UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALACalidad, pertenencia y calidez

VIVERRECTORADO ACADÉMICO

PRIMER SEMESTRE 2015

GUIA DE MATEMÁTICAS

“El CLUB DE LAS ECUACIONES”

INTEGRANTES:

Gonzales Zarai

Guzmán Jefferson

Martínez David

Reyes Dayanara

ÁREA:

EDUCACIÓN COMERCIAL Y AFINES

ASIGNATURA:

Matemáticas

PARALELO:V02

MACHALA - EL ORO - ECUADOR

2015

PRESENTACION

El presente trabajo consiste en desarrollar de manera creativa y

divertida la unidad 5, sistema de ecuaciones e inecuaciones

lineales. Mediante la realización de esta guía se pretende facilitar al

estudiante el proceso de aprendizaje ya que es considerada como

una herramienta para el uso de este.

Teniendo como objetivo conseguir que los estudiantes apliquen los

conocimientos adquiridos, mediante una breve, pero clara

exposición de ejercicios varios, estudiados en el presente periodo

del curso de nivelación, logrando que al estudiantado le gusten las

matemáticas. Suprimiendo algunos mitos, como que las

matemáticas son complicadas.

Tabla de contenidoDESARROLLO DE LA GUIA..................................................................................................4

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA........................................................4

Resolución del ejercicio:...............................................................................................4

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS........................5

Resolución del ejercicio:...............................................................................................5

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS......................7

Resolución del ejercicio:...............................................................................................7

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA..................................................11

Resolución del ejercicio:.............................................................................................11

Conclusiones.........................................................................................................................14

Bibliografía.................................................................................................................................15

DESARROLLO DE LA GUIA

ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número

desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para un

determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denomina ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades

algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a 1 que no se

escriben) (Profesor en linea, 2006)

Resolución del ejercicio:

Paso 1:

Encontrar mcm general

En este caso seria 24 porque es divisible para todos sus denominadores.

4 8 6

1 2 6 4

1 1 3 2

1 1 1 3

Mcm= 4x2x3 = 24

Paso 2:

Dividir el mcm para cada uno de los denominadores y luego multiplicar

por su numerado

Paso 3:

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos

independientes al otro lado de la igualdad

4

-9x - 8x = 12 – 6 – 6

Paso 4:

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente

-17x = 0

X = 0/17

X = 0

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, es un sistema de

ecuaciones formados por solo dos ecuaciones que admite un tratamiento

particularmente simple, junto con el caso de una ecuación lineal con una sola

incógnita y que permite su resolución empleando técnicas básicas de algebra.

(Ricardo, 2012)

Resolución del ejercicio:

5x+2y=1

-3x+3y=5

Paso 1:

Seleccionamos el método a aplicar que en este caso es “Método de

sustitución” y lo aplicamos en una de las ecuaciones.

-3x+3y=5

3y= 5+3x

Paso 2:

5

Una vez que tenemos despejada la variable en este caso “Y”, procedemos a

reemplazar en una de las dos ecuaciones originales.

Paso 3: Resolver el paréntesis

Paso 4:

Encontrar el mcm general, que en este caso es el 3.

15x+10+6x: 3

Paso 5:

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos

independientes al otro lado de la igualdad.

15x+6x: 3-10

Paso 6:

Resolvemos las operaciones indicadas

21x: -7

Paso 7:

Despejamos la variable x

Paso 8:

Una vez encnotrado el volor de x, lo remplazo en cualquiera de las 2 ecuaciones

principales.

6

Paso 9:

Resolvemos las operaciones indicadas

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS.

Mientras de que las ecuaciones lineales de dos dimensiones, es decir con dos

incógnitas, representan rectas, las ecuaciones lineales con tres variables ax +

by + cz = d, representan planos en tres dimensiones. ( Creative Commons

Attribution Share-Alike, 2014)

Resolución del ejercicio:

2 x− y+2 z=6

3 x+2 y−z=4

4 x+3 y−3 z=1

Resolución por el método de reducciónPaso 1.

Seleccionamos dos ecuaciones para así poder reducir una

incógnita puede ser la 1 a con la 2a, la 2a con la 3a o la 1a con la

3a, en este caso haremos la 1 a con la 2a.

2 x− y+2 z=6

7

3 x+2 y−z=4

Hacemos una igualdad de números pero con distinto signo en la variable que

eliminaremos en este caso sería en Z, la segunda ecuación la multiplicamos

por (2) y así tendremos la igualdad.

2 x− y+2 z=6

6 x+4 y−2 z=8

En donde tendremos ya eliminada la variable Z y así creando la cuarta

ecuación.

8 x+3 y=14

Paso 2.

Seleccionamos otras dos ecuaciones para así poder reducir la

misma incógnita que eliminamos anteriormente incógnita puede

ser la 1a con la 3a o la 2a con la 3a, en este caso haremos la 2 a

con la 3a.

3 x+2 y−z=4

4 x+3 y−3 z=1

Hacemos una igualdad de números pero con distinto signo en la variable que

eliminaremos en este caso sería en Z, la primera ecuación la multiplicamos por

(3) y la segunda por (-1) así tendremos la igualdad.

9 x+6 y−3 z=12

−4 x−3 y+3 z=−1

En donde tendremos ya eliminada la variable Z y así creando la quinta

ecuación.

5 x+3 y=11

Paso 3.

Seleccionamos las dos ecuaciones que encontramos la 4 a y la 5a y

reducimos una incógnita.

