Ejercicios numeros-racionales-y-reales-4c2baa
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EXAMEN TEMA 1: NÚMEROS RACIONALES. 4º Op A
- Problemas con fracciones
1. Un ciclista recorre el primer día 2/7 de la distancia, el segundo día 1/8 y el tercero 3/14. ¿Qué fracción de distancia lleva recorrido?
Solución:
distancia la de 8
5 los recorridos Lleva
8
5
56
35
56
12
56
7
56
16
14
3
8
1
7
2 ==++=++
2. Un coche tiene que recorrer una distancia de 300 km en 3 horas. La primera hora recorre 3/9 de la distancia, la segunda 5/10 y la última 2/12. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada hora?
Solución:
km. 5012
600300
12
2 :hora Tercera
km. 15010
1500300
10
5 :hora Segunda
km. 1009
900300
9
3 :hora Primera
==⋅
==⋅
==⋅
3. Raúl se gasta 5
2 de su paga en el cine y
4
1 en la compra de una revista ¿Qué
fracción de su dinero se ha gastado?
Solución:
20
13
20
5
20
8
4
1
5
2 =+=+
4. De una garrafa de agua, Juan saca 1/3 del contenido y Pedro 1/3 de lo que queda. Al final restan en la garrafa 4 litros de agua. ¿Cuál es la capacidad de la garrafa?
Solución:
Después de sacar Juan 3
1 quedan
3
2 del contenido.
Pedro saca 3
1 de lo que queda, es decir,
9
2
3
2
3
1=⋅
Queda: 9
4
9
51
9
2
3
11 =−=
+−
Por tanto, 9
4 equivalen a 4 litros.
9
1 equivale a 1 litro y
9
9 equivalen a 9 litros.
La garrafa contenía 9 litros de agua.
- Fracciones equivalentes y ordenar números racionales
1. Carlos dedica 2/9 de su tiempo a estudiar, 1/8 a hacer deporte y 1/3 a dormir. ¿Cuál es la actividad a la que dedica menos tiempo?
Solución:
deporte. hacer a tiempo menos dedica Carlos
3
1
9
2
8
1
72
24
72
16
72
9
72,3)m.c.m.(9,8
72
24
3
1Dormir
72
9
8
1Deporte
72
16
9
2Estudiar
<<→<<
=
=→=→=→
2. Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones:
6
5y
3
4,
10
1,
5
4 −−
Solución:
300,3,6)m.c.m.(5,1
6
5
10
1
5
4
3
4
30
25
30
3
30
24
30
40
30
25,
30
40,
30
3,
30
24
6
5y
3
4,
10
1,
5
4
=
−>−>>→−>−>>→−−→−−
3. Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:
a)2
1,
4
3 y
6
5
b)20
7,
5
6 y
10
3
Solución:
5
6
20
7
10
3
20
24
20
7
20
6
20
6,
20
24,
20
7
10
3y
5
6,
20
7)b
6
5
4
3
2
1
12
10
12
9
12
6
12
10,
12
9,
12
6
6
5y
4
3,
2
1)a
<<→<<→→
<<→<<→→
4. Ordena de forma decreciente los números: 35,1− 5
7
9
8− 95,0
Solución:
Pasando los decimales a fracción se obtiene: 11
15
99
13535,1 −=−=−
5
3
90
54
90
55995,0 ==−=
Reduciendo las fracciones a denominador común:
495
675
11
15 −=− 495
693
5
7 = 495
440
9
8 −=− 495
297
5
3 =
Como 5
7>
5
3>
9
8− >11
15− , entonces 5
7> 95,0
>
9
8− > 35,1−
5. Reduce a común denominador las siguientes fracciones:
a)5
2y
2
3
b)6
5y
9
7
Solución:
a)2
3 y
5
2
m.c.m.(2,5) = 10
10
15
5·2
5·3
2
3 == y 10
4
2·5
2·2
5
2 ==
b)9
7 y
6
5
m.c.m.(9,6) = 18
18
14
2·9
2·7
9
7 == y 18
15
3·6
3·5
6
5 ==
- Operaciones con fracciones
1. Realiza las siguientes operaciones:
a) =
−−⋅−
4
3
2
1
14
4
2
1
7
2
b) =
−⋅+
2
4
1
5
3
3
4
5
2
Solución:a) 11/28 b) 91/80
2. Realiza las siguientes operaciones:
