Ejercicios Resueltos de Media

ESTADISTICA DESCRIPTIVA. Problemas resueltos de media, mediana y moda. Ing. Ramn Morales Higuera 2013

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EJERCICIOS RESUELTOS DE MEDIA, MODA Y MEDIANA Y OTROS

1. Sea una distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla

datos Xi

frec. Absoluta

fi

61 5

64 18

67 42

70 27

73 8

100

Calcular : la media , medina y moda

Solucin: primero se calcula las columnas de: Xi.fi y de las frecuencias acumuladas Fa

datos Xi

frec. Absoluta

fi Xi.fi Frec acumu

Fa

61 5 305 5

64 18 1152 23

67 42 2814 65

70 27 1890 92

73 8 584 100

100 6745 El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 6745, con esta

informacin y usando la frmula :

calculamos la Media o el promedio

aritmtico

Para calcular la mediana , usamos la expresin

para calcular el trmino

central , por lo tanto

esto nos indica que la mediana esta entre el

lugar 50 y 51 ,observando la tabla anterior podemos observar que los datos que estn en

los lugares 50 y 51 es el nmero 67. Por lo tanto la

Como la moda es el dato que ms se repite la moda

2. Calcular la media, la mediana y la moda de los siguientes datos :

5 3 6 5 4 5 2 8 6 5 4 8 3 4 5 4 8 2 5 4


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Solucin. Como los datos se encuentran desordenados, el primer paso es ordenar los

datos y agruparlos en frecuencias :

Datos ordenados de menor a mayor

2 2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 8 8 8

Estos datos se agrupan en frecuencias y se calcular los valores de Xi.fi y la frecuencia

acumulada Fa.

datos agrupados en frecuencias

datos frec

absol

Frec acum

Xi fi Xi.fi Fa

2 2 4 2

3 2 6 4

4 5 20 9

5 6 30 15

6 2 12 17

8 3 24 20

20 96 El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 96, con esta informacin

y usando la frmula :

calculamos la Media o el promedio aritmtico








3. Hallar la media, mediana y moda en la distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:

clases o intervalos frec. Abs

[10----15) 3

[15----20) 5

[20----25) 7

[25----30 ) 4

[30 ----35) 2

21

Solucin:


Pag. 3

Hay que calcular el punto medio de cada clase o intervalo (marca de clase) que lo

representamos por Xi, despus calculamos el producto de Xi.fi y por ltimo calculamos la

columna de frecuencias acumuladas Fa.


marca de clase

xi Xi.fi

Frec. Acumulada

Fa

[10----15) 3 12.5 37.5 3

[15----20) 5 17.5 87.5 8

[20----25) 7 22.5 157.5 15

[25----30 ) 4 27.5 110 19

[30 ----35) 2 32.5 65 21

21

457.5

El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 457.5, con esta



aritmtico


para localizar la clase donde

se encuentra la mediana, por lo tanto

esto nos indica que la mediana

se encuentra en el intervalo o clase [20----25), Utilizando la formula

Y sustituyendo los valores :

En

tenemos:

Para calcular la moda, primero calculamos en que intervalo o clase se encuentra la moda,

observando en la tabla, tenemos que los datos que ms se repiten estn en el intervalo [20----25),

Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde est la moda . Usamos la formula


en

Tenemos :

4. Hallar la media, mediana y moda en la distribucin estadstica que viene dada por la siguiente tabla:


Pag. 4


[0----5) 3

[5----10) 5

[10----15) 7

[15----20 ) 8

[20 ----25) 2

[25 ----) 6

31

Solucin:



columna de frecuencias acumuladas Fa.


marca de clase

xi Xi.fi

Frec. Acumulada

Fa

[0----5) 3 2.5 7.5 3

[5----10) 5 7.5 37.5 8

[10----15) 7 12.5 87.5 15

[15----20 ) 8 17.5 140 23

[20 ----25) 2 22.5 45 25

[25 ----) 6 31

31

No se puede calcular la media , porque no se puede hallar la marca de clase del ltimo intervalo.





se encuentra en el intervalo o clase [15----20), Utilizando la formula


En

tenemos:


observando en la tabla, tenemos que los datos que ms se repiten estn en el intervalo [15----20),

Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde est la moda . Usamos la formula


Pag. 5


en

Tenemos :

5. La altura de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dados por la tabla:


[1.70 ----1.75) 1

[1.75 ----1.80 3

[1.80 ----1.85) 4

[1.85 ----1.90) 8

[1.90 ----1.95) 5

[1.95 ----2.00) 2

23

Hallar la media, mediana y moda

Solucin:



columna de frecuencias acumuladas Fa

clases o

intervalos frec. Abs

marca de

clase

xi Xi.fi

Frec.

