Ejercicios de probabilidad (2016-30)La mejor manera para aprender cómo resolver problemas de probabilidad es haciéndolos.

¡Hágalos!

Nota: Algunos de los siguientes ejercicios son reproducciones de los ejercicios propuestos en diferentestextos de la asignatura.

1. 4 niños, 4 niñas y 5 adultos se forman para subir a un autobús. Halle la probabilidad que:

(a) Las niñas queden juntas, pero no en los extremos.

(b) Las niñas queden juntas en los extremos.

(c) Las niñas queden juntas y los niños también.

(d) Los adultos queden juntos

(e) En los extremos siempre halla un adulto.

2. Una agencia comercial compra papelería a uno de seis vendedores V1, V2, V3, V4, V5, V6. Se ordena elpedido en cuatro días consecutivos, un pedido por día, calcule la probabilidad de los siguientes eventos.

(a) Un vendedor sea escogido dos de los cuatro días (los otros dos vendedores pueden ser diferentes olos mismos)

(b) El vendedor V3 sea escogido dos veces (los otros dos días los vendedores son diferentes)

3. El ascensor de un edificio comienza a subir con 6 personas y para en 8 pisos. Si la probabilidad deque cualquier pasajero salga en un piso concreto es igual para todos los pisos y los pasajeros salenindependientemente unos de otros ¿Cuál es la probabilidad que todos los pasajeros salgan en sólo 3pisos?.

4. Suponga que las calles de una ciudad forman una malla con calles que van de sur a norte y de estea oeste. Considere el siguiente esquema para patrullar un área de 16 cuadras por 16 cuadras. Unpatrullero comienza a patrullar en la intersección en el centro del área. En la esquina de cada cuadraél elige aleatoriamente ir hacia el norte, hacia el sur, este u oeste. ¿Cuál es la probabilidad de que él:

(a) Alcance los límites de su área de patrullaje una vez que él ha caminado 8 cuadras.

(b) Retornase al punto de partida después de caminar exactamente cuatro cuadras.

5. Un compartimiento contiene 3 componentes del proveedor A, 4 del proveedor B y 5 del proveedor C.Se seleccionan aleatoriamente 4 de los componentes para probarlos ¿Cuál es la probabilidad que sepruebe por lo menos un componente de cada proveedor?

6. Se van a repartir 10 regalos diferentes entre 5 niños, Si todos deben recibir regalo y todos los regalosdeben ser entregados. Halle la probabilidad de:

(a) Los niños reciban igual número de regalos.

(b) Dos niños reciban tres regalos.

7. Si 4 hombres y 4 mujeres van a sentarse en torno a una mesa redonda. Calcule la probabilidad de:

(a) Hombres y mujeres se sienten alternadamente.

(b) Los hombres juntos.

8. Si 5 personas se sientan aleatoriamente en 10 asientos ¿Cuál es la probabilidad de no haya dos personassentadas en asientos contiguos? Generalice el resultado anterior, si k personas se sientan aleatoriamenteen una fila de n asientos (n > k) ¿Cuál es la probabilidad de que ocupen k asientos contiguos en lafila?

9. Se van a enviar 30 personas (8 mujeres y 22 hombres) por igual a 3 municipios (A,B,C) para realizaruna encuesta. ¿Cuál es la probabilidad que las mujeres sean enviadas al mismo municipio?

10. Un productor tiene almacenadas 12 máquinas, 3 de los cuales fueron suministradas por un proveedorA. Se deben distribuir por igual las máquinas a tres secciones. Halle la probabilidad que:

(a) Las tres máquinas del proveedor A sean asignadas a la misma sección.

(b) Cada sección reciba una máquina del proveedor A.

(c) ¿Hay alguna diferencia si las máquinas son iguales o diferentes?¿En qué casos? Calcule y/oexplique

11. 100 estudiantes de matemáticas se dividen en cinco clases, cada una con 20 estudiantes, 10 de estosvan a ser premiados. Si todos los estudiantes tienen la misma probabilidad de recibir el premio ¿Cuáles la probabilidad de que exactamente 2 estudiantes de cada clase reciban premio?

