Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

1.- Considere y .

a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección.

Solución:

b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas.

Solución:

Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.

Lo podemos hallar con:

2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos , son coplanarios.

Solución:

3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos y

viene dada por la fórmula:

Solución:

La distancia entre ambos planos y vendrá dada por la distancia de a , donde:

4.- Considere el plano dado por y la recta de ecuación

. Determine el valor de tal que el plano y la recta sean paralelas.

Solución:

5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del plano y el punto .

Solución:

6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono y el paraboloide

.

Solución:

7.- Determine el valor de , si y .

Solución:

8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una

partícula desde el punto al a lo largo de la curva .

Solución:

9.- Calcule la integral de línea , siendo el contorno de la

región rectangular cerrada, con vértices en los puntos y .

Solución:

10.- Demuestre que:

Solución:

11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por y . Encuentre el área del triangulo .

Solución:

12.- Considere los planos . Encuentre las ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.

Solución:

13.- Sean y , las ecuaciones de una recta y un

plano respectivamente.

a) Encontrar

Solución:

b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por , y es perpendicular a .

Solución:

14.- Encontrar sabiendo que: y .

Solución:

15.- Dados los planos Encuentre la ecuación vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos y

Solución:

16.- Dada la curva y el punto . Hallar la ecuación de la

recta tangente en dicho punto.

Solución:

17.- Dados los vectores . Encuentre el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes .

Solución:

18.- Si los vectores y forman entre si un ángulo de grados y . Calcule de

modo que sea perpendicular a .

Solución:

19.- Calcular la distancia entre los dos planos:

Solución:

Los planos son paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto del plano :

Del plano sabemos que:

20.- Calcular la distancia entre el punto y la recta .

Solución:

21.- Hallar la curvatura de en e .

Solución:

Derivando implícitamente respecta a :

Derivando implícitamente respecto a x de nuevo:

Cuando e :

Así, reemplazando en la fórmula:

22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por , donde se

muestra en la figura:

a) Usando el cambio de variables: , graficar el dominio del plano

Solución:

Haciendo el cambio de variable, tenemos:

Observe que la transformación dada es la inversa de .

b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular usando las variables

Solución:

23.- Encontrar el volumen del sólido limitado por:

Solución:

24.- Sea . Demuestre que es independiente de

la trayectoria que pasa por dos puntos dados.

Solución:

25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano y el

cilindro .

Solución:

26.- El área de una hoja es de . Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado con márgenes de a ambos lados y arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y el ancho que maximizan el área del texto.

Solución:

27.- Sea . Calcule .

Solución:

28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas , ,

.

Solución:

29.- Si , donde ; y tiene derivadas parciales continuas de segundo

orden, pruebe que:

Solución:

30.- Calcule el máximo de la función sobre la curva de intersección

del plano con el cilindro .

Solución:

Así,

31.- Cambie el orden de integración y calcule la siguiente integral:

Solución:

32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas la integral:

Solución:

33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la función en el

punto en la dirección que va desde hasta el punto .

Solución:

34.- Si , determine el valor de la expresión:

Solución:

35.- Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones y en el punto .

Solución:

36.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto .

Solución:

37.- Encuentre los valores extremos de la función si está en la elipse

.

Solución:

38.- Use integrales triples para calcular el volumen del sólido que está dentro del cilindro

y en el elipsoide .

Solución:

39.- Considere la función . Determine el o los máximos y mínimos si es que existen de la función dada.

Solución:

Puntos críticos:

Evaluando:

40.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la

frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas y

.

Solución:

41.- La ecuación de estado de un Gas Ideal está dada por , donde y son constantes. Considere el volumen como una función de la tempratura y la presión .

a) Calcule

Solución:

b) Demuestre que

Solución:

42.- Sea . Calcule la integral usando el

cambio de variable .

Solución:

Así, el cambio de variable transformará la región del plano , encerrada por las rectas dadas en la región del plano encerrada por .

43.- Hallar el volumen de la región sólida formada por la intersección de la esfera

con el cilindro .

Solución:

44.- Demuestre que:

Solución:

45.- Calcular el área de la superficie dada por:

Solución:

46.- Si y entonces:

Solución:

47.- Hallar la máxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos .

Solución:

48.- Determine el volumen del sólido limitado por las curvas .

Solución:

49.- Encuentre el volumen de la región limitada por el plano y el paraboloide

.

Solución:

50.- Calcular el área comprendida entre las curvas

Solución:

51.- Sea , donde y . Determinar

el valor de la integral.

Solución:

52.- Determinar el área de la superficie de la esfera interior a

.

Solución:

53.- Sea . Encuentre el plano tangente, si existe, a la

superficie en el punto .

Solución:

Como y son funciones diferenciables en , entonces es

diferenciable en (sus derivadas parciales existen y son continuas).

Luego es diferenciable en y:

Así, el plano tangente a en está dado por:

54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de en el punto en la

dirección de la normal exterior a la esfera , donde

.