Acumulada

Fa

[1.70 ----1.75) 1 1.725 1.725 1

[1.75 ----1.80 3 1.775 5.325 4

[1.80 ----1.85) 4 1.825 7.3 8

[1.85 ----1.90) 8 1.875 15 16

[1.90 ----1.95) 5 1.925 9.625 21

[1.95 ----2.00) 2 1.975 3.95 23

23 42.925


Pag. 6

El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 42.925, con esta



aritmtico

.





se encuentra en el intervalo o clase [1.85----1.90), Utilizando la formula


En

tenemos:


observando en la tabla, tenemos que los datos que ms se repiten estn en el intervalo

[1.85----1.90), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde est la moda .

Usamos la formula


en

Tenemos :

6. El histograma de la distribucin correspondiente al peso de 100 alumnos de bachillerato es el siguiente:

42

27

18

85

72

27

75

8

63

5

66

18

69

42

60


Pag. 7

a) Formar la tabla de la distribucin

b) Calcular la media. Mediana y moda

Solucin:

a) La tabla de frecuencias absolutas es :

b) Para calcular la media. Mediana y moda; hay que calcular el punto medio de cada

clase o intervalo (marca de clase) que lo representamos por Xi, despus calculamos

el producto de Xi.fi y por ltimo calculamos la columna de frecuencias acumuladas

Fa.

El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 6975, con esta



aritmtico

.




esto nos indica que la mediana se

encuentra en el intervalo o clase [66----69), Utilizando la formula


clases o


[60----63) 5

[63----66) 18

[66----69) 42

[69----72) 27

[72----75) 8

100

clases o


marca de

clase

xi Xi.fi

Frec.

Acumulada

Fa

[60----63) 5 61.5 307.5 5

[63----66) 18 64.5 1161 23

[66----69) 42 67.5 2835 65

[69----72) 27 70.5 1903.5 92

[72----75) 8 73.5 588 100

100 6795


Pag. 8

En

tenemos:


observando en la tabla, tenemos que los datos que ms se repiten estn en el intervalo

[66---69), Una vez que hemos determinado la clase o intervalo donde est la moda .

Usamos la formula


en

Tenemos :

7. Complete los datos que faltan en la siguiente tabla considerando una muestra de 50 datos y adems calcules Calcular la media. Mediana y moda

Solucin: para calcular los datos que hacen falta en la tabla anterior hacemos lo

siguiente:

En el caso de la frecuencia acumulada del primer rengln se repite la frecuencia

absoluta del primer rengln o primer dato esto es Fa = 4,

Para la frecuencia acumulada del segundo rengln, sumamos la frecuencia acumulada

del primer rengln ( 4) la frecuencia absoluta del segundo rengln (4) el resultado es 8.

datos frec

absol

Frec

acum

frec relativa

Xi fi Fa Fr

1 4 0.08

2 4

3 16 0.16

4 7 0.14

5 5 28

6 38

7 7 45

8

50


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Para calcular la frecuencia relativa dividimos la frecuencia absoluta de cada rengln

entre el nmero de datos ; asi , de tal manera que para calcular la frecuencia relativa

del segundo rengln hacemos la siguiente operacin

, es decir dividimos

la frecuencia absoluta absoluta del segundo rengln que es 4 entre 50 datos de la

muestra.

Para calcular la frecuencia acumulada del cuarto rengln sumamos la frecuencia

acumulada del tercer rengln la frecuencia absoluta del cuarto rengln esto es 16+7=

23.

Para calcular la frecuencia absoluta del rengln 6, restamos a la frecuencia acumulada

del rengln 6 la del rengln 5, esto es 38-20 = 10.

