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.
Definicin:Dosomstrminossonsemejantescuandotienenlasmismasletrasyafectadasporelmismoexponente.
Reduccindedostrminossemejantesdelmismosigno
Procedimiento
Para reducir trminos semejantes con el mismo signo se suman los
coeficientes de todos los trminos y se antepone al coeficiente total el
mismosignoquecomparten,yacontinuacinseescribelaparteliteral.
Reducir:
1. x
+2x.
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson1y2.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesx.
1+2=3; x+2x=3x.
2. 8a+9a
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson8y9.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesa.
8+9=17; 8a+9a=17a.
3. 11b+9b
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson11y9.Laparte
literaligualentodoslostrminosesb.
11+9=20; 11b+9a=20b.
4. b 5b.
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel .Loscoeficientesdelostrminosson 1y5.
Laparteliteraligualentodoslostrminoses b.
1+5=6; b 5b=6b.
5. 8m m
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel .Loscoeficientesdelostrminosson 8y1.
Laparteliteraligualentodoslostrminoses m.
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8+1=9; 8m m=9m.
6. 9m 7m
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel .
Loscoeficientesdelostrminosson 9y7.
Laparteliteraligualentodoslostrminoses m.
9+7=16; 9m 7m=16m.
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Reduccindedostrminossemejantesdedistintosigno
Procedi miento
Para reducir dos trminos semejantes de distinto signo, se halla la
diferencia entre los coeficientes de los trminos, colocando antes de esta
diferenciaelsignodelcoeficientemayor(envalorabsoluto)yacontinuacin
seescribelaparteliteral.
Nota:dostrminossemejantesconigualcoeficienteydistintosignoseanulan.
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Reduccindemsdedostrminossemejantesdesignosdistintos
Procedimiento
Para reducir un polinomio con ms de dos trminos semejantes y con signos
distintos,seprocedeas:
1)Sereducenaunsolotrminotodoslospositivos.
2) Sereducenaunsolotrminotodoslosnegativos.
3) Secalcula ladiferenciaentre loscoeficientesdelostrminoshalladosen losdos
pasosanteriores.
4)Elsignoqueprecederladiferenciahalladaenel pasoanteriorserelquetenga
elcoeficientemayorenvalorabsolutodelostrminoshalladosenlospasos(1)y(2).5)Porltimo,seescribelaparteliteral.
Reducir:
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Reduccindetrminossemejantes
Reduccindeunpolinomioquecontengatrminossemejantesdediversasclases
Procedimiento
1. Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en un mismo
parntesis
2. Sereducenlostrminossemejantes
3. Sedalarespuesta,ordenandoelpolinomioresultante
Nota:
recordemos
que
los
trminos
semejantes
son
aquellos
que
tienen
las
mismas
letras
y
afectadas
por
los
mismos
exponentes
Reducirlospolinomiossiguientes:
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Productosnotables
a)Cuadradodelasumadedoscantidades
Proced
im
iento
1. Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio
2. "El cuadradode lasuma de doscantidadeses igual a, el cuadrado de la
primera cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por la
segunda,mselcuadradodelasegundacantidad"
3. Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2
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b)Cuadradodeladiferenciadedoscantidades
Procedimiento
1. Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio
2. "Elcuadradodeladiferenciadedoscantidadesesiguala,elcuadradode
laprimeracantidad,menoseldobleproductodelaprimeracantidadpor la
segunda,mselcuadradodelasegundacantidad"
3. Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2
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c)Productodelasumaporladiferenciadedoscantidades
Procedimiento
1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al
cuadradodelminuendomenoselcuadradodelsustraendo"2. Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.
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d)Cubodeunbinomio
Procedimiento
1. Sedesarrollaelparntesis,observandosisetratadelcubo,delasumao
ladiferenciadedoscantidades;enelprimercasoseprocedecomoindicael
paso2,enelsegundocasoseaplicaelenunciadodelpaso3:
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera
cantidad ms el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, ms el
triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de la
segunda"
3. "Elcubodeladiferenciadedoscantidadesesigualalcubodelaprimera
cantidadmenoseltriplodelcuadradode laprimeraporlasegunda,msel
triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la
segunda"
4. Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.
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e)Productodedosbinomiosdelaforma(x+a)(x+b)
Procedimiento
1. Eldesarrollodelosparntesisdauntrinomio
2. Elprimertrmino ser elcuadradodelprimertrminode losparntesis
(igualenambos)
3. El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminos
independientesporelprimertrminocomndelosparntesis
4. Eltercertrminoserelproductodelostrminosindependientes
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Ejerciciosvarios.
