ejercicios resuelto de vectores
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7/30/2019 ejercicios resuelto de vectores
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 1
VECTORES EN EL ESPACIODEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL, COMBINACIN LINEAL, BASE
EJERCICIO 1 : (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))):3,1,1dy5,0,1c,1,1,1b,3,2,1a vectoreslosDados r
rr
r
a) Forman una base de R 3?.cyb,adelinealncombinacicomodvectorelposible,essiExpresa,b) r
rr
r
Solucin: a) No forman una base, pues cuatro vectores enR3 siempre son linealmente dependientes.b) Debemos encontrar tres nmeros,x , y , z , tales que: cbad
rr
rr
z y x ++= (-1, 1, 3) =x (1, 2, 3) + y (1, 1, 1) + z (1, 0, 5) (-1, 1, 3) = (x + y + z , 2x + y , 3x + y + 5z )
0z3,-y2,x:obtenemosyGaussporsistemaelResolvemos3z5yx31yx2
1zyx===
=++=+
=++c0b3a2d r
rr
r
+=
EJERCICIO 2 :esuqueasegurarPodemoses.dependientelinealmentsonwyv,uquesabeSea) rrrr
respuesta.tuJustifica?wyvdelinealncombinaci rr (((( )))) baseladerespecto7,3,4avectordelscoordenadalasHallab) r B = {(2, 1, 0), (1,0,-2),(0, 0, 3)}.
Solucin: ( ) ( ) ( ):0,2,0wy,0,1,0v,0,0,1utomamossiejemplo,PorNo.a) rrr
.v2wpueses,dependientelinealmentSon rr = .wyvdelinealncombinaciesnouembargo,Sin rrr
( ) ( ) ( ) que Tenemos.Bbaseladevectoreslosa3,0,0d,2,0,1c,0,1,2bLlamamosb)r
r
r
encontrar tresnmeros, x , y , z , tales que: dcbar
rr
r
z y x ++= (4, 3, 7) =x (2, 1, 0) + y (1, 0, -2) + z (0, 0, 3) (4, 3, 7) = (2x + y , x , -2y + 3z )
13
y27zy27z32x24y
3x
7z3y23x
4yx2
=+
=+=
===
=+=
=+
( ) :decires,1,2,3sonBbaseladerespectoadescoordenadaLas r dc2b3ar
r
r
r
+=
EJERCICIO 3 : (((( )))) (((( )))):1,2,3vy0,1,2uvectoreslosDados rr
a) Son linealmente independientes? b) Forman una base de R3?
.v21w3u2quetal,wvector,unHallac) rrrr =+
Solucin: a) S son linealmente independientes, puesto que si escribimos:x (2,-1, 0) + y (3, 2, -1) = (0, 0, 0), es decir:
==+=+
0y0y2x0y3x2
Este sistema solo tiene la solucin trivial:x = y = 0
b) No forman una base deR3, pues para obtener una base de R3 necesitamos tres vectores (linealmente
independientes). u32v
61wu2v
21w3v
21w3u2c) rrrrrrrrr ===+
( ) ( )
==61
,1,65
0,1,232
1,2,361
wr
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7/30/2019 ejercicios resuelto de vectores
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 2
EJERCICIO 4 :
a) Halla los valores de x, y, z tales que x
u + y
v + z
w = 0, siendo
u (2,0,-3),
v (1,-2,0) y
w (3,2,-6) b) Son linealmente independientes los tres vectores anteriores? Forman una base de R 3?
Solucin: a) x (2, 0, -3) + y (1, -2, 0) + z (3, 2, -6) = (0, 0, 0) (2x + y + 3z , -2y + 2z , -3x - 6z ) = (0, 0, 0)
==+=++
0z6x30z2y20z3yx2
Resolviendo el sistema por Gauss === z,y,2x:sSolucione
b) Segn los resultados obtenidos en el apartado a), deducimos que los vectores son linealmentedependientes. Por tanto, no son base.