12. De 5 números negativos y 3 números positivos se seleccionan 4 números y se multiplican ¿Cuál es laprobabilidad de que el resultado sea negativo? Considere que la selección es:

(a) Uno por uno y sin reemplazo

(b) Uno por uno y con reemplazo

(c) Al tiempo.

13. Un vendedor tiene almacenados 9 motores 4 fueron ensamblados en Colombia y el resto fuera del país,se seleccionan 3 motores para la venta, calcule la probabilidad de los siguientes eventos:

(a) Los tres escogidos sean ensamblados en el mismo lugar.

(b) Se escojan 2 ensamblados en Colombia.

14. De un grupo de 4 ingenieros y 3 economistas se a formar un comité de 5 personas.

(a) Calcular la probabilidad que se escojan todos los ingenieros.

(b) Si un ingeniero particular debe estar en el comité calcular la probabilidad que se escojan todoslos economistas.

15. En un concurso regional de ortografía, los ocho finalistas son 3 niños y 5 niñas. Hallar la probabilidadde los siguientes eventos:

(a) Los tres primeros finalistas son niñas.

(b) Los niños ocuparon los primeros lugares.

16. Un colegio participa en 12 juegos de fútbol durante una temporada. Hallar la probabilidad que elcolegio termine la temporada con:

(a) 5 empates 3 victorias y 4 derrotas.

(b) 6 derrotas y 6 victorias.

17. Nueve personas van de paseo en tres autos (Camioneta, deportivo, de lujo) con capacidades para cinco,cuatro y dos pasajeros, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad que el auto de lujo vaya con el cupocompleto? Considere que es posible que no todos los autos se utilicen.

18. El profesor de estadística decide seleccionar 5 estudiantes de la lista que contiene 30 nombres, pararealizar algunos ejercicios. Encuentre la probabilidad que el primer y el último nombre de la lista seanseleccionados.

19. Aníbal, Juan y Carlos lanzan una moneda para decidir quién paga la cuenta en un restaurante, Si eldisparejo para la cuenta.

(a) ¿Cuál es la probabilidad que se necesiten tres lanzamientos para saber quién paga la cuenta?

(b) ¿Cuál es la probabilidad que Juan pague la cuenta y se necesite solo un lanzamiento?

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20. En una fabrica de pernos las máquinas A, B, C fabrican 25, 35, y 40 por ciento de la producción total,respectivamente. De lo que producen 5, 4, y 2 por ciento respectivamente están defectuosos. Si seescoge un perno al azar.

(a) y se encuentra que es defectuoso ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la máquina A?

(b) ¿Cuál es la probabilidad que no esté defectuosa y provenga de la máquina B?

21. Se va a seleccionar un número de tres cifras formado con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y sin repetir cifras,calcule la probabilidad que el número seleccionado.

(a) Sea impar.

(b) Sea mayor de 350.

22. Existen tres métodos A, B, C para enseñar a los trabajadores cierta habilidad industrial. El 45% de lasveces se utiliza el método A por ser el más económico, el 40% el método B y el resto el método C porser el más caro. El porcentaje de trabajadores que no adquieren la habilidad con el método A es del12%, mientras que para B y C son respectivamente 10% y 6%. Se selecciona un trabajador entrenadocon al alguno de los método.

(a) Calcular la probabilidad que haya adquirido la habilidad

(b) Calcular la probabilidad que haya adquirido la habilidad y se haya entrenado con el método B.

(c) Si adquirió la habilidad, ¿Cuál es la probabilidad que haya sido entrenado con el método B?

(d) Calcular la probabilidad que haya adquirido la habilidad o sea entrenado por el método B.

(e) Calcular la probabilidad que haya sido entrenado por el método C, si no adquirió la habilidad

23. La tabla siguiente presenta un resumen del análisis realizado a las flechas de un comprensor paradeterminar el grado con que estas satisfacen ciertos requerimientos de curvatura y acabado superficial.Si se toma una flecha aleatoriamente calcular la probabilidad de:

TotalSi No

Si 375 38 413No 55 32 87

Total 430 70 500

El acabadosuperficial

cumple

La curvatura cumple

(a) Que cumpla con los requerimientos de acabado.

(b) Que cumpla con ambos requerimientos.

