Ejercicios Prácticos de Matemática
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Prctica 10Formula de Cauchy
ySeries de potencias.
1
-
Problema 1.
15.1 Ejercicios Resueltos
Problema 1
Dada la sucesin , con , demuestre que es convergente utilizando
la definicin 4, con
Solucin
Primero, vamos a identificar algunos trminos de la sucesin dada:
No sabemos a priori cual es el posible lmite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-
madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sera induccin mal empleada. Por tal motivo,
acudiremos al teorema 23, segn el cual si el lmite existe debe ser .
Demostremos entonces que mediante la definicin 4:
Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeo como se quiera, existe (real) funcin detal que a partir de cierto valor del subndice, , , se tiene que .
Ahora bien, y
Por tanto, si y , entonces
Problema 2Demuestre que si una sucesin es convergente entonces su lmite es nico.
SolucinSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a
pero como es nico (propiedad de unicidad del lmite para sucesiones reales) y (por la misma razn)
tambin es nico entonces se tiene que es nico
Problema 3
Estudiar el carcter de la serie1
Solucin
Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y
la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.
Obsrvese que con el criterio de la raiz: , . Aqu es ms difcil estudiar ; sin
embargo, vamos a introducir un recurso til para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:
Cuando en alguna expresin en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,
es decir,
infinito equivalente
Por lo tanto, Serie
Abs. (C) Serie (C), ya que y .
Problema 4
Estudiar el carcter de la serie ,
SolucinSi aplicamos el criterio del cociente:
y .
1Estudiar el carcter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)
176
15.1 Ejercicios Resueltos
Problema 1
Dada la sucesin , con , demuestre que es convergente utilizando
la definicin 4, con
Solucin
Primero, vamos a identificar algunos trminos de la sucesin dada:
No sabemos a priori cual es el posible lmite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-
madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sera induccin mal empleada. Por tal motivo,
acudiremos al teorema 23, segn el cual si el lmite existe debe ser .
Demostremos entonces que mediante la definicin 4:
Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeo como se quiera, existe (real) funcin detal que a partir de cierto valor del subndice, , , se tiene que .
Ahora bien, y
Por tanto, si y , entonces
Problema 2Demuestre que si una sucesin es convergente entonces su lmite es nico.
SolucinSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a
pero como es nico (propiedad de unicidad del lmite para sucesiones reales) y (por la misma razn)
tambin es nico entonces se tiene que es nico
Problema 3
Estudiar el carcter de la serie1
Solucin
Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y
la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.
Obsrvese que con el criterio de la raiz: , . Aqu es ms difcil estudiar ; sin
embargo, vamos a introducir un recurso til para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:
Cuando en alguna expresin en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,
es decir,
infinito equivalente
Por lo tanto, Serie
Abs. (C) Serie (C), ya que y .
Problema 4
Estudiar el carcter de la serie ,
SolucinSi aplicamos el criterio del cociente:
y .
1Estudiar el carcter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)
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Problema 2.
15.1 Ejercicios Resueltos
Problema 1
Dada la sucesin , con , demuestre que es convergente utilizando
la definicin 4, con
Solucin
Primero, vamos a identificar algunos trminos de la sucesin dada:
No sabemos a priori cual es el posible lmite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-
madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sera induccin mal empleada. Por tal motivo,
acudiremos al teorema 23, segn el cual si el lmite existe debe ser .
Demostremos entonces que mediante la definicin 4:
Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeo como se quiera, existe (real) funcin detal que a partir de cierto valor del subndice, , , se tiene que .
Ahora bien, y
Por tanto, si y , entonces
Problema 2Demuestre que si una sucesin es convergente entonces su lmite es nico.
SolucinSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a
pero como es nico (propiedad de unicidad del lmite para sucesiones reales) y (por la misma razn)
tambin es nico entonces se tiene que es nico
Problema 3
Estudiar el carcter de la serie1
Solucin
Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y
la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.
