Ejercicios, Problemas y Ampliación
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2º ESO - Matemáticas - SM - 4 = MAGNITUDES PROPORCIONALES - EJERCICIOS, PROBLEMAS y AMPLIACIÓN
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33. a) Sí, porque 6010404 ×≡× e) Sí, porque 45312795 ×≡× b) No, porque 67153 ×≠× f) No, porque 3538249127 ×≠× c) No, porque 164242 ×≠× g) No, porque 9792762143 ×≠× d) Sí, porque 5301510 ×≡× h) Sí, porque 32308012 ×≡× 34. a) →×=× 5104 x 8=x →×=× 1054 x 2=x b) →×=× 6212x 1=x →×=× 1226x 4=x c) →×=× x6212 4=x →×=× 2612 x 1=x d) →×=× 1075 x 14=x
35. x
17
182
13 = ⇒ 13
17182×=x ⇒ 238=x
36. →==3
112
21 y
x 7=x 36=y →==
3
1
12
21 y
x 36=x 4=y
37. a) ( )( )
( )( )
( )( ) ⇒
×⇒
×⇒⇒
25
6060
25
6060
25
60
25
1
s
s
s
m
s
h 144
b) ( )
( )( )( ) ⇒⇒⇒
800
1000
800
1000
800
1
g
g
g
kg 4
5 ⇒ 25,1
c) ( )( )
( )( ) ⇒⇒→
30
12
30
12
3
12
dm
dm
m
dm 5
2 ⇒ 4,0
d) ( )
( )( )
( )( )
( ) ⇒×
⇒×
⇒⇒4
247
4
247
4
7
4
1
h
h
h
días
h
semana 42
38. a) ⇒+=
150
3
5
2 z ( )⇒+×=× 351502 z ⇒+= 360 z 57=z
b) ⇒=6
12
3
2y ⇒×=× 12362y 3=y
c) ⇒=x
x 3
12 ⇒×=× 312xx ⇒= 362x 6=x
39. a) Sí, porque 2
8
1
4 ≡ ⇒ La relación que existe es 1
2=Azúcar
Manzana
b) Manzanas 4 8 12 128 Azúcar 1 2 3 32
c) La razón de proporcionalidad tiene sentido y su valor es 2
40. Con velocidad constante, a más tiempo, más impresiones ⇒ proporcionalidad directa
( )( )
( )( ) ⇒=h
pagx
h
pag
62
600 ⇒×=× x26600 ( )pagx 800.1=
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41. Proporcionalidad directa ⇒ ( )( )
( )( )€
3
€6
2
x
bolbol = ⇒ 362 ×=× x ⇒ ( )€9=x
42. a) Proporcionalidad directa ⇒ ( )
( )( )( )€
10
€40,2
2
x
kgkg = ⇒ 1040,22 ×=× x ⇒ ( )€12=x
b) ⇒ ( )
( )( )( )€
5,1
€40,2
2
y
kgkg = ⇒ 5,140,22 ×=× y ⇒ ( )€80,1=y
43. Proporcionalidad directa ⇒ ( )
( ) ==≡++++===
1
2
30
60
1211712117 pilas
bolSAYSAY 2
=×= 27Y ( )bol14 =×= 211A ( )bol22 =×= 212S ( )bol24
44. a) =× 300100
15 45 c) =× 7500
100
50 750.3
b) =× 8000100
25 000.2 d) =×1000
100
45 450
45. ⇒
−×100
25124 ( )⇒−× 25,0124 ⇒× 75,024 ( )€18
46. a) 75%30 =X ⇒ 75100
30 =× X ⇒ 753,0 =× X 3,0
75=X ⇒ 250=X
b) 141%47 =X ⇒ 414100
47 =× X ⇒ 14147,0 =× X ⇒ 047
141=X ⇒ 300=X
c) 43734%50,18 =X ⇒ 43734185,0 =× X ⇒ 185,0
43734=X ⇒ 400.236=X
d) 2%1 =X ⇒ 2100
1 =× X ⇒ 201,0 =× X ⇒ 01,0
2=X ⇒ 200=X
47. a) 62
15
100=X
⇒ 62
15100×=X ⇒ 19,24=X
b) 984
123
100=X
⇒ 984
123100×=X ⇒ 5,12=X
c) 8940
894
100=X
⇒ 8940
894100×=X ⇒ 10=X
48. X
70
225
45 = ⇒ 45
22570×=X ⇒ 350=X
49.
