El Problema de Transporte - JRVARGAS · Cap. de Prod. igual a la Dda. 8 Modelo ... de transporte...
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El Problema de
Transporte
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
Maestro
Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre 2008
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Problema de Transporte
Es un caso especial de problemade programación lineal (PPL), parael cual se ha desarrollado unaversión distinta del métodoSimplex.
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Principales características
Suponga que se dispone de n fábricas y de m centros deconsumo, ambos localizados en distintos puntos. Cadafábrica i posee una capacidad de producción Oi, y cadacentro de consumo j posee una demanda Dj. El costo deproducir una unidad en la fábrica i es de CPi, y el costo detransportar cada unidad desde la fábrica i al centro deconsumo j es de CTij.
El problema es determinar la cantidad a producir en cadafábrica y las cantidades a transportar, al mínimo costo.Luego xij es la cantidad a producir en la fábrica i para serllevado al centro de consumo j.
Red de distribución
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Fábrica
Centro de consumo
RAAN
RAAS
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RED DE TRANSPORTE
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Modelo
de Programación Lineal
MIN costo = s.a.
xij 0 con i:1.. n y j:1..m
Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL)
n
1i
m
1j
ijijiji ) xCT x(CP
n
1i
jij D x
m
1j
iij O x
Se satisface toda la Demanda
No se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica.
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Modelo
de Programación Lineal
MIN costo = s.a.
xij 0 con i:1.. n y j:1..m
Suponiendo que:
n
1i
m
1j
ijij xC
n
1i
jij D x
m
1j
iij O x
y reemplazando Cij=CPi+CTij queda el siguiente modelo:
n
1i
i
m
1j
j O D Cap. de Prod. igual a la Dda.
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Modelo
de Programación Lineal
Si
n
1i
m
1j
jiF DOD
entonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio.Lo que consuma ese centro no es real, por tanto quedacomo capacidad de producción ociosa.
n
1i
i
m
1j
j O D Cap. de Prod. mayor a la Dda.
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Modelo
de Programación Lineal
Si
n
1i
i
m
1j
jF ODO
entonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo queproduzca esa fábrica no es real. Por tanto queda comodemanda insatisfecha.
n
1i
i
m
1j
j O D Cap. de Prod. menor a la Dda.
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Modelo
de Programación Lineal
Ejemplo:
Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidadesde 15000, 25000 y 5000 unidades. Por otra parte, setienen 4 centros de consumo con demandas de 5000,15000, 15000, y 10000 unidades respectivamente.Encuentre las cantidades óptimas a producir ytransportar, tal de minimizar los costos que se muestrana continuación:
1 2 3 4
1 10 0 20 11
2 12 7 9 20
3 0 4 16 18
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Procedimiento
Para trabajar se utiliza la siguiente tabla:
1 2 ... m Oi ui
1h11 c11 h12 c12
...h1m c1m
O1 u1x11 x12 x1m
2h21 c21 h22 c22
...h2m c2m
O2 u2x21 x22 x2m
... ... ... ... ... ...
nhn1 cn1 hn2 cn2
...hnm cnm
On unxn1 xn2 xnm
Dj D1 D2 ... Dm
vj v1 v2 ... vm
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Solución factible inicial
Al igual que en el método Simplex tradicional, el problemade transporte requiere partir de una solución inicialfactible. Para ello se necesita asignar las cantidades xij demanera de cumplir con las restricciones. Para ello existenal menos 3 posibilidades:
• Solución por “tanteo”.
• Método de la esquina Noroeste.
• Método de Vogel.
•
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Método
de la esquina Noroeste
Este método no considera los costos, por eso puede que susolución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar lamáxima cantidad factible al casillero superior izquierdo queno posea ninguna asignación o marca. La cantidad aasignar es el mínimo entre la oferta disponible y lademanda en dicho momento.
Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a laoferta como a la demanda. Con esto, una de las dosquedará en cero (fila o columna). Por tanto se marcantodos los casilleros vacíos de ella.