a) =−−+8
3
6
2
4
1
2
1
b) =+−⋅5
1
5
2
2
1
4
3
Solución:a) 1/24 b) 7/40
3. Realiza las siguientes operaciones
a) =−−+8
3
6
2
4
1
2
1
b) =⋅−⋅5
1
2
1
4
3
5
2
c) =−
+
4
3
6
2
3
1:
3
4
Solución:
a) 1/24 b) 1/5 c) 5/4
4. Realiza las siguientes operaciones
a) =−+⋅−5
3:
4
1
3
5
3
2
5
4
3
2:
10
4
b) =−+⋅
−
5
3:
4
1
3
5
3
2
5
1
3
2:
10
4
Solución:a) 121/60 b) -9/12
5. Realiza las siguientes operaciones
++−−−
+−
++−
−−
15
6
2
11
6
5c)
5
1
3
2:
2
1
4
3b)
125
124
25
3
25
3
5
1a)
Solución:
30
74
30
9925
10
33
6
5
10
33
6
5
10
102·65·11
6
51
5
6
2
11
6
5c)
5
1
5
1
4
3
4
3
5
1
2·2
3·1
4
3
5
1
3
2:
2
1
4
3b)
125
149
125
124
125
25
125
124
5
1
125
124
5
1
125
124
25
3
25
3
5
1a)
=+−=+−=
−−−=
++−
−−=
++−−−
=+−=+−=+−
=+=+=+
−−=++−
−−
Realiza las siguientes operaciones:
a) =−+⋅−5
3:
4
1
3
5
3
2
5
4
3
2:
10
4
b) =
−+−+
+−−
2
26
1
3
2
3
4
4
1
6
5
2
7
3
2
Solución:a) 121/60 b) -49/18
- Representación de fracciones y ordenar números racionales
1. El premio de un sorteo se reparte entre 12 personas. ¿Qué parte del premio recibirá cada uno de ellos? ¿Qué fracción corresponde a lo que reciben 5 personas? Representa el resultado en la recta real.
2. Representa en la recta real los siguientes números:
10
15− -0,333333... 0,75
9
1
Solución:
10
15− -1 -0,333.. 09
1 0,75 1
3. A partir de la unidad fraccionaria 1/3, representa en la recta real: 1/3, 4/3, 6/3, -2/3
Solución:
2. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:
8
5y
3
4
5
3
2
5
4
1
3
2
2
1
Solución:Reducimos a común denominador:
120
75
8
5y
120
160
3
4
120
72
5
3
120
300
2
5
120
30
4
1
120
80
3
2
120
60
2
1 =======
El orden de las fracciones, cuando todas tienen el mismo denominador, está dado por el orden de los numeradores, ya que si el numerador es menor, la fracción es menor.Ordenados de menor a mayor:
2
5
3
4
3
2
8
5
5
3
2
1
4
1 <<<<<<
3. Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones:
6
5y
3
4,
10
1,
5
4 −−
Solución:
300,3,6)m.c.m.(5,1
6
5
10
1
5
4
3
4
30
25
30
3
30
24
30
40
30
25,
30
40,
30
3,
30
24
6
5y
3
4,
10
1,
5
4
=
−>−>>→−>−>>→−−→−−
4. Reduce a común denominador y ordena de forma creciente las siguientes fracciones:
c)2
1,
4
3 y
6
5
d)20
7,
5
6 y
10
3
Solución:
5
6
20
7
10
3
20
24
20
7
20
6
20
6,
20
24,
20
7
10
3y
5
6,
20
7)b
6
5
4
3
2
1
12
10
12
9
12
6
12
10,
12
9,
12
6
6
5y
4
3,
2
1)a
<<→<<→→
<<→<<→→
- Fracción generatriz
1. Calcula, pasando a fracción, las siguientes operaciones:
0,777...0,333...c)
8...1,928928929...3,82982982b)
2,3444...0,4333...a)
+−
+
Solución:
19
9
9
7
9
30,777...0,333...c)
999
1899
999
19273826
999
11928
999
338298...1,928928929...3,82982982b)
9
25
90
250
90
21139
90
23234
90
4432,3444...0,4333...a)
==+=+
=−=−−−=−
==+
=−
+−
=+
2. Calcula, pasando a fracción, las operaciones:a) 0,333... + 0,525252...b) 5,2333... - 1,3222...
Suma luego, directamente, los números decimales, pásalos a fracciones y comprueba que se obtiene el mismo resultado.
Solución:
90
352
90
393913,91111...1,3222...5,2333...