EJERCICIO 5 : :vectoreslosporformada R debaselaosConsideram 3
a (2,-1,3),
b (0,2,-1),
c (3,0,1)(((( )))) anterior.baseladerespecto 14,7,4u descoordenadalasHallaa) r
.uyb,a delinealncombinacicomo c vectorelposible,essiExpresa,b) rr
rr
Solucin: a) Tenemos que encontrar tres nmeros x , y , z , tales que: :decires,cbau
rr
rr
z y x ++= (4, -7, 14) =x (2, -1, 3) +y (0, 2,-1) + z (3, 0, 1) (4, -7, 14) = (2x + 3z , -x + 2y , 3x - y + z )
=+=+
=+
14zyx37y2x
4z3x2Resolviendo el sistema por Gauss 2z,1y,5x:Solucin ===
( ) :decires ,2,1,5 sondadabaseladerespecto u descoordenadalastanto,Por r c2ba5ur
rrr
= b) De la igualdad obtenida en a), tenemos
que: u21
b21
a25
cuba5c2c2ba5ur
r
rrr
r
rrr
r
rr
===
PRODUCTO ESCALAR Y APLICACIONES (Mdulo de un vector, ngulo que forman dos vectores,proyeccin ortogonal,)
EJERCICIO 6 : (((( )))) (((( )))) (((( )))):x,2,1wy2,2,4v,3,1,2u vetoreslosDados rrr ., vyu formanquenguloelyvu Hallaa) rrrr
.60dengulounformen wyu quepara devalorelObtnb) orrx
Solucin: ( ) 74,314312ua) 222 =++=r ( ) 90,424224v 222 =++=r
:quetenemos ,vyu formanquenguloal llamamosSirr
.90 decir,eslares,perpendicusonvyu0
vu628
vuvu o====
rr
rrrr
rr
cos
b) Ha de cumplirse que: :decires,
wuwu
60 orr
rr =cos
22 x1470
x321
x514
x32221
+=
+
+=
2222 x2270x36x1470x6x1470 ==+=+
=
>==
==
1135
x
)0x3vu puesvale,(no1135x
1135
2270x2
rr
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 3
EJERCICIO 7 : (((( )))) (((( )))):0,1,1vy0,0,1u vectoreslosDados rr .vyuano que formo el ngul, as comvsobreuderoyeccinHalla la pa)
rrrr ( ) ( ) seaquey,v yu delinealncombinaciseaque 000 vectorunEncuentrab) rr,,,,, z y x
perpendicular a (1, 0, 0).
Solucin:
Proyeccin de u sobre v: )0,21,
21(=)0,1,1(
21=v
vvu=u 2
r
r
rr
r
:quetenemos,vyu formanquenguloal llamamosSi rr o4522
2
1
21
1vu
vucos =====
rr
rr
:decires ,vu formaladees vyu delinealncombinaciseaquevectorUnb) rrrr b a + ( ) ( ) ( )0,,0,1,10,0,1vu b b a b a b a +=+=+ rr
Para que sea perpendicular a (1, 0, 0), su producto escalar ha de ser cero:(a + b , b , 0) (1, 0, 0) = 0 a + b = 0 b = - a Por tanto, cualquier vector de la forma: (0,b , 0), con b 0 cumple las condiciones exigidas.
