1

EL MEL MÉÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS:TODO DE ELEMENTOS FINITOS:

AVANCES RECIENTES AVANCES RECIENTES

ISMAEL HERRERA REVILLA (SNI)PREMIO NACIONAL DE CIENCIAS

INVESTIGADOR NACIONAL DE EXCELENCIA

Instituto de Geofísica, UNAM

2

A. INTRODUCCIINTRODUCCIÓÓNN

3

LA MODELACILA MODELACIÓÓN N MATEMMATEMÁÁTICA Y TICA Y

COMPUTACIONAL, COMPUTACIONAL, Y SU ENORME PODER Y SU ENORME PODER

4

FFÍÍSICA MACROSCSICA MACROSCÓÓPICA PICA Y LA Y LA

MECMECÁÁNICA DE MEDIOS NICA DE MEDIOS CONTINUOS CONTINUOS

5

MECÁNICA

TEÓRICA APLICADA COMPUTACIONAL

6

Marco físico - matemático : Modelos básicos

Mecánica Leyes científicas Teórica que rigen los fenómenosRelaciones empíricas

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

7

MECMECÁÁNICA APLICADANICA APLICADA

Especializa y aplica los conocimientos de

la mecánica teórica a los problemas de

la ciencia, la ingeniería y la tecnología.

8

MECMECÁÁNICA COMPUTACIONAL NICA COMPUTACIONAL

Utiliza los recursos de la computación para

construir los modelos que dan respuesta a

los problemas de la ciencia, la ingeniería y

la tecnología.

9

OTRAS CLASIFICACIONES

Sólidos (y estructuras)Mecánica Fluidos

Multiescala Estática

Mecánica Dinámica Lineal

Mecánica No Lineal

⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩

10

TRÁNSITO DEL MODELO CONTINUO AL COMPUTACIONAL

Modelo Matemático

Discre-tización

Progra-maciónModelo

Numérico

Modelo Computa

cional

11

MÉTODOS DE DISCRETIZACIÓN

• Elementos finitos (FEM)• Elementos de frontera (FEM) • Diferencias finitas (FEM)• Celdas (FVM) • Espectrales • Libres de malla (Meshfree)

12

COMENTARIO INFORMATIVOCOMENTARIO INFORMATIVO• En mecánica de sólidos y estructural el

predominio de FEM es tal que las diferencias finitas han casi desaparecido. Sin embargo, en algunas áreas de aplicación los BEM son altamente competitivos.

• En mecánica de fluidos libres los métodos de diferencias finitas siguen siendo importantes

• FVM es importante en fluidos en medios porosos (agua y petróleo) y problemas especiales de mecánica de fluidos (gases con números de Reynolds altos).

• Los métodos libres de malla son los más jóvenes y están siendo objeto de investigación intensa

13

ÁÁREA EMERGENTE REA EMERGENTE

• En los últimos años los métodos de escalas múltiples han tenido éxitos notables habiendo resuelto problemas de gran interés

• La investigación de estos métodos es muy intensa y están teniendo un desarrollo muy rápido

14

B.B.EL GRUPO DE MODELACIEL GRUPO DE MODELACIÓÓN N

COMPUTACIONAL DE LA UNAMCOMPUTACIONAL DE LA UNAMInstituto de Geofísica

15

TRABAJO DE INVESTIGACITRABAJO DE INVESTIGACIÓÓN N

• Teoría de ecuaciones diferenciales en funciones discontinuas definidas por pedazos

• Métodos de elementos finitos con funciones discontinuas definidas por pedazos

• Nuevos métodos de discretización; colocación, FEM mejorado, FEM-OF, etc.

