipse en que se proyectahorizontalmente la intersección del plano α con la esferadada.

α1

20. Hallar el plano tangente a la esfera dada en el punto Pde la misma situado por debajo de su contorno aparentesobre el horizontal.

O1

P1

O2

21. Hallar los puntos de intersección de la recta r con el

cuerpo representado.

r1

r2

22. Dada la esfera de la figura, hallar los puntos de lamisma cuyos planos tangentes son paralelos al primerbisector.

O1

O2

23. Trazar los proyecciones de la esfera de centro 0 quees tangente al plano α.

α2

O1

α1

O2

24. Hallar las proyecciones de los puntos que disten 20mm. del plano vertical de proyección, 30 mm. del horizontaly 40 del punto A.

A1

A2




64

25. Dado el cubo, cuyas proyecciones diédricas son las dela figura, dibujar las proyecciones de su esfera circunscritae inscrita.

26. Hallar las proyecciones de la esfera circunscrita altetraedro regular de la figura.

27. Dado el tetraedro regular de la figura, apoyado sobreuna arista en el plano horizontal, dibujar los proyeccionesde la esfera interior al mismo que es tangente a sus aristas.

28. Dado el tetraedro regular de la figura, cuyas aristas ABy CD son horizontales, dibujar las proyecciones de unaesfera que sea tangente a sus aristas.

C2 D2

D1

C1

A2 B2

B1

A1




65

29. Dado el cubo de la figura, hallar las proyecciones de laesfera que sea tangente a sus aristas.

30. Hallar las trazas del plano que pasa por el punto P yque es paralelo a las generatrices del cono que pasan porQ y R.

V1

R1

Q1

V2

P1

P2

31. Dibujar la proyección vertical de los zonas de lasuperficie cónica marcados en la proyección horizontal.

32. Dado el cono de revolución de la figura, dibujar las

trazas de los planos de canto que pasan por su vértice yque producen en el mismo una sección que es un triánguloequilátero.

V1

2




66

33. Determinar la intersección entre la recta r y el conorepresentado.

r1

r2

34. Dibujar la sección del cono por el plano indicado.

α1

α2

35. Calcular la verdadera magnitud del ángulo que formala diagonal AG de un cubo con la cara ABCD.

G2

D1

G1=C1B1

A1

C2=D2B2=A2

36. La figura representa la proyección horizontal de unoctaedro con el vértice inferior apoyado en el planohorizontal. Obtener la sección que le produce un planohorizontal de cota 35 mm.




67

TTEEMMAA 1144

PPEERRSSPPEECCTTIIVVAA CCAABBAALLLLEERRAA

1. Hallar las trazas de la recta AB: A(2,3,2) y B(-1,1,4);en una caballera de µ = 0'7 y ϕ = 135º.

2. Hallar las trazas de la recta AB: A(1,2,-1) y B(3,1,3);en una caballera de µ = 0'5 y ϕ = 150º.

3. Hallar las trazas de la recta AB: A(3,2,3) y B(1,5,6);en una caballera de µ = 0'7 y ϕ = 150º.

4. Hallar las trazas del plano que pasa por los

siguientes puntos: A (2,2,2); B (-2,8,1) y C (-1,1,4). Datos:µ = 0'5 y ϕ = 135º.




68

5. Hallar las trazas del plano que pasa por los puntosD(1'5,2,1'5); E(5,6,1) y F (1,4,0'5); µ = 0'6 y ϕ = 135º.

6. Hallar las trazas del plano que pasa por los puntosA(2,1,2); B (1,4,1) y C (3,2'5,0'5); µ = 0'5 y ϕ = 150º.

7. Representar la siguiente figura en caballera, a escalalibre.

R=2/3

160°


R=1/2

45°




69


Y 120°X

R=3/5

Z

10. Representar la siguiente figura en caballera, a escalalibre

135°

X

Y

R=0'5

Z

11. Representar la figura en una caballera de Cz=3/4.

X

Y

ZO

Y

X

Z

12.

Representar en perspectiva caballera la pieza dadapor sus vistas normalizadas. Coeficiente de reducción 3/4.

Y

Z

X

X

Y




70

13. Representar la siguiente figura en caballera, a escalalibre

R=0'5135°

Y

X

Z

14. Representar en perspectiva caballera la pieza dadapor sus proyecciones diédricas, situándola según lasreferencias y con coeficiente de reducción en el eje z de0,5.

O x

y

z

z2

y1

x2

x1

O2

O1

15. Dibujar la pieza resultante de seccionar el sólidodado por el plano definido por los tres puntos M, N y P.Dimensiones del cubo a elección del alumno.

