Ejercicios Resueltos - Función Cuadrática

DuocUC MAT 330 Programa de Matemática Cálculo I

1

EJERCICIOS FUNCIÓN CUADRÁTICA

Graficar 128)( 2 xxxf

)(01

.1

arribahaciaabreparábolapositivaconcavidada

concavidadminarDeter

)4,4(),(:

)""(4)4(

12484)4(2

)""(412

)8(

212

8

1

.2

2

yxVérticedelsCoordenada

vérticedelycoordenadaf

fa

bfV

vérticedelxcoordenadaa

bV

c

b

a

scoordenadadeplanoelenvérticeelUbicar

y

x

62"",

2,6

2

48

2

168

12

1214)8()8(

2

4

12

8

1

"".3

21

2

2,1

2

2,1

xyxenxejeelcruzaparábolalatotanloPor

xx

x

a

cabbx

c

b

a

xejeelconparábolaladennterseccióiexistesiAnalizar

12"",

12)0(

12080)0(0

:

""12

12

8

1

128)(

"".4

2

2

yenyejeelcruzaparábolalatotanloPor

f

fxPara

tambiéno

yejeelconóninterseccilaindicac

c

b

a

xxxf

yejeconparábolaladennterseccióilabicarU


2


Un fabricante determina que el ingreso “R” obtenido por la producción y venta de “x”

artículos está dado por la función: 225,0350 xxR

a) Calcule el ingreso cuando se venden 100 artículos. b) Si el ingreso obtenido es 120.000, determine la cantidad de artículos vendidos

El ingreso “R” obtenido por la venta de artículos está dado por: 225,0350 xxR

a.-) El ingreso cuando se venden 100 artículos es:

500.32$500.2000.35

)100(25,0)100(350)100( 2

R

R

Por lo tanto, con 100 artículos se obtienen $32.500

b.-) Para obtener la cantidad de artículos si el ingreso es de $120.000

0000.480400.1

025,0

000.120

25,0

350

25,0

25,0

25,0

1/0000.12035025,025,0350000.120

2

2

22

xx

xx

xxxx

La forma general de la ec. cuadrática es: 02 cxbxa

Por lo tanto: 000.480;400.1;1 cba

Reemplazando en la fórmula: a

cabbx

2

42

2,1


3

Se tiene: 12

)000.480()1(4)400.1()400.1( 2

2,1

x

8002

600.1

6002

200.1

2

200400.1

2

000.40400.1

2

000.920.1000.960.1400.1

2

12,1

2,1

x

xx

x

Por lo tanto, con 600 y con 800 unidades, se obtiene un ingreso de $120.000

Un negocio, al vender “x” artículos, obtiene una utilidad “U” (en dólares) dada por la

fórmula: 200400 2 xxU

a) Calcule la utilidad cuando se venden 250 artículos.

b) ¿Cuántos artículos debe vender para obtener una utilidad de US$ 39.800? La Utilidad “U” obtenido por la venta de artículos está dado por:

200400 2 xxU

a.-) La Utilidad cuando se venden 250 artículos

es: 200400 2 xxU

300.37200500.62000.100

200)250()250(400)250( 2

U

U

Por lo tanto, con 250 artículos se obtienen 37.300 dólares

b.-) Para obtener la cantidad de artículos si la Utilidad es de $39.800

0000.40400200400800.39 22 xxxx

La forma general de la ec. cuadrática es:

02 cxbxa

Por lo tanto: 000.40;400;1 cba

Reemplazando en la fórmula: a

cabbx

2

42

2,1

Se tiene:

12

)000.40()1(4)400()400( 2

2,1

x


4

valormismoelsonlascasoesteEnsolucionestienecuadráticaecuna

x

xx

x

2,.2.

200

2002

0400

2

0400

2

000.160000.160400

2

12,1

2,1

Por lo tanto, con 200 unidades, se obtiene una utilidad de 39.800 dólares

Un objeto lanzado verticalmente hacia arriba logra una altura de acuerdo con la función:

2318)( ttth ( “h” en metros, “t” en segundos).

a) ¿Cuánto demora en alcanzar la altura máxima?

b) ¿Cuál es la altura máxima? .-)

Observando el coeficiente que acompaña a2t se ve que es negativo, por lo tanto, la parábola abre

hacia abajo (ver figura).

Luego, la altura máxima va a estar ubicada en el vértice de la parábola.

La forma general de la ec. cuadrática: 02 cxbxa

0183:,

318)(

2

2

ttquedageneralformalacomoEscrita

ttth:tantoloPor

Las coordenadas (x,y) del vértice son:

a

bf

a

bV

2,

2

La coordenada “x” del vértice es: 3

6

18

)3(2

18

2

a

b

La coordenada “y” del vértice es:

279354

)3(3)3(18)3( 2

f

Por lo tanto, el vértice de la parábola está en el punto (3,27). Luego, la coordenada “y=27” indica la altura máxima que alcanza el objeto.

Para conocer cuánto tiempo demora en llegar la pelota a esa altura, se reemplaza h = 27 en la función:

3

0)3(09603

27

3

18

3

3

3

1/027183

31827318)(

2,1

222

2

22

t

ttttt

tt

ttttth

Por lo tanto, la pelota demora 3 seg. en llegar a los 27 mts.


5


1.- Analizar concavidad:

6

5

1

c

b

a

La parábola abre hacia abajo porque a= -1 < 0 (concavidad negativa)

2.- Ubicar el vértice en el plano de coordenadas:

2

5

)1(2

5

2

a

b corresponde a la coordenada “x”

evaluando “f” en 5/2 para encontrar coordenada “y” 4

16)2

5(5)

2

5()

2

5( 2 f

Por lo tanto, las coordenadas del vértice son:

4

1,

2

5),( yx VV

3.- Analizar si existe intersección con el eje “x”:

a

cabbx

c

b

a

2

4

6

5

1 2

2,1

=> 2

15

)1(2

)6()1(4)5()5( 2

2,1

x

Por lo tanto, la ecuación tiene 2 raíces. La ecuación cruza el eje “x” en 2 ptos.

3;2 21 xx

6"",

6)0(

6050)0(0

:

""6

"".4

2

yenyejeelcruzaparábolalatotanloPor

f

fxPara

tambiéno

yejeelconóninterseccilaindicac

yejeconparábolaladennterseccióilabicarU



6

Para encontrar el vértice:

4)1(2

)8(

2

a

b Corresponde a la coordenada “x”

Evaluando “f” en 4 para encontrar coordenada “y” 016)4(84)4( 2 f

Por lo tanto, las coordenadas del vértice son: (4,0) También, la parábola abre hacia arriba porque a=1 > 0

Para encontrar las raíces de “f”, se iguala: f(x) = 0 =>

412

1614)8()8( 2

2,1

x

42

08

2

6464)8(2,1

x

Por lo tanto, las 2 raíces son iguales. La ecuación toca el eje “x” en un solo pto.

Al evaluar f en x = 0, se obtiene el punto donde corta al eje “y”

1616)0(80)0( 2 f

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