Ejercicios resueltos-Produccion
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TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción 1 [email protected] EJERCICIOS RESUELTOS-PRODUCCION 1. Suponga que la tecnología accesible para producir el bien X está representada por la función de producción: = ⁄ ⁄ Donde L y K indican respectivamente las cantidades del factor trabajo y factor capital utilizadas en la producción del bien X. si en este mercado opera una empresa competitiva. a) Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción. b) Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a largo plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores, son respectivamente w=2 y r=1? c) Suponga que en el corto plazo el factor K este fijo en K=16 Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a corto plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores son respectivamente w=2 y r=1 SOLUCION: a) Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción. Se cumple que: = = () () = = = − 1 2 1 4 1 2 − 3 4 1 2 = 2 = = 2 … ( ) Reemplazando los precios de cada uno de los factores. = − 1 2 1 4 1 2 − 3 4 1 2 = 2 1 1 2 =2 2 =2 = …
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TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción
EJERCICIOS RESUELTOS-PRODUCCION
1. Suponga que la tecnología accesible para producir el bien X está representada por
la función de producción:
𝑿 = 𝟐𝑳𝟏 𝟐⁄ 𝑲𝟏 𝟒⁄
Donde L y K indican respectivamente las cantidades del factor trabajo y factor capital
utilizadas en la producción del bien X. si en este mercado opera una empresa
competitiva.
a) Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción.
b) Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de
costes a largo plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios
de los factores, son respectivamente w=2 y r=1?
c) Suponga que en el corto plazo el factor K este fijo en K=16
Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de
costes a corto plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios
de los factores son respectivamente w=2 y r=1
SOLUCION: a) Obtenga y represente gráficamente la senda de expansión de la producción.
Se cumple que: 𝑇𝑀𝑆𝐾𝐿 =𝑃𝐿
𝑃𝐾
𝑻𝑴𝑺𝑲𝑳 =𝑃𝑀𝑔(𝐿)
𝑃𝑀𝑔(𝐾)=
𝜕𝑋𝜕𝐿𝜕𝑋𝐾
=𝑃𝐿
𝑃𝐾=
𝒘
𝒓
𝐿−12𝐾
14
12
𝐾−34𝐿
12
=𝑃𝐿
𝑃𝐾
2𝐾
𝐿=
𝑃𝐿
𝑃𝐾
𝐾 =𝑃𝐿
2𝑃𝐾𝐿 … (𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛)
Reemplazando los precios de cada uno de los factores.
𝑇𝑀𝑆𝐾𝐿 =𝑤
𝑟
𝐿−12𝐾
14
12 𝐾−
34𝐿
12
=2
1
𝐾
12 𝐿
= 2
2𝐾
𝐿= 2
𝐾 = 𝐿 … 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛
TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción
b) Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a largo plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores, son respectivamente w=2 y r=1?
En 𝑿 = 𝟐𝑳𝟏 𝟐⁄ 𝑲𝟏 𝟒⁄
𝑋 = 2𝐿1 2⁄ 𝐿1 4⁄
𝑋4 3⁄ = 24 3⁄ 𝐿
𝐿𝐷 = 𝐾𝐷 =𝑋4 3⁄
24 3⁄ … 𝐷. 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎
𝐶𝑇𝐿𝑝 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
𝐶𝑇𝐿𝑝 = 2 (𝑋4 3⁄
24 3⁄ ) + 1 (𝑋4 3⁄
24 3⁄ )
𝐶𝑇𝐿𝑝 =3𝑋4 3⁄
24 3⁄
c). Suponga que en el corto plazo el factor K este fijo en K=16 Determine las funciones de demanda condicionada de factores y la función de costes a corto plazo ¿Cuál es la expresión de dicha función de costes si los precios de los factores son respectivamente w=2 y r=1
Si 𝐾 = 16
𝑋 = 2𝐿1 2⁄ 𝐾1 4⁄ → 𝑋 = 2𝐿1 2⁄ 161 4⁄
𝑋 = 4𝐿1 2⁄ → 𝑋2 = 16𝐿
𝐿𝑐𝑝𝐷 =
𝑋2
16
Reemplazamos en 𝐶𝑇𝑐𝑝 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
𝐶𝑇𝑐𝑝 = 2 (𝑋2
16) + 1(16)
𝐶𝑇𝑐𝑝 =𝑋2
8+ 16
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12
K
L
SENDA DE EXPANSION
K=L
TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción
2. Una empresa tiene una tecnología caracterizada por la función de producción
𝑸 = (𝟐𝑲𝑳)𝟏 𝟐⁄ . Con estos datos se pide:
a) ¿Qué tipo de rendimiento a escala presenta la función de producción?
b) Hallar y representar las isocuantas Q=4 Y Q=8
c) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión si el precio del factor trabajo
w=2 y el precio de alquiler del capital, r también es 2.
d) Calcular la función de coste total, si la empresa decidiese producir Q=10
SOLUCION:
a) ¿Qué tipo de rendimiento a escala presenta la función de producción?