+×100
51540 ⇒ 05,1540× ⇒ 567
50. Inicio = ( )t1592 Al año = =× 945,01592 ( )t44,1504 A 2 años = =× 078,144,1504 ( )t79,1621
Suma total reciclada = =++ 79,162104,544.1522.1 ( )t83,687.4
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51. Proporcionalidad inversa ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )hXphp ×=× 864 ⇒ =×=8
64X ( )h3
52. Proporcionalidad inversa ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )hXjhj ×=× 91203 ⇒ =×=9
1203X ( )h40
53. Proporcionalidad inversa ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )dXvdv ×=× 154225 ⇒ =×=15
4225X ( )d70
54. =×=++
=++
++===21
6015750
60
561015750
12
1
10
1
6
1
12
1
10
1
6
1ZYXZYX ≡=
××××
4500073
7532 433423 532 ××
=×=6
145000X 500.7 =×=
10
145000Y 500.4 =×=
12
145000Z 750.3
55. =×=+++
=+++
+++====12
2060
20
124560
20
1
10
1
5
1
4
1
20
1
10
1
5
1
4
1AHLMAHLM
100
=×=4
1100M 25 =×=
5
1100L 20 =×=
10
1100H 10 =×=
20
1100A 5
56. Proporcionalidad inversa: Largo nuevo = ( ) ( )cmm 303,0 ≡ Ancho nuevo = ( )cmA
( ) ( ) ( ) ( )cmAcmcmcm ×=× 301512 ⇒ =×=30
1512A ( )cm6
57. a) Proporcionalidad inversa ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )dDmdm ×=× 438 ⇒ =×=4
38D ( )d6
b) AmigosNN º≡ ⇒ ( ) 4138 ×+=× N ⇒ =−×= 14
38N ( )amigos5
58. Aprobados “porcentuales”: Mejor = =×35
27100 ( )%14,77 =×
30
22100 33,73
59. ( ) ( )hH×−=× 10805,380 ⇒ ==−×=
70
280
1080
5,380H ( )h4
60. Proporcionalidad directa: 4818
15 X= ⇒ =×=18
4815X ( )m86
61. 30100
15 × ⇒ 100
450 ⇒ ( )€5,4
62.
70
1
180
1
260
1ZYX == ⇒ =×=
++=
++
++===388
163862080
1638
234916362080
7
1
18
1
26
1
7
1
18
1
26
1ZYXZYX
080.262
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4/6
=×=26
1262080X ( )€080.10 =×=
18
1262080Y ( )€560.14 =×=
7
1262080Z ( )€440.37
63. A menor ancho de rollo, mayor número de rollos ⇒ Proporcionalidad inversa
→×=× 34,068,040 X =×=34,0
68,040X ( )rollos80
64. Nerea ⇒ =××=
+×
−× 18,19,01800100
181
100
1011800 062,11800× ( )€6,1911=
Rafa ⇒ =××=
−×
+× 9,018,11800100
101
100
1811800 062,11800÷ ( )€6,1911=
Ambos han pagado lo mismo
65. Reparto directamente proporcional a 8
1
7
2
7
4 =−=
++−56
551
7
4
7
2
8
11
56
1
Es decir, a 56
7
56
16
56
32
56
1 O sea, a 7 16 32 1
≅=+++
+++====56
3250
132167132167
TZYXTZYX0357,58
=×= 70357,58X ( )€25,406 =×= 160357,58Y ( )€57,928
=×= 323057,58Z ( )€14,1857 =×= 10357,58Z ( )€04,58
66. Importe total cobrado = =×=
+× 18,12500100
1812500 2950
Proporción directa, entre 12, 8 y 3 ⇒ ≅=++++===
23
2950
38123812
ZYXZYX26,128
=×= 26,12812X ( )€13,539.1 =×= 26,1288Y 09,026.1 =×= 26,1283Z ( )€78,384
67. a) 20 l. leche ⇒ =× 20100
15 ( )nata3
b) 80 l. leche ⇒ =× 80100
25 ( )amantequill20
68. Familia R = 14 días Familia A = 8 días Familia N = 9 días Cantidad a repartir en proporción directa = ( ) =×− 10031912 ( )€1612
==++++===
31
1612
98149814
NARNAR52 ⇒ →=×= 7285214R =+= 100728.RFam 828
→=×= 416528A =+= 100416.AFam 516 →=×= 468529N =+= 100468 568 69. Reparto proporcional directo a 41 , 51 , 51 y 101 . O sea, a 205 , 204 , 204 y 202 .