Obsrvese que con el criterio de la raiz: , . Aqu es ms difcil estudiar ; sin
embargo, vamos a introducir un recurso til para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:
Cuando en alguna expresin en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,
es decir,
infinito equivalente
Por lo tanto, Serie
Abs. (C) Serie (C), ya que y .
Problema 4
Estudiar el carcter de la serie ,
SolucinSi aplicamos el criterio del cociente:
y .
1Estudiar el carcter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)
176
15.1 Ejercicios Resueltos
Problema 1
Dada la sucesin , con , demuestre que es convergente utilizando
la definicin 4, con
Solucin
Primero, vamos a identificar algunos trminos de la sucesin dada:
No sabemos a priori cual es el posible lmite; sin embargo, pareciera que la parte real del mismo es aproxi-
madamente 2 y la parte imaginaria aproximadamente 1, pero esto sera induccin mal empleada. Por tal motivo,
acudiremos al teorema 23, segn el cual si el lmite existe debe ser .
Demostremos entonces que mediante la definicin 4:
Queremos probar que, escogido un (real) tan pequeo como se quiera, existe (real) funcin detal que a partir de cierto valor del subndice, , , se tiene que .
Ahora bien, y
Por tanto, si y , entonces
Problema 2Demuestre que si una sucesin es convergente entonces su lmite es nico.
SolucinSi es convergente a, digamos , el teorema 23 nos afirma que converge a y converge a
pero como es nico (propiedad de unicidad del lmite para sucesiones reales) y (por la misma razn)
tambin es nico entonces se tiene que es nico
Problema 3
Estudiar el carcter de la serie1
Solucin
Vamos a utilizar el criterio del cociente: , , y
la serie dada es Abs. (C) y por el teorema 12: Serie Abs. (C) serie convergente.
Obsrvese que con el criterio de la raiz: , . Aqu es ms difcil estudiar ; sin
embargo, vamos a introducir un recurso til para algunos ejercicios:FACTORIAL DE STIRLING PARA INFINITOS EQUIVALENTES:
Cuando en alguna expresin en donde aparezca como factor, se puede reemplazar por ,
es decir,
infinito equivalente
Por lo tanto, Serie
Abs. (C) Serie (C), ya que y .
Problema 4
Estudiar el carcter de la serie ,
SolucinSi aplicamos el criterio del cociente:
y .
1Estudiar el carcter de una serie significa determinar si la serie dada es (C) o (D)
176Entonces?
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Problema 3.
Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).
Se deja al alumno la aplicacin del criterio de la raiz. El camino ser ms largo y tendr que aplicar el factorial
de Stirling.
Problema 5
Demostrar que la serie geomtrica :
(a) converge a para todo en el interior del crculo unitario
(b) diverge fuera de , es decir, para y para
Solucin
Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por
teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el
criterio del cociente se deduce que la serie (D).
Resta probar que con , la serie converge precisamente a .
En efecto, sea . Ahora, recordando que
, tenemos que , de donde
puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que
acotado acotadosi , es decir, si
en el caso
En el segundo, resulta
Resta el caso . Si , entonces , luego el trmino general de la serie de los valores
absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recproco del teorema 13).
CONCLUSION: La serie geomtrica
(a) converge a para todo con
(b) diverge para todo con
Problema 6
En el ejercicio 4 se demostr que la serie es convergente . Demuestre que si entonces
existe y es igual a
Solucin
Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como
entonces .
Ms adelante veremos que
Problema 7
Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia
Solucin
y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente
177
Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).
Se deja al alumno la aplicacin del criterio de la raiz. El camino ser ms largo y tendr que aplicar el factorial
de Stirling.
Problema 5
Demostrar que la serie geomtrica :
(a) converge a para todo en el interior del crculo unitario
(b) diverge fuera de , es decir, para y para
Solucin
Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por
teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el
criterio del cociente se deduce que la serie (D).