90
352
90
119471
90
13132
90
525231,3222...5,2333...b)
99
85.85858585..0,85858585.....52525252..0,52525252.....33333333..0,33333333
99
85
99
5211·3
99
52
9
3.0,525252..0,333...a)
=−
==−
=−
=−
−−
=−
==+
=+
=+=+
4. Calcula la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes), según corresponda de:
22
63 d) ..14,371717. b)
160
28 c) 9,2777.. a)
Solución:
a) 90
92927 − Parte entera 9,anteperiodo 2, periodo 7
b) 9900
14314371 − Parte entera 14, anteperiodo 3, periodo 71
c) 0,175 No es un número periódicod) 2,863636… Parte entera 2, anteperiodo 8, periodo 36
5. Escribe en forma de fracción los siguientes números reales:a) 1,43000…
b) -9,636363….c) 1,010010001…d) 9,636363…
Solución:
a) 100
143
b) 99
954
99
9963 −=+−
c) No se puede porque es irracional
d) 99
954
99
9963 =−
6. Escribe primero los decimales en forma de fracción y luego calcula:
6,22
1·5,0
4
3 +−
Solución:
6
19
180
570
180
48045135
9
24
20
5
4
3
9
226
2
1·
10
5
4
36,2
2
1·5,0
4
3 ==−−=+−=−+−=+−
- Clasificar números reales
1. Sin realizar las siguientes operaciones, indica si su resultado es un numero racional o irracional y por qué.a) 0,01100011100001111… + 1,313131…b) 0,33333…. + 0,333333…c) 93 ⋅
d) 0,31323132… + 9
Solución:a) Irracional, porque en la suma hay un irracional.b) Racional, porque se están sumando dos periódicos que se pueden escribir como fracciones.c) Irracional, porque en el producto hay un irracional.d) Racional, porque sumamos dos racionales, un periódico y uno entero.
2. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
a) 1,3030030003...b) 2,1245124512...c) 4,18325183251...d) 6,1452453454...
Solución:a) 1,3030030003... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.b) 2,1245124512... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 1245 c) 4,18325183251... → RACIONAL porque es un número decimal periódico y se puede
expresar en forma fraccionaria. Su periodo es 18325d) 6,1452453454... → IRRACIONAL porque es un número decimal no periódico.
3. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales y explica la razón:
a)2
π
b) 23
c)3
3
d)100001
1−
Solución:
a)2
π → IRRACIONAL porque el numerador de la fracción es un número decimal no
periódico.b) 23 → IRRACIONAL, ya que la solución de la raíz tiene ilimitadas cifras decimales no
periódicas.
c)3
3→ IRRACIONAL , ya que el numerador de la fracción tiene ilimitadas cifras
decimales no periódicas.
d)100001
1− → RACIONAL porque el cociente de la fracción es un número decimal
periódico.
- Potencias
- Operar utilizando las propiedades de las potencias
1. Expresa el resultado como potencia única:
( ) ( ) 43
5-2
432
6:6- c)
7
2
7
2 b)
4
3 a)
−−
−⋅
−
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )74343
35-2
24432
666:6- c)
7
2
7
2
7
2 b)
4
3
4
3 a)
−=−=−
−=
−⋅
−
=
−−−
−
2. Expresa los números como multiplicación de factores iguales y luego en forma de potencia:
( ) ( ) ( )
625
1 d)
128- c)
555
1 b)
5
3
5
3
5
3 a)
−⋅−⋅−
−⋅
−⋅
−
Solución:
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )4
4
7
3-
3
3
55
1
625
1 d)
2- 128- c)
5-5-
1
555
1 b)
5
3
5
3
5
3
5
3 a)
−==
=
==−⋅−⋅−
−=
−⋅
−⋅
−
3. Expresa en forma de una potencia que tenga como base un número primo: a) 5 · 5 · 5 · 5b) ( ) ( ) ( )3·3·3 −−−
c)2·2·2·2·2
1
d) 81e) −27
f)25
1
Solución:a) 5 · 5 · 5 · 5 = 54
b) ( ) ( ) ( ) ( )333·3·3 −=−−−
c)5
2
1
2·2·2·2·2
1
=
d) 81 = 34
e) ( )3327 −=−2
5
1
25
1
=
4. En las siguientes operaciones, aplica las propiedades correspondientes y expresa el resultado como potencia única:
( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) 24223
4532
6 : 66 b)
5- : 5-5- a)
−⋅
⋅
Solución:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 1881081082524223
74564564532
666:66:66 : 66 b)
555:555- : 5-5- a)
====⋅
−=−=−−⋅−=⋅
−−−−−
−+
5. Utiliza las propiedades adecuadas para expresar el resultado de la siguiente operación como una única potencia:
21
52
16·32
8·4−
−
Solución:
( ) ( )( ) ( )
143
11
85
154
2415
5322
21
52
22
2
2·2
2·2
2·2
2·2
16·32
8·4 −−
−
−
−
−
−
−====
- Notación científica