(c) Que cumpla con los requerimientos de curvatura, si se sabe que no cumplió con los de acabadosuperficial.

(d) Que cumpla con los requerimientos de curvatura, o los de acabado superficial.

(e) Que no cumpla con ninguno de los requisitos.

24. Una persona despistada tiene ocho calcetines negros, seis azules y cuatro rojos, todos ellos sueltos. Undía, con mucha prisa, elige dos calcetines al azar. Hallar la probabilidad de:

(a) Que los dos calcetines sean negros.

(b) Que los dos calcetines sean del mismo color.

(c) Que al menos uno de ellos sea rojo.

(d) Que uno sea negro y el otro no.Resuelva el problema utilizando las tres formas de selección.

25. El 5 % de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso defabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30 %de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92.

Si se escoge aleatoriamente una unidad

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(a) Calcule la probabilidad que no sea defectuosa

(b) y se encuentra que es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajocontrol?

(c) Calcule la probabilidad que ésta sea defectuosa y que el proceso se encuentre bajo control

(d) Calcule la probabilidad que esta sea defectuosa o que el proceso se encuentre bajo control

26. Tenemos un grupo de pacientes que están afectados o por el virus A o por el virus B. Sabemos que laprobabilidad de estar afectado por el virus A es de 0.9, al mismo tiempo tenemos información de quela probabilidad de que padeciendo el virus A se cure es de 0.001 y si padece el virus B la probabilidadde que se cure es de 0.7. ¿Cuál es la probabilidad de curación?

27. La probabilidad de que un hombre dé en el blanco es de 3/4. Si dispara 7 veces. Calcular la probabilidadque de en el blanco:

(a) 4 veces.

(b) Una vez .

(c) Por lo menos seis veces.

28. Los clientes acostumbran a evaluar en forma preliminar el diseño de los productos. 40% de los productoshan sido de gran éxito, 30% han tenido un éxito moderado y el resto han sido producidos sin muchoéxito. En el pasado 90% de los productos de gran éxito recibieron críticas favorables, mientras quepara los productos de éxito moderado y sin mucho éxito fueron respectivamente del 60% y 10%.

(a) ¿Cuál es la probabilidad que un producto obtenga una crítica favorable?

(b) ¿Cuál es la probabilidad que un producto obtenga una crítica favorable y sea un producto sinmucho éxito?

(c) ¿Cuál es la probabilidad que un producto sea sin mucho éxito si obtuvo una crítica favorable?

(d) ¿Cuál es la probabilidad que un producto obtenga una crítica favorable o sea un producto sinmucho éxito?

29. Con base en varios estudios una compañía ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de descubrirpetróleo, las formaciones geológicas en tres tipos I, II, III. Las probabilidades de seleccionar lasformaciones tipo I, II y III son respectivamente 0.35, 0.40, y 0.25. De acuerdo con la experiencia, sesabe que el petróleo se encuentra en un 40% de formaciones del tipo I, en un 20% de formaciones deltipo II y en un 30% de formaciones del tipo III.

(a) Calcular la probabilidad que la compañía no descubra petroleo.

(b) Calcule la probabilidad de que exista una formación del tipo II, si se encontró petroleo.

(c) Si la compañía no descubrió petróleo en ese lugar, calcule la probabilidad de que exista unaformación del tipo III.

30. Los relevadores que se usan en la construcción de circuitos eléctricos funcionan independientementecon una probabilidad de 0.9. Se tienen 3 diseños de circuitos con 4 relevadores 1, 2, 3 y 4. en todos loscasos la corriente fluye del punto A a B, si hay por lo menos un camino cerrado, después de activar losrelevadores. ¿Cuál de los diseños produce la mayor probabilidad de que haya una corriente al activarlos relevadores?

4

A

1

2

3

4

B

A

1

2

3

4

B

1

A2

3 4

B

31. En una comunidad el 40 % es no fumadora, el 75 % consume bebidas alcohólicas y un 15 % no realizaninguna de ambas actividades. Se escoge una persona al azar en dicha comunidad:

(a) Si no es fumadora ¿cuál es la probabilidad de que no consuma bebidas alcohólicas?