Resta probar que con , la serie converge precisamente a .
En efecto, sea . Ahora, recordando que
, tenemos que , de donde
puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que
acotado acotadosi , es decir, si
en el caso
En el segundo, resulta
Resta el caso . Si , entonces , luego el trmino general de la serie de los valores
absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recproco del teorema 13).
CONCLUSION: La serie geomtrica
(a) converge a para todo con
(b) diverge para todo con
Problema 6
En el ejercicio 4 se demostr que la serie es convergente . Demuestre que si entonces
existe y es igual a
Solucin
Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como
entonces .
Ms adelante veremos que
Problema 7
Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia
Solucin
y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente
177si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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Ejercicio 1.
Ejercicio 2.
Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).
Se deja al alumno la aplicacin del criterio de la raiz. El camino ser ms largo y tendr que aplicar el factorial
de Stirling.
Problema 5
Demostrar que la serie geomtrica :
(a) converge a para todo en el interior del crculo unitario
(b) diverge fuera de , es decir, para y para
Solucin
Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por
teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el
criterio del cociente se deduce que la serie (D).
Resta probar que con , la serie converge precisamente a .
En efecto, sea . Ahora, recordando que
, tenemos que , de donde
puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que
acotado acotadosi , es decir, si
en el caso
En el segundo, resulta
Resta el caso . Si , entonces , luego el trmino general de la serie de los valores
absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recproco del teorema 13).
CONCLUSION: La serie geomtrica
(a) converge a para todo con
(b) diverge para todo con
Problema 6
En el ejercicio 4 se demostr que la serie es convergente . Demuestre que si entonces
existe y es igual a
Solucin
Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como
entonces .
Ms adelante veremos que
Problema 7
Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia
Solucin
y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente
177
Por lo tanto, la serie es Abs. (C) y, por teorema 12, la serie es (C).
Se deja al alumno la aplicacin del criterio de la raiz. El camino ser ms largo y tendr que aplicar el factorial
de Stirling.
Problema 5
Demostrar que la serie geomtrica :
(a) converge a para todo en el interior del crculo unitario
(b) diverge fuera de , es decir, para y para
Solucin
Empecemos con (a). Criterio del cociente: , luego serie Abs. (C) si y, por
teorema 12 serie (C) si . Al mismo tiempo, tenemos demostrado (b), puesto que si entonces, por el
criterio del cociente se deduce que la serie (D).
Resta probar que con , la serie converge precisamente a .
En efecto, sea . Ahora, recordando que
, tenemos que , de donde
puesto que y como y son funciones acotadas, entonces se tiene que
acotado acotadosi , es decir, si
en el caso
En el segundo, resulta
Resta el caso . Si , entonces , luego el trmino general de la serie de los valores
absolutos no tiende a cero y por tanto la serie diverge (Contra-recproco del teorema 13).
CONCLUSION: La serie geomtrica
(a) converge a para todo con
(b) diverge para todo con
Problema 6
En el ejercicio 4 se demostr que la serie es convergente . Demuestre que si entonces
existe y es igual a
Solucin
Por el ejercicio 4 y el teorema 17, se cumple que existe convergente y como
entonces .
Ms adelante veremos que
Problema 7
Demuestre que , (fijo) es convergente y halle su dominio y radio de convergencia
Solucin
y, por el criterio del cociente, la serie dada es convergente
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Problema 4.
si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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Recuerde Problema 2 y Ejercicio 2
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Problema 4.
si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
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Solucin
Si , con circunferencia de centro y radio donde, es entera, aplique la frmula
integral de Cauchy (complete las condiciones del teorema).
Si .
(Complete las condiciones del teorema de la frmula integral de Cauchy para derivadas)y como y se concluye el resultado.
Problema 17
Demostrar que , con en sentido negativo.
Solucin
Poner es entera . Verifique condiciones de la frmula integral de Cauchy
Figura 14.7:
para concluir que la integral vale de all se sigue el resultado.
