Universidad Carlos III de MadridCurso 2005-2006

Lista de ejercicios de Teora de los Juegos

I. Juegos estticos

1. Calcule, eliminando sucesivamente las estrategias dominadas, el equilibrio de los siguientes juegos(a)

B1 B2 B3A1 1,1 0,0 -1,0A2 0,0 0,6 10,-1A3 2,0 10,-1 -1,-1

.

(b)B1 B2 B3

A1 2,0 1,1 4,2A2 3,4 1,2 2,3A3 1,3 0,2 3,0

.

(c) Cules son los equilibrios de Nash?

2. Encuentre el equilibrio en estrategias mixtas del siguiente juego en forma normal.

L RT 2,1 0,2B 1,2 3,0

.

3. Encuentre el equilibrio en estrategias mixtas del siguiente juego en forma normal.

L RT -2,-1 0,0B 0,0 -1,-2

.

4. Consideremos dos empresas, una que ya est operando en el mercado (Empresa 1) y otra quequiere entrar (Empresa 2). La que ya est se plantea construir una nueva planta. Los pagos seindican a continuacin.

Entrar No entrarConstruir 0,-1 2,0No construir 2,1 3,0

Interprete los pagos y calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas.

5. Dos empresas automovilsticas deciden lanzar al mercado al mismo tiempo un modelo de cochede gama intermedia. Cada una de ellas se est planteando si ofrecer o no financiacin a los clientes,lo cual le supondra captar mayor cuota de mercado, pero llevara consigo ciertos costes. Ambasempresas prefieren no ofertar dicha financiacin, pero cada una teme que la otra la ofrezca y, portanto, acapare mayor nmero de compradores. Supongamos que los beneficios esperados por las

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empresas son los siguientes. Si ambas ofrecen financiacin, 400 millones para cada una; si ningunalo hace, 600 para cada una, y si una la ofrece y la otra no, la primera gana 800 y la segunda 300.Represente el juego en forma normal. Calcule los equilibrios de Nash.

6. Carlos (C) y Pepe (P) quieren dividirse mil pesetas. Simultneamente cada uno anuncia laporcin de las mil pesetas que quiere quedarse, si, (i = C,P ), siendo 0 si 1000. Si sC + sP 1000, cada uno recibe lo que ha pedido. En caso contrario, ninguno recibe nada. Cules son losequilibrios de Nash en estrategias puras de este juego?

7. Suponga que seis hermanos necesitan decidir quin de ellos se lleva el coche el fin de semana yque acuerdan decidirlo de la siguiente manera. Todos escriben al mismo tiempo un nmero entre 0y 10. Despus calculan la media de los nmeros escritos y aqul que haya escrito el nmero menorque la media ms prximo a la misma se lleva el coche. En caso de empate, su padre decide quinse lleva el coche de forma aleatoria y equiprobable entre los que han empatado. Indique, explicandoqu procedimiento ha seguido para encontrarlos, cules son los equilibrios de Nash de este juego.

8. Dos municipios pertenecientes a dos Comunidades Autnomas distintas compiten entre s ofre-ciendo concesiones fiscales que ayuden a fomentar su desarrollo industrial. Si las dos simultnea-mente ofrecen las mismas concesiones, la recaudacin impositiva desciende sin que ello garantice elestablecimiento de las empresas. En este caso preferiran haber recaudado ms. Sin embargo, loideal sera atraer a estas empresas aunque ello conllevara algn coste fiscal. Represente esta situacincomo un juego, poniendo un ejemplo numrico y explicando los factores estratgicos relevantes.

9. En una misma zona un ayuntamiento est decidido a construir un instituto de bachiller o unaguardera infantil, pero no tiene presupuesto para llevar a cabo los dos. La persona encargada degestionar estos asuntos ha hablado con dos empresas indispensables para realizar cualquiera de lasdos obras: una de construccin y otra de carpintera. Debido a la composicin de la poblacin,el edificio del instituto sera mayor que el de la guardera (requiere ms construccin), pero staprecisar de un parque de juegos de madera (requiere ms carpintera). Adems, a cada una delas empresas le interesa ms participar en una obra determinada que en la otra (la de construccinen el instituto, y la de carpintera en la guardera infantil), pero ambas prefieren firmar el mismocontrato que firmar distintos contratos, ya que en este caso el ayuntamiento no llevara a cabo ningnproyecto. El ayuntamiento les pide que presenten un proyecto. Como ninguna de las empresas tienesuficiente personal disponible para elaborar ambos proyectos, tienen que decidirse por uno u otro,sin saber qu es lo que va a hacer la otra.(a) Defina un juego en forma normal cuyos pagos reflejen los beneficios esperados por cada

empresa en cada posible situacin.(b) Calcule los equilibrios de Nash.

