El Mtodo de la Matrix de TransferenciaPedro Pereyra PadillaArea de Fsica Terica y Materia Condensada Universidad Autnoma Metropolitana-Azcapotzalco, Mxico D.F.Resumen

Presentaremos una introduccin al Mtodo de la Matriz de Transferencia (MMT) y algunas aplicaciones en la teora del transporte electrnico cuntico y en la opto-electrnica

IntroduccinEl objetivo de la matera condensada es explicar las propiedades del mundo material, especialmente las propiedades estructurales y electrnicas de slidos y lquidos. Debido a la complejidad y diversidad de los sistemas que se estudian en este campo, los formalismos tericos se basan generalmente en modelos simples, deducciones intuitivas o en clculos numricos realistas, generalmente muy pesados. Entre los fsicos de la materia condensada, especialmente entre experimentalistas, se piensa como J. J. Thomson que es preferible una teora cuyas consecuencias se pueden seguir con facilidad que otra ms fundamental pero inmanejableEl mtodo de la matriz de transferencia contradice, en cierto modo, esta idea. Es una herramienta til que, adems de ser muy intuitiva, hace manejable las ecua- ciones fundamentales de las teoras cuntica y electromagntica, especialmente en la descripcin cuntica del transporte electrnico y las propiedades opto-electrnicas.

LEDsEg= hnB CB V

fines1960sfines1980sQuantum Well LasersDouble Resonant BarriershnLaser con superred en la zona activaSemiconductores

INDICEIntroducconLa Matriz de Transferencia (MT) y su relacin con la matriz SLa MT de la barrera rectangular y el pozo cuntico. Efecto tunel y cuantizacin

La Teora de Sistemas Peridicos Fnitos. Estructura de bandas. Aproximacin de masa efectivasemiconductores, dispositivos opto-electrnicos.

Paquetes Gaussianos en superredes pticas

Dinmica del spn en superredes magnticas

Conclusiones

El Mtodo de la Matrix de TransferenciaPedro Pereyra PadillaArea de Fsica Terica y Materia Condensada Universidad Autnoma Metropolitana-Azcapotzalco, Mxico D.F.

jiljslz1z2V(z) = r jil + t jirjirjsr = r jir + t jiln(z)jsljsrIntroduccin La relacin entre matriz de transferencia y la matriz S1D

IntroduccinScattering matrix La relacin entre matriz de transferencia y la matriz S1D

Introduccinjiljslz1z2V(z)jirjsrTransfer matrix La relacin entre matriz de transferencia y la matriz S1D

Introduccinla relacin entre matriz de transferencia y la matriz SAntes de establecer laEs necesario mencionar que:i) de la Propiedad de Reversibilidad Temporal sigue ii) del Principio de Coservacin de Flujo sigue

Introduccin La relacin entre matriz de transferencia y la matriz S

IntroduccinEn sistemas 1D a, b, son escalares, en 2D y 3D son matrices NxN. Estos bloques o elementos de matriz y los de la matriz S se relacionan as: La relacin entre matriz de transferencia y la matriz S

Introduccinjilz1z2V(z)jirjsljsrLas amplitudes de transmisin y reflexin estn dadas por las relaciones:Los coeficientes de transmisin y reflexin estn dadas por las relaciones: La relacin entre matriz de transferencia y la matriz S

IntroduccinQu es la matriz de transferencia?j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bel pozo de potencialala barrera de potencial

Introduccinj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bEstas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad. Solo entonces conoceremos los coeficientes y tendremos la solucin j (z) para todo punto del sistemaQu es la matriz de transferencia?

IntroduccinQu es la matriz de transferencia?j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bla barrera de potencial

Introduccinj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bfunciones de onda y vectores de ondaj I (z) = a1eikz + b1e-ikzj II (z) = a2eqz + b2e-qzz < 00 < z < bQu es la matriz de transferencia?

Introduccinj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bRegresemos a las condiciones de frontera y de continuidad. Continuidad en z = 0a2 +b2 = a1 + b1q a2 q b2= ik a1 ik b1j I (0) = j II (0) j I(0) = j II (0) Qu es la matriz de transferencia?

Introduccinj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bj II (0) = j I (0)j II (0) = j I(0)Estas soluciones deben satisfacer las condiciones a la frontera y las de continuidad. Continuidad en z = 0Qu es la matriz de transferencia?

IntroduccinQu es la matriz de transferencia?j I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bContinuidad en z = ba3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qbj III (b) = j II (b) j III(b) = j II (b) ik a3eikb ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qb

Introduccinj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bContinuidad en z = ba3eikb +b3e-ikb = a2eqb + b2e-qbj II (b) = j II (0) j I(0) = j II (0) ik a3eikb ik b3e-ikb = q a2eqb - q b2e-qbQu es la matriz de transferencia?

IntroduccinQu es la matriz de transferencia?

IntroduccinQu es la matriz de transferencia?

IntroduccinQu es la matriz de transferencia?Propiedad multiplicativa de la matriz de transferencia

Introduccinj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < bj III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < bQu es la matriz de transferencia?

Coeficiente de transmisin y funcin de onda y en la barreraPuesto que para una barrera de Al0.3Ga0.7As

Cul es la funcin de onda?

Coeficiente de transmisin y funcin de onda y en la barreraj I (z) = a1eikz + b1e-ikz z < 0j III (z) = a3eikz + b3e-ikz 0 < z < b

Coeficiente de transmisin y funcin de onda y en la barreraj II (z) = a2eqz + b2e-qz 0 < z < b

Coeficiente de transmisin y funcin de onda y en la barrera

Cmo es la matriz de transferencia en barreras con perfil arbitrario?