Para calcular la frecuencia absoluta del rengln 8, al total de datos le restamos la

frecuencia acunulada del rengln 7, esto es 50-45 = 5

A continuacin tenemos la tabla con los datos que faltan:

datos frec

absol Frec

acum

frec relativa

fi/n

Xi fi Fa Fr

1 4 4 0.08

2 4 8 0.08

3 8 16 0.16

4 7 23 0.14

5 5 28 0.10

6 10 38 0.20

7 7 45 0.14

8 5 50 0.10

50

1.00


Pag. 10

c) Para calcular Calcular la media. Mediana y moda, determinamos los valores Xi.fi

datos frec

absol Frec

acum

frec relativa

fi/n

Xi fi Fa Fr Xi.fI

1 4 4 0.08 4

2 4 8 0.08 8

3 8 16 0.16 24

4 7 23 0.14 28

5 5 28 0.10 25

6 10 38 0.20 60

7 7 45 0.14 49

8 5 50 0.10 40

50 1.00 238

El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 238, con esta



aritmtico

.




esto nos indica que la mediana es igual al dato

que esta en el lugar 26 y este dato corresponde al dato con numero 5, Por lo tanto la

.


8. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 nios de su consulta en el momento de andar por primera vez.

datos meses

frec absol nios

Xi fi

9 1

10 4

11 9

12 16

13 11

14 8

15 1

50


Pag. 11

a) Calcular la media. Mediana y moda

Solucin . calcular los valores de Xi.fi y la frecuencia acumulada Fa.

datos meses

frec absol nios

Frec acum

Xi fi Xi.fi Fa

9 1 9 1

10 4 40 5

11 9 99 14

12 16 192 30

13 11 143 41

14 8 112 49

15 1 15 50

suman 50 610 El total de datos de la muestra es de y la suma de Xi.fi = 610, con esta



aritmtico








9. . Los datos que se dan a continuacin corresponden a los pesos en Kg. de ochenta

personas:

(a) Obtngase una distribucin de datos en intervalos de amplitud 5, siendo el primer

intervalo [50; 55].

(b) Calclese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg.

(c) Cuntas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg. pero menor que 85?


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a) Distribucin de los datos agrupados en clases o intervalos de amplitud= 5


frec acum Fa

frec relat en %

fr

frac relat acumul

Fra en %

[50----55) 2 2 2.50 2.5

[55----60) 9 11 11.25 13.75

[60----65) 20 31 25.00 38.75

[65----70 ) 29 60 36.25 75.00

[70 ----75) 12 72 15.00 90.00

[75 ----80) 6 78 7.50 97.50

[80 ----85) 2 80 2.50 100.00

80

100

b) Observando la columna de frecuencias acumuladas se deducen que existe 31

individuos cuyo peso es menor que 65 Kg. Que en trminos de % corresponden a

38.75% o calculados tambin dividiendo 31 entre el total de la muestra

multiplicado por 100, esto es

c) El numero de individuos con peso comprendido entre 70 y 85 Kg. Son :

12+6+2= 20 individuos que representan.

10. Dada la distribucin siguiente, constryase una tabla estadstica en la que aparezcan las frecuencias absolutas, las frecuencias relativas y las frecuencia

relativas acumuladas.

datos Xi

frec. Abs fi

1 5

2 7

3 9

4 6

5 7

6 6

40

La tabla que se obtiene es la siguiente:


Pag. 13

datos Xi

frec. Abs fi

frec relat en %

(fi/40)*100 fr

frac relat acumul

Fra en %

1 5 12.50 12.50

2 7 17.50 30.00

3 9 22.50 52.50

4 6 15.00 67.50

5 7 17.50 85.00

6 6 15.00 100.00

40 100.00

11. Las edades de los empleados de una determinada empresa son las que aparecen en la siguiente tabla:

edad Xi

No de empleados frec acumulada

Fa

Menos de 25 22

menos de 35 70

menos de 45 121

menos de 55 157

menos de 65 184

Sabiendo que el empleado ms joven tiene 18 aos, escrbase la distribucin de

frecuencias acumuladas decrecientes ( o ms de ).

Solucin en principio hay que obtener , las frecuencias absolutas.

edad Xi

frec. Abs fi

No de empleados

frec acumulada

Fa

[18--- 25) 22 22

[25--- 35) 48 70

[35--- 45) 51 121

[45--- 55) 36 157

[55--- 65) 27 184

184

En relacin a la tabla anterior, la distribucin pedida es :


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edad Xi

No de empleados

frec acumulada

Fa

mas de 18 184

ms de 25 162

ms de 35 114

ms de 45 63

ms de 55 27

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