10. A veces resulta paradjico que las empresas, en vez de producir bienes claramente diferenciadosque satisfagan a distintos segmentos del mercado, ofrezcan bienes con caractersticas muy similares.Estas caractersticas pueden referirse no solo a cualidades fsicas, de diseo, etc., (pinsese, porejemplo, en la similitud en cuanto a la programacin de distintos canales de televisin) sino tambina decisiones de localizacin. El siguiente modelo sirve para ilustrar este tipo de comportamiento.Suponga que en el paseo martimo de una playa hay dos vendedores de helados. Los dos venden

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helados Frigo y no tienen posibilidad de diferenciarse en cuanto al precio de venta de estos productos.Su nica decisin consiste en determinar dnde se van a colocar. Los consumidores estn repartidosuniformemente por toda la playa y se dirigirn al puesto ms cercano. Los vendedores deben decidirsu localizacin para maximizar el nmero de clientes. La localizacin socialmente ptima es la quereduce al mximo la distancia total recorrida por el conjunto de los consumidores. Razone porqu los heladeros no tendrn incentivos para mantener esta localizacin (la clave es pensar por questas estrategias de localizacin no constituyen un equilibrio de Nash). En qu sentido tenderna moverse? Dnde se situarn finalmente? Cambiara su respuesta si los baistas tendieran aconsumir menos helados si aumenta la distancia que tienen que recorrer hasta el puesto ms cercano?

11. Considere el enunciado del ejercicio 10, pero cambiando el nmero de vendedores de helados de2 a 3. Muestre que no existe equilibrio en estrategias puras.

12. Guillermo y Miguel comparten un piso donde cada uno tiene su habitacin. A la hora dedecorarlo, cada uno tiene que decidir cmo distribuir sus pertenencias. En concreto, cada uno tienedos cuadros y debe decidir cuntos colgar en su habitacin y cuntos en la sala comn. Supngaseque la decisin es privada y que una vez que se cuelgan los cuadros ya no es posible cambiarlosde lugar. Sea xG y xM el nmero de cuadros que Guillermo y Miguel, respectivamente, decidenponer en su habitacin (por tanto, xS = 4 xG xM es el nmero de cuadros que se cuelganen la sala). La funcin de utilidad de Guillermo es uG(xG, xS) = xG(1, 5 + xS) y la de MigueluM(xM , xS) = xM(1, 5 + xS). As, por ejemplo, si Miguel cuelga un cuadro en su habitacin yGuillermo dos en la suya (xM = 1, xG = 2, xS = 1) obtendran una utilidad de uM = 2, 5, uG = 5.(a) Cules son las estrategias de cada uno de los compaeros de piso?(b) Represente el juego. Es decir, describa en la usual matriz de doble entrada las utilidades

para cada jugador de cada una de las posibles distribuciones de los cuadros, fruto de las estrategiasque sigan ambos.(c) Calcule el nico equilibrio de Nash de este juego. Es un buen resultado para Guillermo y

Miguel?

13. Algunos contribuyentes deciden cada ao si hacen o no la declaracin de la renta. Por supuesto,la ventaja de no hacerlo es que, si no les inspeccionan, no pagan impuestos. El riesgo que correnes que si les inspeccionan, les hacen pagar, adems de los impuestos, una multa por evasin fiscal.Fijmonos en el caso de un contribuyente. Para simplificar suponga que R es su renta, I sonlos impuestos que debera pagar si decidiera declarar, M es la multa que paga si no declara y leinspeccionan, y C es el coste de llevar a cabo la inspeccin, que la Agencia Tributaria ha de pagarindependientemente de lo que descubra el inspector. (Suponga que una vez que llega el inspector,no hay forma de ocultar la renta y por tanto, se sabe los impuestos que ese individuo ha evadido). Elindividuo se preocupa por tener el mximo dinero posible y la Agencia Tributaria por su recaudacinneta (esto es, los ingresos bien sean por impuestos o multas, menos los costes).(a) Especifique un juego en forma normal o estratgica que recoja la relacin entre el con-

tribuyente y la Agencia Tributaria.(b) Suponga que se cumplen las desigualdades M > C, I > C .

(b.1) Tiene alguno de estos jugadores una estrategia dominante?(b.2) Indique si hay en este juego un equilibrio de Nash en estrategias puras y razone

brevemente su contestacin en trminos econmicos.

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(c) Ahora suponga que se cumplen las desigualdades I +M < C (esto podra ocurrir si losinspectores de Hacienda reivindicaran unos salarios muy altos y las multas por evasin fueran pocoimportantes).