1. Pasa estos números de notación científica a forma ordinaria:a) 2,43 · 104 =b) 6,31 · 10-6=c) 63,1 · 10-6=d) 3,187 · 109=
Solución:a) 2,43 · 104 = 24.300b) 6,31 · 10-6= 0,00000631c) 63,1 · 10-6= 0,0000631d) 3,187 · 109= 3.187.000.000
2. Escribe los siguientes números en notación científica e indica su orden de magnitud.a) 91.700.000.000b) 6.300.000.000.000c) 0,00000000134d) 0,071
Solución:a) 91.700.000.000= 9,17 · 1010. Orden 10b) 6.300.000.000.000= 6,3 · 1012. Orden 12c) 0,00000000134= 1,34 · 10-9. Orden -9d) 0,071=7,1 · 10-2. Orden -2
3. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7)b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3)c) (4,1 · 102) · 103
d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7)Solución:a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104
b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8
c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105
d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2
4. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107)b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103)d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3)
Solución:a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2 b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1
c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015
d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012
5. Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras decimales:a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104)b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105)c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103)d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5)
Solución:a) (1,46 · 105) + ( 9,2 · 104) = 2,38 · 105
b) (2,96 · 104) - ( 7,43 · 105) = -7,13 · 105
c) (9,2 · 1011) · ( 5,4 · 103) = 4,97 · 1015
d) (2,9 · 10-7) : ( 1,4 · 10-5) = 2,07 · 10-2
- Radicales
1. Reduce los siguientes radicales a índice común y ordénalos de menor a mayor:
.8,3c);10,12b);3,4a) 53543
Solución:
.836488;2433310mcm(2,5)c)
.12101000001010;1728121215mcm(5,3)b)
.342733;2564412mcm(3,4)a)
51010 251010 5
531515 531515 35
431212 341212 43
>⇒====⇒=
>⇒====⇒=
>⇒====⇒=
2. Expresa como radical:
.5d);7c);3b);3a)5
2
3
13
4
2
53
1
4
14
1
6
5
Solución:
.55d);777c);33b);33a) 15 215
23 103
10
6
201212
124 524
5
=====
3. Saca del radicando la mayor cantidad posiblede factores:
.800d);240c);250b);405a) 3
Solución:
.22025252800d)
.3025322532240c)
.10552552250b)
.595353405a)
225
333 43
3
24
=⋅=⋅=
=⋅⋅=⋅⋅=
=⋅=⋅=
==⋅=
4. Simplifica los siguientes radicales:
a) 9 38
b) 3 16
c) 3 37
Solución:
a) ( ) 2228 9 99 339 3 ===
b) 3
22216 3 43 ==
c) ( ) 7777 2
1
6
136 3 ===
5. Escribe las siguientes raíces como exponentes fraccionarios y simplifica cuanto se pueda:
a) 5 103
b) 7 142
c) 67
Solución:
a) 9333 25
105 10 ===
b) 4222 27
147 14 ===
c) 343777 32
66 ===
6. Calcula las siguientes raíces factorizando cuando sea necesario:
a) 5
243
32
b) 7 285
c) 3
1331
343
d) 1116
5
10
10
Solución:
a) 3
2
3
2
3
23243,232
5 5
5 55
5
555 ==⇒==
b) 625555 47
287 28 ===
c) 11
7
11
7
11
7111331,7343
3 3
3 33
3
333 ==⇒==
d) 10
1101010
10
10 111
1111 1111
16
5
==== −−−
7. Realiza las siguientes operaciones:
.2851755
23433b);1250
5
11623a) 44 −−−
Solución:
.7971072721
725755
2773727228;7575175;777343b)
.28229
255
12331250
5
1162325521250;2332162a)
223
444
444444 4444 44
=−−=
=⋅−⋅−⋅⇒=⋅==⋅===
=−=
=⋅−⋅=−⇒=⋅==⋅=
- Calcular aproximaciones y errores
1. Un atleta corre los 50 metros en 10 segundos y 856 milésimas. Le piden el resultado con dos cifras decimales. ¿Qué marca dará si aproxima por defecto?
Solución:10,856 seg. aproximando por defecto ≈ 10,85 seg
- Intervalos y semirrectas
1. Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:2x1- d) 3x0 c) -1x4- b) 0x3- a) ≤≤<≤≤<<<
Solución:a) Abierto (-3,0) b) Abierto por la izquierda (-4,-1]c) Abierto por la derecha [0,3)d) Cerrado [-1,2]
2. Escribe y dibuja los siguientes intervalos:1x d) x0 c) x1- b) 1x a) ≤≤<−<
Solución:a) ( )1,−∞− b) ( )+∞−1, c) [ )+∞0, d) ( ],1∞−