Barrera con perfil arbitrario

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidadDouble Resonant BarriersBCBV

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matricesde transferencia se utilizan para estudiar una gran diversidad de sistemas cuyos perfiles de potencial pueden ser simples o de gran complejidadPM, PP, NK, Ann Phys. 181, 290, 1988,

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aqu en dos propsitos:i) Para estudiar el pozo de potencial

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aqu en dos propsitos:i) Para estudiar otro de los sistemas bsicos el pozo de potencialii) Para desarrollar la Teora de Sistemas Peridicos Finitos (TSPF)Superredes semiconductoras

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aqu en dos propsitos:i) Para estudiar otro de los sistemas bsicos el pozo de potencialii) Para desarrollar la Teora de Sistemas Peridicos Finitos (TSPF)Superredes semiconductoras

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aqu en dos propsitos:i) Para estudiar otro de los sistemas bsicos el pozo de potencialRTBT con superred en la baseRTBT: Transistor Bipolar con Tunelamiento Resonanteii) Para desarrollar la Teora de Sistemas Peridicos Finitos (TSPF)Superredes semiconductoras, utilizadas en el transporte electrnico en sistemas heteroestructurados.

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aqu en dos propsitos:i) Para estudiar otro de los sistemas bsicos el pozo de potenciallcii) Para desarrollar la Teora de Sistemas Peridicos Finitos (TSPF)Superredes semiconductoras, utilizadas en lseres con superred en la zona activa

Para qu ms nos sirve la matriz de transferencia de la barrera?Las matrices y resultados que obtuvimos los utilizaremos aqu en dos propsitos:i) Para estudiar otro de los sistemas bsicos, el pozo de potencialz0z1z2zn-1znjiltnjilii) Para desarrollar la Teora de Sistemas Peridicos Finitos (TSPF)Superredes semiconductoras

Sistemas peridicos de perfl arbitrario

el pozo de potencialQu podemos aprovechar de la barrera de potencial?

el pozo de potencialFalta aqu la matriz que propaga la informacin fsica de 0+ a a- , es decir

el pozo de potencial

La condicin de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 a1 eqzb1 e-qza3 eqzb3 e-qzaa = 0b3 e-qa = daa1eigenvalores y eigenfunciones en el pozo

La condicin de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 a1 eqzb1 e-qza3 eqzb3 e-qzaa = 0eigenvalores y eigenfunciones en el pozoa = 30nm0aVo = 0.23 eV

La condicin de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 a1 eqzb1 e-qza3 eqzb3 e-qzaa = 0b3 e-qa = daa1a = 30nmVo = 0.23 eVeigenvalores y eigenfunciones en el pozo

La condicin de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 aa = 0b3 e-qa = daa1a1 eqzb1 e-qza3 eqzb3 e-qza = 3nmVo = 0.6 eVeigenvalores y eigenfunciones en el pozo

La condicin de finitud en z < 0 y z > a obligan a elegir a3 = 0 y b1 = 0 a1 eqzb1 e-qza3 eqzb3 e-qza = 3nmVo = 0.6 eVa = 30nm0aVo = 0.23 eVeigenvalores y eigenfunciones en el pozo

Sistemas PeridicosEl clculo de los niveles de energa y de las eigenfunciones es el problema ms importante en la descripcin cuntica de los slidos cristalinos Todos los modelos diseados para el clculo de los niveles de energa de sistemas peridicos, como el modelo de electrones cuasi-libres, el de Kronig-Penney, los clculos numricos con pseudopotenciales, etc. concluyen que los niveles estn agrupados en bandas contnuas (Teoras de Bandas Contnuas)Teora StandardEl teorema de Bloch (rigurosamente vlido slo cuando el sistema es infinito!!) establece que las funciones de onda de los sistemas peridicos son de la formaTeora de Sistemas Peridicos Finitos Utilizando el mtodo de la matriz de transferencia, sin necesidad de las funciones de Bloch ni del espacio recproco, se deducen frmulas compactas y cerradas para la evaluacin de los eigenvalores y eigenfunciones de los sistemas peridicos. Mostraremos que ni las bandas son contnuas ni las eigenfunciones peridicas!!

El coeficiente de transmisin al variar el nmero de celdasE

Sistemas PeridicosV(z)z0z1z2zn-1znz3Si conocemos la MT de una celda unitarialcMMn (zn ,z0 ) = M(zn ,zn-1 ) M(zn-1 ,zn-2 ) M(z3 ,z2 ) M(z2 ,z1 ) M(z1 ,z0 )

Sistemas PeridicosMn = M Mn-1bn = a bn-1 + b a*n-1b a*n = bn+1 - a bna*n = b-1 bn+1 - b-1 a b b-1 bnpn-1 = b -1 bna* n = pn - b-1 a b pn-1bn=b pn-1a* n = pn - a pn-1an = pn - a* pn-1

Sistemas PeridicosMn = M Mn-1bn = a bn-1 + b a*n-1bn=b pn-1a*n = b* b n-1 + a* a* n-1pn - a pn-1 = b* b b-1 bn-1+ a* (pn-1 a pn-2)a*n = pn - a pn-1an = pn - a* pn-1pn - a pn-1 = b* b pn-2+ a* (pn-1 a pn-2)pn (a +a*) pn-1 +(a a* - b* b) pn-2 = 0pn (a +a*) pn-1 + pn-2 = 0pn = Un(ar)

Sistemas PeridicosMn = M Mn-1bn=b pn-1an = pn - a* pn-1pn = Un(ar)

El coeficiente de transmisin al variar el nmero de celdasE

jiltnjilWhich are the most relevant results of the TFPS?

Which is the main idea of this TFPS?z

Eigenvalues and eigenfunctions