(c.1) Tiene alguno de estos jugadores una estrategia dominante?(c.2) Indique si hay en este juego un equilibrio de Nash en estrategias puras y razone

brevemente su contestacin en trminos econmicos.

14. (Feb 05) La municipalidad de Madrid est organizando una operacin llamada Madrid Verde.En una calle de Chamartn, cada familia que posee una casa recibe dos rboles. Slo dos vecinosviven en esa calle. Cada uno debe decidir cuantos rboles plantar en su jardn (en cuyo caso losrboles no se pueden ver desde la calle) y cuantos en la entrada de su casa (en cuyo caso los rbolesse ven desde la calle). Los rboles que se pueden ver desde la calle contribuyen a revalorizar elbarrio. El vecino 2 valora ms que el vecino 1 los rboles que se ven desde la calle ya que tienela intencin de vender su casa prximamente. Se supone que la decisin es privada y que unavez que se plantan los rboles, ya no es posible cambiarlos de lugar. Sean x1 y x2 el nmero derboles que el vecino 1 y el vecino 2, respectivamente, deciden poner en su jardn. Sea xc el nmerode rboles que se pueden ver desde la calle. La funcin de utilidad del vecino 1 esta dada porU1(x1, x2) = x1(1.5 + xc) y la del vecino 2 por U2(x1, x2) = x2(1.5 + axc), donde a > 1.1. Represente este juego en forma normal y encuentre todos los equilibrios de Nash en estrategias

puras.2. Maximizan los equilibrios encontrados en la pregunta 1 la utilidad social (UT (x1, x2) =

U1(x1, x2) + U2(x1, x2)? Justifica tu respuesta.3. Calcula TODOS los EN en estrategias mixtas del juegos.

15. En una mercado hay dos empresas que venden dos productos ligeramente diferenciados (porejemplo, pastas de dientes que se diferencian en su color y sabor). Las respectivas funciones dedemanda vienen dadas por q1 = 1000 2p1 + p2, y q2 = 1000 2p2 + p1. Ambas empresas tienenacceso a la misma tecnologa que les permite producir cada unidad de cualquiera de estos productosa un coste igual a 2 (no hay costes fijos). La variable estratgica de las empresas es el precio.Se trata de determinar el equilibrio de Nash sabiendo que toman esta decisin simultneamente.La cantidad que vendan y su beneficio depender no slo de su decisin sino tambin de la delcompetidor. Determine el equilibrio de Nash de este juego.

16. Los dos finalistas en una competicin atltica tienen a priori idnticas probabilidades de ganar.En esta situacin de igualdad, cualquier ayuda externa puede ser decisiva, por lo que ambos podranconsiderar doparse, pero si ambos lo hacen se restablece la igualdad. Para simplificar, supongamosque estos atletas no reparan en que doparse supone un riesgo para su salud (son maximizadoresinstantneos y no reconocen el coste futuro de esta accin) y que la utilidad del ganador es uno yla del perdedor es cero.(a) Represente el juego al que se enfrentan, en el que las estrategias posibles son doparse (D) o

no (ND) y calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas del juego.(b) Suponga ahora que el Comit Olmplico, en un intento de evitar el dopaje, obliga al atleta

ganador a realizar un test que detecta sustancias dopantes con probabilidad p: si dicho test resultapositivo, se da como ganador al otro atleta (sin que ste tenga que realizar ningn test). Representeel juego y determine los valores de p para los que es un equilibrio de Nash que ninguno de los dosatletas se dope. Para qu valores es este equilibrio nico? (Tenga en cuenta que ahora los atletas

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tienen incertidumbre sobre dos fenmenos independientes: quin ganar la carrera y cul ser elresultado del test.)

17. (Sept 2005) Dos hermanas, Alicia y Beatriz se plantean la forma de repartirse dos euros. Enprimer lugar, Alicia decide si quiere un reparto igualitario o no. Si es igualitario se acaba el juego.Si decide que no lo sea, se juegan los dos euros a los chinos, esto es, cada una saca simultneamente1 o 2 monedas. Si la suma de las monedas que sacan las dos hermanas es par, Alicia se queda 1.25euros y Beatriz 0.75. Si la suma es impar, Beatriz se queda 1.5 y Alicia 0.5.Encontrar todos los Equilibrios de Nash del juego que resulta si Alicia no quiere el reparto

igualitario. Calcular los pagos esperados de las dos hermanas en dichos equilibrios.