(b) Si es fumadora ¿cuál es la probabilidad de que no consuma bebidas alcohólicas?

(c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumadora y consuma bebidas alcohólicas?

(d) Si no consume bebidas alcohólicas ¿cuál es la probabilidad de que sea fumadora?

32. Supóngase que 2 refrigeradores defectuosos han sido incluidos en un envío de 6 refrigeradores. Elcomprador empieza a probar los seis refrigeradores uno por uno.

(a) Calcule la probabilidad que se encuentre el último refrigerador defectuoso en la cuarta prueba.

(b) Calcule la probabilidad que no haya que probar más de cuatro refrigeradores para encontrar losdos defectuosos.

(c) Dado que uno de los defectuosos ha sido identificado en las primera dos pruebas, calcule laprobabilidad de que el otro defectuoso se encuentre en la tercera o cuarta prueba.

33. Un detector de mentiras muestra una lectura positiva, es decir, indica una mentira en 10% de los casoscuando la persona dice la verdad y en 95% de los casos cuando la persona miente. Suponga que sesospecha de dos personas de haber cometido el delito, que fue ejecutado por una sola persona y dehecho solo una de ellas es culpable, calcular la probablidad de:

(a) El detector muestre una lectura positiva para los dos sospechosos.

(b) El detector muestre una lectura positiva para el sospechoso culpable y una negativa para elinocente.

(c) El detector esté completamente equivocado, es decir muestre una lectura positiva para el inocentey una negativa para el culpable.

(d) El detector de una lectura positiva para cualquiera de los dos sospechosos o para ambos.

34. Supóngase que la probabilidad de exposición a la gripe durante una epidemia es 0.6. La experienciaha mostrado que una vacuna tiene un 80% de efectividad en proteger a una persona contra la gripe siestá expuesta a la epidemia. Una persona no vacunada tiene una probabilidad de 0.9 de ser afectadapor la gripe si está expuesta. Dos personas una vacunada y otra no realizan una tarea altamenteespecializada en un negocio. Suponga que no se ubican en la misma localización, no entran en contactocon las mismas personas y no se exponen la una a la otra, calcule la probabilidad que al menos unasea afectada por la gripe.

35. Dos jugadores apuestan $1 cada vez en lanzamientos sucesivos de una moneda. Cada uno posee $6.

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(a) ¿Cual es la probabilidad de que queden con lo que entraron después de 6 lanzamientos sucesivos.?

(b) ¿Cuál es la probabilidad que uno de ellos gane todo el dinero en el décimo lanzamiento de lamoneda?

36. Supóngase que en cada jugada de un juego es igualmente probable que una persona gane o pierda undólar. Supóngase también que su objetivo es ganar 2 dólares en el juego ¿Qué capital inicial debe tenerla persona para que la probabilidad de que alcence el objetivo antes de perder su capital inicial sea almenos 0.99 ?

37. Supóngase que en cada jugada de un juego una persona gana un dólar con una probabilidad de 1/3 opierde con probabilidad 2/3. Supóngase que su objetivo es ganar 2 dólares en el juego. Demuéstreseque cualquiera que sea su capital inicial la probabilidad de alcanzar su objetivo antes de perder sucapital inicial es de 1/4.

38. Se lanza un satélite para recopilar datos sobre las condiciones atmosféricas de un planeta lejano. Elsatélite contiene dos celdas de energía, cada una de las cuales tiene una probabilidad de 0.9 de funcionarcorrectamente. Las celdas están ubicadas en lugares distintos del satélite, por lo cual es casi imposibleque la avería de una celda esté relacionada con la otra. El satélite contiene también dos instrumentosde medición: el principal y el de respaldo. Los dos están juntos, por lo que no se considera que seaindependiente la fiabilidad de los instrumetos las probabilidades de éxito y fracaso son:

Instrumento de respaldoInstrumento principal Bueno avería

Bueno 0.6 0.2avería 0.1 0.1

El instrumento principal solo requiere una celda de energía para operar, pero el de respaldo necesitalas dos celdas. La misión del satélite será un éxito si funciona cualquiera de los instrumentos ¿Cuál esla probabilidad de éxito de la misión?