8

8 x+3 y=14

5 x+3 y=11

Hacemos una igualdad de números pero con distinto signo en la variable que

eliminaremos en este caso sería en Y, la primera ecuación la multiplicamos por

(1) y la segunda por (-1) así tendremos la igualdad.

8 x+3 y=14

−5 x−3 y=−11

En donde ya eliminamos la variable Y, luego despejamos el valor de X y

tendremos su valor.

3 x=3

x=33𝑥=1

Paso 4.

Cuando ya tenemos el valor de la variable x, lo reemplazamos en

la 4a o 5a ecuación, para así encontrar el valor de Y, en este caso

reemplazamos en la 4 a ecuación.

8 x+3 y=14

8(1)+3 y=14

8+3 y=14

Despajamos Y, y los valores pasan al lado derecho con signo cambiado.

3 y=14−8

3 y=6

y=63𝑦=2

Paso 5.

Cuando ya tenemos el valor de la variable X e Y, lo reemplazamos

en cualquiera de las 3 ecuaciones principales para así poder

encontrar el valor de Z. en este caso reemplazaremos en la 1 a

ecuación.

9

2 x− y+2 z=6

2(1)−(2)+2 z=6

2−2+2 z=6

Despajamos Z, y los valores pasan al lado derecho con signo cambiado.

2 z=6−2+2

Reducir términos semejantes.

2 z=6

Despejar Z.

Z=62

z=3

Paso 6.

Ya encontrados los valores de:𝑥=1𝑦=2

z=3

Paso 7.

Cuando ya tenemos el valor de la variable X, Y e Z lo

reemplazamos en cualquiera de las 3 ecuaciones principales para

así poder hacer la comprobación si es necesaria. En este caso

reemplazaremos en la 3 a ecuación.

4 x+3 y−3 z=1

4 (1 )+3 (2 )−3(3)=1

4+6−9=1

10−9=1

1=1

Como nos da una igualdad de 1=1 están correctos los valores de cada

incógnita.

INECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA.

10

Las inecuaciones de primer grado con una incógnita son aquellas que pueden

ponerse en la forma ax + b < 0, siendo a y b numero reales y a ≠ 0. Puede ser

cualquier otra desigualdad: > <, ≥ o ≤, si fuese a = 0 entonces nos quedaría la

desigualdad numérica b < 0 que sería siempre cierta o siempre falsa según

fuese el signo de b. (Muñoz, 2006)

Resolución del ejercicio:

X−1−3

+ 15≤X2

−3

PASO 1:

Para resolver la inecuación lineal con 1 incógnita se debe encontrar el mcm de

sus denominadores

X−1−3

+ 15≤X2

−3 mcm: 30

PASO 2:

Se divide el mcm para cada uno de sus denominadores y luego se los

multiplica por cada uno de los numeradores.

10 (x – 1) + 6(1) ≤ 15(x) – 3(30

10x – 10 + 6 ≤ 15x – 90

PASO 3:

Pasar todos los números que contienen x al lado izquierdo y los números

enteros al lado derecho con signo cambiado, se reduce términos semejantes y

se despeja la variable x.

10x - 10 + 6 – 15x + 90 ≤ 0

-5x + 86 ≤ 0

11

X ≤ −86−5

X= 17.2

PASO 4:

Se representa en números enteros el valor de x, y cuando ya esté graficado

dicho valor en la recta, seleccionamos 2 valores (mayor o menor) del valor ya

antes mencionado.

PASO 5:

Con cada uno de los supuestos valores seleccionados se remplaza en la reducción de

la inecuación original, para determinar si es verdadera o falsa.

1. -5x + 86 ≤ 0

-5 (16) + 86 ≤ 0

- 80 + 86 ≤ 0

+ 6 ≤ 0 ( f )

2. -5x + 86 ≤ 0

-5 (18) + 86 ≤ 0

- 90 + 86 ≤ 0

- 4 ≤ 0 ( v )

12

PASO 6:

Graficar en la recta numérica el resultado verdadero hallado con los posibles

números con los que se podría dar la solución a la inecuación, y como punto

final se escribe la inecuación, tomando en cuenta que siempre se leerá de

izquierda a derecha.

[−86−5,+∞]

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Conclusiones

En conclusión las ecuaciones e inecuaciones lineales son muy importantes

porque nos facilitan encontrar el valor de la incógnita

Los métodos de reducción, sustitución e igualación son un mecanismo que

nos ayudan a la resolución de las ecuaciones

Esta guía nos permite conocer la resolución de ejercicios que se

encuentran con una o más incógnitas según sea el caso de forma detallada

explicando paso a paso la resolución de cada ejercicio de ecuaciones e

inecuaciones ayudando a comprender con mayor facilidad.

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BibliografíaCreative Commons Attribution Share-Alike. (17 de junio de 2014). Interpretacion de Soluciones.

Obtenido de Interpretacion de Soluciones: http://interpretacion-de-soluciones.wikispaces.com/SISTEMAS+DE+ECUACIONES+CON+TRES+INCOGNITAS

Muñoz, J. J. (13 de Mayo de 2006). Proyecto Descartes. Obtenido de Proyecto Descartes: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/inec_sist_inec/inecu2.htm

Profesor en linea. (23 de Abril de 2006). Profesor en linea. Obtenido de Profesor en linea: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html

Ricardo, A. (12 de Enero de 2012). Profaamarelys. Obtenido de Profaamarelys: http://profaamarelys.blogspot.com/2012/01/definicion-de-sistemas-de-ecuaciones.html

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