18. Pedro y Miguel viven en casas contiguas. Desde su terraza Pedro no puede ver su propio jardn,pero tiene una magnfica vista del jardn de Miguel. As, Pedro valora en 2 mil euros que el jardnde Miguel est mantenido, pero slo en 500 euros que su propio jardn est mantenido. La situaciny preferencias de Miguel son completamente recprocas. Puesto que los jardines son visibles desdela va pblica, el ayuntamiento subvenciona (por importe de 500 euros) a cada vecino de las callesen las que todos los jardines estn bien mantenidos. Pedro y Miguel son los nicos vecinos de sucalle, El coste de mantenimiento de cada jardn es de mil euros.(a) Represente el juego al que se enfrentan Pedro y Miguel.(b) Calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas.

19. Dos empresas que trabajan en aislamientos tienen que decidir la cantidad que van a producir ycomercializar en el mercado. Cada una conoce la estructura de la demanda de su producto cuyascaractersticas son similares a las de la otra empresa, pero ninguna sabe cunto piensa producir elotro. supongamos que cada empresa tiene unos costes c(qi) = 10+2qi y que las dos estiman que sudemanda conjunta vienen dada por p(q1 + q2) = 320 2(q1 + q2).(a) Cules son las estrategias de cada productor? Teniendo en cuenta que su objetivo es

maximizar el beneficio, cules son sus funciones de pago? Y sus curvas de reaccin?(c) Cul ser el equilibrio de Nash si ambas empresas deciden su nivel de produccin simultnea-

mente?

20. Considera el modelo de duopolio de Cournot con la funcin de demanda p (q) = a q, pero concostes asimtricos: c1 para la empresa 1 y c2 para la empresa 2. Cul es el equilibrio de Nash si0 < ci a+ c1? Nota: puede resolver el problema con nmeros

que satisfagan estas condiciones.

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II. Juegos dinmicos

21. La siguiente figura ilustra el rbol de un juego G entre dos jugadores con informacin perfecta.

I.

l r

mII. II.

I. I.

LM R L M

R

l r l r

DWDWDLDLD

(a) Identifique los conjuntos de informacin de cada jugador asignndoles una letra griega.(b) Cules son las estrategias puras de cada jugador? Y sus acciones en cada conjunto de

informacin?(c) Cul sera el resultado de jugar la combinacin de estrategias (rll, LM), donde rll es la

estrategia del primer jugador y LM la del segundo?(d) Identifique todos los posibles pares de estrategias (una para jugador) que permiten seguir el

camino rRl.

22. Dado el siguiente juego representado en forma extensiva

D1I1

1

I2 D2 I2 D2

1020-15

3 -1 0

2

(a) Calcule los equilibrios de Nash de este juego.(b) Represente la forma normal equivalente.(c) Es alguno de estos equilibrios un equilibrio perfecto en subjuegos?(d) Suponga que ahora el jugador B observa la decisin del jugador A antes de tomar su decisin.

Responda a los tres apartados anteriores tras realizar esta modificacin en el juego.

23. Dado el siguiente juego representado en forma extensiva

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12.1 2.2I D

I.1 D.1 I.2 D.2

0 2 0 13 1 3 2

(a) Indique cules son las estrategias factibles para cada jugador y calcule los equilibrios perfectosen subjuegos.(b) Represente la forma normal equivalente y calcule los equilibrios de Nash.

24. Consideremos un juego en el que, en el primer movimiento, el jugador I elige una accini {0, 1}. En el segundo movimiento la Naturaleza selecciona de manera aleatoria y con lamisma probabilidad una accin j {0, 1}. En el tercer movimiento, el jugador II elige una accink {0, 1} sin saber lo que ha elegido el primer jugador pero conociendo j. Para determinar lospagos se tiene que, si i+ j+k = 1 el primer jugador paga al segundo una unidad. En caso contrariose la paga el segundo al primero.(a) Dibuje el rbol del juego.(b) Indique cules son los conjuntos de informacin de cada jugador.(c) Cules son las estrategias puras de cada jugador? Y sus acciones en cada conjunto de

informacin?(d) Si jugsemos la combinacin de estrategias siguiente: para el primer jugador (0) y para el

segundo (1,0), es decir, ((0), (1,0)) a qu nudo final podramos llegar? cul sera la probabilidadde llegar ah?