• Aplicación del cómputo en paralelo a la MMC • Métodos de escalas múltiples

16

TEORTEORÍÍA DE ECUACIONES DIFERENCIALES A DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON FUNCIONES DISCONTINUASCON FUNCIONES DISCONTINUAS

La forma más eficiente de plantear los métodos numéricos de ecuaciones

diferenciales parciales es en espacios de funciones discontinuas definidas por pedazos

Se ha desarrollado la teoría correspondiente y un buen número de aplicaciones

17

FEM CON FUNCIONES DISCONTINUASFEM CON FUNCIONES DISCONTINUAS

Las formulaciones habituales de FEM se hacen en espacios de funciones continuas El grupo desarrolla una teoría de FEM con funciones definidas por pedazos discontinuas

18

MMÉÉTODOS DE ESCALAS MTODOS DE ESCALAS MÚÚLTIPLESLTIPLES

Debido a su importancia y su gran potencial para el futuro, se ha iniciado esta línea de investigación

Estos métodos requieren la integración de grupos interdisciplinarios con conocimientos en computación, matemáticas aplicadas, física, química y otras ramas de la ciencia

19

NUEVOS MNUEVOS MÉÉTODOS DE TODOS DE DISCRETIZACIDISCRETIZACIÓÓN N

20

COLOCACICOLOCACIÓÓN N

Se ha desarrollado un método de colocación que tiene diversas ventajas con respecto al convencional. Entre ellas: Reduce el número de grados de libertad; Produce matrices mejor estructuradas y Se puede combinar eficazmente con métodos de descomposición de dominio (fácilmente paralelizable).

21

FEMFEM--OFOF

El método de elementos finitos con funciones óptimas tiene gran generalidad y proporciona un marco teórico adecuado para desarrollar una teoría unificada de FEM mejorados

22

ALGUNAS PUBLICACIONES RECIENTESALGUNAS PUBLICACIONES RECIENTES

Herrera I. and R. Yates, “Unified theory of Trefftz methods and numerical implications”, CAMES 10 , Polish Academy of Sciences, pp495-514, 2003.

Herrera I., M. Diaz, and R. Yates, “A more general version of the Hybrid-Trefftz finite element model by application of TH-domain decomposition”, Lecture notes in computational science and engineering, 40, pp 301-308. Kornhuber, R. et al. Eds. Springer, Berlin, 2004. (Also on line, www.ddm.org).

Herrera I., and R. Yates, “A general effective method for combining collocation and DDM: An application of discontinuous Galerkin methods”, NUMER METH PART D E, 21(4), pp672-700, 2005 (Also on line)

Diaz, M. and I. Herrera, “TH-Collocation for the biharmonic equation”, ADV ENG SOFTW 36, pp243-251, 2007 (Also on line)

Herrera, I., R. Yates and E. Rubio “More Efficient Procedures for Applying Collocation”, ADV ENG SOFTW 38 (10), pp. 657-667, 2007 (Also published on line: 07/01/2007).

Herrera, I. “Theory of Differential Equations in Discontinuous Piecewise-Defined-Functions”, NUMER METH PART D E, 23(3), pp597-639, 2007 (Also published on line: 06/11/2006)

Herrera, I. “New formulations of iterative substructuring methods without Lagrange multipliers: Neumann-Neumann and FETI”, 2007. (In press)

Herrera, I. “Enhanced Finite Elements: A unified approach”, (In press, 2007).

23

C.C.

ELEMENTOS FINITOS CON ELEMENTOS FINITOS CON

FUNCIONES FUNCIONES ÓÓPTIMAS PTIMAS

24

∂Ω

Ω

Γ

iΩ

DESCOMPOSICIDESCOMPOSICIÓÓN DE DOMINION DE DOMINIO

25

Ω

( )12

u u u y u u u+ − + −≡ − ≡ +i

Г

SALTO Y PROMEDIO

-

n+

1 1: 2 2

Note u u u and u u u+ −≡ + ≡ −i i

26

SÍNTESIS DE FEM-OF

1. Se define la “información buscada”; i.e., información suf., en Γ, para PBP. locales

2. Se obtiene la información buscada3. Métodos directo e indirecto 4. Funciones óptimas de base y de peso 5. Solución de problemas locales para

construir la solución en todo el dominio

27

TEORÍA ALGEBRAICA DE PVF

( )

( )

Problemas de frontera con saltos prescritos (BVPJ) P B J u f j g

FÓRMULAS DE GREEN HERRERA P B J Q C K *

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA

− − = − −

−

− − = − −

K K J J K S R y J S R = + = +

28

FUNCIONES ÓPTIMAS

( )

( )

0

0

J

K

Funciones de base óptimas P B R

Funciones de peso óptimas Q C R w

− − =

− − =

v

29

TRES VERSIONES DE FEM-OF

• Poincaré-Steklov

• Herrera et al. (Indirecto)

• Petrov-Galerkin

30

VERSIÓN DE PETROV-GALERKIN

( )( )( )

( )

ˆ

ˆ ,

,

0

B

P T

P R K P

Una función óptima de base u O contiene la información buscada, si y solo si

P B J u,w f Pu w

P B J u u ,w w O

AquíP B J u f g S u & S u

Γ

Γ

∗Γ

∈

− − = − +

− − − ∀ ∈

− − = − − =

31

EJEMPLO:EJEMPLO:

OPERADOR DE LAPLACE OPERADOR DE LAPLACE

32

0

Problema de valores en la frontera con saltos prescritos

u f , en , = 1,...,E

u , en

u un

α αΩ− Δ = Ω

= ∂Ω

∂=

∂0, en = Γ

33

LAS FUNCIONALES BILINEALES

,

,

,

Pu,w w udx, Qw u u wdx

w u Bu,w u dx, Cw u w dx n n

u w w u Ju,w w u dx, Kw u u wn n n n

Ω Ω

∂Ω ∂Ω

Γ

= − Δ = − Δ

∂ ∂= =

∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − = −⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

∫ ∫

∫i i

i idx

Γ ⎟⎟

∫

34

FORMULACIÓN DE FEM-OF

?

K K

Información buscada

u , en

Descomposición canónica

w S u,w u dx , R u,nΓ

= Γ

∂=

∂∫

i

i

J J

uw w dx n

u w S w,u w dx , R w,u u dx n n

Γ

Γ Γ

∂= −

∂

∂ ∂= = −

∂ ∂

∫

∫ ∫

i

ii

35

LAS FUNCIONES ÓPTIMAS

0, 1,...,0,

0,

0, 1,...,0,

0,

Funciones óptimas de base

en , E en

en

Funciones óptimas de peso

w en , E w en

w en

α

α

α

α

⎧Δ = Ω =⎪

= ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩

⎧Δ = Ω =⎪

= ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩

vvv

36

SISTEMA DE ECUACIONES

1,...,i jij

Matriz del sistema

M w w dx, i, j N Ω

≡ ∇ ∇ =∫ i

37

APLICACIÓN CON BICÚBICAS COMPARACIÓN: GRADOS DE LIBERTAD

74%7h-327h-33D

67%3h-29h-22D

Ahorro FEM-OFFEMEstándar

Error~h4

38

ALCANCES DE FEMALCANCES DE FEM--OFOFRANGO DE APLICABILIDADRANGO DE APLICABILIDAD

• Toda ecuación diferencial parcial lineal, o sistema de tales ecuaciones, cualquiera que sea su tipo: elíptico, parabólico e hiperbólico, independientemente de su orden e incluyendo ecuaciones con coeficientes discontinuos.

39

EJEMPLOS EJEMPLOS

• Ecuaciones elípticas de segundo orden (transporte con difusión)

• Ecuación biarmónica • Elasticidad • Métodos mixtos • Problema de Stokes

40

ECUACIONES DIFERENCIALES ELÍPTICAS

DE SEGUNDO ORDEN

41

CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES ÓPTIMAS

• Cada función ótpima está determinada de manera única por su traza en Г

• Se escogen polinomios hasta cierto grado, definidos por tramos en Г

• Entonces los problemas locales se resuelvenpor cualquier método numérico (en particular FEM, por ejemplo)

42

( ) ( )( )

*

0, 1,...,0,

0,

0, 1,...,0,

0,

i

B

i

T

a b c

w a w b w cw

Funciones óptimas de base

in , i EO on

on

Funciones óptimas de peso

w in , i Ew O w on

w on

≡ −∇⋅ ⋅∇ +∇⋅ +

≡ −∇⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +

⎧ = Ω =⎪

∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩

⎧ = Ω =⎪

∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩

L

L *

L

L

v v v v

vv v

v

43

LA MATRIZ DEL SISTEMA

( )

( ) ( )

,

* * * , , ,

0B T

P B J w

a w b w c w dx

Q C K w w O O

Es positiva definida cuando b and c 0.

Ω

− − =

∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +

= − − ∀ ∈ ×

= ≥

∫v

v v v

v v

44

FEM-OFPARA PROBLEMAS DE

ELASTOSTÁTICA ANISTRÓPICA

45

( ) *:

0, 1,...,

0, 0,

0, 1,...,

0, 0,

i

B

i

B

C

Funciones de base óptimas in , i E

O on on

Funciones de peso óptimas w in , i E

w O w on w on

≡ −∇⋅ ∇ ≡

= Ω =⎧⎪

∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩

= Ω =⎧⎪

∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Σ⎩

L L

L

L

v v v

v

v vv

46

CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES ÓPTIMAS

• Los campos de los desplazamientos se escogen como polinomios por pedazos

• Los problemas bien planteados locales, se resuelven por cualquier método numérico como FEM o colocación

47

LA FORMA BILINEAL

( )

( ) ( )

,

: :

* * * , , , B T

P B J w

w C dx

Q C K w w O O

Es positiva definida

Ω

− − =

∇ ∇

= − − ∀ ∈ ×

∫

v

v

v v

48

MATERIALES ISOTRÓPICOS

( )

( ) ( )

,

2 :

* * * , , , B T

P B J w

w w dx

Q C K w w O O

Es positiva definida

λ μΩ

− − =

∇ ⋅ ∇ ⋅ + ∇ ∇

= − − ∀ ∈ ×

∫v

v v

v v

49

FEM-OFMÉTODOS MIXTOS

50

0

; *

)

p f

p u

qw rDefina : y w y w

qr r q w

La "información buscada" (el 'flujo' en

Ω∇ =⎧⎪⎨ −∇ =⎪⎩

∇⎛ ⎞⎛ ⎞ ∇⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡ ≡ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−∇ −∇⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Γ

i

iivv v

vL L

,

0, 1,...,

0, 0,

0, 1,...,

0,

i

B

i

B

p n en

en , i E

Funciones de base óptimas O en r n en

w en , i E

Funciones de peso óptimas w O w en

Γ

= Ω =⎧⎪

∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩

= Ω =

∈ ⇔ = ∂

ii

i

v

v v

L

L

0, q n en

⎧⎪⎪ Ω⎨⎪ = Γ⎪⎩ i

51

FEM-OFPROBLEMA DE STOKES

52

0

; *

p u f

p

q ww rDefina : y w y w

qr p

La "información buscada"

Ω∇ −Δ =⎧⎪⎨∇ =⎪⎩

∇ −Δ⎛ ⎞∇ −Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≡ ≡ ≡ ≡ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −∇−∇⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

i

iiv v

v vv

L L

,

0, 1,...,

0, 0,

0, 1,...,

0, 0,

i

B

i

B

u en

en , i E

Funciones de base óptimas O en en

w en , i E

Funciones de peso óptimas w O w en w en

Γ

⎧ = Ω =⎪⎪∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Γ⎪⎩

= Ω =⎧⎪

∈ ⇔ = ∂Ω⎨⎪ = Γ⎩

i

v

v vv

L

L

53

DD

EL CEL CÓÓMPUTO EN PARALELO MPUTO EN PARALELO

54

EL CEL CÓÓMPUTO EN PARALELOMPUTO EN PARALELO

Destaca entre las nuevas herramientas computacionales, pues Destaca entre las nuevas herramientas computacionales, pues en la actualidad parece ser la ven la actualidad parece ser la víía ma máás efectiva para lograr s efectiva para lograr aumentos adicionales en la rapidez del procesamiento aumentos adicionales en la rapidez del procesamiento

La comunidad internacional de modeladores computacionales La comunidad internacional de modeladores computacionales ha trabajado intensamente, desde su apariciha trabajado intensamente, desde su aparicióón hace 20 o 25 n hace 20 o 25 aañños, para aprovechar este valioso recursoos, para aprovechar este valioso recurso

Casi desde el principio se reconociCasi desde el principio se reconocióó que la forma mque la forma máás efectiva s efectiva para aprovecharla en modelacipara aprovecharla en modelacióón eran los mn eran los méétodos de todos de descomposicidescomposicióón de dominio (DDM) n de dominio (DDM)

55

LOS LOS DDMDDM EN LA MODELACIEN LA MODELACIÓÓN EN N EN PARALELO PARALELO

Dificultades del CDificultades del Cóómputo en Paralelo: La coordinacimputo en Paralelo: La coordinacióón de los n de los mmúúltiples procesadores y la transmisiltiples procesadores y la transmisióón de la informacin de la informacióón n entre ellos entre ellos

CaracterCaracteríísticas de los DDM: Las tareas que efectsticas de los DDM: Las tareas que efectúúa cada a cada procesador son, en gran medida, independientes; y por eso procesador son, en gran medida, independientes; y por eso mismo, la informacimismo, la informacióón que se requiere transmitir entre ellos n que se requiere transmitir entre ellos es muy poca es muy poca

Ventajas de los DDM: Minimizan las necesidades de Ventajas de los DDM: Minimizan las necesidades de coordinacicoordinacióón; y tambin; y tambiéén las de transmisin las de transmisióón de informacin de informacióón n

56

ACTIVIDADES INTERNACIONALES EN ACTIVIDADES INTERNACIONALES EN MMÉÉTODOS DE TODOS DE

DESCOMPOSICIDESCOMPOSICIÓÓN DE DOMINIO N DE DOMINIO

En 1987 se creEn 1987 se creóó la Organizacila Organizacióón Internacional de Mn Internacional de Méétodos de todos de DescomposiciDescomposicióón de Dominio n de Dominio

Ha celebrado 16 Congresos Internacionales de MHa celebrado 16 Congresos Internacionales de Méétodos de todos de DescomposiciDescomposicióón de Dominio; uno cada an de Dominio; uno cada añño y medio o y medio

El dEl déécimo cuarto (DDcimo cuarto (DD--14) lo organizamos aqu14) lo organizamos aquíí en la UNAM; en la UNAM; en enero de 2002, en en enero de 2002, en CocoyocCocoyoc, Morelos. , Morelos.

57

58

E.E.MMÉÉTODOS TODOS

PRECONDICIONADOS DE PRECONDICIONADOS DE

SUBESTRUCTURACISUBESTRUCTURACIÓÓN N

ITERATIVOS ITERATIVOS

59

MMÉÉTODOS DE DESCOMPOSICITODOS DE DESCOMPOSICIÓÓN N DE DOMINIO: CLASIFICACIDE DOMINIO: CLASIFICACIÓÓN N

•• MMéétodos de dominios yuxtapuestos todos de dominios yuxtapuestos

•• MMéétodos de dominios ajenostodos de dominios ajenos

60

MMÉÉTODOS ITERATIVOS DE TODOS ITERATIVOS DE

DOMINIOS AJENOS DOMINIOS AJENOS

61

∂Ω

Ω

Γ

iΩ

DESCOMPOSICIÓN DE DOMINIO

62

Ω

( )12

u u u y u u u+ − + −≡ − ≡ +i

Г

SALTO Y PROMEDIO

-

n+

1 1: 2 2

Note u u u and u u u+ −≡ + ≡ −i i

63

EL PROBLEMA DE POISSON en funciones discontinuas

1 2, 0;

0 ,

0

u f en y u en

uenu

n

Ω−Δ = Ω Ω= ∂Ω

⎫=⎪ Γ⎬∂

= ⎪∂ ⎭

Ω1 Ω2

64

ALGORITMO DE NEUMANN-NEUMANN

1

1

1

11 21 2

, ,

0; 0;

0 0 ,

,

n

n

n

nn

n

n

n n

n

u f en y f en y

en u en

uen

nuen

un n

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

+

+

+

+ΩΩ

−Δ = Ω Ω−Δ = Ω Ω

= ∂Ω = ∂Ω

⎫ ⎫= ∂⎪ =Γ ⎪⎬ ∂ ⎪= ⎪⎭ ⎪ Γ⎬⎪∂ ∂ ⎪=

∂ ∂ ⎪⎭

i

Ω1 Ω2

65

ALGORITMO DE DIRICHLET-DIRICHLET(FETI PRECONDICIONADO)

11 2 1 2

1

1

1

, ,

0; 0;

0 0 ,

,

n n

n n

n n

n n

n n

f en y u f en y

en u en

uenn

en uu

n n

ψ

ψ

ψ

ψψ

+Ω Ω

+

+

+

−Δ = Ω Ω −Δ = Ω Ω

= ∂Ω = ∂Ω

⎫ ⎫∂ == ⎪⎪ Γ∂ ⎬⎪⎪ ⎪Γ =⎬ ⎭⎪∂ ∂

= ⎪∂ ∂ ⎪⎭

i

i

Ω1 Ω2

66

PROBLEMA DE LAS FORMULACIONES ESTÁNDAR

• La transformación un =>un+1 no es positiva definida.

67

MÉTODO DEL GRADIENTE CONJUGADO

( ) 12

Dada una transformación A, simétrica y positiva definida, y un vector b encuentre un vector u tal que Au = b.

Equivalentemente, minimice la funcional

J u u Au - b u.

•

•

≡ i i

Es el método iterativo más eficiente de que se dispone en la actualidad.

68

PROPIEDADES DEL GRADIENTE CONJUGADO

2122 012

1

1

n

n

La transformación A, debe ser simétrica y positiva definida.

La rapidez de convergencia está dada por :

u - u u u κ

κ

•

•

⎡ ⎤−⎢ ⎥≡ − ⎢ ⎥+⎢ ⎥⎣ ⎦

69

NUEVO ALGORITMO DE NEUMANN-NEUMANN

1

1

1

11 21 2

, ,

0; 0;

0 0 ,

,

n

n

n

nn

n

n

n n

n

u f en y f en y

en u en

uen n

enu

un n

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

+

+

+

+ΩΩ

−Δ = Ω Ω−Δ = Ω Ω

= ∂Ω = ∂Ω

⎫ ⎫= ∂⎪ = ⎪Γ⎬ ∂ ⎪⎪⎪ Γ= ⎬⎭⎪∂ ∂ ⎪=⎪∂ ∂ ⎭

i i

i i

Ω1 Ω2

70

NUEVO ALGORITMO DE FETI

11 2 1 2

1

1

1

, ,

0; 0;

0 0 , ,

n n

n n

n n

n n

n n

f en y u f en y

en u en

uenn

en u

un n

ψ

ψ

ψ

ψψ

+Ω Ω

+

+

+

−Δ = Ω Ω −Δ = Ω Ω

= ∂Ω = ∂Ω

⎫ ⎫∂ == ⎪⎪ Γ∂ ⎬⎪ ⎪Γ⎬ = ⎭

⎪∂ ∂ ⎪=∂ ∂ ⎭

i i

i i

Ω1 Ω2

71

VENTAJAS DE LOS NUEVOS ALGORITMOS

• La transformación un =>un+1 sí es positiva definida

• Esto sin necesidad de usar multiplicadores de Lagrange

• Es posible aplicar el Método del Gradiente Conjugado

72

COMENTARIOS FINALESCOMENTARIOS FINALES

El método de elementos finitos (FEM), que es un método poderoso y de gran generalidad para la obtención de modelos de sistemas continuos, sigue perfeccionándose por medio de muchas investigaciones. FEM es apto para desarrollar modelos basados en el cómputo en paralelo y también para los de escalas múltiples. El grupo de MMC del Instituto de Geofísica realiza investigación y docencia en estos métodos, habiendo hecho ya contribuciones significativas. Hay varias formas en que los estudiantes e investigadores jóvenes interesados en formarse en estos campos lo pueden hacer:

i).- Realizando una tesis profesional con un tema pertinente;

ii).- Estudios de posgrado en Modelación Matemática y Computacional; o

iii).- Participando en algún proyecto de investigación y docencia.

Los interesados pueden obtener mayor información en

iherrera@servidor.unam.mx