Solución:

55.- Permutar el orden de integración de:

Solución:

56.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por

. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son

continuas. Demuestre que:

Solución:

57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y resuelva:

Solución:

58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva orientada de manera positiva:

Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva con .

Solución:

Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:

Aquí:

Se tiene:

59.- Determine el volumen del sólido que está encima del cono y debajo de la esfera

.

Solución:

60.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la integral.

Donde es cualquier trayectoria que va desde – hasta .

Solución:

Es decir, existe con . Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:

Integrando con respecto a se tiene:

Se tiene:

61.- Dadas las funciones . Demostrar que las ecuaciones diferenciales

y se pueden escribir en coordenadas polares como:

Solución:

62.- Calcular la derivada direccional de en el en la máxima dirección.

Solución:

63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano con un vértice en el origen. Determinar el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano

.

Solución:

64.- Sea

a) Demuestre que es un campo conservativo

Solución:

b) Encuentran el potencial escalar

Solución:

c) Calcule donde está dada por:

Solución:

65.- Calcule , donde es la frontera de la región situada entre las

gráficas de y .

Solución:

66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada trozo de modo que la suma de las áreas de las figuras geométricas sea mínima.

Solución:

67.- Sea . Determine el valor de , si existen, de modo que:

Solución:

68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral , donde

es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por y en el exterior del cuadrado limitado por .

Solución:

69.- Calcular para , y la región sólida acotada por

los planos coordenados y el plano .

Solución:

70.- Calcular para y la porción del

primer octante del plano .

Solución:

71.- Dada una curva en el espacio por las ecuaciones paramétricas

hállese la ecuación del plano que pasa por el punto de la curva y que es

perpendicular a la tangente a la misma en dicho punto.

Solución:

72.- Una placa circular, cuyo contorno es , se calienta de tal modo que la

temperatura en el punto es . Determine los puntos más calientes y más fríos de la misma y hállese la temperatura en cada uno de ellos.

Solución:

73.- Determine el volumen del sólido cuya base es la región del plano que limitan la

parábola y la recta , mientras que su tejado es el plano .

Solución:

74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano en cierta región del plano se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:

Dibuje la región y exprese mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el orden de integración.

Solución:

75.- Calcular , siendo y la superficie

del cono encima del plano .

Solución:

76.- Calcular la integral , donde pertenece a

.

Solución:

77.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:

Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple convexa.

Solución:

Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:

78.- Calcular , en que y es la frontera de la

región .

Solución:

Por teorema de la divergencia:

Pero:

Aplicando coordenadas esféricas:

79.- Sea en que y , demuestre que:

Solución:

Por teorema de Stokes:

Pero:

Análogamente:

80.- Dada la función byaxeyxuz += ),( y 02

=∂∂

∂yx

u, halle los valores de la constante a y b,

tales que 02

=+∂∂

−∂∂

−∂∂

∂ zyz

xz

yxz

.

Solución:

byaxbyaxbyaxbyax

byaxbyax

byaxbyax

eyuae

yxue

xubeyxabu

yxz

eyueyxub

yz

exueyxua

xz

++++

++

++

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

+=∂∂

∂

∂∂

+=∂∂

∂∂

+=∂∂

22

),(

),(*

),(*

Por lo tanto

]

∂∂

−+∂∂

−++−−=

+∂∂

−−∂∂

−−∂∂

+∂∂

+=

+∂∂

−−∂∂

−−∂∂

+∂∂

+=

+∂∂

−∂∂

−∂∂

∂

+

+

++++++++

yua

xububaabe

uyubu

xuau

yua

xubabue

ueeyubuee

xuauee

yuae

xubabue

zyz

xz

yxz

byax

byax

byaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyax

)1()1()1(

)(

2

Por lo tanto,

01)1()1()1)(1(111

=+−−=+−−==

baabba

81.- Determine los valores extremos de la función xzyzxyzyxf ++=),,( sobre la esfera

.3222 =++ zyx

Solución:

Sea )3( 222 −+++++= zyxxzyzxyF λ

(i.) 02 =++=∂∂ xzy

xF λ

(ii.) 02 =++=∂∂ yzx

yF λ

(iii.) 02 =++=∂∂ zxy

zF λ

(iv.) 03222 =−++=∂∂ zyxFλ

De (i.) –(ii.):

yxSixy

yxxy

=≠−=−−−

=−−+021;0)21()21(

022λλλ

λλ

De (i.)-(iii.)

xzSixz

zxxz

=≠−=−−−

=−−+021,0)21()21(

022λλλ

λλ

Reemplazando en (iv.): 03222 =−++ xxx

111

±=±=±=

zyx

Max: 3)1,1,1( =±±±F

Min: 2)1,1,1( −=±±±F

82.- Halle el valor de la integral ∫∫∫R

dzdydxzyx 22 con R definido por

10,122 ≤≤≤+ zyx .