25. Imagnese que el mercado de aspiradoras estuviera dominado por una marca llamada Rapilimpiay que una nueva empresa, Neolimpia, estuviera pensando entrar en el mercado. Si Neolimpia entra,Rapilimpia tiene 2 alternativas: acomodarse a la entrada de Neolimpia, aceptando una diminucinen su cuota de mercado o entablar una guerra de precios. Supongamos que si Rapilimpia decideacomodarse a la entrada de su competidora, sta, Neolimpia, tendra un beneficio de 10 millones deeuros; pero si Rapilimpia se inclinase por entablar una guerra de precios, a Neolimpia esta decisinle supondra una prdida de 20 millones de euros. Si Neolimpia se mantiene al margen de estemercado evidentemente su beneficio ser nulo. Supongamos que como monopolio Rapilimpia puedeconseguir unos beneficios de 30 millones de euros, que compartir el mercado reducir sus beneficiosa 10 millones y entablar una guerra de precios le costara 10 millones. Dibuje el juego en formaextensiva. Pselo a la forma estratgica y calcule los equilibrios de Nash en estrategias puras.Cules son los equilibrios perfectos en subjuegos?

26. En el sector de la informtica suele considerarse que hay determinadas empresas que son lderesy otras que esperan a que stas anuncien su estrategia de mercado para ajustar consecuentementesus decisiones. Analicemos esta industria suponiendo que ITM desempea el papel de lder deStackelberg y otra pequea empresa, MIGA, el de seguidora. Supongamos que las dos tienen accesoa una misma tecnologa siendo los costes de produccin c(qi) = cqi, donde c > 0. La curva de

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demanda del producto viene dada por p(Q) = 120 Q, donde Q es la cantidad total de productosuministrada en el mercado.El juego se desarrolla de la siguiente forma: ITM anuncia cunto va a producir. Tras observar

esta decisin, MIGA decide su produccin.Represente este juego en forma extensiva (o esboce al menos una aproximacin). Cules son las

estrategias de cada empresa? y sus funciones de pago o beneficio? Determine el equilibrio perfectoen subjuegos (equilibrio de Stackelberg) Entrar o no MIGA en este mercado?

27. Considere el mismo enunciado del problema anterior pero ahora suponga que la funcin decostes de MIGA es c(qi) = qi +K, donde K representa el coste fijo (por ejemplo de adquirir estatecnologa) que slo se paga en caso de planificar una produccin positiva. Habr algn valor deK por encima del cul, en equilibrio, MIGA decidir no introducir el producto?

28. En el siguiente juego de negociacin no cooperativo, una empresa (E) y un sindicato (S)tratan de repartirse los posibles beneficios que se generan por su actividad econmica. Suponga questos son de 2 millones de euros. Se arbitra un proceso negociador que establece tres etapas. Laspeticiones de acuerdo se hacen de forma sucesiva, alternndose E, S y E. En cada etapa, el queno hace la peticin tiene la posibilidad de aceptar o rechazar el acuerdo. Si acepta, la negociacinacaba y si rechaza, formula su peticin. Si no llegan a ningn acuerdo, tras la tercera propuesta deacuerdo, ninguno de las dos partes obtiene nada.(a) Qu posible acuerdo pueden pactar, y cundo, si los dos aplican un factor de descuento de

= 1/4?(b) Qu posible acuerdo pueden pactar y cundo, si E tiene un factor de descuento de E = 1/4

y S uno de S = 1/2?(c) Compare los dos acuerdos anteriores y argumente si le parecen razonables los resultados

obtenidos.

29. (Sept 2005) Suponga que Extra y Ultra son los nicos productores de coches que compiten enEspaa. La demanda de coches en Espaa est dada por p(Q) = 10 Q, donde Q es la suma delas producciones de los dos productores. Los costes totales de Extra y Ultra son respectivamenteCE(qE) = 3qE y CU(qU) = 2qU .(a) Suponga que Extra y Ultra eligen simultneamente las cantidades a producir (qE and qU).

Determinar la curva de reaccin de cada productor y el equilibrio de Nash de este juego. Compararlos beneficios de equilibrio de cada productor.(b) Suponga ahora que el juego cambia. Extra elige su cantidad qE. Tras observar esta decisin,

Ultra elige su cantidad qU . Represente este juego en forma extensiva y calcule el equilibrio perfectoen subjuegos.(c) Cual es la cantidad de dinero que Ultra debera pagar a Extra para que Extra escoja su

cantidad simultneamente a la suya? Est Ultra dispuesta a pagar esta cantidad de dinero?

30. Tres oligopolistas operan en un mercado cuya demanda viene dada por p(Q) = 150 Q, endonde Q = q1 + q2 + q3 y qi es la cantidad producida por la empresa i (= 1, 2, 3). Cada empresatiene una funcin de costes C(qi) = 30qi. Las empresas eligen las cantidades de la siguiente manera:(i) la empresa 2 elige q2, (ii) las empresas 1 y 3 observan q2 y, simultneamente, eligen q1 y q3,respectivamente.(a) Considere q2 y q1 fijas, Cul es la funcin de reaccin de la empresa 3? (Es decir, cul es

su mejor respuesta frente a estas dos cantidades.)(b) Es la funcin de reaccin de la empresa 1 anloga a la hallada para la 3? Y la de la

empresa 2?