Lo que es equivalente, a 5, 4 , 4 y 2 ⇒ ==++++++====
15
150
24452445
DCBADCBA10
=×= 105A 50 =×= 104B 40 =×= 104C 40 =×= 102D 20
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70. ( ) ( ) ( ) ( )€31111 =×× nph ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )€186631321 =×=×× nph ⇒
( ) ( ) ( ) =×=×× 1862322 nph ( )€392
71. ( ) =××=
−×× 23,06,0425100
771
100
60425 3Hm ( )365,58 Hm
72. a) A = ( ) ( ) ( )%28000.2%24000.6%0000.12000.20 ++≡
=×+×+×= 2000100
286000
100
2412000
100
0nLiquidació
=++= 56014400 ( )€000.2
b) P = ( ) ( ) ( ) ( )%37000.8%28000.14%24000.6%0000.12000.40 +++≡
=×+×+×+×= 8000100
3714000
100
286000
100
2412000
100
0nLiquidació
=+++= 2960392014400 ( )€320.8
73. Si los diversos socios aportan el mismo capital, sobra la especificación de la cifra 15.000 €
Reparto directamente proporcional de 85.000 entre 5, 4 y 2
≅=++++===
11
85000
245245
CBACBA27,7727
=×= 27,77275A 36,363.38 =×= 27,77274B 09,909.30 =×= 27,77272C 55,454.15
74. Reparto inversamente proporcional 1620×→Juan CCarlota ×→ 40 94×→ RRamón
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )haRhCaha 64401620 ×=×=× ⇒ =×=40
1620C ( )h8 =×=
64
1620R ( )a5
75. ≡H Nº hombres ≡M Nº mujeres ≡S Nº Individuales Total de participantes: 123=++ SMH
Parejas formadas ( )MH + ⇒ MH ×=×5
3
7
4 ⇒ MH ×=× 2120
De la 1ª 24602020 =+ MH ⇒ 24602021 =+ MM ⇒ 246041 =M ⇒ 60=M
De la 2ª 602120 ×=× H ⇒ 20
6021×=H ⇒ 63=H
Por tanto, participantes individuales ( ) =+−= 6063123S 0 ⇒ Ninguno
76. Nº de largos diarios en verano = L
Cierto día hace N largos, que representan el 20% de L, es decir, LN ×= 2,0
Y ese mismo día, al hacer 1+N largos, alcanza el 25% de L, o sea, LN ×=+ 25,01
Por tanto, para N satisface la relación por cociente 2,0
25,01 =+N
N ⇒
4
51 =+N
N ⇒
( ) NN ×=+× 514 ⇒ 4=N ⇒ 51=+N ⇒
Ese día hizo un total de cinco largos
Las respuestas ofrecidas son, según parece, para largos en el verano: 20=L ⇒ a)
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6/6
77. Láminas se absorbe ⇒ absorción acumulada y pasa Con la 1 2,0 →2,0 2,0 8,02,01 =−
Con la 2ª 16,08,02,0 =× →+ 16,02,0 38,0 64,016,08,0 =−
Con la 3ª 128,064,02,0 =× →+ 128,038,0 508,0 512,0128,064,0 =−
Con tres láminas se supera el 50% acumulado ⇒ Respuesta correcta a)
78. Tara (peso) del contenedor ≡ T Carga (peso) del contenedor ≡ C
100% Carga + Tara = 242 kg ⇒ 242=+ TC
50% Carga + Tara = 189 kg ⇒ 1895,0 =+× TC
La diferencia, de ambos pesos, equivale a la mitad de la carga ⇒ 535,0 =× C
La carga es, pues, el doble de esta cantidad ⇒ == 5,053C ( )kg106
Luego, la tara será al diferencia al primer peso ⇒ =−= 106242T ( )kg136
Por tanto, ésta es la respuesta correcta ⇒ Aunque no exacta, la más cercana es c) 79. Como datos, como lo buscado, es porcentual. Por tanto, se toma como base 100 En la reunión, compuesta por 100 personas, había 80 chicas y 20 chicos
Sale el 75% de chicas, o sea, =×8075,0 ( )chicas60 ⇒ y quedan =− 6080 20
Luego, la reunión queda, ahora, compuesta por 20 chicos y 20 chicas En consecuencia, el porcentaje de chicas, que queda en la reunión, es %50
80. Sobre la herencia H, se han pagado 10500100
201
100
10
100
20 ≡
−×+ HH
⇒ ( ) 105008,01,02,0 =×+×H ⇒ 1050028,0 =× H ⇒ ( )€500.37=H
La respuesta correcta es la a)