EJERCICIO 8 : ,tienenquey45dengulounformanquevectoresdos v yu Sean orr
mdulomismoel .2vu ========
rr ?vu deelY?vu demduloelesCula) rrrr +
lares.perpendicuson vu yvu queDemuestrab) rrrr +
Solucin: ( ) ( ) =++=+++=++=+ 222 vvu2uvvuvvuuuvuvuvua) rrrrrrrrrrrrrrrrrr
( ) 248422
844v,uvu24 +=++=++=rrrr
cos 70,3248vu +=+ rr
( ) ( ) 248445vu24vvu2uvuvuvuo222
=+=+== cos rrrrrrrrrrrr
53,1248vu =
rr
( ) ( ) 044vuvvuvvuuuvuvub) 22 ===+=+ rrrrrrrrrrrrrr ( ) ( )vuvu rrrr +
EJERCICIO 9 : (((( )))) (((( )))) :bamcy1,1,0b,0,1,1a vectoreslosDadosr
rrr
r
==== lares.perpendicusean c ya quepara devalorelHallaa) rrm
.c yb formanquenguloelhalla ,2 Parab) rr
=m
Solucin:
( ) ( ) ( )1,1,1,1,00,1,1baca) === m m m m r
rr
( ) ( )
2101211,1,0,1,1caca ==+=++== m m m m m m
rrrr
( ) ,cyb formanquenguloal llamamosSi .1,3,2c queda ,2 Parab)
rr
r
=m
tenemos que: ''51'2713976,028
4
142
4
cb
cb o=
=
==r
r
r
r
cos
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 5
EJERCICIO 14 :a) Halla un vector unitario que sea perpendicular a (3, -1, 1) y a (1,-2,0)
( ) ( ) ejemplo.unPon?wvuwvu queciertoEsb) rrrrrr =
Solucin: a) Un vector perpendicular a los dos dados es: (3,-1, 1) x (1, -2, 0) = (2, 1, -5)
Dividiendo por su mdulo, tendr mdulo 1:
30
5,30
1,30
2
Tambin cumple las condiciones su opuesto:
30
5,
30
1,
30
2
b) En general, no es cierto. Por ejemplo: ( ) ( ) ( )0,1,0w0,0,1v0,0,1u === rrr ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )=====
0,1,01,0,00,0,11,0,0uwvu
0w0wvurrrr
rr
rrrr
( ) ( ).wvuwvu Por tanto, rrrrrr
EJERCICIO 15 : Halla el rea de un paralelogramo determinado por los vectores
u x
v y
u x
w ,siendo: ( ) ( ) ( )10,1,wy110v112u
rrr
,,,, ,
Solucin: :wuyvu Calculamos rrrr ( )22,0,vua == rr
r ( )1,1,1wub ==rr
r
El rea del paralelogramo determinado por a y b es igual al mdulo del producto vectorial:
( ) ( ) ( )2,2,41,1,12,2,0ba ==r
r
( ) 2222 u90,4244416224rea =++=++=
PRODUCTO MIXTO
EJERCICIO 16 :
a) Calcula el volumen del paraleleppedo determinado por los vectores
u (2,-1,1),
v (3,0.-2),
w (2,-3,0) b) Cunto valen cada uno de los siguientes productos mixtos?: [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]vu,v,u;w,v,u2 rrrrrrr ++++
Solucin: absolutovaloraliguales wyv ,u porodeterminadpedoparalelepdelvolumenEla) rrr
de su producto mixto:[ ] 3u17Volumen17032
203
112
w,v,u ==
=rrr
b) Utilizando las propiedades de los determinantes, tenemos que:[ ] [ ] ( ) 34172w,v,u2w,v,u2 === rrrrrr [ ] primeros).doslosdeelinealmentdependevectortercer(el0vu,v,u =+ rrrr
EJERCICIO 17 :
a) Halla los valores de m para que los vectores
u (0,1,1),
v (-2,0,1) y
w (m,m-1,1) sean linealmenteindependientes.
( ) .3 casoelpara w yv ,u deelinealmentdepende 01,2, vectorelsiEstudiab) =m rrr
Solucin: a) Para que sean linealmente independientes, su producto mixto debe ser distinto de cero:
[ ] 4m0m411mm
102
110
w,v,u ===
=rrr Ha de ser m 4.
unaformanyntes,independieelinealmentsonwyv ,u vectoreslos ,3m Parab)rrr
= base de R3.Por tanto, cualquier vector deR3, en particular (2, 1, 0), depende linealmente de ellos.
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 6
EJERCICIO 18 : Dados los vectores
u (1,2,3),
v (1,1,1) y
w (1, ,5), halla el valor de para que:a) determinen un paraleleppedo de volumen 10. b) sean linealmente dependientes.
Solucin: absolutovaloraliguales wyv ,u porodeterminadpedoparalelepdelvolumenEla) rrr
de su producto mixto:[ ] 6251111321
w ,v ,u =
=rrr
======
== 2421062816210621062Volumen
2,8 :solucionesdosHay 21 == b) Su producto mixto ha de ser cero:[ ] 3062w ,v ,u ===rrr
EJERCICIO 19 : (((( )))) (((( )))) (((( )))) :pidese ,1,2,2w y 12,0,v ,10,1,u vectoreslosDados rrr a) El volumen del paraleleppedo determinado por ellos.