P

1/2

N1/4

M

1/2

16. Dibujar la pieza resultante de cortar el sólido dadopor el plano definido por los puntos A, B y C, eliminando

la parte anterior.

B

A




71

TTEEMMAA 1155

PPEERRSSPPEECCTTIIVVAA AAXXOONNOOMMÉÉTTRRIICCAA

1. El triángulo ABC es el triángulo de trazas de unaperspectiva axonométrica. Dibujar los ejes y graduar cadauno con tres marcas que correspondan a centímetros enverdadera magnitud.

A B

C

2. Los puntos L, M y N pertenecen a las aristas lateralesde una pirámide oblicua de vértice el punto V, y su baseestá en el plano XOY. Dibujar la pirámide indicando laslíneas ocultas.

L

Y V1 L1

N1

M1

M

V Z

X

N




72

3. Representar en perspectiva isométrica la piezaadjunta.

4. Determinar la sección producida en la pieza dada porel plano definido por los puntos A, B y C.

BA

C

5. Determinar la sección producida en el prisma por elplano definido por los puntos A, B y C.

B

A

C

6. Determinar la verdadera magnitud del ángulo queforma la cara ABCD con el plano XY.

Z

X

Y B

A

D

C




73

7. Las rectas r y s pertenecen a un plano cuyas rectashorizontales (paralelas al XY) forman 60º con el ZY. Hallarla proyección directa de la recta s.

Z

XY

r1

s1

r

8. Las rectas r y s están situadas en el plano horizontaldel sistema isométrico dado. Calcular el valor del ánguloque forman.

Z

XY

r

s

9. Hallar la verdadera magnitud de la longitud delsegmento AB, que es paralelo al plano XOY.

B=B2

xy

z

A=A3

10. Dibujar en perspectiva isométrica el cuerpo definido

por sus Dadas las proyecciones de la pieza siguiente, enel sistema diédrico, dibujarla en isométrico (no aplicarreducción).




74

11. Representar en perspectiva isométrica la piezaadjunta, dada en diédrica.

12. La sombra del extremo A del mástil vertical a se

proyecta en el punto P del plano Oxy. Determinar lasombra producida por el mástil b, con la mismailuminación de rayos paralelos.

z

x

y

A

A1

B

B1

P=P1

a

bO

13. Representar el “dibujo isométrico ” de la pieza dadaen sistema diédrico.

14. Representar en perspectiva isométrica la pieza dadaa escala E=1:1, situando su eje longitudinal paralelo alOY.

Z

XYO

Ø

cabezaexagonal

vástago




75

15. Representar en dibujo isométrico la pieza adjunta,dada en diédrico.

Z

XYO

Z Z

O

Y

X

X

16. Representar en dibujo isométrico la figura dada porsus vistas en sistema europeo.

Z

XY

X

Z

YY

17. Representar como dibujo isométrico la pieza adjunta,dada en diédrico.

Z

XY

Y

Z

X

X

18. Conociendo las vistas principales, trazar el dibujo

isométrico de la pieza.Z

X




76

TTEEMMAA 1166

SSIISSTTEEMMAA CCÓÓNNIICCOO DDEE PPEERRSSPPEECCTTIIVVAA LLIINNEEAALL

EJERCICIO RESUELTO 2

Dibujar el cubo después de una traslación paralela a la arista a, y de magnitud 2a.

a




77


Representar, en la perspectiva lineal que se ofrece, la nueva posición del cubo de lado a cuando se le ha girado 135ºalrededor de su arista vertical e.

CROQUIS

1 3 5 °

a

e


Añadir a la perspectiva de escalera un tercer peldaño cuya huella (parte horizontal) duplica a las anteriores, y dividir laprimera contrahuella (parte vertical en cinco baldosas de idéntica anchura.




78


A partir del cubo dado, aplicarle una homotecia de razón 2/3 y centro de homotecia el vértice P.

P


Hallar el corte del cubo por el plano que pasa por los tres puntos A, B y C.

C

B

A




79

Realizar las perspectivas cónicas a escala 2:1 de los siguientes dibujos:1.

V

PC

LT

LH

2.

VPC

LT

LH




80

3.

4.