39. Tres prisioneros A, B y C saben que van a ser ejecutados dos de ellos, pero no quiénes. A sabe queel vigilante no le dirá si va a ser él, pero pregunta por el nombre de un prisionero distinto que vaya aser ejecutado. El vigilante le responde que será B. Con esta respuesta A razona del modo siguiente:Antes de hablar con el vigilante la probabilidad de ser él uno de los ejecutados era 2/3. Después dela consulta al vigilante, sabe que el otro que será ejecutado será él o C. Así pues la probabilidad deser ejecutado es ahora 1/2. Entonces gracias a la pregunta su probabilidad pasó de 2/3 a 1/2. Comoquiera que podía haber llegado al mismo razonamiento con independencia de la respuesta del vigilante,expóngase donde está el razonamiento del prisionero.

40. Suponga que en cada jugada de un juego es igualmente verosimil que una persona gane o pierda undolar. Suponga también que su objetivo es ganar dos dólares en el juego ¿Qué capital inicial debe tenerla persona para que la probabilidad de que alcance el objetivo antes de perder su capital inicial sea deal menos 0.99?

41. Suponga que en cada jugada de un juego, una persona gana un dólar con probabilidad 1/3 o lo pierdecon una probabilidad de 2/3. Supóngase también que su objetivo es ganar dos dólares en el juego.Demuéstrese que cualquiera que sea su capital inicial, la probabilidad de alcanzar su objetivo antes deperder su capital inicial es menor que 1/4.

42. Oscar has lost his dog in either forest A (with a priori probability 0.4) or in forest B (with a prioriprobability 0.6). If the dog is alive and not found by the Nth day of the search, it will die that eveningwith probability N

(N+2) .

If the dog is in A (either dead or alive) and Oscar spends a day searching for it in A, the conditionalprobability that he will find the dog that day is 0.25. Similarly, if the dog is in B and Oscar spends aday looking for it there, he will find the dog that day with probability 0.15.

The dog cannot go from one forest to the other. Oscar can search only in the daytime, and he cantravel from one forest to the other only at night.

All parts of this problem are to be worked separately.

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(a) In which forest should Oscar look to maximize the probability he finds his dog on the first day ofthe search?

(b) Given that Oscar looked in A on the first day but didn’t find his dog, what is the probability thatthe dog is in A?

(c) If Oscar flips a fair coin to determine where to look on the first day and finds the dog on the firstday, what is the probability that he looked in A?

(d) Oscar has decided to look in A for the first two days. What is the a priori probability that he willfind a live dog for the first time on the second day?

(e) Oscar has decided to look in A for the first two days. Given the fact that he was unsuccessful onthe first day, determine the probability that he does not find a dead dog on the second day.

(f) Oscar finally found his dog on the fourth day of the search. He looked in A for the first 3 daysand in B on the fourth day. What is the probability he found his dog alive?

(g) Oscar finally found his dog late on the fourth day of the search. The only other thing we knowis that he looked in A for 2 days and in B for 2 days. What is the probability he found his dogalive?

43. Consider events A, B, and C with P (A) > P (B) > P c© > 0. Events A and B are mutually exclusiveand collectively exhaustive. Events A and C are independent. Can C and B be mutually exclusive?

44. In the communication network of Figure 1, link failures are independent, and each link has a probabilityof p. Consider the physical situation before you write anything. A can communicate with B as longas they are connected by at least one path which contains only in-service links.

Figure 1:

(a) Given that exactly five links have failed, determine the probability that A can still communicatewith B.

(b) Given that exactly five links have failed, determine the probability that either g or h (but notboth) is still operating properly.

(c) Given that a, d, and h have failed (but no information about the condition of the other links),determine the probability that A can communicate with B.

45. The individual shoes from eight pairs, each pair a different style, have been put into a barrel. For $1, acustomer may randomly draw and keep two shoes from the barrel. Two successive customers do this.What is the probability that at least one customer obtains two shoes from the same pair? How muchwould an individual customer improve his chances of getting at least one complete pair by investing $2to be allowed to draw and keep four shoes? (Some combinatorial problems are quite trying. Consider,if you dare, the solution to this problem for eight customers instead of two.)

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