( ) comoexpresarpuedase 6a vectorelquepara devalorel existe,siHalla,b) ,,r
.v yu delinealncombinaci
rr
Solucin:
a) Es igual al valor absoluto de su producto mixto:[ ] 3u4Volumen4122
120
101
w ,v ,u ==
=rrr
elinealmentson vyu( esdependientelinealmentserdehan ayv ,u vectoresLosb) rrrrr independientes);
por tanto, su producto mixto ha de ser cero:[ ] 401236120101
a ,v ,u ===
=rrr
EJERCICIO 20 :(((( )))) (((( )))) (((( )))) elinealmentson 00,1,w y2,3,kv ,2,3,ku vectoreslosqueDemuestraa) rrr independientes,
cualquiera que sea el valor de k .?w yv ,u porodeterminadpedoparalelep delvolumenelesCulb) rrr
Solucin: a) Tenemos que probar que su producto mixto es distinto de cero, sea cual sea el valor dek .
[ ] . todopara 0120012323
w ,v ,u k k k
=
=rrr
b) El volumen es igual al valor absoluto de su producto mixto. Por tanto:Volumen = 12 u3
REPASO
EJERCICIO 21 : ( ) ( ) ( ):,,,,, m m ,, 2w y013v 112u vectoreslosDadosrrr
lares.perpendicusean w yu quepara devalorelHallaa) rrm .v yu formanquenguloelCalculab) rr .v yu determinanquetringulodelreaelHallac)
rr
Solucin: :ceroserdehaescalarproductosulares,perpendicusean wyu queParaa) rr
( ) ( ) 20222,2,1,1,2wu ===== m m m m m m rr
:quetenemos ,vyu formanquenguloal llamamosSib)
rr
''6'2125904,0607
1067
|v||u||vu| o cos ==== rr
rr
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 7
( ) 2u66,11121191
211,3,1
21vu
21reac) =++===
rr
EJERCICIO 22 : ( ) ( ) ( ) Calcula: .123c y120b ,211a vectoreslos osConsideram ,,,,r
rr
,, .b ya determinanquetringulodelreaEla)
rr
.c yb ,a porodeterminadpedoparalelep delvolumenElb) rr
r
Solucin:
( ) ( ) ( ) =++==== 4125212,1,5
211,2,02,1,1
21ba
21reaa)
rr 2u74,230
21
=
b) El volumen es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores:
[ ] 3u11Volumen11123120211
c,b,a ===r
rr
EJERCICIO 23 : (((( )))) (((( )))) (((( )))):k,1,kw y 3,0,2v,1,1,1u vectoreslosDados rrr
a) Halla el valor de k para que el volumen del paraleleppedo determinado por .u11 valga w yv ,u3rrr
.v yu formanquenguloelCalculab) rr
Solucin: a) El volumen del paraleleppedo es igual al valor absoluto del producto mixto de los tres vectores:
[ ] 1k5k1k302
111w ,v ,u =
=
rrr ==
==
==
2k111k5512k111k5
111k5Volumen
:quetenemos ,vyu formanquenguloal llamamosSib) rr
''31'483680,0395
133|5|
|v||u||vu| o==== rr
rr cos
EJERCICIO 24 : Dados los puntos A(-2,0,1), B (1,-3,2), C (- 1, 4, 5) y D (3, 1, -2), calcula:a) El rea del tringulo de vrtices A, B y C .b) El volumen del tetraedro de vrtices A, B , C y D .
