Ejercicios Va u0
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Ejercicios de Vectores Aleatorios - Inferencia Estadıstica 2015-2
Profesor: Rodrigo Puchi-A.
I. Transformaciones de variables aleatorias bidimensionales
1. Sea el vector aleatorio (X1, X2)T con funcion de densidad bivariada dada por:
f(x1, x2) = exp {−x1 − x2} , x1, x2 > 0.
Encontrar la funcion de densidad del vector aleatorio (Y1, Y2)T = (X1 +X2, X2)
T .
2. Sean las variables aleatorias independientes X1 ∼ N(0, 1) y X2 ∼ χ2(1). Obtener la funcion de
densidad de la nueva variable aleatoria Y = X1√X2
.
II. Valor esperado y varianza de vectores aleatorios
1. Demostrar que E(g(X) · g(Y )) = E(g(X)) · E(g(Y )), si X y Y son variables aleatorias indepen-
dientes.
2. Sea X1 y X2 variables aleatorias independientes, con funcion de densidad marginal para Xi, dada
por f(xi) = exp {−xi}, xi > 0, i = 1, 2. Determinar
E(exp {t(X1 +X2)}).
3. Sea f(x, y) = 6(1− y), 0 ≤ x ≤ y ≤ 1. Calcular E(X|Y ) y E(X).
4. Sea f(y|x) = (αx)−1 exp {−(αx)−1y}, y > 0 y α > 0, y la funcion de densidad marginal de X
dada por fX(x) = β exp {−βx}, x > 0, β > 0. Determinar Corr(X, Y ).
III. Calculo de probabilidades
1. Con el objetivo de mejorar los tiempos de respuesta a alertas de incendio, se desea determinar los
tiempos que estan bajo un 10 % y sobre un 90 %. Los datos muestran que los tiempos de promedio
de respuesta es de 12.8 minutos, con desviacion estandar de 3.7 minutos. Asumiendo distribucion
normal para los tiempos de respuesta, responder al problema planteado.
2. Sea f(x, y) = e−x, 0 < y < x < +∞. Calcular P (Y ≥ X2).
3. Sea f(x, y) = 2; x, y > 0, x+ y < 1. Calcular P (X < Y < 3X).