Problema 18
Calcular , donde es el borde del cuadrado en sentido positivo.
Solucin
Los puntos donde no es analtica son , los cuales no pertenecen
al cuadrado. Verifique que se cumplen las condiciones de la frmula integral de Cauchy para las derivadas con
de donde,
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Solucin
Si , con circunferencia de centro y radio donde, es entera, aplique la frmula
integral de Cauchy (complete las condiciones del teorema).
Si .
(Complete las condiciones del teorema de la frmula integral de Cauchy para derivadas)y como y se concluye el resultado.
Problema 17
Demostrar que , con en sentido negativo.
Solucin
Poner es entera . Verifique condiciones de la frmula integral de Cauchy
Figura 14.7:
para concluir que la integral vale de all se sigue el resultado.
Problema 18
Calcular , donde es el borde del cuadrado en sentido positivo.
Solucin
Los puntos donde no es analtica son , los cuales no pertenecen
al cuadrado. Verifique que se cumplen las condiciones de la frmula integral de Cauchy para las derivadas con
de donde,
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Problema 5.
si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
178
si , es decir, si . Luego, la serie es convergente en el crculo y el
radio de convergencia es precisamente
Observacin 9 Si nos aseguran que la serie es (C) y slo queremos conocer el radio de (C), utilizamos slo la
definicin 16: con
Problema 8
Sabemos, de captulos anteriores, que son analticas en todo (es decir, son enteras) las funciones definidas por, , , , . Adems, es trivial demostrar, utilizando las
definiciones respectivas (como funciones de exponenciales) que las correspondientes derivadas, son continuas
Halle entonces los desarrollos en serie de Taylor de los alrededor de y demuestre que tales desa-rrollos son convergentes. Halle dominio y radio de convergencia en cada caso.
Solucin
(a) , Luego, . As, la serie de
Taylor es y,
por el teorema 18, es convergente.
Vamos a hallar crculo y radio de convergencia: ,
radio de convergencia Dom. de Conv.
De manera anloga puede ud. demostrar que
(b) con y Dom. de (C)
(c) , y Dom. de (C)
(d) , y Dom. (C)
(e) , y Dom. (C)
Problema 9
Hallar desarrollo en serie de Taylor en vecindad de para . Dar radio y dominio de (C)
Solucin
Sabemos que es analtica en
Luego, es desarrollable en serie de Taylor en si est en el mayor disco donde la serie converge:
es el mayor disco en donde la serie converge y
,
,
,
178
9
-
Figura 15.1:
Por induccin sobre se demuestra que , de donde ,
As,
Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1
Problema 10
Demuestre que:
(a)
(b) ,
Problema 11
Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de
Solucin
Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es
analtica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servir para mostrarnos que, a veces,
no es necesario el clculo de las derivadas para usar la frmula de Mc Laurin. En efecto,
puesto que representa a una
serie geomtrica convergente si .
Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,
. . . y , , , , . . . , ,. . .
Luego, con
...
179
10
-
Figura 15.1:
Por induccin sobre se demuestra que , de donde ,
As,
Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1
Problema 10
Demuestre que:
(a)
(b) ,
Problema 11
Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de
Solucin
Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es
analtica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servir para mostrarnos que, a veces,
no es necesario el clculo de las derivadas para usar la frmula de Mc Laurin. En efecto,
puesto que representa a una
serie geomtrica convergente si .
Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,
. . . y , , , , . . . , ,. . .
Luego, con
...
179
Figura 15.1:
Por induccin sobre se demuestra que , de donde ,
As,
Es obvio que el radio de (C) es y el dominio de (C) es . Ver figura 15.1
Problema 10
Demuestre que:
(a)
(b) ,
Problema 11
Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin (Taylor con ) de
Solucin
Es obvio que el desarrollo existe puesto que y son funciones elementales y, por tanto, es
analtica en (lo que incluye a ). El presente ejercicio nos servir para mostrarnos que, a veces,
no es necesario el clculo de las derivadas para usar la frmula de Mc Laurin. En efecto,
puesto que representa a una
serie geomtrica convergente si .
