TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción

1 elionzar@gmail.com

EJERCICIOS RESUELTOS-PRODUCCION

1. Suponga que la tecnología accesible para producir el bien X está representada por

la función de producción:

𝑿 = 𝟐𝑳𝟏 𝟐⁄ 𝑲𝟏 𝟒⁄

Donde L y K indican respectivamente las cantidades del factor trabajo y factor capital

utilizadas en la producción del bien X. si en este mercado opera una empresa

competitiva.

a) Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción.

b) Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de

costes a largo plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios

de los factores, son respectivamente w=2 y r=1?

c) Suponga que en el corto plazo el factor K este fijo en K=16

Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de

costes a corto plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios

de los factores son respectivamente w=2 y r=1

SOLUCION: a) Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción.

Se cumple que: 𝑇𝑀𝑆𝐾𝐿 =𝑃𝐿

𝑃𝐾

𝑻𝑴𝑺𝑲𝑳 =𝑃𝑀𝑔(𝐿)

𝑃𝑀𝑔(𝐾)=

𝜕𝑋𝜕𝐿𝜕𝑋𝐾

=𝑃𝐿

𝑃𝐾=

𝒘

𝒓

𝐿−12𝐾

14

12

𝐾−34𝐿

12

=𝑃𝐿

𝑃𝐾

2𝐾

𝐿=

𝑃𝐿

𝑃𝐾

𝐾 =𝑃𝐿

2𝑃𝐾𝐿 … (𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛)

Reemplazando los precios de cada uno de los factores.

𝑇𝑀𝑆𝐾𝐿 =𝑤

𝑟

𝐿−12𝐾

14

12 𝐾−

34𝐿

12

=2

1

𝐾

12 𝐿

= 2

2𝐾

𝐿= 2

𝐾 = 𝐿 … 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛

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b) Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a largo plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores, son respectivamente w=2 y r=1?

En 𝑿 = 𝟐𝑳𝟏 𝟐⁄ 𝑲𝟏 𝟒⁄

𝑋 = 2𝐿1 2⁄ 𝐿1 4⁄

𝑋4 3⁄ = 24 3⁄ 𝐿

𝐿𝐷 = 𝐾𝐷 =𝑋4 3⁄

24 3⁄ … 𝐷. 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎

𝐶𝑇𝐿𝑝 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾

𝐶𝑇𝐿𝑝 = 2 (𝑋4 3⁄

24 3⁄ ) + 1 (𝑋4 3⁄

24 3⁄ )

𝐶𝑇𝐿𝑝 =3𝑋4 3⁄

24 3⁄

c). Suponga que en el corto plazo el factor K este fijo en K=16 Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a corto plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores son respectivamente w=2 y r=1

Si 𝐾 = 16

𝑋 = 2𝐿1 2⁄ 𝐾1 4⁄ → 𝑋 = 2𝐿1 2⁄ 161 4⁄

𝑋 = 4𝐿1 2⁄ → 𝑋2 = 16𝐿

𝐿𝑐𝑝𝐷 =

𝑋2

16

Reemplazamos en 𝐶𝑇𝑐𝑝 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾

𝐶𝑇𝑐𝑝 = 2 (𝑋2

16) + 1(16)

𝐶𝑇𝑐𝑝 =𝑋2

8+ 16

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

K

L

SENDA DE EXPANSION

K=L

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2. Una empresa tiene una tecnología caracterizada por la función de producción

𝑸 = (𝟐𝑲𝑳)𝟏 𝟐⁄ . Con estos datos se pide:

a) ¿Qué tipo de rendimiento a escala presenta la función de producción?

b) Hallar y representar las isocuantas Q=4 Y Q=8

c) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión si el precio del factor trabajo

w=2 y el precio de alquiler del capital, r también es 2.

d) Calcular la función de coste total, si la empresa decidiese producir Q=10

SOLUCION:

a) ¿Qué tipo de rendimiento a escala presenta la función de producción?

𝑆𝑖 𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 𝜆𝑛𝑓(𝐿, 𝐾)

𝑆𝑖 𝑛 > 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝑛 = 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝑛 < 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

𝐸𝑛 𝑄 = (2𝐾𝐿)1 2⁄

𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 21/2( 𝜆𝐾)1 2⁄ ( 𝜆𝐿)1 2⁄

𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 𝜆(2𝐾𝐿)1 2⁄ 𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 𝜆𝑄 Como 𝑛 = 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

b) Hallar y representar las isocuantas Q=4 Y Q=8

𝐼(𝑄 = 4) → 4 = (2𝐾𝐿)1 2⁄

→ 𝐾 =8

𝐿

𝐼(𝑄 = 8) → 8 = (2𝐾𝐿)1 2⁄

→ 𝐾 =32

𝐿

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40

K

L

GRAFICO

K=8/L

K=32/L

K=L

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c) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión si el precio del factor trabajo w=2 y el precio de alquiler del capital, r también es 2.

