EL MÉTODO SIMPLEX

Este método es la plataforma de los métodos numéricos, para resolver problemas de optimización lineal. Se basa en un algoritmo precisamente llamado simplex, que es una técnica iterativa basada en el método de Gauss Jordan.Se aplica del modo siguiente:1.- Formular el modelo de P.L.2.- Checar que el modelo de P.L. reúna las siguientes condiciones:a) Todas las variables de decisión deben ser no negativas.b) La función objetivo debe ser de maximizar o minimizar.c) Todas las restricciones deben ser del tipo menor o igual que.d) El lado derecho de las restricciones debe ser no negativo.3.- Estandarizar el modelo de P.L.4.- Igualar la función objetivo con cero.Vaciar la información del modelo de P.L., en una tabla (Tableau) como la que se describe a continuación:

Base .f(x) .x1 x2 … xn .h1 h2 … hm solución.f(x) 1 .c1 c2 … cn 0 0 … 0 0.h1

.h2

.

.

..hm

00...0

.a11 a12 … a1n

.a21 a22 … a2n

. . … .. . … .. . … .

.am1 am2 … amn

1 0 … 00 1 … 0. . … .. . … .. . … .0 0 … 1

.b1

.b2

.

.

..bm

5.- A las variables que están en la columna base de la tabla se les llama precisamente “variables básicas”, y a las que no estén en dicha columna, se les denominará “variables no básicas”.6.- Para generar una nueva solución se debe observar el siguiente procedimiento:a) Elegir entre las variables no básicas una variable que ocupará un lugar en la columna base de la tabla y que por esta razón se le llamará variable de entrada. El criterio para elegir la variable de entrada es el siguiente: a.1.- Si el problema es de maximización se elige como variable de entrada a aquella variable no básica que en el renglón objetivo de la tabla tenga el coeficiente más negativo. En caso de empate elegir arbitrariamente. Si ninguna tiene coeficiente negativo hay que parar y entonces se puede decir que el problema no tiene solución. a.2.- Si el problema es de minimización se elige como variable de entrada a aquella variable no básica que en el renglón objetivo de la tabla tenga el coeficiente

Renglón objetivo

Variables Básicas

Variables noBásicasActuales

Variables BásicasActuales

Columna base

Columna solución

más positivo. En caso de empate elegir arbitrariamente. Si ninguna tiene coeficiente positivo hay que parar y entonces se puede decir que el problema no tiene solución.b) Como en la columna base de la tabla el espacio es limitado, una de las variables básicas debe ceder su lugar a la variable de entrada, y por ello a esta se le llama variable de salida. El criterio para elegir la variable de salida es dividir los coeficientes que las variables básicas tienen en la columna solución de la tabla, por los respectivos coeficientes de la columna de la variable de entrada (exceptuando de esta última los valores negativos y los ceros), y el cociente más pequeño indica cual es la variable de salida. En caso de empate romper arbitrariamente o utilizar las reglas lexicográficas para desempatar. (en caso de no haber variable de salida, es señal de que el problema no tiene solución al menos por este método).c) Al elemento de la tabla que se encuentra en la intersección de la columna de la variable de entrada y la fila de la variable de salida, se le llama “elemento pivote”.d) Entonces, hay que reducir el elemento pivote a la unidad y los demás elementos de la misma columna reducirlos a cero, para lo cual se debe utilizar eliminación gaussiana (reducción fila – columna).e) Checar que en la columna solución, los nuevos valores obtenidos, no sean negativos, por que esto indica una solución infactible (es decir, que la solución obtenida no pertenece al espacio de soluciones).7.- Repetir el procedimiento anterior para obtener nuevas soluciones tantas veces como sea necesario, hasta que ya no haya variable de entrada, en cuyo caso, la última solución obtenida se puede considerar como la solución óptima.8.- Verificar que los valores óptimos de las variables de decisión satisfagan al conjunto de restricciones del modelo de P.L.

Este procedimiento del algoritmo simplex proporciona dos condiciones importantes para obtener la solución óptima, que son:

Condición de Factibilidad.- esta condición asegura que cada nueva solución obtenida, pertenece al espacio de soluciones, es decir, satisface al conjunto de restricciones del modelo de P.L..

Condición de Optimalidad.- esta condición garantiza que cada nueva solución obtenida, siempre es mejor que la anterior.