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(c) Resuelva el subjuego de las empresas 1 y 3: considere q2 fija y calcule las cantidades deequilibrio de las empresas 1 y 3 usando sus funciones de reaccin. La solucin quedar en funcinde q2.(d) Conociendo cul ser el resultado en el subjuego, cul es la mejor respuesta de la empresa

2?(e) Con lo obtenido en (3) y (4) describa la solucin completa de este mercado oligopolstico y

especifique qu cantidades acabarn produciendo las distintas empresas.(f) Qu beneficios estn obteniendo las empresas?

31. Dos empresas espaolas se reparten el mercado de productos lcteos en Getafe. Una de ellas,la empresa OBESA, vende slo productos con toda su grasa. La otra, llamada LISA vende sloproductos desnatados. Es sabido que en Getafe la gente no est demasiado preocupada por guardarla lnea, de forma que de no lanzar LISA una agresiva campaa publicitaria sobre los peligrosde la obesidad, los beneficios al final del ao para LISA y OBESA seran de 1 y 6 millones deeuros respectivamente. Si, por el contrario, LISA lanza su campaa, OBESA tiene la opcin decontraatacar con la publicacin de un dossier acerca de las graves carencias en vitaminas de losproductos desnatados de su rival. En el caso en que ese dossier viera la luz, LISA an tiene opcinde echar ms lea al fuego, lanzando un publireportaje acerca de la falta de higiene en la fbricade OBESA. Los departamentos de marketing de ambas empresas calculan que si LISA lanza sucampaa contra la obesidad y OBESA no reacciona aireando su dossier, los beneficios al final deao seran de 4 en millones de euros para LISA y de 3 para OBESA. Por el contrario, si OBESAreacciona tras la campaa de LISA publicando el dossier y LISA no reacciona ante esta accin,los beneficios sern de 2 millones de euros para LISA y de 4 para OBESA. Sin embargo, si LISAreacciona a la publicacin del dossier aireando el publireportaje acerca de la falta de higiene enOBESA, los beneficios a final de ao serian de 3 millones de euros para LISA y de slo 1 paraOBESA.(a) Represente el juego que afrontan LISA y OBESA en forma extensiva y en forma normal.

Calcule todos los equilibrios de Nash del juego (en estrategias puras y mixtas).(b) Cules de los equilibrios encontrados son perfectos en subjuegos?

32. Dos empresas compiten en un mercado cuya demanda es P (q) = 10 q, donde q = q1 + q2 esla cantidad total producida. Las funciones de costes de las empresas son Ci(qi) = ciqi, i = 1, 2.(a) Suponiendo que ambas empresas deciden su produccin simultneamente, calcule la funcin

de reaccin de cada empresa y el equilibrio de Nash (el resultado vendr expresado en funcin dec1 y c2).Suponga que inicialmente c1 = c2 = 2, pero que la Empresa 1 tiene la posibilidad de adoptar

una nueva tecnologa cuya funcin de costes es C(q) = q, y cuyo coste de instalacin es K. Supongatambin que la Empresa 2 decide su nivel de produccin sabiendo si la Empresa 1 ha adoptado ono la nueva tecnologa(b) Determine para qu valores de K la Empresa 1 adoptara la nueva tecnologa en el equilibrio

perfecto en subjuegos.

33. Tres vecinas (Ana, Bea, Cruz) de un barrio deben elegir uno solo de tres proyectos (a, b, c).Las preferencias se representan a continuacin en una tabla. Cada columna indica el orden depreferencia para la vecina correspondiente, siendo el proyecto ms preferido cuanto ms arriba esten la columna.

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Ana Bea Cruza b c

b c a

c a b

La eleccin se har por mayora simple en una votacin en dos etapas. En la primera se votaentre a y b y el proyecto ganador en esta etapa se enfrenta a c, de esta segunda votacin saldr elproyecto que se llevar a cabo.(a) Cul ser el resultado si en cada etapa las vecinas votan sinceramente? (Es decir, si votan

al proyecto ms preferido).Analicemos este mecanismo de eleccin como un juego (las vecinas podrn votar estratgica-

mente).(b) Suponga que a ha sido elegido en la primera etapa. Explica por qu en la segunda votacin

que todas voten por el proyecto c es un equilibrio de Nash.(c) Por qu es poco plausible este equilibrio? Qu refinamiento (o criterio de seleccin) lo

elimina como equilibrio?(d) Cul sera el equilibrio perfecto en subjuegos que cumple este refinamiento en las dos etapas?

