Ejercicios Resueltos de Conjuntos Convexos
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EJERCICOS RESUELTOS DE CONJUNTOS CONVEXOS
Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cuáles son convexos;
a. S1= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≤4 }
Solución
Si lo hacemos gráficamente, representemos el conjunto. Para ello dibujamos el límite x2+ y2=4=22 (circunferencia de radio 2).
Definimos la expresión:x2+ y2=4
Y lo representamos como aparece:
Ahora determinemos en que lado de la circunferencia se sitúa el conjunto.
Tomemos un punto fuera de la circunferencia, por ejemplo (3,3). Y comprobemos si cumple la condición que impone el conjunto este punto.
32+32=9+9=18≤ 4
Evidentemente no la cumple y por lo tanto el conjunto se sitúa hacia adentro de la circunferencia.
Tomemos los puntos (1, -1) y (2,0) que pertenecen al conjunto según lo muestra la siguiente gráfica y segmento que los une queda totalmente contenido en el círculo. Así gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de S1 , el segmento que los está
totalmente contenido en dicho conjunto.
Por lo tanto el conjunto S1 es convexo.
b. S1= {( x , y )∈R2/ x2+ y2≥4 }
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Solución
Representemos gráficamente el conjunto. Para ello dibujamos el límite x2+ y2=4=22 (circunferencia de radio 2).
Definimos la expresión:x2+ y2=4
Y su gráfica es como aparece a continuación:
Ahora determinemos en que lado de la circunferencia se sitúa el conjunto.
Tomemos un punto fuera de la circunferencia, por ejemplo (1,-1). Y comprobemos si cumple la condición que impone el conjunto este punto.
12+(−1)2=1+1=2≤4
Evidentemente no lo cumple y por lo tanto el conjunto se sitúa hacia afuera de la
circunferencia, representado con el color azul.
Tomemos los puntos (-2, 1) y (2,1) que pertenecen al conjunto según lo muestra la siguiente gráfica y segmento que los une queda totalmente contenido en el
círculo. Así gráficamente para cualquier par de puntos (x, y) de S1 , el segmento que los
une no está totalmente contenido en dicho conjunto. Por lo tanto el conjunto S1 NO es convexo.
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