𝑆𝑖 𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 𝜆𝑛𝑓(𝐿, 𝐾)
𝑆𝑖 𝑛 > 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝑛 = 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑆𝑖 𝑛 < 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐸𝑛 𝑄 = (2𝐾𝐿)1 2⁄
𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 21/2( 𝜆𝐾)1 2⁄ ( 𝜆𝐿)1 2⁄
𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 𝜆(2𝐾𝐿)1 2⁄ 𝑓(𝜆𝐿, 𝜆𝐾) = 𝜆𝑄 Como 𝑛 = 1 → 𝑟𝑒𝑛𝑑. 𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
b) Hallar y representar las isocuantas Q=4 Y Q=8
𝐼(𝑄 = 4) → 4 = (2𝐾𝐿)1 2⁄
→ 𝐾 =8
𝐿
𝐼(𝑄 = 8) → 8 = (2𝐾𝐿)1 2⁄
→ 𝐾 =32
𝐿
0
5
10
15
20
25
30
35
0 10 20 30 40
K
L
GRAFICO
K=8/L
K=32/L
K=L
TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción
c) Hallar la ecuación de la trayectoria de expansión si el precio del factor trabajo w=2 y el precio de alquiler del capital, r también es 2.
𝑄 = (2𝐾𝐿)1 2⁄
En equilibrio:
𝑻𝑴𝑺𝑲𝑳 =𝑃𝑀𝑔(𝐿)
𝑃𝑀𝑔(𝐾)=
𝑃𝐿
𝑃𝐾=
𝒘
𝒓
212
12 𝐿−
12𝐾
12
212
12
𝐾−12𝐿
12
=2
2
𝐾 = 𝐿 … 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛
Reemplazamos en 𝑄 = (2𝐾𝐿)1 2⁄
𝑄 = 21/2𝐿
𝐾𝐷 = 𝐿𝐷 =𝑄
√2
d) Calcular la función de coste total, si la empresa decidiese producir Q=10
𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾 𝐶𝑇 = 2𝐿 + 2𝐾
𝐶𝑇 = 2 (𝑄
√2) + 2 (
𝑄
√2)
𝐶𝑇 =4𝑄
√2
Cuando 𝑄 = 10
𝐶𝑇 = 28,28 Ahora hallamos K y L en:
𝐾 =𝐶𝑇
𝑟−
𝑤
𝑟𝐿
𝐾 = 𝐿 = 7,07
3. Una empresa utiliza para la elaboración de su producto por factores productivos, 𝒗𝟏
y 𝒗𝟐. El precio del factor 𝒗𝟏 es de 2u.m y el factor 𝒗𝟐 es de 1u.m. Sabiendo que la
función de producción es:
𝑿 = 𝒗𝟏𝟏 𝟐⁄
∙ 𝒗𝟐𝟏 𝟐⁄
Calcule:
a) La combinación de factores óptima para un coste de 300u.m.
b) La función de productividad del factor 𝑣1, si el otro factor se emplea en una
cantidad constante e igual a 125 unidades, y de elasticidad de la productividad
total.
c) La función de costes que se deriva del apartado anterior si el factor de
producción v2 fuese el único factor fijo.
SOLUCION:
a) La combinación de factores óptima para un coste de 300u.m.
TEORIA MICROECONOMICA I Producción y coste de producción
b) La función de productividad del factor 𝑣1, si el otro factor se emplea en una cantidad constante e igual a 125 unidades, y de elasticidad de la productividad total.
c) La función de costes que se deriva del apartado anterior si el factor de producción 𝑣2 fuese el único factor fijo.
𝑿 = 𝒗𝟏𝟏 𝟐⁄
∙ 𝒗𝟐𝟏 𝟐⁄
𝑣2 = 125 … 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Sería:
𝑋 = 𝑣11 2⁄
∙ 1251/2
𝑋 = 5√5𝑣11 2⁄
𝑣1𝐷 =
𝑋2
125
Elasticidad del producto
𝜀𝑝 =
𝜕𝑄𝑄𝜕𝐿𝐿
=
𝜕𝑄𝑄𝑄𝐿
=𝑃𝑀𝑔𝐿
𝑃𝑀𝑒𝐿
𝑋 = 𝑣11 2⁄
∙ 1251/2
𝜀𝑝 =
12 𝑣1
−1 2⁄∙ 1251/2
𝑣11 2⁄
∙ 1251/2
𝑣1
𝜀𝑝 =1
2
Función de costos
𝐶𝑇 = 𝑤𝑣1 + 𝑟𝑣2 Reemplazando los valores
𝐶𝑇 = 2 (𝑋2
125) + 1(125)
𝐶𝑇 = 262.5𝑋2 + 125
En el equilibrio se cumple:
𝑇𝑀𝑆𝐾𝐿 =𝑤
𝑟
Si precio del factor 𝑣1 es 𝑤 = 2𝑢. 𝑚 Y el precio del factor 𝑣2 es de 𝑟 = 1𝑢. 𝑚
𝑇𝑀𝑆𝑣2𝑣1=
𝑃𝑀𝑔(𝑣1)
𝑃𝑀𝑔(𝑣2)=
𝑤
𝑟
Derivando
12 𝑣1
−1/2𝑣2
1/2
12 𝑣1
1/2𝑣2
−1/2=
2
1
𝑣2 = 2𝑣1 … 𝑆𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛
𝑋 = 𝑣11 2⁄
∙ 𝑣21 2⁄
Reemplazando
𝑋 = 𝑣11 2⁄
∙ (2𝑣1)1/2
Demanda condicionada
𝑣1𝐷 =
𝑋
√2 𝑦 𝑣2
𝐷 =2𝑋
√2
En la función de costos
𝐶𝑇 = 𝑤𝐿 + 𝑟𝐾
𝐶𝑇 = 𝑤𝑣1 + 𝑟𝑣2
300 = 2 (𝑋
√2) +
2𝑋
√2
𝑋 = 75√2 Por lo tanto, la combinación de factores optima seria: Reemplazando en
𝑣1𝐷 =
𝑋
√2 y 𝑣2
𝐷 =2𝑋
√2
𝑣1
∗ = 75 y 𝑣2∗ = 150