𝑄 = (2𝐾𝐿)1 2⁄

En equilibrio:

𝑻𝑴𝑺𝑲𝑳 =𝑃𝑀𝑔(𝐿)

𝑃𝑀𝑔(𝐾)=

𝑃𝐿

𝑃𝐾=

𝒘

𝒓

212

12 𝐿−

12𝐾

12

212

12

𝐾−12𝐿

12

=2

2

𝐾 = 𝐿 … 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛

Reemplazamos en 𝑄 = (2𝐾𝐿)1 2⁄

𝑄 = 21/2𝐿

𝐾𝐷 = 𝐿𝐷 =𝑄

√2

d) Calcular la función de coste total, si la empresa decidiese producir Q=10

𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 𝐶𝑇 = 2𝐿 + 2𝐾

𝐶𝑇 = 2 (𝑄

√2) + 2 (

𝑄

√2)

𝐶𝑇 =4𝑄

√2

Cuando 𝑄 = 10

𝐶𝑇 = 28,28 Ahora hallamos K y L en:

𝐾 =𝐶𝑇

𝑟−

𝑤

𝑟𝐿

𝐾 = 𝐿 = 7,07

3. Una empresa utiliza para la elaboración de su producto por factores productivos, 𝒗𝟏

y 𝒗𝟐. El precio del factor 𝒗𝟏 es de 2u.m y el factor 𝒗𝟐 es de 1u.m. Sabiendo que la

función de producción es:

𝑿 = 𝒗𝟏𝟏 𝟐⁄

∙ 𝒗𝟐𝟏 𝟐⁄

Calcule:

a) La combinación de factores óptima para un coste de 300u.m.

b) La función de productividad del factor 𝑣1, si el otro factor se emplea en una

cantidad constante e igual a 125 unidades, y de elasticidad de la productividad

total.

c) La función de costes que se deriva del apartado anterior si el factor de

producción v2 fuese el único factor fijo.

SOLUCION:

a) La combinación de factores óptima para un coste de 300u.m.

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b) La función de productividad del factor 𝑣1, si el otro factor se emplea en una cantidad constante e igual a 125 unidades, y de elasticidad de la productividad total.

c) La función de costes que se deriva del apartado anterior si el factor de producción 𝑣2 fuese el único factor fijo.

𝑿 = 𝒗𝟏𝟏 𝟐⁄

∙ 𝒗𝟐𝟏 𝟐⁄

𝑣2 = 125 … 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sería:

𝑋 = 𝑣11 2⁄

∙ 1251/2

𝑋 = 5√5𝑣11 2⁄

𝑣1𝐷 =

𝑋2

125

Elasticidad del producto

𝜀𝑝 =

𝜕𝑄𝑄𝜕𝐿𝐿

=

𝜕𝑄𝑄𝑄𝐿

=𝑃𝑀𝑔𝐿

𝑃𝑀𝑒𝐿

𝑋 = 𝑣11 2⁄

∙ 1251/2

𝜀𝑝 =

12 𝑣1

−1 2⁄∙ 1251/2

𝑣11 2⁄

∙ 1251/2

𝑣1

𝜀𝑝 =1

2

Función de costos

𝐶𝑇 = 𝑤𝑣1 + 𝑟𝑣2 Reemplazando los valores

𝐶𝑇 = 2 (𝑋2

125) + 1(125)

𝐶𝑇 = 262.5𝑋2 + 125

En el equilibrio se cumple:

𝑇𝑀𝑆𝐾𝐿 =𝑤

𝑟

Si precio del factor 𝑣1 es 𝑤 = 2𝑢. 𝑚 Y el precio del factor 𝑣2 es de 𝑟 = 1𝑢. 𝑚

𝑇𝑀𝑆𝑣2𝑣1=

𝑃𝑀𝑔(𝑣1)

𝑃𝑀𝑔(𝑣2)=

𝑤

𝑟

Derivando

12 𝑣1

−1/2𝑣2

1/2

12 𝑣1

1/2𝑣2

−1/2=

2

1

𝑣2 = 2𝑣1 … 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛

𝑋 = 𝑣11 2⁄

∙ 𝑣21 2⁄

Reemplazando

𝑋 = 𝑣11 2⁄

∙ (2𝑣1)1/2

Demanda condicionada

𝑣1𝐷 =

𝑋

√2 𝑦 𝑣2

𝐷 =2𝑋

√2

En la función de costos

𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾

𝐶𝑇 = 𝑤𝑣1 + 𝑟𝑣2

300 = 2 (𝑋

√2) +

2𝑋

√2

𝑋 = 75√2 Por lo tanto, la combinación de factores optima seria: Reemplazando en

𝑣1𝐷 =

𝑋

√2 y 𝑣2

𝐷 =2𝑋

√2

𝑣1

∗ = 75 y 𝑣2∗ = 150