34. La demanda de mercado de un monopolista es P (q) = 160q y su funcin de costes C(q) = 40q,donde el precio P y el coste C estn expresados en euros y la cantidad q en millones de unidades.El monopolista debe decidir si adoptar una nueva tecnologa que reducira a solo 10 euros el costeunitario de produccin (es decir, su funcin de costes pasara a ser C(q) = 10q). Para adoptar estanueva tecnologa el monopolista tiene que comprar maquinaria y realizar obras de adaptacin desus factoras cuyo coste asciende a 2.100 millones de euros.(a) Determine si el monopolista adoptar o no la nueva tecnologaEl gobierno ha decidido permitir la entrada de una nueva empresa en el mercado a cambio de

que dicha empresa entre con la nueva tecnologa. La entrada en el mercado de una nueva empresarequerira una inversin de 3.000 millones de euros.(b) Suponiendo que esta nueva empresa entra en el mercado, calcule el precio de equilibrio en

situacin de duopolio y la produccin y beneficios de cada empresa en los dos siguientes casos (b.1)la empresa instalada no adopta la nueva tecnologa, y (b.1) la empresa instalada adopta la nuevatecnologa.(c) Con los datos en (a) y (b) construya el juego en el que la monopolista decide si invertir o no

en la nueva tecnologa y la posible entrante decide si entrar on no. (Si la posible entrante no entratiene beneficios nulos).(d) Determine el resultado de equilibrio suponiendo que la nueva empresa decide su entrada o

no en el mercado despus de observar si el monopolio adopta o no la nueva tecnologa. En esteequilibrio, adoptara el monopolio la nueva tecnologa? Entrara en el mercado la nueva empresa?

35. Una madre y una hija juegan el siguiente juego. Primero la hija toma una accin A, que produceun ingreso para s misma Ih (A) = 10 (A 5)2 y un ingreso para la madre Im (A) = 5 (A 3)2.Segundo, la madre observa los ingresos Ih e Im y decide qu herencia B legar a su hija. La funcinde utilidad de la hija es uh (Ih, B) = (Ih +B)

2 y la de la madre um (Im, B, uh) = (Im B)2 + 2uh.(a) Encuentre el equilibrio perfecto en subjuegos. Pista: Dada una accin A de la hija (y, por

tanto, unas cantidades Ih e Im) encuentre la cantidad B que maximiza la utilidad de la madre(quedar en funcin de A). A continuacin calcule la accin de la hija que maximiza su utilidaddada la reaccin de la madre que acaba de calcular.

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(b) Muestre que el resultado del equilibrio es el mismo que el de corresponde a tomar la accin Aque maximiza el ingreso agregado familiar Ih+Im (a pesar de que slo la madre muestra preferenciasaltruistas).

36. Dos socios A y B estudian completar un proyecto. Cada uno de ellos recibe 25 millones deeuros cuando el proyecto se complete, pero nada antes de ese momento. El coste que falta paracompletar el proyecto es de 7 millones. Ninguno de los dos socios se puede comprometer de maneracreble para contribuir en el futuro, as que acuerdan lo siguiente. En un primer momento, el socioA elige contribuir con cA. Si esta cantidad es suficiente para concluir el proyecto, el juego termina ycada socio recibe los 25 millones. Si no es suficiente (cA es menor que 7 millones), entonces el socioB elige su contribucin cB. Si la suma de ambas contribuciones permite completar el proyecto cadauno recibe los 25 millones, en caso contrario no reciben nada. La nica manera de lograr el dineropara contribuir en este proyecto es retirndolo de otras actividades a las que se dedica cada socio.Suponga que en ellas cada socio puede ganar c2i , (i = A,B).(a) Encuentra el equilibrio perfecto en subjuegos.Suponga ahora que el coste para finalizar el proyecto es de 12 millones.(b) Calcule el nuevo equilibrio perfecto en subjuegos.

37. En el mercado de Telecomunicaciones las empresas BT y DT compiten en cantidades siendoBT una lder en ese mercado (esto es, determina su produccin antes que DT). En este mercado lademanda total es Q = 20p y las funciones de costes de las empresas son lineales con Ci(qi) = 10qi.Ambas empresas estn realizando I+D de forma simultnea lo que les permite reducir su costemarginal desde 10 hasta ci. El coste de lograr un coste marginal de ci es F (ci) = (10 ci)2. Elcoste marginal alcanzado se convertir en informacin pblica para ambas empresas tras la etapade I+D.(a) Si ninguna empresa decide reducir su coste, calcula las cantidades que se ofertarn en ese

mercado en un equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.(b) Calcula los costes marginales que se realizarn en equilibrio de Nash perfecto en subjuegos.