Solución:

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫

∏

=

∏

= = =

∏

= = =

=

=

=

2

0

22

2

0

1

1

1

0

225

22

0

1

1

1

0

222

cos21*

61

cos

)()()()cos(

θ

θ ρ

θ ρ

θθθ

θρθθρ

θρρθρθρ

dsen

dddzzsen

dddzzsendzdyzdxyx

z

zR

De 22cos θθθ sensen =

Tenemos 4

2cos2

22 θθθ sensen =

De 2

2cos12 αα −=sen

Tenemos: 2

4cos122 θθ −=sen

Por lo tanto, θθθθ 222

cos8

4cos14

2 sensen=

−=

[ ]48

2961

84cos1

121 2

0

∏=∏=

−= ∫

∏

θθ d

83.- Calcule la integral ∫∫S

dSnF

* con )2,,( zyxF =

y S es la superficie externa del sólido

acotado por .0122 =−=+ zyzyx

Solución:

∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫=⋅∇=⋅

=++=⋅∂∂

∂∂

∂∂

=⋅∇

S R R

dvdvFdsnF

zyxzyx

F

4

4211)2,,(),,(

∏=

−∏=

−∏⋅=

=

∫

∫ ∫ ∫

=

∏

= =

−

=

241

218

)1()2(4

4

1

0

2

2

0

1

0

1

0

2

ρ

θ ρ

ρ

ρρρ

θρρ

d

dddzz

84.- Calcule la integral de línea ∫ +C

xyxy dyxedxye , donde C es la curva formada por los

siguientes segmentos de rectas:

Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2( −→−→−−→−−→−→−→→Punto Final

Solución:

Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que

),()( xyxyxyxy yey

xyeexex ∂

∂=+=

∂∂

se tiene que la integral de línea es independiente de la

trayectoria, y por lo tanto:

22

1

1

2 12e

edte

dyxedxyedyxedxye

t

xy

C

xy

C

xyxy

+−=−=

+=+

∫

∫∫

−

+

Donde 11),,2()(:* ≤≤−= tttC γ

85.- Qué puede decir de ∫∪

+*

,CC

xyxy dyxedxye donde .11,2)(:* ≤≤−+= tjtitrC

Solución:

La integral de línea es nula, ya que

0)(* rConservadoCampoDdeGreenTeorema

xy

CC

xy dAyP

xdyxedxye =

∂∂

−∂∂

=+ ∫∫∫∪

θ

Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada *CC ∪ y xyxy xeyxQyeyxP == ),(,),(

86.- Calcular ∫ ⋅C

dsnF

donde kxyjxyixzF

32 ++= y C es la frontera de la parte del

plano 33 =++ zyx que está en el primer octante.

Solución:

Por Teorema de Stokes, se tiene que:

dARygQ

xgPdsnFrotdrF

C S D∫ ∫∫ ∫∫

+

∂∂

−∂∂

−=⋅=⋅

Donde ),(33: yxgyxzS =−−= orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer

octante. D es la proyección de S en el plano xy

RQPkyjyxixFrot

2)3(3 +−+=

)92339(21)9

369

278(

21

)96978(21)91896060(

21

)2

)9189(3030()2

)33()33(10(

)2

10()10(

)10(

3232

1

0

1

0

222

1

0

22

1

0

2

1

0

21

0

33

0

xxxxxx

dxxxdxxxxx

dxxxxxdxxxx

yxydxdyyx

dAyxdrF

xC D

−−=−−=

−−=−+−−=

+−−−=

−−−=

−=−=

−=⋅∴

∫ ∫

∫∫

∫∫ ∫

∫ ∫∫−

27)92339(

21

=−−=

87.- Determinar el valor de la integral , donde es la región limitada por el

cilindro y los planos , arriba del plano .

Solución:

88.- Evaluar, usando algún tipo de coordenadas, la integral:

Solución:

89.- Dado el campo vectorial . ¿Es posible

afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?

Solución:

90.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a

lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evalúe sin utilizar una función de potencial.

Solución:

91.- Si y , donde α es constante, mostrar que:

Solución:

92.- Dada la elipse con centro en el origen. Encuentre los puntos más alejados del origen, determinando así su eje mayor.

Solución:

93.- Calcular:

Solución:

94.- Determinar el volumen del sólido limitado superiormente por , lateralmente

por , y debajo por el plano .

Solución:

95.- Calcular la integral para y .

Solución:

Usando el teorema de la divergencia, se tiene:

96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie en el punto .

Solución:

Sea . Entonces, el vector es normal a la superficie . En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto

, es .

97.- Dada , hallar el valor de la expresión .

Solución:

98.- Resolver la integral doble .

Solución:

99.- Determinar el valor de la integral , donde es la frontera de

la región encerrada por .

Solución:

100.- Hallar el valor de la integral , donde

y es la superficie de la esfera de centro el origen y radio .

Solución: