EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS: FONAMENTS

EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS: FONAMENTS

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)

Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)

http://www-lacan.upc.es

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)

Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)

http://www-lacan.upc.es

Problema modelProblema model

Forma forta (diferencial)

� EDP: en

� Condicions de contorn� Condicions de contorn

• Dirichlet

• Neumann

� Solució (clàssica) del problema:

· 2

Una funció és de classe

si totes les seves derivades fins a ordre m existeixen i són contínues.

a

a

Residus ponderatsResidus ponderats

� Multipliquem per una funció de test w i integrem en tot el

domini:

Integració per parts en diverses dimensions

· 3

Espais de funcions

ambi

Residus ponderatsResidus ponderats

� Triem les funcions w a l’espai de funcions de test:

i podem avaluar la integral sobre el contorn

· 4

a

a

Forma febleForma feble

Determinar u en l’espai de funcions “trial”

tal que

per qualsevol w de l’espai de funcions testper qualsevol w de l’espai de funcions test

� La forma forta i la forma feble són equivalents

� Les condicions de contorn essencials (Dirichlet) es

verifiquen exactament, mentre que les condicions de

contorn naturals (Neumann) s’imposen en forma feble.

· 5

Forma febleForma feble

� La forma feble es pot reescriure com:

Determinar tal que

ambforma bilineal, simètrica i coerciva

� Recordeu:

· 6

i

DiscretitzacióDiscretització

� El domini es divideix en elements

i es busquen solucions en els subespais

(de dimensió finita)

Determinar tal que

· 7

Problema discret

polinomis de grau ≤ men cada element

� Forma forta (EDP):

� Forma feble (integral): residus ponderats + integració per parts

Trobar tal que

amb

ResumResum

en

a

a

Trobar t.q.

� Els subespais i són de dimensió finita

� Problema discret

amb

� Les funcions de verifiquen les condicions Dirichlet

i les de s’anul·len sobre ΓD.

· 8

DiscretitzacióDiscretització

� Es considera una interpolació seccional (splines) del grau que es desitgi (lineal, quadràtic, …).

� Les funcions de la base verifiquen Ni(xj) = δij

Ni(x)

· 9

� Avantatges:• suport compacte (bases locals) ⇒ matrius quasi-buides• fàcilment integrable• coeficients ui amb significat físic Detalls

Valors prescritsValors prescrits

� Es fixen els coeficients que corresponen a valors coneguts

per les condicions de contorn essencials

· 10

• uh(x) verifica (llevat de l’error associat a la interpolació) la condició de contorn essencial u=uD en ΓD

• Ni(x)=0 en ΓD per i∉B (funcions de test v)

� Existeixen altres tècniques: multiplicadors de Lagrange,

mètodes de penalització, mètode de Nitsche...

Elecció de les funcions de testElecció de les funcions de test

� Col·locació puntual: es verifica la EDP exactament en n

punts xi

� Mínims quadrats: minimitza la norma L2 del residu al

quadrat

· 11

quadrat

� Galerkin: minimitza l’error en norma de l’energia

pel problema

Discretizació de la forma febleDiscretizació de la forma feble

� Substituïm a la forma feble:

a bilineal

· 12

� Sistema lineal d’equacions

Exercici 1Exercici 1

a) Donat el problema de contorn

-uxx= -2, ∀x∈[0,2]

u(0)=0

ux(2)=4

troba l’aproximació donada pel MEF, uh(x),utilitzant

elements lineals C0 en la següent malla

· 13

elements lineals C en la següent malla

h

0 1 2

Exercici 2Exercici 2b) Donada la EDO

utilitzant la següent interpolació seccional lineal C0

Nj(xi)=δij

per

· 14

determina quina és la matriu del sistema resultant. Quins són els

avantatges d’utilitzar una aproximació seccional? De quina manera es

modificaria la matriu del sistema si fessis servir elements quadràtics?

Nj(xi)=δij

h1 h2 h6

1

FIFIFIFI

· 15

Espais de funcionsEspais de funcions

amb frontera Γ suau a trossos

� espai de funcions de quadrat integrables, amb

� espai de funcions de quadrat integrable amb derivades fins a ordre k de quadrat integrable

producte escalar norma

derivades fins a ordre k de quadrat integrable

Notació:· 16

producte escalar norma

� En general, per a qualsevol enter k > 0, definim l’espai de

Sobolev

on

El producte escalar d’aquest espai és

� Notarem com o l’espai de funcions vectorials de m components amb

La norma per aquest espai és:

· 17

Integració per partsIntegració per parts

Teorema de la divergència de Gauss

· 18

DefinicionsDefinicions

forma en un espai de Hilbert amb norma

� simètrica

� bilineal

· 19

� coerciva (o H-el·líptica):

� contínua:

Interpolació seccional (Spline)Interpolació seccional (Spline)

uh(x)=3N1(x)+2N2(x)+4N3(x)-1N4(x)+2N5(x)

Ni(xj)=δij

Recordeu:

· 20

Significat físic dels coeficients:

uh(xi)=ui

� Element lineal

Elements 1DElements 1D

Ni(xj)=δij

Recordeu:

· 21

� Element quadràtic

Ni(xj)=δij

Recordeu:

· 22

Ni(xj)=δij

Recordeu:

� Element quadràtic

jeràrquic

· 23

� Element cúbic

Elements 2DElements 2D

N1 N2

� Element bilineal Q1

· 24

N3 N4

N1 N2

� Element biquadràtic Q2

· 25

N8 N9

Elements 3DElements 3D

� Tetraedre de 4 nodes (lineal)

� Hexaedre de 8 nodes (trilineal)

· 26