Esto es, determina el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos del juego en el que primero se realizaI+D de forma simultnea, lo que determina los costes marginales de produccin, y despus secompite en cantidades a la Stackelberg.

38. Un torturador propone a sus dos prisioneros un juego macabro. El prisionero nmero 1 puededecidir si el juego pasa a la fase B o se queda en la fase A. Si el juego se queda en la fase A,ambos prisioneros seran sometidos a una tortura suave (que les produce a ambos prisioneros unautilidad de 2). Si se pasa a la fase B, ambos prisioneros elegiran simultnea e independientementeun nmero entero entre 1 y 100.Si la suma de los nmeros es par, el individuo 1 sera castigado con una tortura fuerte (que le

produce una utilidad de 1) y el individuo 2 no recibira tortura (lo que le produce una utilidad de3). Si la suma es impar, el castigado (utilidad 0) es el individuo 2 y el librado (utilidad 5) es el(a). Encuentra todos los equilibrios de Nash en puras y mixtas del subjuego de este juego. (Nota

que el conjunto de estrategias se puede simplificar a dos, escoger un nmero par o impar, ya que lasuma de dos enteros pares o dos impares es un nmero par, y la suma de un par con un impar esun nmero impar).(b). Muestra que para el individuo 1 la estrategia de quedarse en la fase A est estrictamente

dominada por la estrategia mixta que consiste en pasar a la fase B y una vez all jugar un equilibriode Nash en mixtas.

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(c). Calcula el/los equilibrio/s perfectos en subjuegos.

39. Considera un modelo de negociacin en dos perodos. En el primero, el jugador A hace unaoferta de reparto de 1 milln de euros (x, 1 x) donde x es la cantidad que A se quedara para el.El jugador B puede aceptar o rechazar. Si acepta, se acaba el juego; si rechaza, pasamos al segundoperodo donde cada uno debe proponer simultneamente un reparto. Si A dice x (el se quedacon x y da 1 x al jugador B) y B dice y (B propone quedarse con la cantidad y dando al jugadorA una cantidad 1 y), entonces los pagos son (x, y) si x + y 1, y (0, 0) en caso contrario. Lospagos son descontados con factor de descuento = 1/4.(a). Resuelve el subjuego que comienza cuando B rechaza. Calcula las funciones de mejor

respuesta de A y B, y encuentra los equilibrios de Nash del subjuego. Calcula el pago esperado enequilibrio de este subjuego.Nota: Si hubiera varios equilibrios de Nash suponemos que cada uno de ellos se juega con la

misma probabilidad.(b). Encuentra todos los equilibrios perfectos en subjuegos.Nota: Si B est indiferente entre aceptar y rechazar suponemos que siempre acepta.

40. (Feb 2005) Luca acude a comprar un coche a un mercado de vehculos de segunda mano.Deambulando por el mercado encuentra uno que se adapta a sus necesidades. En ese mercado loscoches pueden ser de dos tipos: de buena calidad (tipo B) con probabilidad de 50% o de malacalidad (tipo M) con probabilidad 50%. En el primer caso, tendra un valor para ella de 10.000.Sin embargo, si fuera del tipo M el valor es nulo para Luca. Para el vendedor, un coche tipo B tieneun valor de 6.000 (el valor es nulo si el tipo fuera M). Todas las valoraciones son de conocimientocomn tanto para Luca como para el vendedor. El juego que se establece entre Luca y el vendedores el siguiente: en primer lugar, la naturaleza determina la calidad del coche posible objeto detransaccin, cuestin que pasa a ser conocida por ambos. A continuacin, el vendedor realiza unaoferta. Por ltimo, Luca decide si la acepta o la rechaza. Si no llegan a un acuerdo ambos ganan 0.(Para simplificar suponga que si el vendedor recibe la misma cantidad caso de aceptar o rechazar,siempre se inclina por aceptar).(a) Represente el juego anterior en forma extensiva.(b) Determine el equilibrio de Nash perfecto en subjuegos de este juego, especificando cuida-

dosamente las estrategias de cada jugador. En este equilibrio, cules seran los pagos esperadosde ambos jugadores?(c) Supongamos ahora que es Luca quien hace una oferta que el vendedor decide si debe aceptar

o rechazar. Cul sera el ENPS?(d) Supongamos ahora que el coche que se pone a la venta es tipo B, y que Luca realiza la

oferta. Sin embargo, ahora Luca es consciente de la presencia de Javier, un nuevo comprador, quevalora el coche en 12.000 y realizar su oferta despus de Luca. Cul sera el resultado del juegoque se establece entre los tres jugadores?

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