VPC

LT

LH

V

PC

LT

LH




81

5. Dibujar en perspectiva cónica el siguiente conjunto, a escala 3:1.

V

PC

LT

LH

6. Realizar la perspectiva cónica del edificio adjunto, a escala 2 : 1.

V

LT

LH

PC




82

7. Dibujar la perspectiva cónica del sólido adjunto, a escala doble. Cotas en milímetros.

V

LT

LH

PC

8. Dibujar en perspectiva cónica el conjunto representado.

V

LT

LH

PC




83

9. Dibujar en perspectiva cónica oblicua la figura dada por sus dos proyecciones, siendo el alejamiento del punto de vistavV'=60 mm, la cota vv'= 32 mm y la escala 2:1, tanto en los datos como en las cotas.

v

V'

v'

V

10. Dadas las proyecciones diédricas, dibujar la perspectiva cónica frontal de este módulo obtenido a partir de un cubo de 15mm de arista. Coordenadas del punto de vista: V(-95, 125, 75). Origen de coordenadas: O. No borrar las construccionesauxiliares.

LT

O1

O2

α1




84

11. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida por sus vistas. Datos: alejamiento del punto de vista vV = 80 mm, cotavv'=80 mm, ángulo = 30º; cotas en milímetros; escala 1:1.

PC

1 6

6 0

15 25

3 0

°

V'

v

V

v'

12. Dados los cuadrados A y B en perspectiva cónica oblicua, inscribir dos círculos en éstos según el sistema cónico.

100

6 0

LT

LH

F2 F1

B

P

A




85

13. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida por sus vistas; cotas en las mismas.Datos: alejamiento del punto de vista v' V = 60 mm, cota vv'= 40 mm, ángulo = 30º y escala E = 2:1.

PC

3 0 °

V'

v

V

v'

14. Determinar la verdadera magnitud del segmento AB, del que se conocen las proyecciones cónicas de sus extremos.

LT

LH

B

P

A

D

b

a




86

15. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida por sus vistas. Datos, v'V = 60 mm; escala 2 : 1.

V

v'

PC

LT

LH

16. Dibujar en perspectiva cónica la figura definida. Datos. v'V = 80 mm; escala 2:1.

v'

PC

LT

LH




87

17. Hallar en verdadera magnitud la longitud de la diagonal del cubo dado en perspectiva y situada sobre el suelo.

LT

18. Determinar la nueva posición del cubo, representado en perspectiva lineal en al figura, tras desplazarlo en la traslacióndefinida por la diagonal AC.

D C

BA




88

TTEEMMAA 1177

SSIISSTTEEMMAA DDEE PPLLAANNOOSS

AACCOOTTAADDOOSS


Sobre los aleros dados se desea construir una cubierta a dos aguas, cuyos planos tengan un talud de 0’5 cm. Dibujar la cubierta.




89


Completar la planta y el alzado de la cubierta, determinando las intersecciones de los planos que la constituyen. Todas lasvertientes forman 30º con el plano horizontal.


Hallar el perfil que el plano P produce en el terreno que se da.

0

1

2

3

4

5

6

7

A

B

C

DE

F

G

HI

J

K P




90


Sobre un plano ascendente de talud 2 cm, cuya traza está en el eje x, se construye una explanación cuadrada ABCDhorizontal. Dibujar el conjunto final del terreno y el perfil por un plano vertical perpendicular al lado AB que pasa por supunto medio. Datos: A (5, 11, 5); B (8’5, 13, 5). Talud de los terraplenes: 1cm. Talud de los desmontes: 0’5cm.




91

1. Se considera un plano P ascendente, de talud 3/2. Se desea construir una explanación cuadrada ABCD de 5 de lado ycota 10. Los vértices A y B se proyectan respectivamente sobre horizontales de cota 11 y 12 del plano P. El punto B está a laderecha del A. El talud de los desmontes es ½ y el de los terraplenes es ¾. Se pide:a) Representar el conjunto del terreno con sus desmontes y terraplenes y con las líneas de nivel d cota entera.b) Dibujar el perfil del conjunto por el plano vertical equidistante y paralelo a los lados AD y BC.Nota: la lámina, en posición vertical. La línea de nivel de cota 0, a 4 cm de la parte inferior de la lámina. Medidas en cm.




92

2. En la ladera de talud 2 cm se va a construir una pista de tenis de vértices ABCD. El talud de los terraplenes es de 1cm yel de los desmontes es 2/3. La traza de la ladera es una línea horizontal que dista 1 cm del eje x. Hallar el plano topográficode la explanación y el perfil por el plano vertical paralelo al AB y que pasa por el punto medio de la pista.Datos: A(5, 9, 5); B (7, 14, 5); C(10, 13, 5); D(8, 8, 5) cm.




93

TTEEMMAA 1188

NNOORRMMAALLIIZZAACCIIÓÓNN YY AACCOOTTAACCIIÓÓNN


Rerlacionar las secciones representadas con los cortesindicados en la figura, rellenando la tabla que se adjunta.