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e)Factorcomn
Procedimiento
1. Seidentificaelfactorcomn
2. Sedividecadatrminodelpolinomioporelfactorcomn
3. Seescribeelfactorcomnyacontinuacin,dentrodeunparntesis,los
cocienteshalladosenelpasoanterior(cadaunoprecedidodesurespectivo
signo)
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f)Factorcomnporagrupacindetrminos
Procedimiento
1. Seagrupanlostrminosconvenientemente,utilizandoparntesis
2. Sesacafactorcomndecadaunodelosparntesis
3. Serealizaunasegundafactorizacin(elfactorcomnser,enestecaso,elparntesis
Factorizarodescomponerendosfactores:
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g)Trinomiocuadradoperfecto
Definicin : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos
factoresiguales.
Procedimiento
1. Seordenaeltrinomio
2. Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos3. Sehallaeldobleproductodelasracesobtenidasenelpasoanterior
4. Sielproductohalladoenelpasoanterioresigualalsegundotrminodel
trinomioysielprimeroytercertrminos tienen igualsigno,se tratadeun
trinomiocuadradoperfectoyseFactorizarcomotal.
5. Se escribe dentro de un parntesis las races cuadradas del primer y
tercertrmino,separadasporelsignodelsegundotrmino,yelparntesis
elevadoalcuadrado.
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h)Diferenciadecuadradosperfectos
Procedimiento
1. Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo
2. Seabrendosparntesis
3. Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,
delasraceshalladasenelpaso1.
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i)Diferenciadecuadradosperfectos(casoespecial)
Procedimiento
1. Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo
2. Seabrendosparntesis
3. Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,
delasraceshalladasenelpaso1.
4. Sereduce,sieselcaso
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j) Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinacin de estos dos
casos)
Procedimiento
1. Seidentificaeltrinomiocuadradoperfecto(olos...)
2. Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfecto
3. Sefactorizaladiferenciadecuadradosresultante
4. Sereduce,sieselcaso
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k)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin
Procedimiento
1. Seordenaeltrinomio
2. Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos
3. Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior
4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo
trminodeltrinomio
5. Se suma o resta, segn el caso, la cantidad necesaria para crear el
segundotrminodeltrinomiocuadradoperfecto
6.
Se
resta
o
se
suma
la
misma
cantidad
que
se
sumo
o
restoen
el
paso
anterior,paraqueelvalordelaexpresinnosealtere
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l)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin
Factorizarunasumadedoscuadrados
Procedimiento
1. Seextraelarazcuadradadeambostrminos
2. Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior
3. Sesumayserestaelproductohalladoenelpasoanterior
4. Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectoasformado
5. Sefactorizaladiferenciadecuadrados
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Procedimiento
1. Seordenaeltrinomio
2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir un
binomio
3. Sesacalarazcuadradadelprimertrminodeltrinomio,estarazserel
primertrminodecadaunodelosparntesis
4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundo
signodeltrinomio
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo ytercer trminos del trinomio; ste ser el signo que separe el binomio del
segundoparntesis
6. Si los signos son iguales, se buscan dos nmeros cuya suma sea igual al
coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea igual al
tercertrminodeltrinomio
7. Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea
igual al coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea
igualaltercertrminodeltrinomio
8. Elmayordelosnmeroshalladosenunodelospasosanterioresserel
segundo trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el
segundotrmino
del
segundo
parntesis
9. Si el tercer trmino es un nmero muy grande se descompone en sus
factoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlos
pasos7y8
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Casosespeciales
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Procedimiento
ParaFactorizarestaclasedetrinomiossellevaalaforma ysefactoriza
1. Semultiplicaydivideeltrinomioporelcoeficientedelprimertrmino,estoespora
2. Seescribeeltrinomiodeunaformaadecuada(delaformax2+bx+c)
3. Seabrendosparntesis,encadaunodeloscualesseescribirunbinomio
4. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primertrminodecadaunodelosparntesis
5. Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparntesisserelsegundosignodeltrinomio
6. Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoytercertrminos
deltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodelsegundoparntesis
7 Si lossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualalcoeficientedel
segundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrminodeltrinomio
8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual al
coeficientedelsegundotrmino deltrinomio ycuyo productosea igualaltercertrmino
deltrinomio
9. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundo
trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el segundo trmino delsegundoparntesis
10. Sieltercertrminoesunnmeromuygrandesedescomponeensusfactoresprimos
parafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y8
11.Sefactorizanlosparntesisquetenganfactorcomn
12.Sesimplifica
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Factorizarunaexpresinqueeselcubodeunbinomio
Procedimiento
Eldesarrollodelcubodeunbinomioes:
