EJERCICIOS RESUELTOS DE CONJUNTOS CONVEXOS

a. S3= {( x , y )∈R2/ x+2 y≤0}

Solución

Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite x+2 y=0

(Ecuación de una recata de pendiente - 12

).

Definimos la expresión x+2 y=0 como el límite del conjunto S3. Para su gráfica es

calculemos los valores para y cuando x = 0 y x =2 como aparece a continuación: Si x = 0, entonces 0+2 y=0, de donde y=0.

Para cuando x =2, entonces 2+2 y=0. Luego 2 y=−2, de donde y=−22

=−1. Por lo que

y=−1. Así, tenemos los puntos de la recta (0 ,0 ) y (2 ,−1).

La gráfica correspondiente es: Para saber cuál es exactamente el recito de esta tómese un punto que no pertenezca a la recta, esto es, ( 3, -5). Remplazando los valores de x e y en la ecuación de la recta en estudio: x + 2y =3 + 2(-5)= 3 -10 = -7 cumple con la condición del conjunto dado. Por lo tanto el conjunto se sitúa en la parte del plano donde esta el punto escogido, como se muestra en la gráfica siguiente:

Tomemos dos puntos de este conjunto S3, (-7, 1) y (2, -3) y tracemos el segmento correspondiente a estos puntos, se observa que queda totalmente contenido en el conjunto. Lo cual demuestra que es un conjunto convexo. Ver gráfica correspondiente.

Grafica del conjunto S representado por la zona de color verde, por lo qu el conjunto es convexo.

b. S= {( x , y )∈R2/ x∈R˄ y∈R }

Solución

Sean v1=(x1 , y1 ) y v2=(x2 , y2 )∈R2 y para cualquiera α∈ [ 0 ,1 ], veamos si z=∝ v1+(1−∝ ) v2 ∈R2.

En efecto: como α∈ [ 0 ,1 ] y ∝ x1 y ∝ y1 son elemento de R, (por que el producto de números reales es otro número real). Además, (1−∝) y1 y (1−∝) y2 son también números reales.

Luego (∝ x1 ,∝ y1)∈R2 y ( (1−∝ ) x2 , (1−∝ ) y2 )∈R2, entonces

(∝ x1 ,∝ y1 )+( (1−∝ ) x2 , (1−∝) y2 )∈R2, la suma es cerrada en R2

Pero (∝ x1 ,∝ y1 )=∝ (x1, y1 )y ( (1−∝ ) x2 , (1−∝ ) y2 )= (1−∝ )(x2 , y2) por propiedad de los vectores.

Así (∝ x1 ,∝ y1 )+( (1−∝ ) x2 , (1−∝) y2 )=∝ (x1 , y1 )+(1−∝ ) (x2 , y2 )

¿∝ v1+ (1−∝ ) v2, lo que prueba que z=∝ v1+(1−∝ ) v2∈R2.

Así R2 es un conjunto convexo.

c. S4={( x , y )∈R2/ x≥0 y≥0 }

Solución

Representemos gráficamente el conjunto, para ello dibujamos el límite x=0 y y¿0 (Ecuaciones de una recta vertical o recta horizontal respectivamente). Tomemos un punto que no este en la recta, por ejemplo: (-1, 2). En este caso x=-1, entonces el conjunto esta ubicado del lado izquierdo del eje Y, identificado con el color azul.

Ahora tomemos un punto que no esté en la recta y =0, (2, -3), de donde y =-3 y por lo tanto el conjunto esta situado por debajo deleje X, correspondiéndole el color amarillo.

La intersección de los dos subconjuntos es el cuadrante de color verde.

Tomemos dos puntos del conjunto S4, sean (2,3) y (4,5) y tracemosel segmento que los une. Lo cual queda registradoen la siguiente gráfica:

Por lo tanto el conjunto S4 es convexo.