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Método
de la esquina Noroeste
Ejemplo:
1 2 3 4 O
110 0 20 11
150005000 10000 - -
212 7 9 20
25000- 5000 15000 5000
30 4 16 18
5000- - - 5000
D 5000 15000 15000 10000 C=410
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Método
de la esquina Noroeste
En caso de que al realizar una asignación simultáneamenteambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asignauna nueva variable con valor cero en el casillero de la fila ocolumna que tenga un menor costo. Se producen entonces2 asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero.Esto se debe a que el sistema debe tener n+m-1 variablesbásicas definidas.
Esto se muestra en el siguiente ejemplo:
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Método
de la esquina Noroeste
Ejemplo 2:
1 2 3 4 5 O
17 20 13 5 2
1515 - - - 0
210 15 12 7 10
20- 20 - 0 -
38 11 8 3 9
20- - 20 - -
412 10 12 8 10 10
- - 10 0 -
515 15 12 11 10 25
- - - 15 10
D 15 20 30 15 10
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Método
de Vogel
Este método si considera los costos, por tanto entrega unamejor solución factible inicial que la esquina noroeste.Consiste en: para cada fila y columna se calcula ladiferencia entre el mayor y el menor costo de los casillerossin marcar. Calculada la diferencia, se selecciona la fila ocolumna de mayor valor, en donde se le asigna la máximacantidad factible a su casillero de menor costo que noposea ninguna asignación o marca. Luego, se actualizanlas cantidades disponibles.
Hecha la asignación, se descuenta la cantidad de formasimilar al método de la esquina noroeste. En caso que lafila y columna se hagan cero, se hace lo mismo que en elmétodo anterior.
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Método
de Vogel
Ejemplo:
1 2 3 4 O
110 0 20 11
15000- 15000 - -
212 7 9 20
250000 - 15000 10000
30 4 16 18
50005000 0 - -
D 5000 15000 15000 10000
C=335
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Simplex de Transporte
Paso 1
1 2 3 4 O
110 0 20 11
150005000 10000 - -
212 7 9 20
25000- 5000 15000 5000
30 4 16 18
5000- - - 5000
D 5000 15000 15000 10000
C=410
Se encuentra una solución factible inicial.
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Simplex de Transporte
Paso 2
1 2 3 4 O ui
110 0 20 11
15 u15 10 - -
212 7 9 20
25 u2- 5 15 5
30 4 16 18
5 u3- - - 5
D 5 15 15 10
vj v1 v2 v3 v4C=410
Se determinan los valores de los ui y de los vj . Se plantean n+m-1
ecuaciones con n+m incógnitas, por lo que a una de ellas se le hacevaler cero arbitrariamente, y se resuelve el sistema.
u1+v1=10
u1+v2=0
u2+v2=7
u2+v3=9
u2+v4=20
u3+v4=18
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Simplex de Transporte
Paso 3
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -75 10 - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 5 15 5
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -2- - - 5
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20 C=410
Se determinan los hij para ver la variable que entra. Para todos los
xij se tiene que hij=cij-(ui +vj). Si xij es variable básica, entonces hij = 0 ycij=ui+vj .
u1+v1=10
u1+v2=0
u2+v2=7
u2+v3=9
u2+v4=20
u3+v4=18
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Simplex de Transporte
Paso 4
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -75 - 10 + - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 5 - 15 5 +
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -2- + - - 5 -
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20 C=410
Entra la variable con el hij más negativo. Si no existe ningúnnegativo, se llegó al óptimo. Con la variable entrante se formaun circuíto.
Entra
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Simplex de Transporte
Paso 5
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -75 - 10 + - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 5 - 15 5 +
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -2- + - - 5 -
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20
C=410
Se determina la variable que sale de entre los xij que presentan un - .Se escoge el de menor valor, y en caso de empate se elige el de mayorcosto. toma el valor del xij que sale.
Sale
=5
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Simplex de Transporte
Paso 6
1 2 3 4 O ui
10 10 0 0 + 20 -2 11
15 -70 15 - -
2-5 12 0 7 0 9 0 20
25 0- 0 15 10
3-15 0 -1 4 + 16 0 18
5 -25 - - 0
D 5 15 15 10
vj 17 7 9 20
C=335
Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casosque corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso 2.