En esta clase de ejercicios se nos da una expresin como el miembro derecho de las
identidadesanteriores,esdeciruncuadrinomio;ydebemosconstatarsisetratadeun
cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones
anteriores);paralocualdebemosproceder:
1. Seordenaelcuadrinomioenformadescendenteoascendenterespectoaunaletra
2. Seextraelarazcbicadelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomio
3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivonegativo
positivonegativo
4. Se triplica el cuadrado de la raz cbica del primer trmino por la raz cbica del
cuartotrminoysecomparaconelsegundotrminodelcuadrinomiodado
5. Se triplica la raz cbica del primer trmino por el cuadrado de la raz cbica delcuartotrminoysecomparaconeltercertrminodelcuadrinomiodado
6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del
desarrollodelcubodeunbinomioysefactorizacomotal:dentrodeunparntesisse
escribenlasracescbicasdelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomioyseparadas
porelsignomsoporelsignomenos,segnelcaso;yseelevaalcuboelparntesis
7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del
desarrollodelcubodeunbinomioynosepuedefactorizarcomotal
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Sumaodiferenciadecubosperfectos
Procedimiento
1. Seabrendosparntesis
2. Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia,segnelcaso,
delasracescbicasdelosdostrminos
3. Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos
(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproducto
delaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz
Descomponerendosfactores:
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Casosespeciales
Procedimiento
1. Seabrendosparntesis
2. En elprimer parntesis se escribe la suma o ladiferencia,segnel caso, de lasracescbicasdelosdostrminos
3. Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(sies
unasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimera
razporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz
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Combinacindecasosdefactores
Descomposicindeunaexpresinalgebraicaentresfactores
Procedimiento
1. Sesacaelfactorcomn
2. Sefactorizalaexpresinresultante,aplicandoelmtododefactorizacin
requerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos de
factorizacin:Ejercicios89a110)
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Descomponerentresfactores:
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Descomposicindeunaexpresinalgebraicaencuatrofactores
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Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin
P r o c e d i m i e n t o Recordemos que "un polinomio entero y racional enx, que se anula parax=a, es
divisible porx - a" (Corolario del Teorema del residuo)
1. Sacamos los divisores del trmino independiente2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el
paso anterior
3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero):hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es,x - a
4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "Divisin sinttica"
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Ejerciciosvarios sobrela descomposicinenfactores
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ParacualquierpolinomioquetengaracesenterassepuedeaplicarlaregladeRuffini:Decirque
un polinomio tienes races enteras es encontrarvalores de x nmerosenteros que al sustituirlos
enelpolinomionosdacero.
Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado , tiene cuatro races
enteras,,, , , sefactoriza
Perocmoseobtienenlasraces?,porlaregladeRuffini
Ejemplo:Factorizar 4 16 12
SeaplicalaregladeRuffini,probandolosdivisoresdeltrminoindependiente,enestecasode12.
Oseaquesepruebacon1, 1,2, 2,3, 3,4, 4,6, 6,12y12
Probemosconuno
Secopianloscoeficientesdelpolinomio:
1 4 1 16 12
Yseescribeenunasegundalneaelnmerouno
1 4 1 16 12
1
Elprimercoeficientesecopiaabajoenunaterceralnea
1 4 1 16 12
1
1
Semultiplicaesecoeficiente,uno(1),porelnmeroqueestamosprobando,enestecasotambin
uno(1),oseaunoporuno=uno(1).Esteunoseescribedebajodelsiguientecoeficiente,oseadel
4
1 4 1 16 12
1 1
1
Sesuma4+1=3
1 4 1 16 12
1 1
1 3
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Semultiplica3por1=3yseescribedebajodelsiguientecoeficiente, 1
1 4 1 16 12
1 1 3
1 3
Sesuma31=4yassucesivamente
1 4 1 16 12
1 1 3 4 12
1 3 4 12 0
Como vemos la ltima suma ha dado cero. Eso quieredecir que uno es una raz del polinomio y
quenossirveparaFactorizar.
Sihubieradadodistintodecerohabraqueseguirprobandolosdemsdivisoresde12.
Loscoeficientesquehanquedadoenlaltimafila,enrealidadsonloscoeficientesdelcocientede
dividirelpolinomioentrex1,ylaltimasumaeselrestodedichadivisin.
Siescribimoslarelacinfundamentaldeunadivisinentera,oseaque
Dividendo=DivisorxCociente+Resto
4 16 12 1 3 4 12
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que
intentarseguirfactorizando,denuevoporlaregladeRuffini.
Aplicandosucesivasvecesestareglaqueda:
1 4 1 16 12
1 1 3 4 12
1 3 4 12 0
2 2 2 12
1 1 6 0
2 2 6
1 3 0
Comolasracesson,1,2y2yelltimococienteesx3
Lafactorizacinfinales: 4 16 12 1 2 2 3
Sienlassucesivaspruebasnoencontramosningnrestocero,quieredecirqueelpolinomionose
puedefactorizardentrodelosnmerosreales.
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Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumaoladiferenciadelas
cantidades
Procedimiento
1. Factorizamosladiferenciadecuadradosenelnumerador
2. Simplificamos.
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Cocientedelasumaodiferenciadeloscubosdedoscantidadesentrelasumaodiferenciade
lascantidades
Procedimiento
1. Factorizamos la diferencia o la suma, segn el caso, de cubos en el
numerador
2. Simplificamos.
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