Solucin: ( ) ( )4,4,1;1,3,3a) AC AB
( ) ( ) ( ) =++=== 222 1511162115,11,16
21
21rea AC AB 2u27,126022
1==
( ) ( ) ( )3,1,5;4,4,1;1,3,3b) AD AC AB
[ ] 3u136Volumen136315
441133
,, ==
=AD AC AB
EJERCICIO 25 : Sean los puntos A (2, -1, 3), B (-1,5,m), C (m , 2, -2) y D (0, 1,-3). Calcula el valor deun tiene y vectores los por odeterminad pedoparalelep el que sabiendo , AD AC AB m ,
.3u40devolumen
Solucin: ( ) ( ) ( )6,2,2;5,3,2;3,6,3 AD m AC m AB
[ ] =
=
622532m 3m63AD,AC,AB [54 + 2(m -2)(m -3) +60] [- 6(m -3) + 30 - 36(m -2)] = 2m 2 + 32m + 6
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 8
Volumen: V = |2m 2 + 32m + 6| = 40. Dos posibilidades: 2m 2 + 32m + 6 = 40 2m 2 + 32m - 34 = 0 m 2 +16m - 17 = 0
=
==
=
+=
171
21816
232416
26825616
m
m m
2m 2 + 32m + 6 = -40 2m 2 + 32m + 46 = 0 m 2 + 16m + 23 = 0
4182 412162 164162 9225616m ====
Hay cuatro soluciones: 418m;418m;1m;17m 4321 =+===
REPRESENTAR PUNTOS EN EL ESPACIO
EJERCICIO 26 : Representa los puntos siguientes:a) A(2, 3, -4), B (5, 3, 0) y C (0, 0, 4) b)A(0, 5, 2), B (1, 3, 0) y C (2, -3, 1)c) A(0, 0, 2), B (3, 2, 4) y C (4, -1, 3) d)A(0, 3, 1), B (0, 3, 0) y C (1, -2, 4)
Solucin:
APLICACIONES DE LOS VECTORES
EJERCICIO 27 : Los puntos A(3, 0, 2), B (5, -1, 1) y C (-2, 3, 1) son vrtices consecutivos de unparalelogramo. Obtn el cuarto vrtice y el centro del paralelogramo.
Solucin:
( ):z,y,xD Si .DCAB quetieneseamo,paralelogrundetrataseComo ==(2,-1,-1)=(-2-x ,3-y ,1-z ) de donde: x = -4, y = 4, z = 2 D (-4, 4, 2)El centro del paralelogramo es el punto medio de una de las dos diagonales, as:
=23
,23
,21
M
EJERCICIO 28 : Halla las coordenadas de los puntos P y Q que dividen al segmento de extremosA(3,-1, 2) y B (-2, 2, 4) en tres partes iguales.
Solucin:
AB = 3AP (-1,3,2) = 3(x-3, y+1, z-2) P(x,y,z) =
38
,0,38
Q = Pto_medio PB =
=
++
310
,1,32
2
438
,2
20,
2
238
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7/30/2019 ejercicios resuelto de vectores
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Tema 5 Vectores Ejercicios resueltos Matemticas II 2 Bachillerato 9
EJERCICIO 29 : Dos de los vrtices de un paralelogramo son los puntos A(3, 0, -1) y B (2,-2, 3). Elcentro del paralelogramo est en el punto M (1, 2, -1). Halla los otros dos vrtices.
Solucin:
Llamemos C = (x 1, y 1, z 1) y D = (x 2, y 2, z 2).
C es el simtrico de A respecto de M , por tanto: ( )1,4,1C
1z12
z1
4y22
y0
1x12
x3
11
11
11
=
==+
==+
==+
D es el simtrico de B respecto de M . As: ( )5,6,0D
5z12
z3
6y22
y2
0x12
x2
22
22
22
=
==+
==+
==+
EJERCICIO 30 : Calcula el valor de a para el cual los siguientes puntos estn alineados:A(2, a, 0), B (6, 5, 2), C (8, 7, 3)
Solucin: tengan yvectoreslosquesiemprealineadosestn y,puntosLos BC AB C B A
la misma direccin. Esto ocurre cuando sus coordenadas son proporcionales:
2302
57a5
6826
=
= 1a4a52
2a5
===
EJERCICIO 31 : Halla el simtrico,P ', del punto P (2, 1,-3) respecto de Q (3, 5, 1).
Solucin:
Llamamos P '( ,, ),de manera que: ( )5,9,4'P
5123
952
1
432
2
= = +
==+
==+