Ahora, utilizamos el teorema 22 (Producto de Cauchy) con , , , , . . . , ,
. . . y , , , , . . . , ,. . .
Luego, con
...
179
11
-
Problema 6.
As, convergente en
Problema 12
Demuestre que es convergente en .
Problema 13
(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18
(b) Dibujar el disco de convergencia,
(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su eleccin)
Solucin
(a) Primero, obsrvese que
Ahora, es una serie geomtrica convergente si (esto
no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si
. Luego, es cierto Crculo de centro -1 y radio 2.
Por lo tanto, tenemos que
(b)
Figura 15.2:
(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el trmino general de la serie,
no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.
(En general, para en el borde del disco, , ,
)
180
As, convergente en
Problema 12
Demuestre que es convergente en .
Problema 13
(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18
(b) Dibujar el disco de convergencia,
(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su eleccin)
Solucin
(a) Primero, obsrvese que
Ahora, es una serie geomtrica convergente si (esto
no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si
. Luego, es cierto Crculo de centro -1 y radio 2.
Por lo tanto, tenemos que
(b)
Figura 15.2:
(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el trmino general de la serie,
no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.
(En general, para en el borde del disco, , ,
)
180
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As, convergente en
Problema 12
Demuestre que es convergente en .
Problema 13
(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18
(b) Dibujar el disco de convergencia,
(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su eleccin)
Solucin
(a) Primero, obsrvese que
Ahora, es una serie geomtrica convergente si (esto
no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si
. Luego, es cierto Crculo de centro -1 y radio 2.
Por lo tanto, tenemos que
(b)
Figura 15.2:
(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el trmino general de la serie,
no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.
(En general, para en el borde del disco, , ,
)
180
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As, convergente en
Problema 12
Demuestre que es convergente en .
Problema 13
(a) Hallar la serie de Taylor de alrededor de sin utilizar el teorema 18
(b) Dibujar el disco de convergencia,
(c) Estudiar la convergencia en un punto del borde (a su eleccin)
Solucin
(a) Primero, obsrvese que
Ahora, es una serie geomtrica convergente si (esto
no sabemos si es cierto en nuestro caso) pero converge si
. Luego, es cierto Crculo de centro -1 y radio 2.
Por lo tanto, tenemos que
(b)
Figura 15.2:
(c) Por ejemplo, si elegimos , , luego, el trmino general de la serie,
no tiende a cero y, por tanto, la serie dada diverge.
(En general, para en el borde del disco, , ,
)
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-
Ejercicio 3.
Ejercicio 4.Problema 30
Hallar cuatro trminos del desarrollo de Taylor alrededor de y el mayor disco de convergencia para
Solucin
Emplee el desarrollo de y trate de calcular los cuatro primeros trminos del producto. As obtendr
Problema 31
Hallar cuatro trminos del desarrollo de Taylor alrededor de y el mayor disco de convergencia para
Solucin
en el disco
187
Problema 14
Hallar serie de Taylor de alrededor de . Hallar dominio y radio de convergencia sin utilizar el
teorema 18.Solucin
(15.1)
Veamos si la serie geomtrica converge. Esto suceder si y solamente si
(15.2)
Luego, por (15.1),
Crculo de convergencia: , ( )
Problema 15
Demostrar que las series dadas a continuacin son convergentes y hallar los radios de convergencia respectivos
(a)
(b)
(c)
Solucin
(a) Criterio del cociente: . As, la serie es (C) si , es decir, si .
Dom. de (C): , . Adems, si entonces la serie (D). Si entonces
y, por tanto, la serie (D).
(b)
Por lo tanto, la serie (C) si
Dom. de (C): , .
La serie (D) si ; si entonces (D)
181
15