B

B

A

A

C

C

D

D

Sección 2Sección 1 Sección 3 Sección 4

Corte Sección (indicar el nº)A-AB-BC-CD-D 2


Acotar la pieza representada, realizando en las propiasvistas los cortes que se consideren necesarios.




94


Representar y acotar en diédrico la pieza adjunta, dandolas vistas, cortes y/o secciones que se considerennecesarios. Los agujeros son pasantes.

6 0


Representar el corte AB de la pieza en la posición que lecorresponda.

BA


Acotar según normas la pieza representada por sus vistasdiédricas, añadiendo los cortes y/o secciones que seconsideren necesarios.


La pieza 1, representada en el dibujo isométrico, tiene ensu interior un hueco que se ajusta a la pieza 2.Representar el alzado de la pieza 1 con un corte a 90º.Acotar según normas.

Ø 1 0

Ø 1 6

Ø 2 4

Ø 2 0

Ø 4 0

2 0

1 5

1 5

1 0

1 0

Pieza 1

Pieza 2




95


Representar y acotar en diédrico la pieza adjunta, dadaen perspectiva isométrica, dando las vistas, cortes y/osecciones que se consideren necesarias.

Representar y acotar según normas, a escala E= 1:1, lastres vistas principales de las siguientes piezas:

1.

ALZADO

1 0

4 0

1 0

1 0

1 0

4 0 3 0

1 0

2 0




96

2.

ALZADO

5 0

5 0

1 5

1 0

1 0

3 5

2 5

2 0

2 0

83 5

3. 1 4

5

2

5

1 7 17

2 4

2 2

1 2

1 2

3 6

5

3 5

1 0

ALZADO




97

4.4.4.4. Completar la representación diédrica dada con lavista lateral derecha.

5. Completar la representación de la figura con latercera vista, a partir de las dos vistas proporcionadas:alzado y perfil izquierdo.

6. Completar la representación diédrica dada con lavista lateral derecha.

7. Acotar, según normas, la pieza de revolución queaquí se representa, para su correcta definicióndimensional.





98

9. Completar la representación diédrica con la vistalateral derecha.

10. Sustituir la vista menos significativa de larepresentación adjunta por otra más adecuado queincluya los cortes y/o secciones que se considerenoportunos.

11. Completar el alzado de la pieza dada, teniendo encuenta que se debe delinear la mitad en proyección y laotra mitad en corte. Acotar el objeto sin especificar el valorde las dimensiones. Todos los taladros son pasantes.

12. Representar en sistema diédrico, con las vistas quese consideren necesarias, la pieza adjunta dada enisométrica.




99

13. Representar en diédrico la pieza dada en perspectivaisométrica, mediante vistas, cortes y/o secciones que seconsideren necesarios.

14. Representar y acotar en diédrico, a escala E=1:1, lapieza adjunta, dando las vistas, cortes y/o secciones quese consideren necesarios. Los cuatro agujeros sonpasantes, Cy=1 y el diámetro mayor es de 60 mm.

XY

Z

15. Representar, según normas, una tercera vista, consección por su plano de simetría.




100

16. Representar y acotar en diédrico la pieza adjunta,dando las vistas, cortes y/o secciones que se considerennecesarias .

17. Representar en diédrico la pieza dada en perspectivaisométrico. Ambos taladros son pasantes.

3 6




101

18. Completar la representación de la figura, quecorresponde a una pieza de revolución con un “corte auna cuarto”, añadiendo –sin seccionar- la parte izquierdaque le falta. Acótese según normas para su correctadefinición dimensional.

19. Completar la representación de la figura, quecorresponde a una pieza de revolución con un “corte auna cuarto”, añadiendo –sin seccionar- la parte izquierdaque le falta. Acótese según normas para su correctadefinición dimensional.

20. Completar la representación diédrica dada con lavista lateral derecha.


22. Representar el perfil seccionado “al cuarto” de lapieza dada por su alzado y planta en sistema europeo a E1:1. Acotar en dicho perfil, conforme a la norma UNE,todas las cotas necesarias para la correcta definicióndimensional de la pieza.





24. Acotar la pieza de la figura representada en diédrico.

25. La representación de la figura corresponde a unapieza de revolución con un “corte a un cuarto”. Acótese,según normas, para su correcta definición dimensional.

26. Acotar la pieza de la representación adjuntaañadiendo a esta los cortes o secciones que seconsideren convenientes para su correcta definición yacotación.

Ejercicios Del Libro Dibujo Tecnico II

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